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1、2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：轨 迹（10题）一.填 空 题（共 10小题）1.（2021随州）如图,在 RtAABC 中,Z C=90,ZABC=30,B C=M，将ABC绕点A 逆时针旋转角a（00 a,AB=5cm,B C=2 c m,点、M,N分别在边AB,C上，C N=l c m.现将四边形8 c N M沿M N折叠，使点8,C分别落在点在，C上.当 点B,恰好落在边C D上时，线段B M的长为 c m.在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB与边C D交于点E,则点E相应运动的路径长为 cm.6.（2021 铁岭四模）如图，在 42C 中，Z A C B=9
2、0Q,8 C=A C=2,将ABC 绕 8 c 的中点。逆时针旋转90,得到 O E F,其中点A的 运 动 路 径 长 度 为 .7.（2021缙云县一模）图1是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2的机械设备，磨盘半径OM=20a，把手M Q=15cm,点O,M,Q成一直线，用长为135cm的连杆将点Q与动力装置P相 连（N P Q M大小可变），点P在轨道A B上滑动并带动磨盘绕点 O 转动，O4J_A8,OA=SQcm.（1）点P与点。之间距离的取值范围是.（2）若磨盘转动500周，则点尸在轨道A 8上滑动的路径长为 m.8.（2021 大庆模拟）如图，已知等腰三角形OAB,0
3、4=0 8=6,OCJ_4B于 点 C,A O 为0 8 边中线，AD,0 C 相交于点P.在NA0B从 9 0 减小到3 0 的过程中，点 P 经过的路径长为.9.（2020广西）如图，在边长为2 的菱形A8C。中，/C=6 0 ,点 E,尸分别是A8,AO上的动点，且 AE=Z）F,D E 与 B F 交于点P.当点E 从点A 运动到点8 时，则点尸的 运 动 路 径 长 为.10.（2019桂林）如图，在矩形ABCO中，A B=g A D=3,点尸是AO边上的一个动点,连接B P,作点4 关于直线8 P 的对称点A i,连接A C,设 4 c 的中点为。，当点P 从点A 出发，沿边4。运
4、动到点。时停止运动，点。的 运 动 路 径 长 为.2022年中考数学复习之小题狂练450题（填空题）：轨 迹（10题）参考答案与试题解析填 空 题（共 10小题）1.（2021 随州）如图,在 RtAABC 中,ZC=90,ZABC=30,BC=M，将ZXABC绕点A逆时针旋转角a（0 a180）得到AB C ,并使点C 落在AB边上，则点8所 经 过 的 路 径 长 为（结果保留n）【考点】含30度角的直角三角形；轨迹；旋转的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.【分析】由直角三角形的性质可求NBAC=60,A B=3,由 旋 转 的 性 质 可 求/BAC=6
5、0,由弧长公式可求解.【解答】解：在 RtZVIBC 中，ZC=90,/ABC=30,B C=,：.ZBAC=60,cos/A8C=坡=2/1,A B 2：.AB=2,.,将ABC绕点A逆时针旋转角a（0 a180）得到AB C ,：.ZBAB=ZBAC=60,.点B所经过的路径长=2X6 X71=2rr,180 3故答案为：2n.3【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，轨迹，弧长公式等知识，求出A8=3和/8 4 8=6 0 是解题的关键.2.（2021宜宾）如图，。0的直径A8=4,P为。上的动点，连结AP,Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点。经过的路径长是oB【考点】轨
6、迹；点与圆的位置关系.【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.【分析】由垂径定理可得OQ_LAP,则点。在以AO为直径的圆上运动，即可求解.【解答】解：如图，连接0Q,：AB=4,：.A0=2,.。为AP的中点，：.OQ1AP,：.ZAQO=90,.点。在以AO为直径的圆上运动，.点。经过的路径长为2m故答案为：2m【点评】本题考查了轨迹，点和圆的位置关系，确定点Q 的运动轨迹是解题的关键.3.（2021 罗湖区）如图，等边4ABC中，4 8=3,点。，点 E 分别是边BC,C 4上的动点，且BD=CE,连接A。、BE交于点F,当点。从点B 运动到点C 时，则点尸的运动路径的长度为 2四 冗.3
7、-EB D C【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轨迹.【专题】推理填空题；动点型；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推理能力.【分析】根据已知条件证明ABO丝B C E,再得/AEB=120,可得点尸的运动轨迹是以点。为圆心，0 4 为半径的弧，1 1 匕 时 NA0B=120。，。4=夷，根据弧长公式即可得点F 的运动路径的长度.【解答】解：:ABC是等边三角形，：.AB=BC=AC,/A 8C=/B A C=/B C E=60,.在48。和BCE 中，AB=BC,OC.V ZDOC=60,OD=OC,/ODC是等边三角形，：.OD=OC
8、=DC=2M cm),：OB上CD,:.BC=BD=M(an),：.OB=y/3BC=3(cm),A8=17cm,：.OA=OB+AB=2Q(cm),.点A在 该 过 程 中 所 经 过 的 路 径 长=迎 上 空=101T (cm),180故答案为107T.【点评】本题考查弧长公式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.5.（2020嘉兴）如图，有一张矩形纸条4BCD,AB=5an,B C=2 c m,点、M,N 分别在边AB,CO上，C N=c m.现将四边形8CNM沿 MN折叠，使点B,C 分别落在点8,C上.当 点 恰 好 落 在
9、边C D上时，线段B M的 长 为 _ 遥 _。相：在点M从点A 运动到点B的过程中，若边M B，与边C D交于点E,则点E相应运动的路径长为（A/S-1）cm.【考点】矩形的性质；轨迹；翻折变换（折叠问题）.【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】第一个问题证明=N B,求出NB即可解决问题.第二个问题，探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可.【解答】解：如 图 1 中，图1四边形ABC。是矩形,J.AB/CD,.*.Z 1 =Z 3,由翻折的性质可知：Z 1 =Z 2,B M=M B ,；./2=/3,：.MB=N B ,：N B，=正 c 2+N C，2=
10、62+2=代(cm),：.B M=N B=加 (cm).如图2中，当点M与A重合时，A E=E N,设,AE=EN=xcm,在 R t Z X A B E 中，则有？=2?+(4 -x)2,解得 x=,2.,.)E=4-2=3 Cem),2 2如图3中，当点M运动到M B _ L A B时，D E 的值最大，DE=5 -1 -2=2 (e ra),如图4中，当点M运动到点夕 落在C D时，。B(即。E )=5-1-、而=(4-遥)(an).点E的运动轨迹E-E ,运动路径=后&+E B=2-3+2-(4-遥)=(旄图2图3图4故答案为【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解
11、题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.6.（2021 铁岭四模）如图，在ABC 中，ZACB=90,B C=A C=2,将ABC 绕 BC 的中点。逆时针旋转90,得到AO E凡 其中点A的 运 动 路 径 长 度 为 返巴.-2 一轨迹；旋转的性质.【专题】推理填空题；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力.【分析】连 接OA,0 D,根据题意可得NAO=90,OC=LBC=1,A C=2,利用勾2股定理可得A 0的长，再根据弧长公式即可求出点A的运动路径A O的长度.【解答】解：如图，连接OA,0D,根据题意可知：ZAOD=90 ,OC=B C=1,AC=2
12、,2A C 2 +0 c 2=.点 A的运动路径A D长度为：9 兀XYi=返 冗._ 180 2故答案为：近 兀.2【点评】本题考查了轨迹，等腰直角三角形，旋转的性质，弧长计算公式，熟练运用旋转的性质是解决本题的关键.7.（2 02 1 缙云县一模）图 1 是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2的机械设备，磨盘半径O M=2 0 a ，把 手 M Q=1 5 c m,点 O,M,。成一直线，用长为1 3 5 c m 的连杆将点。与动力装置P相 连（NPQM大小可变），点尸在轨道48 上滑动并带动磨盘绕点 O 转动，OAAB,OA=SOcm.（1）点 P与点。之间距离的取值范围是 l
13、O O c m W O P W 点0c m .（2）若磨盘转动500周，则点尸在轨道A8 上滑动的路径长为 9 00?.图1 图2【考点】轨迹；旋转的性质.【专题】三角形；推理能力.【分析】（1）根据三角形三边关系可得答案；（2）当 O 尸取最大值和最小值时,分别求出AP的长，即可得出6 0。WAPW1 5 0%从而解决问题.【解答】解：（1）连接O P,由题意 O Q=35c?，B Q 135c/w,l O O c m W O P W 170CM,故答案为：lOOcmWOPW 1 70cm；(2)当。尸=17 0。九时，V O A 1 A P,OA=80cmf-AP=VOP2-OA2=V 1
14、7 02-8 02=1 5 (c m),当 O P=100c，w 时，AP=VOP2-OA2=V 1O O2-8O2=60 (c m),60cm W A P A B.乙480=60,：AiQ=QC,BO=OC,：.0。=2 碗=工 8=也2 2 2.点。的运动轨迹是以。为圆心，。为半径的圆弧，圆心角为120,120兀.点。的运动路径长=-180 3故 答 案 为 返 r.3【点评】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.考点卡片1.全等三角形的判定与性质(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三
15、角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.2 .线段垂直平分线的性质(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线，简 称“中垂线”.(2)性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等.3 .等腰三角形的性质(1)等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等
16、.【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】(3)在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.4 .等边三角形的性质(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于6 0 .等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴
17、；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴.5.等边三角形的判定与性质(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.(2)等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含 有 30角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.(3)等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三
18、条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60的角判定.6.含 30度角的直角三角形(1)含 30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半.(2)此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.(3)注意：该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30 )的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；应用时，要注意找准30的角所对的直角边，点明斜边.7.等腰直角三角形(1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.(2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的
19、性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是45 ,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径凡而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为45 ,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等)；(3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则 外 接 圆 的 半 径/?=扬 1,所以r：R=l：V2+1.8.菱形的性质(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(2)菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，
20、它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.(3)菱形的面积计算利用平行四边形的面积公式.菱形面积=14(。、力是两条对角线的长度)29.矩形的性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1 0.点与圆的位置关系(1)点与圆的位置关系有3种.设。的半径为r,点P到圆心的距离
21、O P=d,则有：点尸在圆外 点P在圆上o d=r 点P在圆内(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.(3)符 号“o”读 作“等价于”，它表示从符号“Q”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端.1 1.正多边形和圆(1)正多边形与圆的关系把一个圆分成”(是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.(2)正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边
22、形的中心角.边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.12.轨迹13.轴对称的性质(1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质得到一下结论：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.14.翻折变换(折叠问题)1、翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换.2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
23、大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时.，我们常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数.15.旋转的性质(1)旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前、后的图形全等.(2)旋转三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度.注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.