《2023年（全国乙卷）理科数学模拟试卷七（学生版+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年（全国乙卷）理科数学模拟试卷七（学生版+解析版）.pdf（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、保密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷七（全国乙卷理科）学校:姓名：班级：考号：题号一二三总分得分注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.-、单选题（本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）一、单 选 题（本大题共1 2 小题，共 6 0.0 分）1 .已知集合4、集合
2、8 =2,3,a,b,且An B=3,4 ,则下列结论正确的是（）A.有可能a +b =8 B.a+b 8C.a+b 82 .设复数Z i=1 -i,z2=笠，且在复平面上对应的点分别为Z i、Z2,则I Z 1 Z 2 I =（）A.1 B.V 2 C.2 D.2 V 23 .如图，点7 为球0 的直径4 B 上一个动点，A O=1,过7 1 点作与力B 垂直的平面，与球。相交形成圆7.设笠=x,圆锥B T 的体积为叭 对于函数V =/（x）,下列结论正确的是（）ATO-A./（;）=/（;）B.函数/在区间（村）递增C.当x 时，函数/(x)取得最大值D.存在出,使得/(g)扎狗(其中V
3、的为球。的体积)4.在如图所示的算法框图中，如果输入的Q =5,6 =4,c =3,那么输出的值为()5.5 G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =W，o g 2(l+9,它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽皿、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中,叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比l从1000提升至2000,则C 大约增加了()A.10%B.30%C.50%D.100%6.(x +y)2(x 2y)4的展开式中2y 4的系数为()A.88 B.104 C.-40 D.-24A.a b c B.a c b C.b
4、c a D.c a 0,/（x）0恒成立12.已知双曲线提一，=l（a 0,b 0）的右焦点为尸2，点M,N在双曲线的同一条渐近 线 上，。为坐标原点,若直线F2M平行于双曲线的另一条渐近线，且。FzLFzN,F 2 M =F2N,则该双曲线的渐近线方程为（）A 1A.y=1xB.y=xC y=y%D.y=2%13.二、填空题（本 题 共4小题，每 小 题5分，共20分）已知|力|=2,|b|=5,五与b的夹角为|加，令力=3 a +若亍1年,则义的值为14.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到4 B,C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一
5、人，则甲、乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率.15.已知正项数列 即 满足S=+j-）,n&N*,其中为数列a的前n项和，则数列 1Sn+1+S疝 的前120项的和为16.阿基米德多面体，也称为半正多面体，是指至少由两种类型的正多边形为面构成的凸多面体.如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，若得到的几何体是由正三角形与正六边形构成的阿基米德多面体，且该阿基米德多面体的表面积为7百，则该阿基米德多面体外 接 球 的 表 面 积 为 .评卷人 得分 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题
6、，考生根据要求作答.)(-)必考题：共 60分17.4BC的内角4、B、C的对边分别为a、b、c,其面积为S,且b(asi和 4+cs讥C 一b sinB)=3S.(1)求cosB的值;(2)若a、b、c成等比数列，且 ABC的面积是，求ABC的周长.18.如图，在空间几何体4BCDE中，平面4B C 1平面ZCD,DE 1平面ACD,48C与 ADC都是以4 c 为底的等腰三角形，。为4 c 的中点，A C=2,A B=衣.(1)证明：点0 在平面BE。内；(2)已知4/WC=90。，c osZ-A BE=求二面角B AE。的余弦值.1 9 .2 0 2 1年1 0月昆明生物多样性会议期间，
7、一位摄影爱好者来到云南省旅游城市大理,这里有蝴蝶泉公园、洱海生态廊道、苍山地质公园三个著名的旅游景点，若这位摄影爱好者游览这三个景点的概率分别是0.3,0.6,0.7,且是否游览哪个景点互不影响，设f表示这位摄影爱好者离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(1)求f的分布列和数学期望；(2)记“X 0时，不等式2/一口+1 2 0恒成立”为事件M,求事件M发生的概率.2 0 .如图，已知椭圆的标准方程为+A=K a b 0),斜率为k且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于4、B两点.(I )若 就+而与五=(3 k,-1)共线.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上任意一点，且 前
8、=兀 成+而(尢 e R)，当|k|N l时，求证：A2+/z2-(I I)已知椭圆的面积S o =?r a b,当k =l时，a A O B的面积为S,求g的最小值.y已知函数/(工)=cosx+|x2-2,g(x)1x2+sinx eb x.(1)求函数f(x)的最小值；(2)若关于x的不等式/(x)g(x)在x e 0,+8)恒成立，求实数b的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程2 1.在直角坐标系xOy中，曲线C的 参 数 方 程 为 髅 为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐
9、标系，直线，的极坐标方程为/pcos(9+=1.(1)写出曲线C的极坐标方程及直线I的直角坐标方程；(2)设直线I与曲线C的交点分别为4,8,点P(异于A,B两点)在曲线C上运动，求 P4B面积的最大值.选修45:不等式选讲2 2.已知不等式|x-m|-|x+1|0)对 G R恒成立.(1)求实数M的取值范围；(2)记m 的最大值为匕 若a 0,b 0,a+b=k,证明：Va+Vh 2.保密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷七（全国乙卷理科）学校:姓名：班级：考号：题号一二三总分得分注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每
10、小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.评卷人得分一、单选题（本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）2 3.已知集合4、集合B =2,3,a,b ,月 S n B =3,4 ,则下列结论正确的是（）A.有可能a+b=8 B.a+b 彳 8C.a+b 8【答案】B【解析】解：v B=2,3,a,h ,4 n 8 =3,4 ,a,b 中只有一个为4,:a+b R 8.故 选:B.
11、根据条件可知，a,b 中只有一个是4,从而得出a +b大8 正确.本题考查了集合的列举法的定义，交集及其运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题.2 4.设复数为=I T 2=第，且在复平面上对应的点分别为Z i、Z2,则|Z 1Z 2|=()A.1 B.V 2 C.2 D.25/2【答案】D【解析】解：z2=-;-=l +2+2i-t =3 +i,Z2-3 +i (1 i)=2+2i,ZXZ2=|z2 Z j I =V 22+22-2/2故选：D.利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.25.如 图，点
12、7为球0 的直径4 B 上一个动点，A O=1,过T 点作与4 B 垂直的平面，与球。相To-交形成圆一设黑=x,圆锥B T 的体积为V,对 于 函 数=下列结论正确的是()A./(;)=/(;)B.函数/(%)在 区 间 递 增C.当x 时，函数/(X)取得最大值D.存在&,使得“殉)/璘/其中L。为球。的体积)【答案】C【解析】解：因为48=2,所以47=2x.当0 3：时-，0T =O A-A T =1-2 x,所以圆锥底面圆的半径r =一(1 一 2x)2,又BT =A B-A T =2-2 x,所以/()=8 G(二丫产.当时，OT =A T -A O=2 x-l,所以圆锥底面圆的半
13、径r =一(2尤-1下,又BT =A B-A T =2-2 x,所以/(x)=8叶(尸产.综上，/(x)=,0 x 1.4 选项：/(3=1,=p 说法错误.B 选项：A 1)=7 说法错误.C 选项：设g(x)=x(l -x)2,(x)=(l-x)(l-3 x),所以g(x)在(0,单调递增，,1)单调递减，故当x =g 时，函数/(x)取得最大值，说法正确.。选项：=誉，所以/(%)(0,警 ,球。的体积为斗，因 为 誓?，故配不存在,3 o l o l 5 o l 3 5说法错误.故选：C.分O xs5 x l两种情况讨论，求出=立，0 x b,A a=4,a c,Q=3,输出结果为3.
14、故选：A.由算法框图得到这个程序框图是求a,b,c 中的最小值，由此计算即可.本题考查程序框图的应用，弄清楚算法框图求a，b,c 中的最小值是解题的关键，是基础题.27.5 G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =W/owa+Q.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中,叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比，从1 0 0 0 提升至2 0 0 0,贝 IJC 大约增加了（）A.1 0%B.3 0%C.5 0%D.1 0 0%【答案】4【解析】解：将信噪比，从1 0 0 0 提升至2
15、 0 0 0 时，大幺汁苒力II 产。/2(1+2000)-仞。92(1+1。00)=10。22001-2。9210。1 10.967-9.967。人 白 川 J WZO5 2(1+1000)-，。021001 9.967 。、故 选:A.将信噪比(从1 0 0 0 提升至2 0 0 0 时，C 大 约 增 加 了 匕 电%泮 喏 黑 产 U 2,计算即可算出结N W70g2(1+10)果.本题主要考查了函数的实际应用，以及对数的运算性质，是中档题.2 8 .(x +y)2(x-2 y)4 的展开式中2 y 4 的 系 数 为()A.8 8 B,1 0 4 C.-4 0 D.-2 4【答案】D
16、【解析】解:(x +y)2(x -2 y)4 =(x2+2xy+y2)(C -x4 2品-x3y+4 底 x2y2 8 C 1 -xy3+1 6 C 4 -y4).故它的展开式中2 y 4 的系数为1 6 屐-2 x 8 或+4 C：=-2 4,故选：D.把(x +y)2 和(x-2 y)4,按照二项式定理展开，可得/y，的系数.本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题.2 9 .地铁某换乘站设有编号为4 B,C,D,E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1 0 0 0 名乘客所需的时间如下:安全出口编号4 BB,CC,DD,E4 E疏散乘客时间(S)1 2
17、 02 2 01 6 01 4 02 0 0则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是()A.A B.B C.D D.E【答案】C【解析】【分析】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，是基础题.利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1 0 0 0 名乘客所需的时间分析对比，能求出结果.【解答】解:同时开放4、E 两个安全出口，疏散1 0 0 0 名乘客所需的时间为2 0 0 s,同时开放。、E 两个安全出口，疏散1 0 0 0 名乘客所需的时间为1 4 0 s,得到。疏散乘客比4 快；同时开放4、E 两个安全出口，疏散1 0 0 0 名乘客所需的时间为2 0 0 s,同时开放4、B 两个
18、安全出口,疏散1 0 0 0 名乘客所需的时间为1 2 0 s,得到B 疏散乘客比E 快;同时开放4、8 两个安全出口,疏散1 0 0 0 名乘客所需的时间为1 2 0 s,同时开放B、C 两个安全出口,疏散1 0 0 0 名乘客所需的时间为2 2 0 s,得到4 疏散乘客比C 快;同时开放B、C 两个安全出口,疏散1 0 0 0 名乘客所需的时间为2 2 0 s,同时开放C、。两个安全出口,疏散1 0 0 0 名乘客所需的时间为1 6 0 s,得到。疏散乘客比B 快.综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是。.故选：C.3 0.已知x 6（0,，且。=然 芸 1/=嘿4=嗡，则a,b,c 的
19、大小关系式为（）A.a b c B.a c b C.b c a D.c a 0 时，g(x)sinx 0,又2 c o s 2%c osx=c osx(2c osx-1)0,所以2 c o s 2%c osx sinx 0,由得Q V b V c,故选：A.构造函数g(x)=詈，利用导数可得g(x)在区间(0,+8)单调递减，进一步分析可得2 c o s 2 c osx sinx 0,从而可得答案.本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g(x)=燮，利用导数推得g(x)在区间(0,+8)单调递减是关键，考查运算求解能力，属于中档题.3 1.已知4 为直线h3 万一4 丫 +巾=0 上一点，
20、点8(4,0),若|4 B|2 +恒。=1 6(0 为坐标原点)，则实数机的取值范围是()A.4,1 6 B.1 6,4 C.(4,1 6)D.(1 6,4)【答案】B【解析】解：设A(x,y),|4 B|2 +|4。=1 6,8(4,0),A(x -4)2+y2+x2+y2=1 6,即(x 2 产+丫2 =4,；A 在直线，上，二直线l 与圆(x -2)z+y2=4 在公共点，亨 W 2,解得1 6 m 1 解得p =I，所以焦点到准线的距离为p =f.故选：D.由题意可得A/IB P 中，0M为中位线，有4 P 0 M,|0 M|=1,以。M为x 轴，M为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程
21、为y 2 =2 p x,抛物线与底面交点E,&=0M=l,y=|0*=V 3.即可得出答案.本题考查抛物线的方程，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.3 3.关于函数/（x）=a e-c o s x,刀（-兀,兀），下列说法错误的是（）A.当a =-l 时，函数/（x）在（一 兀,兀）上单调递减B.当a =l 时，函数/（%）在（-n,兀）上恰有两个零点C.若函数/（%）在（一 兀,兀）上恰有一个极值，则a =0D.对任意a 0,/（%）0 恒成立【答案】D【解析】解：函数/（x）=a e*-c o s x,x 6 （-z r,TT）,对于4,当a =1 时，函数/（x）=-e*c o s
22、x,x （TT,TT）,/（%）=ex+sinx 0,当 共（一当，9时，gx ,9。）极 小 值=g ）=W 0恒成立，即在x e（一 兀,兀）上,/（x）=aex-c osx。恒成立，即在xe（-7 r,7 r）上，a 2爰 恒 成 立，即a之（詈）机以，设八（x）=詈，xG（-7 r,7 r）,则（x）=r Ef,xe（-7 r,7 r）,令（X）=o,解得：%i=-p x2=r，当x e（一7,一和（手，兀）时，（x）0,当xe（-%?）时，hM,做一兀）=羡 小 八（兀）=靛，e 4返故h（x）在（一 万,几）上的最大值是八（一 百）=三 0，4 e4故Q -V时,在 W (-兀,%
23、)上，/(x)=aex-c osx 0 恒成立，一 e 4即当a 与 时，/(x)0 才恒成立，e-4故对任意a 0,/(x)0 不恒成立，故 D错误.故选；D.根据导数的性质可判断力选项；通过构造新函数，转化为两个函数的交点个数来解决零点问题，可判断B；利用参数分离法构造新函数，根据函数的单调性，极值，最值判断C,D.本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值，最值问题，考查函数的零点，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，考查函数恒成立问题，是难题.3 4.已知双曲线冬-=l(a 0,6 0)的右焦点为尸 2，点M,N 在双曲线的同一条渐近线上，。为坐标原点.若直线F 2 M 平行
24、于双曲线的另一条渐近线，且。尸 2，尸 2 可，尸 2 M l =F2N，则该双曲线的渐近线方程为()A.y =；x B.y =：x C.y=x D.y=2 x4 N 2【答案】B【解析】解：如图，设渐近线y =?x 的倾斜角为9,(0，则4 NM F 2 =29,Z.ONF2=一仇在A M N F 2 中，由 正 弦 定 理 可 得 能=前 为，可得s in e=4,tand =即可得上=三,V 5 2 a 2则该双曲线的渐近线方程为y =|x.故选：B.设渐近线y =x 的倾斜角为。，在A M N F z 中，利用正弦定理正弦定理可得请=靛可得t a n。，即可求得双曲线的渐近线方程.本题
25、考查了双曲线的性质、解三角形，考查了转化思想、运算能力，属于中档题.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分)二、单空题(本大题共4小题，共 2 0.0 分)35.己知|五|=2,|另|=5，五与方的夹角为|兀，令方=3 日一行，q=A a+17 b，若方1 了，则4的值为.【答案】40【解析】解：v|5|=2,b =5,五与石的夹角为|兀，1i=2 x 5 x c o s g =-5.令万=3 五一方，q=A a+1 7 b n+i十3n【答案】10【解析】解：由%=3 即+令n=l,得%=：(%+,v an 0,得%=1；当 2时，5n=1(Sn-Sn_1 4-),即麋Sn-i
26、=I.因此，数列6分是首项为1,公差为1 的等差数列，=n,艮 l Sn=V n.令力=-_ 1 广=V n 4-1 -V n,Y n 5 n+i+Sn V n+l+V n故数列 京 的前1 2 0 项和为：瓦+尻+b120=(V 2 -V l)+(V 3 -V 2)+-+(V 1 2 1-V 1 2 0)=1 0，故答案为：1 0.由题意先应用递推公式得出数列 S 3是等差数列，再求其通项公式，再利用错位相减法求数列的和即可.本题考查数列的递推公式，及裂项相消法求数列的和，考查学生的运算能力，属于难题.3 8.阿基米德多面体，也称为半正多面体，是指至少由两种类型的正多边形为面构成的凸多面体.
27、如图，从正四面体的4 个顶点处截去4 个相同的正四面体，若得到的几何体是由正三角形与正六边形构成的阿基米德多面体，且该阿基米德多面体的表面积为78，则该阿基米德多面体外接球的表面积为【答案】詈【解析】解：设阿基米德多面体的棱长为a，则在a 2 x 4 +44x6xa2=7A/3.解得a=1,4显然正四面体的棱长为3,且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为0.如图：B C =3,则B G =%C =运，BF=：=BG=瓜2 2 3A F=JA B2-BF2=瓜,设。4 =0 B =R,则。尸=4 F-R=-R,在直角三角形O B F 中，OB2=BF2+O F 2,即 辟=3 +(乃/?
28、产，解得R =乎,在直角三角形4 F B 中C0 S 4 B4/A B 3，在三角形 4。中，c os.EA O=COSNBAF =,3由余弦定理得，0E2=A E2+AO2-2XAEX AOCOSEAO=22+(斗-2 x 2 x (羊)xy/6 22-.93 16*.0八 厂E =短4所以这个半正多面体的外接球的半径为名.则该阿基米德多面体外接球的表面积为4 7 T x4UTT(丁)=T故答案为：一.可求得正四面体的棱长为3,且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为0.然后解三角形可得该阿基米德多面体外接球半径，即可求解.本题考查了空间几何体的性质、球的体积和表面积，考查了计算能力，
29、属中档题.(-)必考题：共 6 0 分评卷人得分三、解答题(共7 0 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 1 7 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3 题为选考题，考生根据要求作答.)3 9.4 8。的内角4、8、。的对边分别为。、从的其面积为S,且b(a s 讥4 +c s mC 一加讥B)=3 s.(1)求c o s B的值；(2)若a、b、c 成等比数列，且 A BC的面积是?，求A A B C 的周长.【答案】解：(1)因为b(a s i n4 +c s i nC-b s i nB)=3 S =3；a c s i nB,所以“a?+c2 b2)=3
30、x ac b,即a 2 +c 2 -块=节,由余弦定理得c o s B=谓+c j z=3.2ac 4(2)由题意得/=QC,S=-ac sinB=-x a c =a c =,2 2 4 8 2所以a c =4,b =2,又Q2-I-c2-b2=警=6,所以 a?+/=1 0,所以(a +c)?2ac=1 0,所以Q+c =3 V 2,A B C 的周长Q+b +c =3 V 2 +4.【解析】(1)由已知结合正弦定理及三角形面积公式先进行化简，然后结合余弦定理可求c o s B；(2)由等比中项性质及三角形面积公式可求QC,b,然后求出Q+C,进而可求.本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角
31、形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.4 0.如图，在空间几何体4 B C D E 中，平面4 B C 1 平面4 C0,DE L -A CD,A BC与A 4 O C都是以A C 为底的等腰三角形，。为4 c 的中点，A C=2,A B=回(1)证明：点。在平面B E D 内；(2)已知N A CC=90。，COS/.A BE=求二面角B A E -。的余弦值.【答案】解：证 明：连接O B,O D,则。B 1 A C,平面4 8 c L 平面A C。，平面A BC f l 平面4 CD =A C,O BJ 平面A C。，DE 1 平面 A C。，；.DE/OB,：.O,B,E,。四点
32、共面，.点。在平面B E D 内.(2)连接O D,以。为原点，。4 为x 轴，O B 为y 轴，。为z 轴，建立空间直角坐标系,则4(1,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1),设E(0,t,l),(0 t 2),则瓦5 =(1,-2,0)，A D=(-1,0,1)-丽=(0/-2,1),v A DC=90 ,c os A BE=-.5|cos|=|盟”.|=|42 t=|=11 1 BA-B 1 1 V5-V(t-2)2+l2 1 5解得 =1 或t =3(舍)，泰=(0,-1,1)，DE=(0,1,0)，设 平 面 的 法 向 量 记=(xOl y0,ZQ),则m.B A =X o
33、-2 yo=0)取&=1，得沅,jn BE=-y0 4-z0=0设平面A E D 的法向量元=(a,b,c),则取 a=L 得如),一 一 一、m n 3 V3cos =-7 _=,|m|n|V6-V2 2 二面角B-AE-。的平面角为钝角,二面角B-AE-。的余弦值为一把.2【解析】连接0 8,0D,贝 I J 0 B 1 A C,从而O B 1平 面 。，再由D E 1 平面A C D,得。E 0 8,由此能证明点。在平面B E D 内.(2)连接。，以。为原点，。4 为x 轴，。8 为y 轴，。为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角8-AE-。的余弦值.本题考查点在平面内的
34、证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题.4 1.20 21年10 月昆明生物多样性会议期间，一位摄影爱好者来到云南省旅游城市大理，这里有蝴蝶泉公园、洱海生态廊道、苍山地质公园三个著名的旅游景点，若这位摄影爱好者游览这三个景点的概率分别是0.3,0.6,0.7,且是否游览哪个景点互不影响，设f 表示这位摄影爱好者离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(1)求f 的分布列和数学期望；(2)记 0 时，不等式2-a+1 0 恒成立”为事件M,求事件M发生的概率.【答案】解：(
35、1)分别记“摄影爱好者游览蝴蝶泉公园”，“摄影爱好者游览洱海生态廓道”，“摄影爱好者游览苍山地质公园”为事件4,B,C,由题意可知，4,B,C 相互独立，则P(4)=0.3,P(B)=0.6,P=0.7,摄影爱好者游览的景点数的可能取值为0,1,2,3,相应地，没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0,故f 的可能取值为1,3,P g =3)=P(A)P(B)P(C)+P(A BC)=P(4)P(B)P(C)+P(4)P(B)P(C)=0.3 x 0.6 x0.7 +0.7 X 0.4 X 0.3 =0.21,P(f =1)=1 =3)=0.7 9,所以f 的分布列为：故 E(f)=1 x
36、0.7 9 +3 x 0.21=1.4 2；613P0.7 90.21(2)由题意，f 的可能取值为1,3,因为x0时，不等式2 M 一口+1 岂o 恒成立,则f 。恒成立，又 2x 4-i X2 J 2x-i=2V 2,当且仅当2x =2即 =立时取等号，4 2所以f 2V 2,当6 =1时，不等式恒成立，符合题意；当$=3 时，不等式不恒成立，不符合题意.综上所述，P(M)=P(f =1)=0.7 9.【解析】(1)利用相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式求解概率，得到分布列，由数学期望的计算公式求解即可；(2)利用参变量分离，将不等式转化为f 0 恒成立，利用基本不等式求解最值
37、，求出f 的取值范围，确定f 的值，求解概率即可.本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率公式的理解与应用，不等式恒成立问题的求解，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.4 2.如图，已知椭圆的标准方程为W +=l(a b 0),斜率为k 且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于4、B 两点.(I )若 函+而与日=(3 k,-1)共线.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上任意一点，且 赤=4瓦？+赤(尢e R)，当忙|2 1 时，求证：A2+.2、3(I I)已知椭圆的面积S o =ira b,当k =l时，4。8
38、的面积为5,求知的最小值.【答案】(1)(1)解：设8(X2,丫 2)，直线方程为y=k(x-c),联立直线与椭圆方程得(k 2 a 2 +b2)x2-2k2 02c x+(k 2 c 2 -b2)a2=0,2 k 2 a 2 c (/c2c2-b2)a2X l+2=应 百 京 X】Xz=Q/+京，yi+y2=k(/+x2)-2kc=言 等，OX+OB=(x1+x2,y1+y2)=(,;),v OA+而与五=(3k,1)共线，2k2a2c6k2b2ck2a2+b2e2k2a2+b2V 6=.3，得。2 =3炉,2-ne3(2)证明：设P(xo，y(),由 而=2 成+而，得注：敬：匿 代 入
39、椭 圆 方 程 得3b2(仪+2)b2匕=1,整理得 (好+3无)+/(遥+3道)+2%(31必+3%力)=(*),由(1)得，好+3*=3炉 ，芯+3羽=3,x62+3yly2 =3(2k2b2-b2)3k2+i+3-k2c2-3k2b2 k2-l3k2+1 3k2+l，将代入(*)得下+公+2加.k2o-l=1.,3k2+i令t1-1 _ 1 3 _ r n lx3k2+1-3 3k2+i，3)则 1=於+/+2川 t A2+/z2+(A2+/z2)t ;.(II)解：。到直线4B的距离d=卷，。1 I 4 ri J ab Ja2+b2-c2S=-AB d=-；，21 1 a2+b2SQ
40、n(a2+b2)I(2a2-c2)2 I(2-e2)2S y/a2+b2 c2 c yj 2(a2 c2)c2 y 2(l e2)e2 t =2-e2 e(l,2),1G(1,2),原式=n*4(1)(2 7 =5 转)z+；-n,即年的最小值为2兀.【解析】(I)设出直线方程，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，利用向量共线化简可得a2=3b2,(1)利用所得的关系可求出离心率；(2)设P(&,y),根据向量关系用4 B坐标表示，代入椭圆方程，化简可得;12+d +224 与L=I,令换元后,利用均值不等式及函数单调性求解即可.3k2+l 3k2+1(11)利用5=与 4 8|&求出5,直接计
41、算费，利用t=2-e2 e(l,2)换元后配方求最值即可.本题主要考查椭圆离心率的求解，椭圆与向量的综合问题，椭圆中的最值问题等知识，属于难题.4 3.已知函数f (%)=COST+2,(%)=1x2 4-sinx eb x.(1)求函数/(%)的最小值；(2)若关于x的不等式fQ)g(x)在x G 0,+8)恒成立，求实数b的取值范围.【答案】解：(l)/(x)=cosx+1%2 2=x sinx.令h(%)=x s in x,则h(x)=1 cosx.h!(x)0在R上恒成立，九(%)在R上单调递增.又 九(0)=0,当 0时，h(x)0时，h(x)0.即(0)=0,当 V 0 时，f (
42、%)0 时，f(x)0,/(%)在(-8,0 上单调递减，在 0,+8)上单调递增，因 此,/(%)的最小值为/(0)=-1;(2)不等式/(%)g(x),即cosx 4-x2-2 x2 4-sinx-eb xf等价于於 一sinx+cosx 2 0.设P(X)=ebx-1nx+c o s x 2,则由题意得p(x)0在x 6 0,+8)内恒成立.p(%)=bebx cosx sinxt p(0)=6 1.当b v l 时，p(0)0,使当E(O,%o)时，p(x)0,从而p(x)在 O,%o 上单调递减，又 ,p(0)=0,.,.当 x E(O,%o)时，p(x)1 时，对于任意的 0,hx
43、 X,从而 ex,这时p(%)ex sinx+cosx 2.设q(x)=ex-sinx+cosx 2,则q(x)=ex cosx sinx,设(p(x)=ex x 1,则0(x)=ex 1.当x NO时，d(x)N 0,，9(x)在 0,+8)上单调递增.又 ,W(0)=0,.当 N 0时，0,BPex x 4-1.因 此,q(%)1-cosx+x-sinx 0,q(x)在 0,+8)上单调递增.又 ,q(0)=0,当 x Z 0时，q(x)0,从而p(x)2 0.综上，实数b的取值范围为 1,+8).【解析】(1)求出原函数的导函数，利用二次求导可得原函数的单调区间，进一步求得函数/(%)的
44、最小值；(2)不等式/(X)g(%)等 价 于 sinx+cosx 2 0.设p(x)=ebx sinx+cosx 2,由题意得p(x)。在 6 0,+8)内恒成立.求其导函数，可得p(0)=b-1.分析可知，当b 0,当 W (0/0)时，p(x)。.即可求得实数b的取值范围.本题考查利用导数求最值，考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题.(二)选考题:共1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程4 4 .在直角坐标系xO y 中，曲线C 的参数方程为 J二:需 0为参数)
45、，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为e p c o s(+力=1.(1)写出曲线C 的极坐标方程及直线I 的直角坐标方程；(2)设直线1 与曲线C 的交点分别为A,B,点P(异于A,B 两点)在曲线C 上运动，求A P A B面积的最大值.【答案】解：(1)曲线C 的 参 数 方 程 为 篙。为参数)，两式平方并相加得标+/=1,即 p 2 =1,p =1.直线，的极坐标方程为图c o s(0 +9=1,即 何(c o s。一号sin。)=1,(X=pc osdy=psind 转换为直角坐标方程为-y -1 =0.x2+y2=p2(2)圆 2 +*=1 的圆
46、心为(0,0),半径为r =1,圆心到直线x-y-l=0 的距离为d =/r，直线和圆相交.所以|倜=2x，r 2-d 2 =2 x J l-|=V 2.根据圆的几何性质可知P 到直线的距离的最大值为d +r =1=竽.所以三角形P4 8 面积的最大值为三x&x(土 鸟=出 它=电【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用极径的应用，点到直线的距离和三角形的面积公式的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.选修4 5:不等
47、式选讲4 5 .已知不等式|x-m|-|x+1|0)对%e R恒成立.(1)求实数m的取值范围；(2)记?n 的最大值为k,若a 0,b 0,a+b =k,证明：y/a+y/b 2.m 4-l,x m m 1 /(x)m+1,要使不等式|x-m|-|x+1|0)对x e R恒成立，只需|m+l|4 3,解得-4 W mW 2,又：m 0,0 m 2,则实数m的取值范围为(0,2；(2)证明：由(1)可知ni的最大值为2,即k=2,a+b=2,比+花 J(y/a)2+(Vb)2 _ la+b 得VH+V F W 2,当且仅当a=b=l 时取等号.【解析】(1)令/(X)=|X-M|-|x+l|，写出分段函数解析式，可得其值域，把问题转化为|m+l|3,求解绝对值的不等式得答案；(2)由(1)可得k值，得到a+b=2,再由基本不等式证明迎+VF W 2.本题考查分段函数的应用，考查不等式的证明，考查推理论证能力及运算求解能力，是中档题.