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1、第二节圆锥曲线第一部分五年高考荟萃2009年高考题2009年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题v.2 v21.（2 009 全国卷I理）设 双 曲 线 二-4=1（a 0,b 0）的渐近线与抛物线y=x，l 相切，则该双曲线的离心率等于a h（）A.V3 B.2 C.V5 D.V6【解析】设切点尸（%,%）,则切线的斜率为炉|尸*=2 玉）.由 题 意 有&=2/又 为=/2+1xo解得：/2=1,.?=2,6 =j l +）2 =6【答案】CX2 2.（2 009 全国卷I 理）已知椭圆C:+y2=l的右焦点为F,右准线为/,点A e/,线段4/交 C于点8,若 E4 =3 Q?,则|丽
2、=（）A.V2 B.2 C.V3 D.3 2【解析】过点B作_ L/于此并设右准线/与X 轴的交点为N,易知FN=1.由题意FA =3 F 8,故1 8 M|=.又由椭圆的第二定义，得|=号 g =*A尸|=0.故选A【答案】A2 23.（2 009 浙江理）过双曲线2 -2r=1（。0,0）的右顶点4作斜率为-1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线a b1 的交点分别为B,C.若 A 8 =6C,则双曲线的离心率是（）2A.V2 B.V3 C.D.V1 0【解 析】对 于A（a,O）,则 直 线 方 程 为x+y-a O ,直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为B ,C,B 二（二，-嗯
3、）则有a +b J a-b a-b,/2a 2b 2a b、-=*(c ih c t h、，2 ,2 /rB C =(-),/A B =-,-,因 2 A B =B Cy:.=b，：.e =yJ5 .a -b a -h a +h a +hJ【答案】C4.（2 009浙江文）已知椭圆+=1（。匕0）的左焦点为尸，右顶点为A,点B在椭圆上，且轴，直a b线AB交y轴 于 点 尸.若 而=2而，则椭圆的离心率是（）V3 V2 八 1 c 12 2 3 2 1【解析】对于椭圆，因为A P =2 P 8,则O 4 =2。尸,.a =2 c,.e=2【答案】D5.（2 009北京理）点P在直线/：y =x
4、 l上，若存在过P的直线交抛物线）=/于A,8两点，且|P A=|A B|,则称点P为“力 点”，那么下列结论中正确的是()A.直线/上的所有点都是“一名点”B.直 线/上 仅 有 有 限 个 点 是 点”C.直 线/上 的 所 有 点 都 不 是 点”D.直线/上有无穷多个点（点不是所有的点）是点”【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图,则 8（2 2 1,2 一1一2）,:4,3在丁 二炉上,.n=m22-x +l =（2 m-x）2消去，整理得关于x的方程/一 （4加-1.+2加2 -1
5、 二 o(1)/A =(4，-I)2-4(2/-1)=8/n2-8 m+5 0 恒成立,方 程（1）恒有实数解，应选A.【答案】A6.（2 0 0 9 山东卷理）设 双 曲 线 七=1 的一条渐近线与抛物线y=x2+l只有一个公共点，则双曲线的离心率为a b（）.A.-B.5 C.D.V54 22 2 ,_ b【解析】双曲线 一 A =1 的一条渐近线为y =x,由方程组|y =aX，消去y,得/-2x +1 =0 有唯一解，所以6r b a 2 1 Qy=x+1=（与-4 =0,a，b _ c y/a2+b2,b.2 不 耳 3所以一=2,e=-=.1 +（）=J 5，故选 D.a a a
6、a【答案】D【命题立意】：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.7.（2 0 0 9 山东卷文）设斜率为2的直线/过抛物线y 2 =公 伍*0）的焦点F,且和y轴交于点A,若 0 4 尸（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（）.A./=4 x B.=8x C.y2-4 x D.y2-8x【解 析】抛 物 线 y=ax（0）的 焦 点F坐标为（色,0）,则直线/的方程为y =2（x ）,它 与 y轴的交点为4 4A（0,），所以 O AF的面积为|-|=4，解得a =8.所以
7、抛物线方程为y2=8 x，故选B.【答案】B【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想，其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况，这里加绝对值号可以做到合二为一.2 28.（2 0 0 9 全国卷II文）双曲线二=1的渐近线与圆（x 3 +y 2 =/（r 0）相切，则 尸（）6 3A.V3 B.2 C.3 D.6【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r,可求尸百【答案】A9.（2 0 0 9 全国卷n文）已知直线y=k（x +2）
8、伙 0）与抛物线C:y2=8x 相交A、B两点，尸为C的焦点。若|网=2 陷,则 人（)1A.一3RV234。半【解析】本题考查抛物线的第二定义，山直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2,0）,山,川=2怛河及第二定义知%+2 =2（XB+2）联立方程用根与系数关系可求k=2V2T【答案】D1 0.（2 0 0 9 安徽卷理）下列曲线中离心率为逅的是A.X-2-2v_2 =i2 4丫 2 v2B._2_=i4 22cX-Z-i4 6DZ_=I4 10【解析】由e =Y5得2c2 _ 3 .b2a23 b2 1一,3=一，选 B.2 /2【答案】Bx21 1.（2 0 0 9 福建卷文）若双曲线二
9、a y21（4。）的离心率为2,则a等于（）A.2B.V3C.一32D.1【解析】由工=1 可知虚轴6=血，而 离 心 率 e=9 =2,解得a=l 或 a=3,参照选项知而应选D.a2 3 a a【答案】D1 2.（2 0 0 9 安徽卷文）下列曲线中离心率为的丰 是（.二-A.2 4BT-4=Ic D.x2【解析】依据双曲线二a,21 的离心率e =-可判断得.e =2=在.选 B。a a 2【答案】Bx21 3.（2 0 0 9 江西卷文）设片和尸 2 为双曲线二a y2l（a 0/0）的两个焦点，若片，F2,P（0,2。）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为3A.-2B.2-5C.
10、一2D.3T T【解析】由t a n =3有一6 2b 34 b 2=4(c2 /),则 e =2，故选 B.a【答案】B2 21 4.（2 0 0 9 江西卷理）过 椭 圆 二+1 =1（。6 0）的左焦点6作 x轴的垂线交椭圆于点尸，工 为右焦点，若a hZFPF2=6 0,则椭圆的离心率为A.V22B.V3TC.D._3【解析】因为P（-c,土 生）,再由Z F；产居=6 0 有 生=2 凡从而可得6 =,故选Ba a a 3【答案】BX2*4 y2 I【解析】易得准线方程是方=2=土 1所以，=/一/=4-从 之 即从=3 所以方程是片+3=14 3联立 y =f c v +2 可得
11、3/+（4 k2+1 6 k）x+4 =0 山（）可解得 A.【答案】A2 21 7.（20 0 9四川卷文、理）已知双曲线、氏=1（6 0）的左、右焦点分别是6、F2,其一条渐近线方程为y =x,1 5.（20 0 9天津卷文）设 双 曲 线-2T=1（。0,。0）的虚轴长为2,焦距为2 J J,则双曲线的渐近线方程为（）a bA.y 二 2xB.y =2xC.y=22D.y=x2【解 析】由 已 知得到匕=1,。=百,4=，。2 一。2=叵,因 为 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上，故 渐 近 线 方 程 为-22a 2【答案】C【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考
12、察了同学们的运算能力和推理能力。2 21 6.（20 0 9湖北卷理）已知双曲线-匕2 2v21 的准线过椭圆+A-=1 的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交4 b点的充要条件是（）A.K eC.K e2,2B.D.K 一。0-g U g+0)K G-o o,-,+00/也显见 旦22 7 22b 2点尸(6,孔)在 双 曲 线 上.则 丽 而=()A.-1 2 B.-2 C.0 D.4【解析】由渐近线方程为y =x 知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是/y 2=2,于是两焦点坐标分别是(一2,0)和(2,0),且 P(Q,1)或 P(V J,-1).不妨去P(V J,1),则 丽=(2
13、 6,7)，=(2-7 3-1).:.西.丽=(-2-V3-1)(2-V3-1)=-(2+V 3)(2-7 3)+1 =0【答案】C1 8.(20 0 9全国卷n理)已知直线=女(+2)(女 0)与抛物线C:y 2=8 x 相交于4、B两点，尸为C的焦点，若 F A =2 F B ,则=（）23A.RV 2D.-3272V【解析】设抛物线C：/=8 x 的准线为/:x=-2 直线y =Mx +2)(A 0)恒过定点尸(2,0).如图过A、B分别作 AM U 于 V,8 N，/于N,FA=2FB,则 1 4 M l=2 1 8 N|,点 B 为 A P 的中点.连结 OB，则|。8|=；|,.1
14、.|O B|=|B E|点8的横坐标为1,故点3的坐标为rr 2 2 0 2/2 _(1,2A/2)Z.k -=-,故选 D.1-(-2)3【答案】D1 9.(20 0 9全国卷H 理)已知双曲线。3-方=1(。0/0)的右焦点为尸，过 F且斜率为百的直线交C于A、B两点，若 A P =4 F B,则C的离心率为()6 .7 八 5 9A.-B.-C.-D.一5 5 8 5T2 2【解析】设双曲线Cf-2T=1 的右准线为/，过 48分 别 作 AM，/于于N,于。，由直线a hAB的斜率为V3，知直线AB的倾斜角6 0 Z B A D=6 0 ,|AD =A B,由双曲线的第二定义有1 1
15、1 A M -B N =A D=-(A F-FB)=-A B=-(A F+FB).e2 2一 一 1 5 *6又 AF=4FB 一3 1 FB|=-|FB:.e=-.e 2 5【答案】A20.(2009湖南卷文)抛物线V =-8 x 的焦点坐标是()A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)【解析】由y 2=8 x,易知焦点坐标是(-匕 0)=(-2,0),故选B.【答案】B21.（2009宁夏海南卷理）双曲线亍-我=1的焦点到渐近线的距离为（）A.2 百 B.2 C.V3 D.1x2 y2 厂|A/3 x4 o l【解析】双 曲 线 上-L=l 的焦点（4,0）到渐近线 =
16、氐 的 距 离 为-!4 1 2 22后【答案】A22.（2009陕西卷文）”是“方程加x2+“y 2=i”表示焦点在y 轴上的椭圆，的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】将方程加 工,2+”）,，2=1转化为 X+4V_ =1,根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足1上 0,上1 0,所以1 Jm nm n1 1 .n m【答案】C23.（2009全国卷I文）设双曲线 J 8 0）的渐近线与抛物线y=x?+l相切，则该双曲线的离心率等于（）A.V3B.2C.V5 D.V6【解 析】由 题 双 曲 线 一斗b 0）的 一 条 渐 近 线
17、方 程 为 y=竺，代 入 抛 物 线 方 程 整 理 得a h ax2-Zx+=0,因渐近线与抛物线相切，所以从 一 4 2=0,即=5/0 e =J i,故选择C.【答案】C2 2 2 224.（2009湖北卷文）已 知 双 曲 线 二-=1的准线经过椭圆二+鼻=1 （6 0）的焦点，贝 I 厅：（）2 2 4 h2A.3B.y5C.也D.41【解析】可得双曲线的准线为x =1,又因为椭圆焦点为（J I*O）所以有=1.即4=3故房.c故C.【答案】C2 7.（2 0 0 9天津卷理）设抛物线y2=2 x的焦点为F,过点”（百，0）的直线与抛物线相交于A,8两点，与抛物线的准线相交于C,忸
18、目=2,则A8 C尸与AAC r的面积之比3三=（）S MCF 3又 I BF=XB+=2 XB=yB=-x/3由斗、B、M三点共 线 有-y，=/时 一.6即与区=。+方飞3-x A，故二2,M-X A X M-XB6-S A B C FqAACF2 xn+1 3+1 4 -=-=，故选择Ao2XA+1 4+1 5【答案】A2 8.（2 0 0 9四川卷理）已知直线4 :4 x 3y+6 =0和直线L：x =1，抛物线V =4 x上一动点P到直线乙 和直线。的距离之和的最小值是（）A.2B.31 1C.537D.1 6【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。【解 析1】直
19、线4：x =-l为抛物线y=4x的准线，由抛物线的定义知，夕到4的距离等于夕到抛物线的焦点b（1 Q）的距离，故本题化为在抛物线V =4 x上找一个点P使得P到点尸（1,0）和直线4 的距离之和最小，最小值为厂（1,0）到直线4：4 x 3y+6 =0的距离,即4“1 4-0 +6 1 .-=2,5故选择Ao【解析2】如图，由题意可知d =一,二0=6|=2V32+42【答案】A二、填空题2 9.（2 0 0 9宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原线/与抛物线C相交于A,8两点。若A 8的中点为（2,2）,点，焦点为F（l,0）,直则 直 线/的 方 程 为【解析】抛物线的方程为y2=4
20、 x,4（内,弘）,8（%2，%），则有了尸无2，,y；=你=4两式相减得，弁-4=4（玉-二 旦=一=1MF 凶+2，直线1的方程为y-2=x-2,即y=x【答案】y=x30.（2 0 0 9重庆卷文、理）已知椭圆二v2+=v2=1（。匕 0）的左、右焦点分别为K（c,0）,工（c,0）,若椭圆上存在一a b 点P使-=-一，则该椭圆的离心率的取值范围为PFXF2 s i n P F2F,pp pp【解 析1】因为在AP E F2中，由正弦定理得-=-s inP F,F2 s i n P F2F则由已知，得 一=上，即aP K=c P E,2 RF设点（/，先）由焦点半径公式，得尸E =。+
21、做,尸尸2 则。（。+做）=。伍一叫）记得/=a（Ca）=/二D由椭圆的几何性质知与 -。则 迹 二。-a,整理得e（c-a）e（e +l）e（e +l）e 2+2 e 1 0,解得e -后 1或6/一1,又e e（0,l）,故椭圆的离心率e e（血 一1,1）【解析2】由解析1知尸耳=2工 由椭圆的定义知ac 9/7 夕耳+25=2则一尸5+。鸟=2即。6=,由 椭 圆 的 几 何 性 质 知a c +a尸工a+c,则 匚0,&0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A,a bB,若 乙4。8 =120 （。是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为【解析】v Z A O B=1
22、20 Z AOF =6 0 =Z A F O =3 0=c =2a,:.e =-=2.a【答窠】235.（20 0 9福建卷理）过抛物线y2=2 p x（p 0）的焦点尸作倾斜角为45的直线交抛物线于4、8两点，若线段4 B 的长为8,贝 II p =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【解 析】由 题 意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为 y=x-,联 立 有，y 2=2 p x 2n =X2-3/?X H-=0 ,又y=x-42|AB|=J（l +12）j（3p）2_ 4 4=8=p=2。【答案】22 236.（20 0 9辽宁卷理）以知F 是双曲线3-
23、3=1 的左焦点，4 L4）,P是双曲线右支上的动点，则归目+归山的最小值为o【解析】注意到尸点在双曲线的两只之间，且双曲线右焦点为6（4,0）,于是由双曲线性质 F|一|尸 尸|=2a=4而|B4|+|P FBI AF|=5两式相加得|P F|+|B4|29,当且仅当A、P、f三点共线时等号成立.【答案】937.（20 0 9宁夏海南卷文）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直 线 尸 与 抛 物 线 C 交于A,8两点，若P（2,2）为 4 5 的中点，则抛物线C 的方程为。【解析】设抛物线为尸=仙，与 y=x 联立方程组，消去y,得：x2 k x 0,西+%2=4=2 乂2,
24、故）3=4X.【答案】y2=4 x38.（20 0 9湖南卷理）己知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为6 0 ,则双曲线C的离心率为 L【解析】连虚轴个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是仇c（A 是虚半轴长，c是焦半距），且一个内角是30,即得2 =tan 30,所以c =，所以a=离心率e =旦c a y/2 2【答案】22 2_ k39.（20 0 9年上海卷理）已知片、居 是椭圆+0）的两个焦点，P为椭圆C上一点,且 西 上 丽.a h若 心 与 约 的面积为9,则力=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.PFl
25、+PF2=2a【解析】依题意，有“尸耳|P F2 b 18 ,可得4c 2+36=4d,即42一 2=9,J PFt2+PF22=4c2故有b=3。【答案】3三、解答题40.（20 0 9年广东卷文）（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上，离心率为苧，两个焦点分别为F1和入,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和 为12.圆G ：2+y2+2 H一4一21=0（4/?）的圆心为点4.求椭圆G的方程（2）求Z V V f E的面积（3）问是否存在圆g 包围椭圆G?请说明理由.2 2解（1）设椭圆G的方程为：三+2=1（ab0）半焦距为c;ar b2。=12 （,a=6.,）则
26、c G，解得 厂，./=。2 _。2 =3 6 2 7=9=c=3 0 可 知 点（6,0）在圆 G 外，若女 0 可 知 点（-6,0）在圆C*外;不论K为何值圆G都不能包围椭圆G.41.（2 009浙江理）（本题满分4分）已知椭圆G：与+二=1伍 匕0）的右顶点为A（I,O），过q的焦点且垂直长轴的弦长为1.a b（I）求椭圆G的方程；（H）设点尸在抛物线。2：y=x2+h（h&R）.L,G在点尸处的切线与G交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求的最小值.6=1（a =92 v 2o解（I）由题意得/，所求的椭圆方程为L+f =l,2-=1 b =l 4.a（ID不妨
27、设M（与,）,（,），2）,2（，,产+/?）,则抛物线。2在 点P处的切线斜率为y k=2 f,直 线MN的方程为y 2t x-t2+h,将上式代入椭圆G的方程中，得4.产+（2比产+/4=0,即4（1 +Z2）x2-4 t（t2-h）x+（Z2-A）2-4=0,因 为 直 线MN与 椭 圆 有 两 个 不 同 的 交 点，所 以 有A,=16 -/+2（/+2）产-/?+4 0,设线段MN的中点的横坐标是七，则 当=土 产=靠 胃，设 线 段PA的 中 点 的 横 坐 标 是 乙，则 4=（,由 题 意 得X 3=X 4，即 有J+（l +/7）f+l =0,其中的42 =（1 +力）2-
28、42 0,.力2 1或/4一3；当力4 3时有 +2 0,4 0不成立；因此当 =1时代入方程+（1 +1 =0得/=一 1,将 力=1,f=一1代入不等式4 =16 -+2（+2）f2 -r+q o成立，因此力的最小值为1.42.（2 009浙江文）（本题满分15分）17已知抛物线C：V=2 p）,（p 0）上一点4加,4）到其焦点的距离为一.4（1）求p与机的值；（I D设抛物线。上一点P的横坐标为“，0）,过P的直线交C于另一点。，交x轴 于 点 ，过点。作P。的垂线交C于另一点N.若是C的切线，求f的最小值.解（I）由抛物线方程得其准线方程：y=-根据抛物线定义点A（加,4）到焦点的距
29、离等于它到准线的距离，即4+=彳，解得p =5 抛物线方程为：/=y,将4?,4）代入抛物线方程，解得加=2（I I）由题意知，过点的直线PQ斜率存在且不为0,设其为上。c i k t t A-k t则。0 J =k(x f),当 y =O,x =-,则用(-,0)。k k联立方程1y ：(一，整理得：/一 立+“忆一。=0I x =y即：(x-t)x-(Z：-r)=0,解得x =r,或x=女 _/01:.Q(k-t,(k-t)2),而Q N L Q P,直线NQ斜率为k“：y _(=口 _伏 _在，联立方程卜一(户=-小-(1)卜 一整理得：x2+-x-(k-t)-(k-t)2=0,即：k
30、x2+x-(k-t)k(k-t)+l 0k k 点+Z伏 f)+l x 伏 f)=0,解得：x =_*J)+l,x k-tkk(k T)+.*MJ)+1 Kk-t)+i.=/=*2 _k t+1)2一 (k 5 k2 汹 一 k(k t)+i -t2+k t k(t2-k2-r)k k而抛物线在点N处切线斜率：k切=y k(k_l)+l=-2(JT产 k j,j,.,(k +1)-2k(k f)2-MN是抛物线的切线，.J一 一=-,k(t2-k2-1)k 整理得/+成+1-2产=o2 7 2：=t2-4(l-2 r2)0,解得 (舍去)，或f.,.i n =43.(2 009北京文)(本小题
31、共14分)已知双曲线C:一 =1(。0,b 0)的离心率为石，右准线方程为x =Oa b 3(I)求双曲线。的方程；(I I)已知直线x y +m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段A 8的中点在圆f+丁=5上，求机的值.【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.解(1 )由题意，得|c 3,解得”=l,c=百,2b2=C?a?=2 ,.所求双曲线C的方程为f 乙=1 .2（I I ）设4、B两点的坐标分别为（王，,）,（,2），线段A 8的中点为“（乂0，K），x2 -y-由2 1 得 x 2-2?x
32、 用？一 2=0（判别式八。），x +y+团=0/.x0=72=m,凡=/+m=2m,.点 加 仇,%）在圆V+y 2=5上，m2+（2 m）=5,tn=.4 4.（20 0 9北京理）（本小题共1 4分）x2已知双曲线C:二ay2=1（。0/0）的离心率为百，右准线方程为x =*（i）求双曲线c的方程；（II）设直线/是圆O:f +y 2=2上动点尸（餐,%）付0%工0）处的切线，/与双曲线。交于不同的两点A,8,证明Z A O B的大小为定值.【解 法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.（I）由题意，得
33、匕=立 _C 3,解得 a =i,c =Ga2/=,2 4 2=2,所求双曲线C的方程为公一21 =1 .2（II）点尸（0）在圆4+2=2 上,圆在点尸（%,%）处的切线方程为y 九化 简 得%无+%白=2.x-x0）,由，x2 22x0 x+y0y 2及 x；+y；=2 得（3片-4）f-4 x0 x +8 2x：=0 ,.切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,月.0%；2,.3x；4 w 0,且=16片一4（3只一4）（8-2片）0,设A、8两点的坐标分别为（益,必）,（,2），则 XI+x2cos ZAOB且OAOBFFROA OB=x-X0X1）（2-X0X2）,x2+yy2=XjX
34、2+中2 +7 7-T4-2/（X|+）+X；X/2 X08-2x：1 8 片芯（8-2芯）-1-*+-r-3XQ 4 2-x；3XQ 4 3XQ 4f 2x；8 2x；03xg-4 3x；-4NA OB的大小为90.【解法2】（I）同解法1.（II）点产（%,%）（为%工0）在圆一+丁=2上,圆在点P（Xo，%）处的切线方程为y-y0=（x-x0）/_匕=化简得y0y=2.由，2 及x；+y=2得x ）x+yoy=2（3%o-4）X2-4X0X+8-2XJ=0（3x-4）y2-8yox-8+2x=O .切线/与双曲线C交于不同的两点A、B,月.0 x；2,.3x；4/0,设A、B两点的坐标分
35、别为（XQ1）,（乙,%），则 xx28 2XQ 83只一 4 1 2 3%Q-4/.OA-OB=xxx2+yxy2=0,ZAOB 的大小为90.（.片+=2 且#0,.0 x；2,0 巾 0）的直线交抛物线C 于。、E 两点，ME=2DM,离 为/（机），求/（加）关于加的表达式。解：（1）由肋意，可设抛物线。的标准方程为尸=20以因为点4（2.2）在抛物线C 上.所以p=1.因此，抛物线C 的标准方程为y*=2x.（2）由（1）可得焦点F 的坐标是（；.0）,又直线OA的斜率为T =1.故与直线。力垂直的直线的斜率为-1.因此,所求宜线的方程是彳 +y-=0.（第22题图）记。和E两点间的
36、距(3)解法一：设点。和E的坐标分别为(勺,九)和(3 力).直线。的方程是y=k(x-m).人+Q 将 x=+m f U/=2x,有4-2y-2Am=0,阶”=1+叫 由ME=2DM知 I+7 l+2mA:=2(/l 国 产-1).化简得犬=人.因此/一。炉=5 -巧尸+(力-八 尸=(1+/)(y i-打/I.I 4(1+2-)9 z 3.x、=(，+r f-L=1(m+.所以/(m)=+4m(m 0).解法二：设。(，s),(y,0.由点M(m.O)及 证=2 丽 得；产-m=2(m-./-0=2(0-).因此，=-2j,m =s).所以/(m)=DE=J(-i：J*)：*(2J S)2
37、-fn+4m(m 0).46.（2009山东卷理）（本小题满分14分）2 2设椭圆E:J +=l（a,b0）过 M（2,y/2）,N（迷，1）两点，O 为坐标原点，a b（I）求椭圆E 的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点4,8,且 方，无？若存在，写出该圆的方程，并求MB的取值范围，若不存在说明理由。2 2解：（1）因为椭圆E:A +2r=1 （a,b0）过 M（2,夜），可（6）两点，a b4，2=解得，=1F1FT+70,BPSk2-m2+40玉+工2 =4km1 +2k22m2-81 +2公y y2=(kx+m)(kx2+m)=k2xx2
38、+km(x+x2)+m2/(2及28)1 +2/4k2 tn21 +2k2+mm2-S k21 +2公要 使 次，砺，需使X 1X 2+M%=0，即 2=0，所以3.2 _ 8左2_8=0,所 以12=3m882 0又8/22+40,所以；2；，所以机22|，即6 2手或?4一 半，因为直线 =履+?为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 =,，=/1=_丁 =9，=沙，所 求 的 圆 为/+/2=9，此时圆的切线 =履+机 都 满 足扪+左2 1 +k2 3/-8 3 3 38m 或/+(%一%二(l+k2)(XXz)2 =j(l+k2)年JV (1+ZK)132 4k4+5kf+l_
39、卜2 k?-v T-4F+4 F+T v T +4 F+4 F+T，32 1当左。0时|AB|=1+-3 止 +二+4 k1,1 1 1因为4/+二+4 2 8所以0 -,甘 止+与+4 8k2所 以32 -32口 +-1i-42,3 3 42+-y+4E所以g&|A 8区2 J i当且仅当k=与时取”.当 女=0时,|A 8|=半.当A8的斜率不存在时，两个交点为(手,土 孚)或(-孚，士手),所以此时|4 8|=匚一,综上，|A8|的 取 值 范 围 为A 8区2百 即：|4 8性 耳 指,2 6【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系
40、直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.47.(2009山东卷文)(本小题满分14分)设?e R,在平面直角坐标系中，已知向量a=(氏y+1),向量否=(x,y-l),a 动点M(x,y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；(2)已知机=工，证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,8,且OAL 0 8(0为坐4标原点),并求出该圆的方程；(3)已知加=,设直线/与圆C.x1+/=於(R 0且加w 1时,方程表示的是椭圆;当m 0时，方程表示的是双曲线.1r2（2）.当m=上
41、 时，轨 迹E的 方 程 为 上+），2=1,设圆心在原点的圆的一条切线为y =+L解方程组4 4y=k x +tX2 2 1 得+y =14 -x2+4（k x+f y =4,即（1+4 k2）x2+8 k t x+4*一 4 =0,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,则使=6 4/-16（1 +4Y）（-1）=16（4左2 T2 +）o,即4/一+10,即产 止 +1,且8 k t=-劭4/一4X.X.=-71-1+4/y%=（履1 +。（区2 +0=k2x,x2+Z/（X 1+x2）+t2-上2（4产一 4）8 k 2t 21+4公 1+4/2 /一 4 k2+r =-1 +4廿要使O
42、A L O B,需 使 国 +%=，即4 r-4 纵2 5必2 4-F-=-1 +4/1 +4/1 +4/0,所以5户一4公一4 =0,即5/=4 2 2+4且“4无2+1,即4/+42 0-+5恒成立.所以又因为直线y =H+f为圆心在原点的圆的一条切线,41/1 产-0 +2）4 4所以圆的半径为r=,1 1，/=7 =一，所求的圆为x2+y2=-J 1 +.+k2 1 +k2 5-5。2 O O GO当切线的斜率不存在时,切线为x =4后，与+y 2 =1交于点（4有,4否）或（一4布,4石）也满足O A 1 O B.5 4 5 5 5 5综上，存在圆心在原点的圆f+y 24，使得该圆的
43、任意一条切线与椭圆E恒有两个交点4,8,且04 1O B.1v-2（3）当m =-时，轨 迹E的方程为+/=1,设直线/的方程为y=k x +t，因为直线I与 圆C:x2+y2=R2（1 R 2）相切4 4于4,由（2）知&=川，即=R2（I+%2）,J l+公因为/与轨迹E只有一个公共点S,由（2）知，y=kx+tX1,+y =1得 炉+4（履+。2=4,即(1 +4&2)x2+8 t o +4 T -4 =0 有唯一解则4=6 4心 2 -1 6(1 +4%2)(产-1)=1 6(4 1 -?2+l)=0,l|J 4k2-t2+l=0,由得，k23R2 4-R2_ R2-1-4R2此时A,
44、B重合为31里1,月）点,X+x2由8kt1 +4/4t2-41 +4公.,4 厂一4中M ，所以 1 +4%-1 6 7?2-1 63R21 4 R 4办（工必）点在椭圆上，所 以 短=1 /2 =-_，所以|。即2 =+城=5 -4 3/?R4产在 直 角 三 角 形04向 中，|4即2=|。即2 _|0A J 2=5 _一 心=5 4(7+R)因为+斤24当 且 仅 当R =0 e（1,2）时取等号，所以|从耳 5 4 =1,即当R=6 （1,2）时|A|B|取得最大值，最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系，可以通过解方程组法研究有没
45、有交点问题,有几个交点的问题.4 8.（2 009全国卷H文）（本小题满分1 2分）x2 y2 V3已知椭圆C:/+后=1（。力 。）的 离 心 率 为，过右焦点尸的直线/与C相交于A、8两点，当/的斜率为/时、坐标原点。至I 的距离为 乌2（I ）求。力的值；-（I I）C上是否存在点P,使得当/绕F转到某一位置时，有OP=OA+OB成立？若存在，求出所有的户的坐标与/的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解（I ）
46、设尸（c,0）,当/的 斜 率 为1时，其 方 程 为 犬-？-。=0,。至1/的距离为c 故 c _ 后-产 7=，n x -尸，c 1V2 V2 V2 2由 e -,得 a -V3，b -yj a2 c2=V2a 3（H）C上存在点尸，使得当/绕尸转到某一位置时，有 无=方+而成立。由（I ）知C的方程为22+3），2=6.设4（花，必）,8（工2，%（i）当/不垂直x轴 时，设/的方程为y =Mx-1）C上 的 点 尸 使 而=砺+而 成 立 的 充 要 条 件 是P点 的 坐 标 为（3+2，必+为），且2（再+七）2+3（月+%）2=6整理得 2x J+3 y J+2X22+3为-+
47、6）为=6X A、6在C上，即2x/+3%2=6,24 2+3y6故 2阳+3为 为+3 =0 将y =M x 1）代 入2/+3/=6,并化简得（2+3公）一一6%2%+3公6 =o于是%,+x26 k 22+3 k 2中2=3 k2-62+3小乃-k2（x-l）（x2 2）=2+3 k 2,3代入解得，E =2,此 时*+x2k 3 k于 是 必+乃=%（匹+X2-2）=-（即5）因此，当左=-0 时，尸（|，争，/的方程为V I r +y =0；当人=五 时，/的方程为Jl x-y 收=0。（i i）当/垂直于x轴时，由次+而=（2,0）知，上不存在点 使 历=方+而 成立。3 V 2
48、综上，,上存在点P（5，5 ）使。P =0 4 +OB成立，此时/的方程为V 2x y-V 2=0.4 9.（20 0 9广 东 卷 理）（本小题满分1 4分）已知曲线C:y =/与直线/:x y +2=0交于两点A。%,)和，且/=尤2-X +-,又点尸是L上的任一点，2 28且不与点4和点8重合，则 l 2x ,2,即2 4 4(2)曲线G :x -2ax +y -4 y +a +=0 ,4 9 7即圆E：(x a)2+(y 2)2=万|,其 圆 心 坐 标 为E(a,2),半径r由图可知，当时，曲线G:f 2ax+y 24 y +a2+g l =o与点。有公共点；当。0时，要使曲线G:V
49、2ax+y 24 y +|=0与点。有公共点，只需圆心E到直线/：x )，+2=0的距一 ,I G 2+2 1 I t z I 7 lyf l.八 .,.7 y2,禺d =-7=-=一尸 ,得-a b 0)上，/=。以九月,%=/?si n ,0 b 0）的两个焦点分别为入（一，,0）,尸2（。,0）匕 0），过点E（生,0）的直线与椭圆相交于a b c点A,B两点,且五仙工8,|月4|=2|工8|（I求椭圆的离心率；（I I ）直线A 8的斜率；11（I I I）设点C与点A关于坐标原点对称，直线凡3上有一点“（八,7）（机=0）在反式0的外接圆上，求一的值。m解(1)FA/F2B,FiA=
50、F2B,得a21 Sib2?lk2r2-6 r2而 七+=一 丝 可，X/2 =上2 9一，有题设知，点8为线段4 E的中点,1 2 2+3 k2 1 2 2 +3 1所以尤1+3 c=2X2q k2r-2r 96 2r2+2 r2 石联立三式，解得4；，=.将结果代入韦达定理中解得z=乃2 +3/2 2 +3 左 2 3cc _ _ _ _a2一+cC1c整理得。2=3,2,故离心率e =Y 22a 3（2）由（1）知，b2=a2-c2=2 c2,所以椭圆的方程可以写为2/+3/=6 0 22设直线A B的方程为y =k(x-)即y =k(x -3 c)c由已知设AQ,y,）5（x2,%）则