《2023年（全国乙卷）理科数学模拟试卷五（学生版+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年（全国乙卷）理科数学模拟试卷五（学生版+解析版）.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、保密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷五(全国乙卷理科)学校:姓名：班级：考号：题号二三总分得分注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.年小八上 一 一、单选题(本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1 .已知集合4 =-1,0,1,3,B =0,2,3,则4UB=
2、()A.0,3 B.-1,1,2 C.0,1,3 D.-1,0,1,2,3 2 .已知复数(l+i)(a +i)为纯虚数，其中a 为实数，i 为虚数单位，贝(la =()A.1 B.-1 C.2 D.-23 .记又为等差数列 即 的前n 项和.若a 4 +a$=2 4,$6 =4 8,则 即 的公差为()A.1 B.2 C.4 D.84 .已知向量五，石满足|苍|=5,但|=6，1)=一 6，贝 k o s(五，五+3=()A.-|i B.C.D.35 35 35 355.已知t a n a =1,则s i n 2 a =()c盘A-?DA6.人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科
3、学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2 0 2 0 年1 0 月1 0 日，我国共进行了六次人口普查，下图是这六次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是()1600 00000014000000001200000000100000000080000000060000000040000000020000000001.6六次人口普杳总人口数(包括大陆港澳台)增幅A.人口数逐次增加，第二次增幅最大B.第六次普查人数最多，第四次增幅最小C.第六次
4、普查人数最多，第三次增幅最大D.人口数逐次增加I,从第二次开始增幅减小7.一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为()8.已 知n是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，则下列判断正确的是()A.若a上B，m u a,n u 0,则直线m与n一定平行B.若租_1%九1夕,1_1/?,则直线?1与71可能相交、平行或异面C.若则直线zn与n一定垂直D.若m u a,n u 则直线m与n一定平行9.已知函数/(x)=/4sin(cox 4-0)(4 0fa)0,0 (p 兀)的周期为TT,将其图象向
5、右平移巳个单位长度后关于y轴对称，现将y=f(%)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x),若g(一学=仇，则=()A.在 B.渔 C.立二 D.2 2 210.材料一：已知三角形三边长分别为a,b,C,则三角形的面积为S=Jp(p a)(p b)(p c),其中p=*。这个公式被称为海伦-秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯(Apollonius)在 圆锥曲线论中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点Fi,尸2的距离的和等于常数(大于|尸1尸2 I)的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知 ABC中，BC=4,AB+AC=6,贝必ABC面积的最 大
6、 值 为()A.V5 B.3 C.2V5 D.61 1.设f(%)是定义在R上的偶函数，对任意的久e R,都有/(2-x)=f(2+x),且当无6 2,0 时，/(x)=2 一6 尸，若在区间(2,6 内关于4的方程/0)四 0(刀+2)=0(0 a 0)的焦点为F,准线为Z,过F 的直线交抛物线于4 B两点，作AM 1/,BN 1Z,垂足分别为M,N,若|M F|=4,|N F|=竽，则|A B|=()A.-B.4 C.5 D.-33评卷人得分二、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分)13.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体
7、现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中,从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4：5：6,则这一行是第 行.第。行第1行第2 行第3 行第4 行第5行第6 行11 2 11 3 3 11 4 6 4 15 10 10 5 16 15 20 15 6 114.已知在球。的球面上，回4BC为等边三角形且其面积为迪，4D，平面4ABC.AD=2,则球。的 表 面 积 为.15.在数列 an 中,ar=1,an+1-an=9-2 n,则数列 册 中最大项的数值为16.若不等式k e-2
8、2xlnx恒成立，则实数A的 取 值 范 围 是.(一)必考题：共 6 0 分1 7.已知正项数列 册 的首项的=1,前项和5“满足2加=信 +高=5 2 2).评卷人得分三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 1 7-2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)(1)求 数 列 的 通 项 公 式;(2)记数列 壬 一 的前n项和为荒，若对任意的n e N*,不等式5 7；0/0)经过点?(一2,1),且C的右顶点到一条渐近线的距离为3(1)求双曲线C的方程;(2)过点P分 别 作 两 条 直 线 与C交于4 B两点(4
9、B两点均不与点P重合)，设直线的斜率分别为的2.若七+七=1，试问直线4B是否经过定点?若经过定点,求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.21.已知函数/(x)=ae*T-Inx+Ina.(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,/(I)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若1,求a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线Q的参数方程为 1孝:为参数)，以坐标原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为pcos。-mpsinO-1=0(
10、m E R).(1)求曲线G的普通方程和直线C2的直角坐标方程；(2)已知P(l,0),曲线Q与直线C2交于M,N两点，若|PM|+|PN t W0求m的值.选修45:不等式选讲23.设函数/(x)=|x+l|-|x-1|的最大值为M.(1)求M的值；(2)设正数a,b,c满足a+b+c=M,求证：a2+加+c?土保密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷五(全国乙卷理科)学校:姓名：班级：考号：题号一二三总分得分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，
11、再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.评卷人得分一、单选题(本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)24.已知集合4=-1,0,1,3,B=0,2,3,则4 U B=()A.0,3 B.-1,1,2 C.0,1,3 D.-1,0,1,2,3【答案】D【解析】解：:4 =-1,04,3,B=0,2,3,A(JB=-1,0,1,2,3,故选：D.利用并集运算求解即可.此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键.25.已知复数(l+i)(a+i)为纯虚数
12、，其中a 为实数，i为虚数单位，贝 b =()A.1 B.1 C.2 D.2【答案】A【解析】解：(1+i)(a+i)=a-l +(a+为纯虚数，仁：；：解得a=L故选：A.根据已知条件，结合纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解.本题考查了纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.2 6.记为等差数列an的前n项和.若a4+=24,S6=4 8,则 一 的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8【答案】c【解析】【分析】本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和公式，属于基础题.利用等差数列通项公式及前几项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能
13、求出 an 的公差.【解答】解：Sn为 等 差 数 列 的 前 n项和，设公差为d,4+=24,S6=48,+3d+a1+4d=24 6 x 5 ,6。1 4-d=48解得药=-2,d=4,.的公差为4.故选C.27.已知向量正方满足|五|=5,|另|=6，a-b=-6，则cosV 五 4+方=()A.-|i B.C.D.35 35 35 35【答案】D【解析】【分析】本题考查向量夹角余弦值的计算，平面向量数量积的计算和向量模的计算，考查计算能力,属于中档题.计算出本0+；|五+同的值,即可得解.【解答】解：|矶=5,|。|=6，a-b=6，立 +1)=|五 产 +Z 了 =52-6=19,a
14、+b=J(a +K)2=J a2+2 a-b +b2=1 2 5-2 x 6+36=7，因此，cos v 五，五 +1=二?一 昌=aa+b 5x7 35故选D.28.己知tana=则sin2a=()A.J B.|C.9 D.25 5 10 10【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数值的计算，考查二倍角公式的运用，为基础题.利用sin2a=2sinacosa=2tani 代入计算可得结论.i+tana【解答】解：v tana=2sinacosa sin2a=2sinacosa=-1sinacosa2sinacosa,x c o s2asin2a+cos2a sin2a+cos2acos 2
15、 a2tana _ 3l+tan2a 5,故选B.2 9.人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法,是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，下图是这六次人口普查六次人口普查总人口数（包括大陆港澳台）160000000014000000001200000000100000000080000000060000000040000000020000000001.61.41.2第一次第二次第三次第四
16、次第五次第六次0.80.60.40.20|人 数 增幅的人数和增幅情况，下列说法正确的是（）A.人口数逐次增加，第二次增幅最大B.第六次普查人数最多，第四次增幅最小C.第六次普查人数最多，第三次增幅最大I）.人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小【答案】C【解析】【分析】本题考查条形统计图、折线图的应用，属于基础题.根据统计图中的信息直接得出结论.【解答】解：由条形图得，第六次普查人数最多，由折线图得第三次增幅最大.故选C.3 0.一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为（）A.看 B.；C.|D【
17、答案】D【解析】【分析】本题考查概率计算，属于基础题.根据概率公式进行计算即可.【解答】解：恰好三次就能确定出两件次品包含前三次检测的均为正品，或者前两次有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品两类情况，共有2禺 禺+A g =1 8种.即所求概率为患=未故答案为D.3 1 .已 知 是 两 条 不 同 的 直 线，a邛是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A.若a 1 /?,m c a,n c /?,则直线?n与n一定平行B.若讥-L a,n _ L 0,a _ L 0,则直线m与n可能相交、平行或异面C.若？nla,n a,则直线m与n一定垂直D.若m u a,n u ,a/?,则
18、直线m与n一定平行【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了空间线线、线面、面面位置关系的判断，属于基础题；结合空间线面的位置关系及平行于垂直的判定与性质定理对选项进行判断.【解答】解：对于4,m,n可能平行、异面、相交，故A错误；对于B,若?n _ L a,n J.a J.夕，则直线m与n不可能平行，故B错误；对于C,根据线面垂直线面平行的性质可知直线一定垂宜，故C正确；对于。，若m u a,n u B，a”,则直线m与n可能平行，也可能异面，故D错误.故选C.3 2.已知函数/(X)=i4 s in(o)x +租)(4 0,3 0,0 w 兀)的周期为乃，将其图象向右平移9个单位长度后关于y
19、轴对称，现将y =/Q)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x),若。(一 夕=&，则/(=()A,在 B,一匹 C.3二 D.上过2 2 2 2【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的图象的变换，函数的解析式的求法以及函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.利用函数的周期求解3,函数的图象的平移求解9,通过伸缩变换求出g(x)的解析式，利用已知条件求解4,然后求解了(今即可.【解答】解:函数/(x)=4 s in(0,3 0,0 w /(：)=V 2 s in(+=-V 2 s in=一争故选：B.3 3.材料一：已知三角形三边长分别
20、为a,b,c,则三角形的面积为S =J p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=”广.这个公式被称为海伦-秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯(A po llo niu s)在 圆锥曲线论中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点&,尸2的距离的和等于常数(大于1&尸2|)的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知 A B C中，B C =4,A B +A C =6,则 A B C面积的最大值为()A.V5 B.3 C.2V5 D.6【答案】c【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.材料一：根据已知利用公式代入然后利用基本不等式求出最值：材料二：可得点4的轨迹为椭圆，当4为椭
21、圆与y轴的交点时，Sg8c取得最大值，求解即可.【解答】解：材料一：根据题意可知=等=5,设AB=c,AC-b,BC=a则S=7p(p-a)(p-b)(p-c)=75(5-6)(5-c)(5-4)=J5(5-6)(5-c)r-(5-b)+(5 c)10 (b 4-c)2 2当且仅当5 b=5-c,即b=c=3时取等号；材料二：在 ABC中，BC=4,AB+AC=6,可将8,C看做固定的两点，不妨设8(2,0),C(2,0),则点4的轨迹为椭圆，可得当点4为椭圆与y轴的交点时,SA48c取得最大值，贝 山。川=V32-22=A/5则SMBC=x 4 x V5=25/5.故选C.3 4.设f(x)
22、是定义在R上的偶函数，对任意的x R,都有f(2 x)=/(2+x),且当工e-2,0时，/(乃=2-(1)若在区间(2,6内关于x的方程/(x)-loga(x+2)=0(0 a 1)恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.(0,B.(0净 C.,D.(1,1)【答案】C【解析】【分析】本题考查方程的根，考查了函数的奇偶性与周期性，属于较难题.由已知中可以得到函数f(x)是一个周期函数，且周期为4,得到在区间(-2,6内函数y=/(x)和g(x)的图象恰有三个交点，利用数形结合即可得到实数a的取值范围.【解答】解：因为/(均是定义在R上的偶函数，所以/(%)=/(-%),又/(2 x
23、)=f(2+x),所以函数/(x)关于直线x=2对称，即f(x)=f(4-x),/(-x)=/(4-x),则函数f(x)的周期为4,且当无 一2,0时，/(%)=2-(|)分别画出丫=/(x)和。(劝1OA|(X+2)(0 a V 1)的图象，如图：若在区间(一2,6 内关于 的方程/(x)-l og a(x +2)=0(0 a 1)恰有三个不同的实数根,则在区间(-2,6 内函数y =/(%)和g(x)的图象恰有三个交点，则需满足 需 /(6),即 0)的焦点为F,准线为，过F的直线交抛物线于4 B两点,作AM 1 1,B N 1 I,垂足分别为M,N,若|M F|=4,|N F|=竽，则|
24、AB|=()A.v B.4 C.5 D.v33【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的性质和抛物线中的弦长问题，属于拔高题.设A,B坐标和直线4 B方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出p,再由力M尸是等边三角形求出n i,最 后 利 用=x1+x2+p=m(y,+y2)+2 p即可求弦长.【解答】解：如图所示，由题意得2：x=-,F g,0),设4(%i，%),B(x2,y2),直线AB：x=my+,则W(-p y2)-(y2=2px,x =m y +*y 2 _ 2 p m y _ p 2 =0,所以乃+y2=2 p m,yry2=-p2因为|M F二0 2 +资=6,NFZ=p2+龙
25、+=y,所以p 4 =(1 6-p 2)(当一 p 2),解得p =2,设抛物线准线，交x 轴于K,则|K F|=p =2,在R t 中，可得c o s/M F K =白=三，4 M F K =?,4 2 3所 以 是 等 边 三 角 形，所 以 小 二 需:2?，月+2=竽，A B =x1+x2+p=+y2)+2 p =y.故选D.评卷人得分二、填空题（本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分）3 6.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第3 行开始，每一行除1 以外，其他每一个数
26、字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4 ：5：6,则这一行是第_ _ _ _ 行.行行行行行行行0123456第第第第第第第1 4 6 4 11 5 10 10 5 16 15 20 15 6 1【答案】9 8【解析】【分析】本题考查了归纳推理及组合数的运算，属中档题.由归纳推理及组合数的运算得：得:制+】:4+2 =生 5：6,由组合数的运算可得关于n,k的方程组，求出n 即可得答案.【解答】解：此数表为杨辉三角，设第n 行有三个相邻的数字之比为4:5:6,则以:3+1：就+2 =4:5:6,勺=2I n k 5由组合数的运算可得：,
27、In-k-1 _ 6I k+2 .5解得,故答案为：98.37.已知4 8,C,D在球。的球面上，回ABC为等边三角形且其面积为 更，4。_ L平面4A B C,A D=2,则球。的 表 面 积 为.【答案】8%【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球问题，考查正弦定理，属于中档题.由正弦定理求出三角形4BC外接圆01的半径，求出。3,从而得到球。的半径，从而得到表面积.【解答】解：由于三角形/BC为等边三角形，设边长为a则立。2=速，4 4所以Q=V 5,三角形ABC外接圆。1的半径为r,所以2r=即 丁 =1,sin60又由4。_ L平面48C,A D=2,将三棱锥。-ABC补形成直三棱柱，
28、可知球心。在上下底面的中心连线的中点处，所以。=1,球。的半径 R=J r2+00y=V2球。的表面积为S=4%R2=8%故答案为8过.38.在数列 a 中，a】=l,an+1-an=9-2 n,则数列 斯 中 最 大 项 的 数 值 为.【答案】17【解析】【分析】本题考查了数列递推式，考查累加法求数列的通项公式，是中档题.利用累加法求出数列的通项公式，将通项公式化简求出最大项的数值即可.【解答】解：因为c1n+i an=9 2 n,所以a.即-i=11 2n,则当n 2 2时，an=(On-On-l)+(On-i-an-2)+5 -%)+%=(11-2n)+(13-2n)+7+1(11-2
29、71+7)5-1)i=-n2+lOn-8=(n 5)2+17,将n =1 带入上式满足的=1,所以斯=-5-5 产+1 7,(n N*),所以数列 即 中最大项为第5 项，且=1 7.故答案为：1 7.3 9.若不等式起 依 2 x ln x 恒成立，则实数k的 取 值 范 围 是.【答案】e【解析】【分析】本题考查对数的运算，等价转化思想，利用导数研究函数的单调性和最值问题，有一定难度.将不等式ke-N Z x ln x 变形为&x eS ln x 2 ei n x 2,构造函数f(t)=t/,将问题转化为/(依)恒 成 立，利用导数求出f(t)单调性，将问题转化为k 等 恒 成 立，令/i
30、(x)=等利用导数求出Mx)m a x，即得结论.【解答】解：(l)kO 时，h收 2 2 x ln x 显然不恒成立(左非正值，右可为正值)，(2 0 时,若0 2 x ln 为恒成立，下面研究 1 的情况(k 0,x 1)：此时，k/2 x l n%,可 变 形 为 质 2x2lnx=x2nx2=l n x2el n%2 即依 l n x2eI n x Z,令f(t)=，因为所以t 0,不等式 2%l n x 恒成立，即为 /(I n/)恒成立，因为广=(1 +t)ef 0,所以函数f(t)在t G(0,+8)上单调递增，所以/(依)f(l n M)恒成立等价于此 I n/恒成立，即k胆
31、恒 成 立，X令人(乃=等，则(X)=写 史，可知h(x)在 Q e)上递增,在(e,+0 0)递减，所以九(X)m a x =h(e)=：，所以ke故答案为k评卷人 得分 三、解答题（共7 0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第1 7 2 1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分4 0.已知正项数列 an的首项由=1,前n项和Sn满足2册=居+2）.（1）求数列 即 的通项公式；（2）记数列 的前n项和为7；,若对任意的n e N*,不等式5 2),f 2 n+l 、所以a =丁工l,n=1(I I)n =1 时,
32、7 =,当n 2 2时，;=i n T =8(-4 44 1 1 1 1 1 1:.Tnn =5 F 8 1(-5 -7 +-7-9 +-2-n-+-1 -2-n-4-3)71 2 8 ,1 2-.一，5 2 n+3 5又因为TI，则由5 a2 a恒成立可得，12W a2 a,解得a 4.即所求实数a的范围是a 4.【解析】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用.（I ）由已知可得，2（S n -S n _ i）=户+向=，结合等差数列的通项公式可求属，进而可求斯;（【）由 募 七=近 餐 =8（高 一 石），利用裂项求
33、和可求K，求出7；的范围可求a的范围.41.为丰富师生的课余文化生活，倡 导“每一天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有10名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学6名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这10名报名的同学中随机选出4名，记其中男同学的人数为X.(1)求选出的4名同学中只有女生的概率；(2)求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】解：(1)设选出的4名同学中只有女生的事件为4,故 P(4)包=_C0 120(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,吵=0
34、)=呆=盍，P(X=1)=等=，P(X=2)=簪4,P(X=3)=等=3,P(X=4)=旨=.J o /J o 4 J o故X的分布列为：故 E(X)=O x 击+1 X 2 +2 X,+3 X 卷+4 x 2 =合X01234P121043537821114【解析】(1)根据已知条件，结合超几何概率公式，即可求解.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解.本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题.42.如图，四棱锥S-4B C D 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的企 倍
35、，P为侧棱SD上的点.(1)求证：AC1SD；(2)若SC J平面PA C,求二面角P a c-s 的大小;(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE平面P4C.若存在求SC:SE的值;若不存在，试说明理由.【答案】解：(1)证明：连结B D,交AC于点。，故。为4c1 和BD的中点,由题意得S4=S C,故S O I AC,在正方形4BCD中，AC 1 BD,由8。n SO=。，BD,SO C 平面S B D,/.AC JL平面SB。，S)u 平面SBC,；.AC LSD.(2)设正方形边长为a,由题意知S。L平面力BCD,则SD=&a，又OD=%，2乙DSO=30,连结O
36、P,由(1)知AC I O S,又4 c l 平面S8D,OP u 平面SBD,AC 1 OP,NPOS是二面角P-A C-S的平面角，由SD 1 平面P4C,OP u 平面P 4 C,知SD 1 OP,A APOS=60,二面角P-A C-S的大小为60。.(3)在棱SC上存在一点E,使8E平面P4C,由(2)得P D=,a,故可在SP上取一点N,使PN=PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E,连结8 N,在BDN中，BN/PO,又由于NEPC,BNCNE=N,BN,NE u平面BEN,PODPC=P,PO,PC u 平面PAC,平面BEN 平面PAC,BE u 平面BEN,BE 平面P
37、AC,由已知可得，A S S D 为正三角形，N为S D 中点，P 为N D 中点,:.SN；NP=2：1,SC：SE=3：2.【解析】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查两线段的比值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.(1)连结B。，交4 c于点0,推导出S O 1 A C,A C 1 B D,从而A C 1 平面S 8 D,由此能证明A C 1SD.(2)设正方形边长为a,由题意知S O J 平 面 A B C D,连结0 P,贝 必 1。_ L OS,4c，平面S B D,从而A C 1 0 P,进而N
38、 P 0 S 是二面角P -4 C -S 的平面角，由此能求出二面角尸-AC-S 的大小.(3)在棱S C 上存在一点E,使8 E 平面P 4 C,PD=-a,在S P 上取一点N,使P N =PD,过4N作P C 的平行线与S C 的交点即为E,连结B N,推导出平面B E N/平面P 4 C,B E/平面P 4 C,由此能求出S C：S E 的值.4 3.已知双曲线C：捻，=1缶 0/0)经过点(一2,1),且C 的右顶点到一条渐近线的距离为3(1)求双曲线C 的方程;(2)过点P 分别作两条直线2。与C 交于4 B 两点(A,B 两点均不与点P 重合)，设直线口，2的斜率分别为七.若七+
39、七=1,试问直线是否经过定点若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.【答案】解：(1)由题得双曲线C 的一条渐近线方程为bx -a y =0,虚轴的一个顶点为(a,0),依 题 意 得 就 会V63即 3 a 2 b2 =2(。2 +块)，又点P(-2,1)在双曲线C 上，所以W-3=1，即a 2 b2 =4 b2-a 2,由 解 得 a?=2,b2=1,所以双曲线C 的方程为9 一f=i.(2)设4(勺,),B(x2,y2),当 斜 率 不 存 在 时：设4&x =n,所以、2 =9 一1,则后1 +矽n=+2 n+2 n+=2 =1=n=-4,即 A B：X=-4；当4 8 斜
40、率存在时，设4B:y=kx+m,联立得(1-2k2)/_ 4mkx-2m2-2 =0,4m/c-2m2-21 l-2fc2 1/l-2k2k+卜=%T _ 1 _ y 2 T _ 2 k x iM+O T+Z im+M im T _1 2 Xj+2 X2+2 X1X2+2(X1+X2)+4化简得小？4-(2 6k)m 4-8k2-2/c-3=0,即(m+3 4k)(m 2/c 1)=0,所以m=4fc-3或m=2/c 4-1,1,分别过(一 4,一3)和(2,1)舍去，综上，4B恒过(一4,一 3).【解析】本题考查双曲线方程与几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆锥曲线中的定点与定值问题，属于
41、较难题.利用点到直线的距离公式得到3a2炉=2 3 +炉)，与=1,联立求解可得双曲线C的方程;(2)当直线4B的斜率不存在时，点4,8 关于x轴对称，得出A8:x=-4；当4 8 斜率存在时，设8:y=kx+m,联立双曲线方程，利用韦达定理，由心+k2=1化简得(zn+3-4/c)(m-2k 1)=0,所以m=4k 3或m=2/c+1,得出定点.4 4.己知函数/(%)=aeT -Inx+Ina.(1)当a=e时，求曲线y=/(%)在点(1 J(l)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若求a 的取值范围.【答案】解：(1),/()=ex-lnx+l,./(%)=ex-,k=/=e 1
42、./(l)=e 4-1,切点坐标为(L l+e),函数f (x)在点(1 J(l)处的切线方程为y-e-l =(e-1)(%一 1),即 y=(e l)x+2,切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(三,0),6 1 所求三角形面积为；x 2 X I三 I=三；Z c 1 c 1(2)解法一：,/(%)=aeT Inx+Ina,f(x)=aexA 0.设 g=/(),则,3)=优1+/0，g(x)在(0,+8)上单调递增，即1(%)在(0,+8)上单调递增，当Q=1时，/(1)=0,当 6(0,1),r 3)0 ,f (%)单调递增，/(x)min=f(l)=1，f(%)1 成立.当a l时，
43、5 1，.-1,(l)=a(-1-l)(a-l)0,使得f(&)=ae3T -g =0,且当X e(0,&)时r(x)0,aexr=X,Ina+x0 1=lnx0,Q因此/(x)min=f (%o)=ae#T-lnx0+Ina=+Ina+X。-1+Ina 2lna-1+2-x0=21na+1 1,当且仅当&=1时，等号成立，/(%)1,/(%)1恒成立；当0 V Q V 1时，/(I)=Q+Ina a 1,/(l)1不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是 1,+8).解法二：/(x)=aexr Inx+Ina=elna+x-1 In%+Ina 1等价于eina+%T+Ina 4-%1 Inx
44、+x=elnx+Inx,令g(x)=ex+%,上述不等式等价于g(lnQ+x-1)g(】nx),gr(x)=ex+1 0,g(%)为单调增函数，,又等价于Ina+x 1 Inx,EPlna Inx-x 4-1,令/i(x)=Inx%4-1,则(%)=-1=?，在(0,1)上”(%)0,似%)单调递增；在(L+8)上”(x)0,即a 1,e Q的取值范围是 1,+8).【解析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.(1)先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面
45、积公式得结果；(2)解法一：利用导数研究，得到函数f(x)的导函数r(x)单调递增，当a =l 时由r(l)=O 得/(x)m in =/(I)=1，符合题意；当a 1 时，可证/(1)0,使得/(%。)=a e o T-=0,得到/(X)m in，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得/(x)1 恒成立；当0 a 2bc,c2+a2 2ca,可得2(a 2 +b2+c2)2ab+2bc+2ca,(当且仅当a =b=c取得等号)，则3(。2 +b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4,可得a 2 +b2+c2宛(当且仅当a =b=c取得等号).【解析】(1)运用绝对值不等式的性质：|a|-网S|a b|,可得f(x)的最大值M；(2)运用三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的传递性，即可得证.本题主要考查绝对值三角不等式的应用，不等式的证明，基本不等式的应用，属丁基础题.