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1、2022年湖北省鄂州市中考数学试卷一、选 择 题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1.实 数9的相反数等于（）A.-9 B.+92.下列计算正确的是（）A.b+序=尸 B.b（,-b3=b2,9C.C2b)3=6/D.-9D.3b -2b=b3.孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意,改鄂县为武昌.下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A以B我C而D昌6.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2”来表示.即：21=2,22=4,23
2、=8 ,24=16,25=32,，请你推算220 22的个位数字是（）A.8 B.6 C.4 D.27 .数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数=+（”、为常数，且k0）的 图 象 与 直 线 都 经 过 点A（3,1）,当 日+匕 工 时，根据图象可知，x的-338.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为9 0 ,将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知OO的直径就是铁球的直径，A 8是 的 弦，C O切。0于点
3、 ACLCD.B D L C D,若C D=16a，A C=B D=4 c m,则这种铁球的直径为（）A.1 O c/n B.5c m C.20c m D.24 c m9.如图，已知二次函数（a、c为常数，且a W O）的图象顶点为P（l,m）,经过点A（2,1）.有以下结论：a 0；4a+26+c=l；x l时，y随x的增大而减小；对于任意实数f,总有。尸+勿 =区皋为大于零的常数，且 x 0）交于点A,若 0A16.如图，在边长为6的等边aABC 中，D、E分别为边B C、AC 上的点，AO与 8 E相交于点P,若 B D=C E=2,则 A B P 的周长为三、解 答 题（本大题共8 小
4、题，共计72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）2 117.（8 分）先化简，再求值：招其中a=3.a+1 a+118.（8 分）为庆祝中国共产主义青年团成立10 0 周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动.李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、。四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：（1）表中。=,C等 级 对 应 的 圆 心 角 度 数 为；（2）若全校共有60 0 名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为4等级的学生共有多少人？（3）若 A等 级 1 5 名学生中有3人满分，设这3名学生
5、分别为刀，丁 2,7 3,从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T i，乃 的概率.等级成绩X/分人数A901001 5B8090aC70801 8Dx 相交于点0,且N C Q F=N B Q C、ZD C F=ZACD.(1)求证：D F=C F；2 0.（8分）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2 0 2 2年3月1 9日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为4 5 ,同时另一市民乙在斜坡C尸上的。处看见飞机4的仰角为3 0 .若斜坡C F的坡比=1：3,铅垂高度0 G=3 0米（点E、G、C
6、、B在同一水平线上）.求：（1）两位市民甲、乙之间的距离C C；（2）此时飞机的高度A B.（结果保留根号）2 1.（8分）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家.小明离家的距离y（km）与他所用的时间x （min）的关系如图所示：（1）小明家离体育场的距离为 b”，小明跑步的平均速度为 km!min,（2）当1 5 W x 0)型抛物线图象.发现：如 图1所示，该类型图象上任意一点M到定点尸(0,A)的距离M F,始终等于4a它到定直线/：y=-工 的 距 离M N(该结论不需要证明)，他们称：定 点F
7、为图象的焦4a点，定直线/为图象的准线，y=-2叫做抛物线的准线方程.其中原点O为 股/的中4a点、,F H=2 O F=L2a例如：抛物线y=,其焦点坐标为尸(0,1),准线方程为/：y=-1.其中2 2 2MN,F H=2 O H=l.【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线y=2?的焦点坐标和准线/的方程：,.【技能训练】(2)如图2所示，已 知 抛 物 线 上 一 点P到准线/的距离为6,求点P的坐标；8【能力提升】(3)如图3所示，已知过抛物线y=a?(a 0)的焦点尸的直线依次交抛物线及准线/于点A、B、C.若B C=2 8尸，A F=4,求a的值；【拓展升华】(4)古希腊数学家欧多
8、克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段A B分为两段A C和C B,使得其中较长一段A C是全线段A B与另一段CB的比例中项，即满足：AC=BC=V L 1.后人把近二1这个数称为“黄金分割”数，AB AC 2 2把 点C称为线段A B的黄金分割点.如图4所示，抛物线y=M 的焦点F(0,1),准 线/与y轴交于点4 (0,-1),E 为线段“尸的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当需=&时，请直接写出2 4.(1 2分)如 图1,在平面直角坐标系中，R tZ X OA B的直角边O A在y轴的正半轴上，且0 A=6,斜边OB=1 0,点P为线段A
9、8上一动点.(1)请直接写出点B的坐标；(2)若动点P满足NP OB=4 5 ,求此时点P的坐标；(3)如图2,若点E为线段。8的中点，连接P E,以尸E为折痕，在平面内将a A P E折叠，点A的对应点为A,当B 4 ,0 8时，求此时点尸的坐标；(4)如图3,若尸为线段A 0上一点，且4尸=2,连接尸 尸，将线段F P绕点厂顺时针方向旋转6 0 得线段尸G,连接0 G,当O G取最小值时，请直接写出0G的最小值和此时线段FP扫过的面积.2022年湖北省鄂州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1 .实 数 9 的相反数等于（）A.-9 B
10、.+9 C.A D.-A9 9【分析】直接利用相反数的定义得出答案.【解答】解：实数9 的相反数是：-9.故选：A.【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键.2.下列计算正确的是（）A.b+b2=b3 B.心+/=y c.（2b）3=6/D.3b-2b=b【分析】按照整式幕的运算法则和合并同类项法则逐一计算进行即可得答案.【解答】解：与必不是同类项，选项A 不符合题意；,:伊伊=伊,选项8 不符合题意；（2b）3=8/,二选 项 C 不符合题意；：3b-2b=b,；选项。符合题意，故选：D.【点评】此题考查了整式事与合并同类项的相关运算能力，关键是能准确理解并运用相关计算法
11、则.3.孙权于公元221年 4 月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意,改鄂县为武昌.下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A以B就C而D昌【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.【解答】解：选项A、B、C 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项。能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形，故选：D.【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
12、后可重合.4.如图所示的几何体是由5 个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（）正面【解答】解：该几何体的主视图为：一共有两列，左侧有三个正方形，右侧有一个正方形，所以A选项正确，故选：A.【点评】本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键.5.如图，直线八/2,点C、A分别在/1、/2上，以点C为圆心，C 4长为半径画弧，交/1)于点3,连接A 3.若N8C4=150,则N 1的度数为（D.30由NBCA=150,ZBCA+ZCAB+/C BA=180,可得/C 4B=N C 8A=15,再结合平行线的性质可得/I =15.【解答】解：由题意可得AC=8C,.ZCABZCBA
13、,V ZB C A=150,ZBCA+ZCAB+Z CBA=180,：.ZC AB=ZC BA=50,V/lZ/fa.，N1=NC8A=15.故选：B.【点评】本题考查作图-基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得出BC=AC是解答本题的关键.6.生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2”来表示.即:21=2,22=4,23=8,24=16,25=3 2,.，请你推算 22022 的个位数字是（）A.8 B.6 C.4 D.2【分析】通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，
14、则2222与22的尾数相同，即可求解.【解答】解：:2 1=2,22=4,23=8,24=16,25=3 2,二2的乘方的尾数每4个循环一次，：2022+4=505 2,.22022与22的尾数相同，故选：C.【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键.7.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数、=无+6（h6为常数，且k 0）的图象与直线y=都经过点A（3,1）,当 日+工 时，根据图象可知，x的3 3取值范围是（)【分析】根据题意和函数图象，可以写出当h+，3 时，直 线 在 一 次 函 数 y=fcc+分的上方，当日+6V工 时，x 的取
15、值范围是x3,3故选：A.【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.8.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90,将形状规则的铁球放入槽内时,若同时具有图（I）所示的A、B、E 三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及A、B、E 三点的截面示意图，已知。0 的直径就是铁球的直径，AB是。的弦，切。于点E,A C1CD,B D L C D,若 C）=1 6C7，A C=B D=4 c m,则这种铁球的直径为（）A.10cm B.15cw C.20c m D.24
16、 c m【分析】连 接。E,交 AB于点尸，连 接。A,AC，CO、B D L C D,由矩形的判断方法得出四边形4 8 8 是矩形，得出AB/CD,A B=C D=6 c m,由切线的性质得出OELCD,得 出O E L A B,得出四边形EFBO是矩形，A F=1AB=XX 16=8（an）,进而得出EF2 2 B D=4 c m,设 的 半 径 为 ran,则 OA=rcm,O F=O E-E F=（r-4）c m,由勾股定理得出方程J=8?+（r-4）2,解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径.【解答】解：如图，连接O E,交 于 点 F,连接OA,：A C L C D,B DLC
17、D,：.AC/BD,：AC=BD=4 c m,.四边形A C D B是平行四边形,二四边形ACQB是矩形，J.AB/CD,AB=CD=16 c m,.CC切。于点E,J.OE1CD,：.OE1AB,，四边形 E E B O 是矩形，A F=L 1 B=2 X 1 6=8 (c m),：EF=BD=4 c m,设。的半径为-c m,则。A=w/n,O F=O E-E F=(r-4)c m,在 R t Z A O F 中，OA2 A F2+OF2,.*.r2=82+(r -4)2,解得：r=1 0,这种铁球的直径为20c m,故选：C.【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判
18、定与性质，平行四边形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键.9.如图，已知二次函数(a、氏c为常数，且a W O)的图象顶点为尸(1,加)，经过点4 (2,1).有以下结论：a 0；4 a+2 b+c=l；x l时，y随x的增大而减小；对于任意实数r,总有a d+W W 从 其中正确的有()P(l,m)A (2,1 )A.2个B.3个C.4个D.5个【分析】根据抛物线的开口方向向下即可判定；先运用二次函数图象的性质确定4、氏c的正负即可解答；将点A的坐标代入即可解答；根据函数图象即可解答；运用作差法判定即可.【解答】解：由抛物线的开口方向向下，则4 0,故正确；.抛物线的
19、顶点为P(l,%),2aVa 0,.抛物线与y轴的交点在正半轴，.,.c 0,a h c -g C=6 V 3:.A R=2 如+6如+4a=1 2如,：AZ)=24后sin Z A D R=-,AD 2./AR=30,V ZPF9=60,Z A D T=90,_A A 7=A D2+DT2=（2473）2+122=12岳，故答案:c.【点评】本题考查了平移性质和平移的运用，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，将 B 和 C 两地变为“一个点二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共 计18分）11.计算：7 7=2.【分析】如果一个正数x 的平方等于。，那么尤是。的算术平方根，
20、由此即可求解.【解答】解：22=4,V 4 2.故答案为：2【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单.1 2.为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动.6 名选手投中篮圈的个数分别为2,3,3,4,3,5,则这组数据的众数是 3 .【分析】根据众数的概念求解即可.【解答】解：因为这组数据中3出现3次，次数最多，所以这组数据的众数是3,故答案为：3.【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.1 3.若 实 数。分 另I J满足/-4 4+3=0,廿一劭+3=0,且 则 工+工 的 值 为 A.a b-3-【分析】由实数。、分别满足d-
21、4+3=0,-4 8+3=0,且。工6,知、。可看作方程7-4 x+3=0的两个不相等的实数根，据此可得+办=4,曲=3,将其代入到原式=史也a b即可得出答案.【解答】解：.实数。、人分另I J满足“2-4。+3=0,层-4 6+3=0,且b可看作方程7-4 x+3=0的两个不相等的实数根，则 a+b=4,ab=3,则原式=三 也=性，ab 3故答案为：A.3【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出4、6可看作方程7-4 x+3=0的两个不相等的实数根及韦达定理.1 4 .中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节.如图
22、所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“白 巾”位于点（-1,-2）,“焉”位于点（2,-2）,那么“兵”在同一坐标系下的坐标是（-【分析】应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案.【解答】解：根据平面内点的平移规律可得，把“帅”向左平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置，（-1 -2,-2+3）,即（-3,1）.故答案为：（-3,1）.【点评】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面内点的坐标平移规律进行求解即可得出答案.1 5 .如图，已知直线），=2 x与双曲线y=K （%为大于零的常数，且x 0）交于点A,若OAX=遥，则氏的值为 2 .yA/o 0【分析】由点A 在
23、直线y=2冗上，且 QA=，m，可求得A 点坐标为(1,2)把已知点的坐标代入解析式可得，k=2.【解答】解：设 A(x,y),:点 A 在直线y=2x上，且。4=遥，A 点坐标为(1,2),点 A 在双曲线、=区(x 0)上，X：2=匕故答案为：2.【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数、反比例函数的图象与性质，是数形结合题.1 6.如图，在边长为6 的等边ABC中，D、石分别为边BC、A C 上的点，AQ 与 3E相交于点P,若 B D=C E=2,则ABP的周长为 42+18小 7 A【分析】根 据 SAS证AB。丝B C E,得出NAPB=120,在 CB
24、上取一点F 使 CF=C E=2,则 8尸=B C-C F=4,证/!尸根据比例关系设 B P=x,贝 lj AP=2x,作B H L A D延长线于H,利用勾股定理列方程求解即可得出B P和A P的长.【解答】解：:ABC是等边三角形，：.AB=BC,N A M=/C=6 0 ,在A3。和8CE中，AB=BC ZA B D=ZCBD=CE:.A A B D 咨 A B C E (SAS),:.N B A D=N C B E,Z A P E=N A B P+N B A D=/A B P+N C B E=Z A B D=60,A ZAPfi=120,在 CB 上取一点 F 使 C F=C E=2
25、,则 B F=B C -CF=4,：.Z C=60 ,*-4 C E F是等边三角形，/.Z BF =1 2 0 ,BP NAP B=NBFE,：.XAP B s XBFE,AP B F _ 4 _9BP EF 2设 2 P=x,则 A P=2 x,作B H L A D延长线于H,；NBP D=NAP E=6 0 ,:.NP BH=30,：.P H=2L,B H=-V，2 2AH=AP+P H=2 x+=刍，2 2在 R t Z 4 B”中，AH2+BH2=AB2,即&）2+（返8 2=6 2,2 2解得x=8行 或-6近（舍去），7 7：.AP=P,BP=J-,7 7A 8 P 的周长为 4
26、 3+”+8尸=6+-应?.=6+1 8 =42+17 7 ,7 7 7 7故答案为：42+18777【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理,解宜角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键.三、解 答 题（本大题共8小题，共计7 2分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）2 11 7.（8分）先化简，再求值：2其中a=3.a+1 a+1【分析】根据同分母分式加法的法则计算即可，然后将的值代入化简后的式子计算即可.【解答】解：二 工a+1 a+1a 2-_ a 1a+1=（a+1）（a T）a+1=-1,当a=3时，原式=3 -1 =2.【点
27、评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法的运算法则和因式分解的方法.1 8.（8分）为庆祝中国共产主义青年团成立1 0 0 周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动.李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、。四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：（1）表中=2 0 ,C等级对应的圆心角度数为 1 0 8 ；（2）若全校共有6 0 0 名学生参加了此次竞赛，成绩4等级的为优秀，则估计该校成绩为4等级的学生共有多少人？（3）若 A等 级 1 5 名学生中有3人满分，设这3名学生分别为力，4，7 3,从其中随机抽取2人
28、参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到八,乃的概率.等级成绩X/分人数A9 0 W x W 1 0 01 5B8090aC70801 8Dx=6,则B/）=2 O D=1 2,然后由勾股定理得8c=6加，即可解决问题.【解答】（1）证明：.四边形A 8C。是矩形，OC=1AC,OD=BD,AC=BD,2 2:.OC=OD,：.N A C D=/BDC,N C D F=NBDC,Z D C F=ZACD,:./CDF=NDCF,:.DF=CF；（2）解：由（1）可知，DF=CF,V ZCDF=6 0Q,.CDF是等边三角形，：.CD=DF=6,：ZCDF=ZBDC=6 0 ,OC=OD
29、,*./XOCD是等边三角形，:.0C=0D=6,二 B Q=2 O =1 2,.四边形A B C。是矩形，ZB CD=90 ,_ _ _ _ _ _ _*B C=VBD2-CD2=V122-62=6M G=B H=3 0 米，D H=B G,设 B C=x 米，在心A B C中，利用锐角三角函数定义求出A8的长，从而求出A H,。”的长，然后在RtZVI O H中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答.【解答】解：（1）,斜坡C F 的坡比=1：3,0G=3 0 米，.坨=工*GC 丁：.G C=3 D G=9 0（米），_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
30、 _ _ _ _ _在 R t O G C 中，丸=仅2%,2=3 0 2+9 0 2 =3 0 百 5 （米）,两位市民甲、乙之间的距离C D为 3 0 J石 米；（2）过点。作垂足为H,贝 I D G=B，=3 0 米，D H=B G,设 3 C=x 米，在 R t Z X A B C 中，ZACB=4 5 ,.AB=BC*tan4 5 x（米），：.AH=AB-B H=（x-3 0）米，在 R t Z 4 ”中，ZADH=3Q ,；.t a n3 0。=A H =x-30=V s _,DH x+90 3；.x=6 0+3 0收，经检验：x=6 0百+9 0是原方程的根，.*.A B=（6
31、 0百+9 0）米，_.此时飞机的高度A8为（6 0愿+9 0）米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.2 1.（8分）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家.小明离家的距离y（km）与他所用的时间x （min）的关系如图所示：（1）小明家离体育场的距离为 2.5 h”，小明跑步的平均速度为 km/min；-6-（2）当 1 5 W x W 4 5 时，请直接写出）,关于x的函数表达式；（3）当 小 明 离 家 时，求
32、他离开家所用的时间.【分析】（1）根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为2.5 h ，小明跑步的平均速度为：路程时间；（2）是分段函数，利用待定系数法可求；（3）小 明 离 家 时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家2 k m,利用路程小速度可得此时间，第二个时间利用BC段解析式可求得.【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为2.5 A ，小明 跑 步 的 平 均 速 度 为 加 ;15 6故答案为：2.5,1；6设B C的解析式为：y=kx+h,则(3 0k+b=2.5,1 4 5 k+b=l,5解得：K 1 5 ,b=4.5的解析式为：y=-“+4.5,1 5
33、.当1 5 W x W 4 5时，y关于x的函数表达式为:y=2.5(1 5 x 3 0)-x+4.5 (3 0*P C P A AC _2，V P C=4,:.P B=2,%=8,：.AB=P A-P B=S-2=6,/.0 C=0 B=0 A=3,U：BC/OD,.P C P B p n 4 2C D OB C D 3:.CD=6,V OC C D,SAOC DVOC，C D=1X 3X 6=9,【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形面积的计算公式是解决问题的关键.23.（1
34、0分）某数学兴趣小组运用 几何画板软件探究y=d （0）型抛物线图象.发现：如 图1所示，该类型图象上任意一点用到定点产（0,A）的距离例凡 始终等于4 a它到定直线/：y=-工 的 距 离M N（该结论不需要证明），他们称：定 点F为图象的焦4 a点，定直线/为图象的准线，y=-2叫做抛物线的准线方程.其中原点。为 股/的中4 a点，F H=2 O F=L.2a例如：抛物线y=1 2,其焦点坐标为尸（0,1）,准线方程为/：y=-l.其中加产=2 2 2MN,FH=2 O H=.【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y=2?的焦点坐标和准线/的方程：（0,1）,8-1 8【技能训练】(2)如
35、图2所示，已知抛物线 =上一点P到准线/的距离为6,求点尸的坐标；8【能力提升】(3)如图3所示，已知过抛物线y=(a 0)的焦点尸的直线依次交抛物线及准线/于点 A、B、C.若 BC=2BF,A F=4,求 a 的值；【拓展升华】(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段A B分为两段A C和C B,使得其中较长一段A C是全线段A B与另一段C B的比例中项，即满足：地=弛=近 二1.后人把近二1这个数称为“黄金分割”数，A B A C 2 2把 点C称为线段A B的黄金分割点.如图4所示，抛物线)，=的焦点F (0,1),准 线/与y轴
36、交于点”(0,-1),E 为线段“尸的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一 点.当 患=加 时，请直接写出【分析】(1)根据焦点的坐标公式和准线/的方程直接得出结论即可；(2)可求出点P的纵坐标，从而确定P点的横坐标；(3)作 AG A.I 于 G,作 B K J J 于 K,由 BK/FH/AG 得 C B K sZ C F H,A C B A T -AC A G,从 而 眼 芈，眼革，进一步求得结果；F H C F A G A C2(4)设点M(?，工 2),根 据 迫_=2列出方程，求得加的值，进一步求得结果.4 M F2【解答】解：V a=2,-L=X,4 8 故答案为：(0,1),
37、y=-X8 8(2)8 准线为：y=-4,点P的纵坐标为：2,.x=4,：.P(4,2)或(-4,2)；(3)如图，JBK/FH/AG,CBKs CFH,CBKs C A G,BK _ BC,BK _ BC,*FH=CF7 AG=AC)里=2BF=2 BF 2BF _ L 薪 T T=3BF+4,2a(4)设点 A/(w,A w2),4里 已=2,MF2m2+(-1-m2+l)2-2,m2=2（舍去），:M（-2,1）,YE为线段H F的黄金分割点，：.EH=Aj F H=代-1 或 EH=2-（V 5-1）=3-V 5当 ：”=遥-1 时,SAHME=/EH,|XH|=y X 2 X （泥-
38、1）=粕-1,当 E H=3-粕 时，S&HME=3-遥,的 面 积 是 遥-1或3 -而.【点评】本题考查了阅读运用新知识能力，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论.24.（12分）如 图1,在平面直角坐标系中，R t a O A B的直角边0 A在y轴的正半轴上，且0 A=6,斜边。3=10,点P为线段A B上一动点.（1）请直接写出点B的坐标；（2）若动点P满足N P O B=45,求此时点P的坐标；(3)如图2,若点E为线段。8的中点，连接P E,以尸E为折痕，在平面内将A P E折叠，点A的对应点为A,当弘 时，求此时点P的坐标；(4)如图
39、3,若下为线段A。上一点，且A F=2,连接F P,将线段F P绕点F顺时针方向旋转60 得线段F G,连接O G,当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段F P扫过的面积.(2)如 图1中，过 点P作尸于点H.设P”=O H=x,构建方程求出x,再利用相似三角形的性质求出PB即可；(3)如图2中，设 公 交O B于点7.利用相似三角形的性质求出E T,再求出P 8,可得结论；(4)如图3中，以A尸为边向右作等边 A F K,连接K G,延长K G交x轴于点R,过点K 作 K J1A F 于点J.KQVOR于 点 Q,过 点O作O W _L K R于W.证明a A F P gK P
40、G(S 4S),推出尸=90 ,推出点G在直线K R上运动，当点G与卬重合时，O G 的值最小.【解答】解：(1)如图 1 中，在 R t Z X A OB 中,NOA 8=9 0 ,0 A=6,0 8=10,A B=VOB2-O A2=V102-62=8：.B(8,6)；(2)如 图1中，过点尸作于点H.,:NPOH=45,：.PH=OH,设 PH=0H=x,；N B=N B,NBHP=/B A O=9G ,P H-_B H _,P BA O B A 0 B x =B H =P B6 V I o：.P H=.,尸8=身，3 3.*.x+A r=10,3 r=30 A,7.8=$义 毁=毁，3
41、 7 7：.FA=AB=PB=S-显=2，7 7：.P(A,6)；7(3)如图2 中，设 以 交OB于点T.图2.NOA8=90,OE=EB,:.EA=EO=EB=5,：.ZE A B=ZB,由翻折的性质可知N E 4 B=N 4,=/B,P1OB,：.ZE7A=NBAO=90,.A TESBAO,A，E =E TOB A O)-5 _ E T 910 6：.ET=3,B T=5-3=2,V c o s B=,P B OB-2 _8 fP B 10：.P B=k,2：.AP=AB=PB=S-反=旦，2 2：.P(11,6)；2(4)如图3 中，以A F为边向右作等边A F K,连接K G,延长
42、KG交 x 轴于点R,过点K 作 KJ_LA/于 点 J.KQ LO R于点Q,过点。作 OWJ_KR于 W.图3 NAFK=NPFG=60,，ZAFP=ZKFG,:FA=FK,FP=FG,:,/AFP义/KFG(SAS),：.ZPAF=ZGKF=90,点G 在直线KR上运动，当点G 与 W重合时，OG 的值最小，；KJ_LOA,KQLOR,：.ZKJO=ZJOQ=/OQK=90,四边形JOQK是矩形，：.OJ=KQf JK=OQ,：KA=KF,KJLAF,：.A J=JF=lf K J=M，KQ=OJ=5,.NKRQ=360-90-90-120=60,:.Q R=K Q=,3 3/.。=我+-5 返一=a 厄,3 3.,.OW=OR sin60=4,；.O G 的最小值为4,：OF=OW=4,ZF(9W=60o,.FOW是等边三角形，A F W=4,即 FG=4,9.线段FP扫 过 的 面 积=如 冗 x_，_=2L.360 3【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.