2023届高考数学一轮知识点训练：函数的单调性(含答案).pdf

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1、2023届高考数学一轮知识点训练：函数的单调性一、选 择 题(共 18小题)1 .已知函数f(x)=l oga(4-ax)在 0,2 上是单调递减函数，则实数a 的取值范围为()A.(0,1)B.(l,+oo)C.(1,2)D.(2,+8)2 .下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的是()A.y =V x +1 B.y =(x I)2C.y =2x D.y =l og0 5(x +l)3 .下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是()A.y =s i nx B.y =t anx C.y=x3 D.y=ex4 .下列函数中，既是奇函数又在(0,+8)上是增函数的是()A./(%)=2

2、T B./(%)=x3 C./(x)=Igx D./(x)=:5 .设函数/(x)=l n(签)，则“均是()A.奇函数，且在(0,e)上是增函数B.奇函数，且在(0,e)上是减函数C.偶函数，且在(0,e)上是增函数D.偶函数，且在(0,e)上是减函数6 .已知定义在R 上的函数/(%)满足/(x +6)=/(X),y =/(%+3)为偶函数，若/(%)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是()A.f (1 0)f(e,/(l n2)B (e,/(l n2)f (1 0)C./(l n2)f (1 0)f 0)D(l n2)f f (1 0)7 .已知定义在R 上的函数y =f(x)满足

3、下列三个条件：对任意的x e R 都有/(x)=/(%+4)；对于任意的0 4%2 3 2,都有/(%1)/(%2)；y =f(x+2)的图象关于y轴对称.则下列结论中，正 确 的 是()A./(4.5)/(6.5)/(7)B.f (4.5)/(7)/(6.5)C.f (7)/(4.5)/(6.5)D,/(7)/(6.5)f (4.5)8 .下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增的是()A.y =2l x l B.y =J C.y =|l nx|D.y =%2 4-x9.已知/(x)=l og2(%1)+一 2 x +4,若/(/一%+1)-2 V 0,则 x 的取值范围为()A

4、.(-8,0)U(1,4-0 0)B.c.(铲。)式 1，粤)D.(-1,0)U(1,2)1 0.设/(x)是定义在R上的奇函数，且当之0时，/(%)=%2,若对任意的 W亿 +2,不等式f(%+)N 2 x)恒成立，则实数t的取值范围是()A.V 2,+8)B.2,+oo)C.(0,2 D.-V 2,-l u V 2,V 3(2-2a、1/Q、是R上的增函数，则实数Q的取值范围为()(1 6.x lA.(l,+oo)B.(4,8)C.4,8)D.(1,8)1 2.若偶函数f (x)在(-oo,0)内单调递减，则不等式/(-I)f (1 g%)的解集是()A.(0,1 0)B.(,1 0)C(

5、*+8)D.(0，SU(1 0,+8)1 3 .已知函数y =/(x)可表示为x 0%2 2%4 4%6 6%8y 1 2 3 4则以下结论正确的是()A./(/(4)=3B./(x)的值域是1,2,3,4)C./(%)的值域是1,4 D./(x)在区间4,8 上单调递增1 4 .已知函数/(x)=眇 一 e-L则关于x的不等式/(x)+/(x2-2)b c B.c a b a D.b c a1 6.设/(%)为定义在R上的奇函数，当x NO时，/(x)=l og2(x +1)4-ax2-c z +1 (Q为常数)，则不等式f (3%+5)-2的解集为()A.(-0 0,-1)B.(1,4-0

6、 0)C.(oo,2)D.(2,4-oo)1 7.在下列区间中，方 程 眇+4%-3 =0的解所在的区间为()A-(-?)B(?l)c(t)D.&?1 8.若函数y =/+(2 a l)x +1在区间(一8,2 上是减函数，则实数a的取值范围是()A.-|，+)B.C.D.(一8,|二、填空题(共6 小题)1 9.函数y =|x|的 递 增 区 间 是,递减区间是f dx%120.已知函数f(x)=9 色)+2%v i 是 R 上的增函数，则实数a 的 取 值 范 围 是.21.若函数/(切=第 在区间(0,+8)是严格增函数，则实数a 的 取 值 范 围 是.22.己知定义在R 上的函数f(

7、x)满足f(-x)=，(x),且对于任意与,刀 2 6 0,+8),Xj x2 均有强等 0.若/(一3=泉 2/(lo g ix)0 的解集为R；函数g(x)的单调递增区间为2k,2k+1,fcGZ.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.24.下列五个命题中：函数y=loga(2x 1)+2015(a 0 且 a H l)的图象过定点(1,2015)；若定义域为R 的函数f(x)满足：对任意互不相等的匕，.都 有 g -必)/(的)八工2)0,则 f Q)是减函数；若/(尤+1)=/-1,则/(%)=/一 2阴 若 函 数/(均:嘿 詈 是 奇 函 数，则实数a=1；若a=警!(c

8、 0,c K：L),则实数a=3.其中正确的命题是_(填上相应logc2的序号).三、解 答 题(共 6 小题)25.设 a 是实数，/(x)=a (%6 R),(1)试证明对于任意a,八幻为增函数；(2)试确定a 值，使“X)为奇函数.26.已知函数/O)=段言为奇函数.(1)求实数a 的值并证明/(x)是增函数.(2)若实数t 满足不等式/()+/(-1)0,求 t 的取值范围.a27.已知函数/(%)=|%a|-或 +a,x G 1,6,a e R.(1)若 a=l,试判断并用定义证明f(x)的单调性；(2)若 a=8,求 f(x)的值域.28.已知函数/(为二 一/。,。).(1 )求

9、证：/(%)在(0,4-0 0)上单调递增；若/Q)在 区2 上的值域是L 2 ,求a的值.2 9.己 知 函 数/(x)(x 6 R)满 足 下 列 条 件：对任意的实数 与，x2都 有A(X1-x2)2 (x j -%2)/(血)一)(%2)，.和 Q i)-f (工2)区I/一 I，.其 中，是大于。的常数.设实数。0，Q，b 满足/(Q o)=0 和 b =a-(a).(1)证明入41,并且不存在dH 的,使得/(%)=0；(2)证明(b a。)？(1 A2)(a a。)?；(3)证明W(1 M)/(Q)2.3 0 .定义：如果函数y =/(x)在定义域内给定区间 a,b 上存在实数配

10、(0 0,k 6 N)是区间-2,t (t 0,t 6 N)上的“平均值函数”，1是函数九(x)的一个均值点，求所有满足条件的数对(k,t).答案1.c【解析】由题意可得，a 0,且 a 7 1,故函数t =4-a x 在区间 0,2 上单调递减.再根据y=lo ga(4 -ax)在区间 0,2 上单调递减，可得 a l,且 4-2 a 0,解得 1 a 2.2.A【解析】A.y =VFTT在 l,+o o)上为增函数，符合题意；B.y =Q-在(0,1)上为减函数，不合题意；C.y =2-x为(-8,+8)上的减函数，不合题意；D.丫 =1 冤0.5 +1)为(-1,+8)上的减函数，不合题

11、意3.C【解析】A选项：y =s inx是奇函数，但在定义域内有增有减；B选项：y =t anx是奇函数，但在定义域内没有单调性，要记牢；C选项：y =/是奇函数，是在定义域内递增；D选项：y =e 不是奇函数，但在定义域内递增.4.B【解析】A选项：f(x)=2-，是非奇非偶函数，故 A错误；B 选项：/(x)=(%)3=X3=f(x),则 f(x)=婷是奇函数,由某函数性质可知，f(x)=炉 在(0,+8)上是增函数，故 B正确；C选项：由对数函数性质可知，f(x)=I g x是非奇非偶函数，故 C错误；D 选项：/(-%)=-1 =-/(x).则/(x)=g 是奇函数，由反比例函数性质可

12、知，fa)=:在(0,+8)上是减函数，故 D错误.5.A6.A【解析】因为f(x 4-6)=/(x),所以/(%)的周期为6,又 y =/(无+3)为偶函数，所以/(%+3)=/(-+3),所以/(1 0)=/(4 +6)=/(4)=/(I 4-3)=/(-I +3)=/(2),又 1应 2,0 ln2 1,所以0 V I n2 V l V应V 2,且f(x)在(0,2)内单调递减，所以/(2)V f(e,V/(ln2),即 f(1 0)V f()V/(ln2).故选：A.7.B【解析】由三个条件知函数的周期是4,在区间 0,2 上是增函数且其对称轴为x=2,所以 f(4.5)=0.5),f

13、=f(3)=f(2 +1)=f(2 -1)=/(l),/(6.5)/(2.5)=f(2+0.5)=/(2 -0.5)=/(1.5),因为0 0.5 1 1.5 2,函数y =f(x)在区间 0,2 上是增函数，所以 f (0.5)f f (1.5),即 f (4.5)f(7)0时，y =lnx是增函数，满足条件.y=x2+2 x,对称轴=-1,不是偶函数，在(0,+8)上单调递增，但不符合题意.9.C【解析】由题意可得X 1 0,A T I ZW Y,x2-2 x+4 0,解得 X1,即函数/(X)的定义域为(1,+8),因为在区间(1,+8)上，函数y =lo g 2(x-l)单调递增，函数

14、y =VN 2 x+4单调递增,所以函数/(x)=lo g2(x-1)+V x2-2 x+4在区间上(1,+8)单调递增，又f -2,所以/(x2-x+1)-2 0,即为 f(/-x +1)2),所以 1 /x+1 解得上 班 刀 0,/(-x)=(-x)2,所以 一/(%)=/，即/(%)%2，所以/(幻=%2,x 0 X2,x 2 f o)=/(V 2 x),在 t,t +2 上恒成立,所以x+t 在 t,t+2上恒成立，解得x W (1 +或)在 t,t+2上恒成立,所以t +2 W(l +t,解得t 之鱼，则实数t 的取值范围是&,+8).1 1.D2-2aX 1【解析】因为/(X)=

15、-x八 是 R上的增函数,4 一 3 久 一 1 6,x 12 2Q V 0,4 一)0,解得 1 4-|a-1 6,1 2.D【解析】因为f M为偶函数,所以/(%)=/(I xl),因为f(x)在(-8,0)内单调递减，所以f(x)在(0,+8)内单调递增，由 /(-I)得 I I g x|1,即 I g x1 或 I g x 1 0 或。久 0,则函数f (x)在 R上为增函数，/(x)+f(x2-2)0 =/(x)-/(x2-2)=f (x)x 2 -x2,即+无 一 2 0,解得一 21,即其解集为(一 2,1).1 5.D【解析】由题意知f(x)是偶函数，由复合函数单调性知在 0,

16、+8)上，函数单调递增，0 0.20-2 1 lo g i3=-1,c=f lo g i3=/(-l)=/(1)又 0 0.2 ,z 1 lo g3 4,所以a c -2 =f(-1),可得 3x+5-l,解得 x -2,故解集为(-2,4-0 0).1 7.B【解析】因为y =e%为增函数，y =4%为增函数,所以y =所+4%-3为增函数，设 f(x)=ex+4%-3,f(J =e*+l 3=e 4 2 0,所以所以零点所在区间为仁1).1 8.B【解析】因为函数y=x2+(2a-l)x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线,又因为函数在区间(-o o,2 上是减函数，故2卓解得

17、a 1【解析】因为函数f(X)=a)“工？”v 1在R上是单调增函数,1(4-#+2,x 1,所以k-3。a 4-+2.解 得:a e 4,8),故答案为：4,8).2 1.(0,+0 0)【解析】设%1%2 0,则/区)-爪)=署-署=。(0一4 2)(x1+l)(x2+l)若函数”行=岂 在 区 间(0,+O O)是严格增函数,则/(X 1)-/(%2)=(占 +1)(应 +1)0,因为%1 +1 0,%2 +1 0，-，所以Q 0.故答案为：(0,+8).2 2.(O,i)u(2,+o o)【解析】由f(x)=f(x),得函数f(x)是偶函数，若对于任意与,孙e 0,+8),x x2,均

18、有%1一00,则此时函数“均 为减函数,因为 2/(lo g p:)V 1,f lo g i%工或 l o gi x 8 3 8 31 _1解得 0 X G)3 =2.2 3 .【解析】因为x e 1 时，g(x)=l(x),所以 g(一 l)=f (一 1)=也因为g(x)是定义域为R 的偶函数，所以g =9(-1)=也由题意知g(0)=0,故不正确.因为g(x)在 -1,0 单调递减，所以g(x)在 0,1 单调递增，因为 g(x+2)=g(x),所以g(x)是以T =2为周期的周期函数，所以 2 k,2 k+1 上 g(x)单调递增.2 4 .【解析】函数y=l o ga(2 x -1)

19、+2 0 15 (。0且。41)的图象过定点(1,2 0 15),正确；若定义域为R 的函数f(x)满足：对任意互不相等的乙，2 都有(/一孙)/0 1)/(g)。，则f(x)是增函数，错误；若/(x +1)=x2 1=(x +I)2 2(x +1),则/(x)=x2 2 x,正确；若 函 数 外 幻=吗 竽 是 奇 函 数，则 f(0)=0,解得a =l,错误；z-*+i由换底公式得a=警 1=l o g28=3(c 0,c。1),正确.logc2综上所述，其中正确的命题是.2 5 .(1)设 X i，&6 R 且/外，则/（%）一/&=（高）一卜一熹）2 2 2 一 +1-2 必 +12（

20、2 巧-2 次）=（2 小 +1）（2 +1），由于指数函数y=2*在 R 上是增函数，所以2 2 金，即 2 刈-2 次0.又 2*0,得 2 巧 +10,2 孙 +1 0,所以“1）/（打）0,即/（与）/（&），故/X x）为增函数.(2)若 f(x)为奇函数，则 f(一切=一/(x),即变形得：2。=2.2，2 =20+1)(2-%+1)2%2%+1 2X+1解得a=1.所以当a =l时，f(x)为奇函数.2 6.(1)因为f(x)=痣 为 奇 函 数，所以/(0)=U=0，所以 Q=1,/(%)=1-,J、2X+1 2X+1经检验，此时%)为奇函数，故 Q=l.设 与 X2,则 _

21、f(，_ 2 _ _ 2(2门-2-2)/1rJ .J X2)-1+2 X 2.1+2打.(1+2租)(1+2%2)0,所以/(孙)/(右)，所以/(x)在 1,6 上单调递增.(2)当 a =8 时，/(%)=|x-8|+89=8 -x-F 8X=i 6-(x+g.令 t =%+2,X因为 x e 1,6 ,所以 t G 6,10 ,所以/1()=1 6-t e 6,10 ,所以f(x)的值域为 6,10 .2 8.(1)设 小 X i 0，则 x2-x1 0,xrx2 0,因为f(X 2)_/(X l)=0(卜3-1-1-Xl X2所以 f(%2)f(X l)，所以/(X)在(0,+o o

22、)上单调递增.(2)因为f(x)在假,2 上的值域是1,2.又 由(1)得f(x)在 Q 上单调递增，所以 f G)=：，f(2)=2,易得 a =|.2 9.(1)当与片不时，由已知及绝对值不等式的性质易得又W=f(z)二 3年(.X1-X2)Xx-X2叼w 1,即对任意的两不相等的实数与，小，都有1 4 “孙)丁(孙)w 1.(*)I 工1欠2%2由上面的不等式易知义工1.假设存在boH的,使得/(/)=(),则在式(*)中令1=瓦，x2=C LQ,由于f (b o)-/(a。)=0,故此时式(*)不能成立，故不存在d HQ o,使得/(仇)=0.(2)解法一:若。=。0，则b =Q=Qo

23、，不等式显然成立;若 Q H,心 丫 =a-a0J A(a 一 a0)2-.由/S o)=0 和式知，/(a)2 =/(a)/(劭)2 W (a-%)?.则将式，代入式,得(b-a0Y (a -a0)2-2 A2(a -a0)2+M(a -ao)2=(1-)(a 一 o)2-(3)解法一：若 b=a,则。=0()，不等式显然成立；若 b H Q,则 令=b,X 2 =代入式(*)得 4工 1,将 b -a =-(a)代入上式，并变形得一 兀 管詈 一 ，于是0W1-4W螺Wl-g,f(a)故 儒 K 一2,从而/(b)2 (1-A2)2 T(a)2(l-A2)/(a)2.解法二：由式，可知 f

24、 W =/(b)-/(a)+/(a)2=f W -/(a)2+2 f (a)/(b)-/(a)+/(a)2 (h -a)2-2 -f W -/(a)+/(a)2(用式)=A2f(a)2-b-a)/(h)-/(a)+/(a)20,b(D o.所以 1 g(2)0 或 g(l)-g(2)V 0,b?0,-2 0,0 此时不等式组无解；或-2 (1 -m)4 0；解得m 0,卜6 1 1)是区间-2 5(1 0/6 2 上的“平均值函数”，1是函数/i(x)的一个均值点，即止+：”+6=k一 3,可得k(3 t)=4,所 以 卜=白，因为 f c G N,k 0,t 0,t N,则 1-2 1,解得3 t N-l,3-t当 t=l,k不是整数，当 t=2时，可得k =4,故所有满足条件的数对(4.2).