《矩形、菱形、正方形（期末必刷压轴题）（江苏）-2020-2021学年八年级数学下学期期末挑战满分冲刺卷（苏科版）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩形、菱形、正方形（期末必刷压轴题）（江苏）-2020-2021学年八年级数学下学期期末挑战满分冲刺卷（苏科版）（解析版）.pdf（77页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题08矩形、菱形、正方形（期末必刷压轴题）一、解答题1.（2 0 2 0 吴江经济开发区实验初级中学八年级月考）在四边形ABC。中，NA=/B =NC=NO=90，AB=CD=10,=8 .（1）P为 边 上 一 点，如图，将AABP沿直线A尸翻折至 A E P 的位置（点 B落在点E处）当点E落 在 边 上 时，利用尺规作图，作出满足条件的图形，并直接写出此时。E=；若点P为8C边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；（2）点 Q为射线QC上的一个动点，将 A O Q 沿 AQ翻折，点 D恰好落在直线BQ上的点以处，求 BQ的长.【答案】（1）6,画图见详解；E C P
2、A,理由见详解；（2）B Q=1 0【解析】（1）如图1 中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于 E,作N EAB的平分线交BC于点P,根据勾股定理可得D E；如图2中，结论：E C P A.只要证明P A J _ B E,E C,B E 即可解决问题；（2）分两种情形：如图3T中，当点Q在线段CD上时，如图3-2 中，当点Q在线段DC的延长线上时,分别求解即可解决问题.解：（1）如图1 中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于 E,作N EAB的平分线交B C 于点P.图1在 RS ADE 中，VZD=90,AE=AB=10,AD=8,DE=VAE2-AD2=V102-82=6,故答案为6.如图2
3、 中，结论：EC/7PA.理由：由翻折不变性可知：AE=AB,PE=PB,，PA垂直平分线段BE,即 PA_LBE,：PB=PC=PE,ZBEC=90,A EC BE,ECPA；(2)如图3 7 中，当点Q 在线段CD上时，设 DQ=QD，=x.oDB图3-1在 RSADB 中，VAD=AD=8,AB=10,ZAD,B=90,BDyAB2-A D 2=6-在 RtA BQC 中，VCQ2+BC2=BQ2,(10-x)2+82=(x+6)2,Ax=4,.QDf=4,J BQ=QD4 BD 4+6=10；如图3-2 中，当点Q 在线段DC的延长线上时,；DQAB,.,.ZDQA=ZQAB,VZDQ
4、A=ZAQB,A ZQAB=ZAQB,；.BQ=AB=10,综上所述，BQ=10.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用未知数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.2.（2021 江苏无锡市八年级期末）如图，在长方形A8C。中，已知AB=20,AD=12,动点尸从点力出发，以每秒2 个单位的速度沿线段OC向终点C 运动，运动时间为/秒，连接A P,设点。关于AP的对称点为点E.(1)如图，射线PE恰好经过点B,试求此时t 的值.(2)当射线PE与边A 8交于点Q 时，请直接写出AQ长的取值范围：；是否存在这样的
5、/的值，使得QE=QB?若存在，请求出所有符合题意的f 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)0；(2)1 2*/2 0；存在这样的/值，使得QE=QB,f 的值为3.6或 10.【解析】(1)先证明/APD=NEPA=/PAB,得 AB=PB=20,根据勾股定理得PC=I6,由PD=4=2t,可得结论；(2)分别计算两个边界点：由(1)知：t=2时，AQ=20,当AQ最小时，PQ 1A B,此时AQ=12,可得结论;分两种情况：点E 在矩形的内部和外部，根据等量关系列方程可解答.(1)如图1,JAB/CD,：.ZDPA=ZPAB,由轴对称得：ZDPA=ZEPA,：.ZEPA=ZFAB,B
6、P=AB=20,在 RSPC8 中，由勾股定理得：PC=yjpB2-B C2=/202-1 22=16：.PD=4=23*2；(2)由(1)可知：当仁2 时，。与 5 重合，此时AQ=45=20,如图2,当PQ_L4?时，E 与 Q 重合，此时AQ=AQ=12,：.2AQ20f故答案为：12A0理由见详解；(3)4；【解析】(1)根据SAS证明 BAD学ZXCAE,根据全等三角形的性质解答；(2)证明 BAD公ZXCAE,得到BD=CE,根据勾股定理计算即可；(3)如图5,做辅助线，构建全等三角形证明 BADt ZCAG,得到BD=CG=6,证明 CDG是直角三角形，根据勾股定理计算即可；(1
7、)在 RtA ABC中，AB=AC,ZB=ZACB=45,.,ZBAC=ZDAE=90,ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即 NBAD=/CAE,在4 BAD和4 CAE中，A B =A C2,理由如下：如图4中，连接EC,ZBAC=ZDAE=90,ZBAD=ZCAE,在 BADIJA ACE 中，AB=AC2+C 2；(3)如图5,将 AD绕点A 逆时针旋转90。至 A G,连接CG、DG,则 DAG是等腰直角三角形，ZADG=45,/ZADC=45,ZGDC=90,同理得：ABAD会ACAG,/.BD=CG=6,在 RSCGD 中，VCD=2,:.DG=dcG,-CD。=/62-22
8、=J36-4=4后 ，DAG是等腰直角三角形，AD=AG=4.GA【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.4.（2020江苏南京市八年级期末）问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180。，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点.如图1,四边形ABC。中，8 c是一条对角线，A B =A C，D B =D C，则点A与点。关于5 c互为顶针点；若再满足N A+/=180。，则点A与点。关于B C互为勾股顶针点.初步思考
9、如图 2,在中，A B =A C，Z A B C =3O,D、为 AABC 外两点，E B =E C，NE8C=45,OBC为等边三角形.点A与点 关于6c 互为顶针点；点D与点 关 于 互 为 勾 股 顶 针 点，并说明理由.实践操作（2）在长方形A3CD中，A B =S,AD=1 0.如图3,点E在 A8 边上，点/在 A 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、F，使得点 与点C关于6E互为勾股顶针点.（不写作法，保留作图痕迹）思维探究如图4,点E是直线A3上的动点，点P是平面内一点，点E与点。关于6P互为勾股顶针点，直线CP与直线AO交 于 点 在 点 E运动过程中，线段BE与线段AE的长
10、度是否会相等？若相等，请直接写出AE的长；若不相等，请说明理由.4【答案】（1）。、E，A，理由见解析；（2）作图见解析；BE与AE可能相等，AE的长度分别为3 6 一,2 或 1 8.7【解析】（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断.（2）以C为圆心，CB为半径画弧交AD于 F,连接C F,作N B C F 的角平分线交AB于 E,点E,点F即为所求.分四种情形：如图中，当8 E =A 6时；如图中，当8 E =A 尸时.；如图中，当6 E =8 C=AE时，此时点F与 D重合；如图中，当=A 尸时，点 F与点D重合，分别求解即可解决问题.解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定
11、义可知：点A与点D和 E关于B C 互为顶针点；点D与点A关于BC互为勾股顶针点，理由：如图2中，VABDC是等边三角形，Z D=6 0,V A B =A C,Z A B C=3 0,.N A B C=/A C B =3 0。，A Z B A C =1 2 0,.,.Z A+Z D=1 80,点 D与点A关于BC互为勾股顶针点，故答案为：D和 E,A.（2）如图，点、F即为所求（本质就是点B关于CE的对称点为尸，相当于折叠）.EBDBE与A厂可能相等，情况如下:情况一：如图,由上一问易知，BE=EP,BC=PC,当 应：=A产时，设AE=x,连接 族，,:BE=EP=AF,EF=EF,NEAF
12、=NFPE=90,?.AAFAFP(/L),AE=PF=x,在 RtACDF 中，。尸=AD AR=10(8 x)=2+x,CF=PCPF=10 x,82+(X+2)2=(10-X)2,4 4解得x=,即AE 一 ；3 3情况二：如图图当=A/时，设A E =x,同法可得尸尸=A E =x,则B E =A F=8 x,FP =F G+G P E G+A G =AE=x,则。9=1 8 x,C F =x+1 0,在 R tA C D尸中,则有82+(18-X)2=(X+10)2,解得：x=；7情况三：如图，当=A/时，此时点。与尸重合，可得A E=B E-A B =1 0 8 =2；情况四：如图
13、，图 4当8 E =C 3 =A尸时,此时点。与F重合，可得A E =A B +8 E =A B +B C =1 8.4 36综上所述，鹿 与A尸可能相等，AE的长度分别为一，一，2或1 8.3 7【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.5.（2 0 1 8江苏淮安市）在四边形人8 口中，/A=/B=/C=/r =9 0 ，A B =C D =1 0,3 C =A D =8.（1）P为边B C上一点，将AABP沿直线A P翻折至AAEP的位置（点B落在点E处）如
14、 图1,当点E落在C D边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹,用2 B铅笔加粗加黑）.并直接写出此时D E =；如 图2,若点P为B C边的中点，连接C E,则C E与A P有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线D C上的一个动点,将AA。沿A Q翻折，点D恰好落在直线B Q上的点。处,则D Q =【答案】（1）6；结论：EC/PA；（2）为4和1 6.【解析】（1）如 图1中，以A为圆心A B为半径画弧交C D于E,作/EAB的平分线交B C于点P,点P即为所求理由勾股定理可得D E.如 图2中，结论：E C/P A只要证明P A _ L B E，E
15、C _ L B E即可解决问题.（2）分两种情形分别求解即可解决问题.解：（1）如 图1中，以A为圆心A B为半径画弧交C D于E,作的平分线交B C于点P,点P即为所求.E图1在 R/AADE 中，/=90,，AE=AB=10,AD-8,DE=A/A2-AZ)2=V102-82=6,故答案为6.如 图2中，结论：EC/PA.图2理由：由翻折不变性可知：AE=AB，PE=PB，PA垂直平分线段BE,即 B4J_8E，;PB=PC=PE,NBEC=9 0，:.ECBE,EC II PA.（2）如 图3 1中，当点Q在线段CD上时，设DQ=QD=x.DAO图3-1B在RSADB中，.AD=AD=8
16、，AB=10，NADB=90，BD=VAB2-AD2=6，在 Rt ABQC 中，CQ?+BC2=BQ2，(10-x)2+82=(x+6)2,x=4，DQ=4.如 图32中，当点Q在线段DC的延长线上时,DQ/AB,Q A =/Q A B,Q A =/A Q B ,/Q A B =/A Q B ,AB=BQ=10,在 R3BCQ 中，CQ=JBQ2 _ Be?=6，DQ=DC+CQ=16,综上所述，满足条件的DQ的值为4或16.故答案为4和16.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属
17、于中考压轴题.6.(2020滁州市新城实验学校八年级期末)己知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AEVAD),连 接DE、BF,P是DE的中点，连 接A P.将A AEF绕 点A逆时针旋转.(1)如图,当4 AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为,数量关系为.(2)当AAEF绕 点A逆时针旋转到如图所示位置时，证明：第(1)问中的结论仍然成立.(3)若AB=3,AE=1,则线段AP的取值范围为.【答案】（1）AP1BF,AP=-B F2(2)见解析；(3)1AP2【解析】(1)根 据 直 角 三 角 形 斜 边 中 线 定 理 可 得=
18、，即A APD为等腰三角形推出/D A P=/E D A,可2证4 AEDgAABF可得/ABF=/EDA=NDAP且BF=ED由三角形内角和可得/AOF=90即A P1BF由全等可得 AP=LED=LBF 即=2 2 2(2)延 长AP至Q点使得DQAE,PA延长线交于G点，利 用P是DE中点，构造 AEP畛ZPDQ可得ZEAP=ZPQD,DQ=AE=FA 可得NQDA=NFAB 可证 FAB 4QbA 得至lNAFB=NPQD=NEAP,AQ=FB 由三角形内角和可得/FAG=90。得出AG1FB即 APBF由全等可得AP=g AQ=g(3)由于即求BF的取值范围，当 BF最小时，即F 在
19、 AB上，此时BF=2,AP=12当BF最大时，即F 在 BA延长线上，此时BF=4,AP=2可得1W APW 2(1)根据直角三角形斜边中线定理有AP是 AED中线可得AP=1 E )=P 0 ,即AAPD为等腰三角形.2.ZDAP=ZEDA又 AE=AF,NBAF=NDAE=90,AB=AD.,.AEDAABF/.ZABF=ZEDA=ZDAP 且 BF=ED设 AP与 BF相交于点OZABF+ZAFB=90=ZDAP+ZAFBNAOF=90即 APBFA AP=-ED=-BF 即=2 2 2故答案为APLBF,AP-BF2(2)EF延长AP至Q点使得DQAE,PA延长线交于G点A ZEAP
20、=ZPQD,ZAEP=ZQDP P是DE中点，AEP=DPAAAEPAPDQ则NEAP二NPQD,DQ=AE=FAZQDA=180-(ZPAD+ZPQD)=180-ZEAD而NFAB=1800-NEAD,则NQDA=NFABVAF=DQ,ZQDA=ZFAB,AB=AD.,.FABAQDAZAFB=ZPQD=ZEAP,AQ=FB而 NEAP+NFAG=90。ZAFB+ZFAG=90ZFAG=90/.AG1FB即 APBF：.AP=BF2(3)V A P-B F2，即求BF的取值范围BF最小时，即F在A B上，此时BF=2,AP=1BF最大时，即F在B A延长线上，此时BF=4,AP=2.1AP2
21、【点睛】掌握三角形全等以及直角三角形斜边上的中线，灵活运用各种角关系是解题的关键.7.(2020.江苏徐州市.八年级期末)在数学的学习中，有很多典型的基本图形.(1)如图，A A b C中，ZBAC=9O,AB=AC，直线/经过点A，8D_L直线/，CE_L直线/，垂足分别为。、E.试说明AAB。物AC4E；(2)如图，ABC 中，ZBAC=90,AB=AC，点。、A、尸在同一条直线上，B D LD F，AD=3,BD=4.则菱形AEFC面积为.(3)如图，分 别 以 的 直 角 边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形4 8 F G,连接EG，AH是AABC的高，延长A交EG于点/，若AB=
22、6,AC=8,求加的长度.【答案】(1)见解析；(2)2 4；(3)4=5.【解析】(1)证/8M=NCEA=90,ZCAE=ZABD,由 4451证明 48。注C4E 即可；(2)连接C E,交A尸于。，由菱形的性质得NCQA=NAOB=90。，同(1得 AB。名C4。(A A S),得。C=AD=3,OA=BD=4,由三角形面积公式求出&AOC=6,即可得出答案；(3)过 E 作 的延长线于 M,过点 G 作 G M L/于 M 同(1)得 4 C 会/XEAM(A4S),ABHGAN(AAS),得 EM=AH=GN,证 EM/注ZXGM(A A S),得 E/=G/,证N EAG=90,
23、由勾股定理求出 EG=10,再由直角三角形的性质即可得出答案.(1)证明：直线/,C E _ L 直线/,：.Z B D A=Z C E A =9 0 ,：N B A C=90,?.Z BAD+Z C AE=9 0 ：Z BAD+Z ABD=W ,：.Z C A E=Z A B D在44 8)和4 C A E 中，NABD=NCAE NBDA=NCEA,ABAC：./ABD/C AE(A 4 S)；(2)解：连接C E,交A F 于 O,如图所示：.四边形A E F C 是菱形，A C EY AF,：.Z C O A =Z ADB=9 0,同(1)得：A B Q 丝C A O (A A S),
24、；.O C=A O =3,O A=BD=4,*SA AOC=-0 A90 C=-x 4 x 3=6,2 2 *5 差 形 AEFC=4S AOC=4X6=24,故答案为：2 4；(3)解：过 E作 的 延 长 线 于 M,过点G作 G N _ L H/于N,如图所示:：.Z EM I=Z G N I=9 0a,/四边形A C D E和四边形A B F G都是正方形，：.Z C AE=Z BAG=9 0 ,A C=A E=8,A 8=A G=6,同(1)得：A A C H 名 E A M (A A S),A B H 丝 G A N (A 4 S),:.EM=AH=G N,在4加/和 4 G N/
25、中,NE1M=ZGIH NEMI=AGNI,EM=GN：.EM/AGW (AAS),：.E1=GI,，/是 EG的中点，,/NCAE=ZBAG=NBAC=90,/.NE4G=90,在 RtA EAG 中，EG=4AE2+AG2=782+62=10，是 EG的中点，11 EG=xlO=5.2 2H B图【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键.8.(2020江苏徐州市八年级期末)如图，在oA B C
26、D 中，对角线A C、B D 相交于点。，点E、厂分别为0 8、8 的中点，延长A E 至G，使G =A ，连接CG.(1)求证：M O E sA C O F；(2)四边形EGC尸是平行四边形吗？请说明理由；(3)若四边形EGC尸是矩形，则线段A B、A C 的 数 量 关 系 是.【答案】(1)见解析；(2)四边形E G C E 为平行四边形，理由见解析；(3)AC=2AB.【解析】(1)根据平行四边形的性质得到OE=OF即可证得结论；(2)利用AAOEMACOE得到NEAO=/FCO,AE=CF,由此推出AECF,EG=C F即可证得四边形EG C是平行四边形；(3)AC=2AB,根据平行
27、四边形的性质推出AB=AO,利用点E 是 OB的中点，得到A G LO B,即可得到四边形G C是矩形.(D 四边形ABCO为平行四边形，.OA=OC，OB=OD,:点E、/分别为。8、的中点，OE=-O B,OF=-O D,2 2则 OE=O P,在AAQE与A C O E中OAOC=NMCK在 KCM 和4 ADM 中，(DM=CM,NAMD=NKMC：.AKCMAADM(ASA),：.CK=DA=12,；.BK=BC+CK=24,由题意得：BE=BG=EH=GH=t,则 AE=9-t,GK=24-t,VAABK的面积=AEH的面积+正方形BEHG的面积+GHK的面积，x24x9=/(9-
28、/)+z2+/(24-/),2 2 272解得：t ,1172 1 g综上所述，f=一 或f=一，11 572 18故答案为：r=jY或，=.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键.310.(2020江苏苏州市八年级期末)如图，平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于4点8，点P是线段OA上一动点(不与点4重合)，过点P作PC_LAB于点C.(1)当点P是OA中点时，求AAPC的面积；(2)连接B P,若BP平分NABO,
29、求此时点P的坐标；(3)设点。是x轴上方的坐标平面内一点，若以点。，B,C,。为顶点的四边形是菱形，求点。的坐标及此时。产的长.24 3 7 3 9 72 96【答案】(1);(2)点 P(一，0)；(3)当。=一时，点。(-2,一)或当 OP=一 时，点。(，一).25 2 8 2 4 25 25【解析】(1)连接B P,先求出点A(4,0),点B(0,3),可得AO=4,O B=3,由勾股定理可求A B的长，由面积法可求PC的长，由勾股定理可求AC的长，即可求解；(2)由“AAS”可证 BOP名ZBCP,可得BO=BC=3,OP=CP,由勾股定理可求OP的值，即可求点P坐标；(3)分OB为
30、边和0 B为对角线两种情况讨论，利用菱形的性质两点距离公式先求出点C坐标，再求出CP解析式，即可求解.(1)如图，连接BP,3直线y=x+3交x轴于点A,交y轴于点8,4.点 4(4,0),点 8(0,3),.AO=4,0B=3,A3=y/oB2+O/r=J16+9=5-点P是。4中点，：.AP=OP=2.11SAAB。=x APxOB=x ABx-CP,226：.CP5VPA2-PC2=J 4-=-,V 25 5.124 S&APC=x ACxPC=；2 25(2)；BP平分/ABO,，NOBP=NCBP,又,：BP=BP,NBOP=NBCP=90,:ABO P冬ABCP(AAS),；.BO
31、=BC=3,OP=CP,：.AC=AB-BC=5-3=2.,.APPC+AC1,：.(4-OP)2=OP2+4,；.op=一3,23.点 P(一，0)；23(3)如图2,若OB为边,设点C(a,-a+3),连接4 ,四边形。CO8是菱形，：.OC=CD=BD=OB=3,BO/CD,ODBC,3(a-0)2+(-a+3-0)2=9,4.-.a i=O（不合题意舍去）,7 22 5.-7 2 2 1.点 C （,）.2 5 2 5：BO/CD,0B=CD=3,.一 ，7 2 9 6、.点、D（,）,2 5 2 54.4直线O D解析式为：y=-x.：PC/OD,4设直线P C解析式为尸-x+b,3
32、2 1 4 7 2=X-F b,2 5 3 2 5b=-3,4.,.直线P C解析式为、=x-3,39当 y=0 时，x,4i 9二点 P （一，0）,49。2=一；4如图3,若。B为对角线，设点C（a,3一一a+3）,连接 C Q,4图3四边形OCB力是菱形,.OB与C。互相垂直平分，.点C在0 B的垂直平分线上,.3 3*=一4 -7：，3 6-7.点 P（一，0）,87 3 9 72 96综上所述：当。P=一时，点。（-2,一）或当。P=一时，点。（，一）.8 2 4 25 25【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质等知识，属于一次函数综合题，
33、利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.11.（2020江苏南京市八年级期末）如图，在。ABCO中，AO=BO=2,8DLA。，点E为对角线AC上一动点，连接。E,将OE绕点。逆时针旋转90。得到。F,连接BF.(1)求证：BF=AE；(2)若85所在的直线交AC于点M,求0 M的长度；(3)如图，当点尸落在 OBC的外部，构成四边形。EMF时，求四边形OEMF的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)0 M=&；(3)5 5【解析】(1)由“SA由可证 ADE丝B D F,可得BF=AE；(2)过D作DN_LAO于N,由“AAS”可证 D O N gABO M,可得OM=ON,由勾股定理可求AO
34、的长，由面积法可求D N的长，由勾股定理可求解；(3)将仆DEN绕点D逆时针旋转90。得到 DFG,通过证明四边形DNMG为正方形，即可求解.解：(1);DE绕点D逆时针旋转90。得到DF,：.DE=DF,ZEDF=90.V BDADf：.ZADB=90f：.NADE;NBDF.,/AD=BD,：.ADEABDF,：.BF=AE.(2),/ADE/BDF,：.ZDAE=ZDBF.ZADB=90,ZAOD=ZBOCf：.ZDAE+ZAOD=ZDBF+ZBOC=90f：.ZBMO=90,过。作DNLAO于N,由中心对称可得：DONQABOM,：.OM=ON.V AD=2,DO=L ZADB=90,
35、?SA ADO=ADXDO=AOxDN,OM=ON=(3)将)?/绕点。逆时针旋转90。得到。/G,ADG=DN,ZDNE=ZDGF=90,ZDEN=ZDFG,ZEDF=ZFME=90,ZDEM+ZDFM=180,.e.ZDFG+ZDFM=180o,点G,点F,点M三点共线，*.Z DGF=Z DNM=Z FMN=90,，四边形DNMG是矩形，XVDN=DG,四边形DNMG为正方形，S 网 边 形 DEM产S 四 边 形 DNNG=（【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正方形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.1
36、2.（2020江苏无锡市八年级期末）如图，已知正方形A 3C O的边长为6c小，E为边4?上一点且A E长为1cm,动点P 从点3 出发以每秒lc z的 速 度 沿 射 线 方 向 运 动.把AEBP沿EP折叠,点8 落在点3 处.设运动时间为f 秒.(1)当，=时，N B PC 为直角；(2)是否存在某一时刻f,使得点8 到直线A D 的距离为3?若存在，请求出所有符合题意的f 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)5；(2)存在，的值为2 a 1 秒或15秒.7【解析】(1)根据当NBPC=90。时，ZBPB=90,即可得到 BEP为等腰直角三角形，进而得至BP=BE=5cm,再根据点
37、P 从点B 出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，即可得到t 的值；(2)过 B作 MNA B,交 AD,BC于点M,N,过 E 作 EHA D,交 MN于 H,进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形.再分两种情况进行讨论：如图1,若点B，在 AD下方；如图2,若点B，在 AD上方，分别根据R S P B N 中，BP2=PN2+BN2,即可得到t 的值为*J 五 秒 或 15秒.解：(1):正方形ABCD的7边长为6cm,E 为边AB上一点且AE长为1cm,BE=5cm,当 NBPC=90。时，ZBPB=90,二由折叠可得，ZBPE=ZBPB=45,2又：NB=90。，；.N
38、BEP=45。，BP=BE=5cm,:点 P 从点B 出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，；.t=5+l=5(秒)，故答案为：5；(2)存在，过 B作 MNA B,交 AD,BC于点M,N,过 E 作 EHA D,交 MN于 H,VAD/7BC,MNAB,四边形ABNM是平行四边形，又：ZA=90,.四边形ABNM是矩形，同理可得：四边形AEHM是矩形.如图1,若 点 在 AD下方，则 B，M=3c m,B，N=3c m,P N图1V MH=A E=lc m,B H=2 c m,由折叠可得，E B-E B=5 c m,.,.R tA E B H 中，EH=旧一方=屈(c m),B N=A
39、 M=E H=7 2 1 c m,V B P=t,.,.P B =t,P N=V 2 1-t,.R tA P B N 中,B P2=P N2+B N2,.,.t2=(V 2 1-t)2+32-解得 t=V 2 T .7如图2,若点B，在 AD上方，则 B M=3c m,B N=9 c m,同理可得，E H=3c mV B P=t,.*.B P=t,P N=t-3,R tA P B N 中,B P2=P N2+B N2,At2-(t-3)2+92,解得t=15.综上所述，l的值为2 亚秒或15秒.7【点睛】本题主要考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x,
40、然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.13.(2020江苏无锡市八年级期末)如图，已知中，O A =O B,分别延长A O、B O到点C、D,使得=O D=B O,连接 A。、D C、C B.口 _.CE(1)求证：四边形ABC。是矩形；(2)以O B为一组邻边作o A O B E,连接C E,若C E L 8 Z),求N A O 8的度数.【答案】证明过程见解析；(2)ZAOB=20【解析】(1)根据己知条件推出四边形ABCD是平行四边形，求得A O=!AC,BO=B D,等量代换得到AC=BD,于是得到四边形ABCD
41、是矩形；(2)连接O E,设EC与BD交于F,根据垂直的定义得到/CFD=90。，根据平行四边形的性质得到AEBO,根据直角三角形的性质得到EO=A O,推出 AEO是等边三角形，于是得到结论.(1)证明：OC=AO,OD=BO,A四边形ABCD是平行四边形，AAO=AC,BO=BD,2 2VAO=BO,AC=BD,四边形ABCD是矩形;(2)解：连接0 E,设EC与 BD交于F,VECBD,NCFD=90。，V 四边形AEBO是平行四边形，AAE/7B0,，NAEC=NCFD=90。，即 AEC是直角三角形，VEO是 RtA AEC中AC边上的中线，EO=AO,四边形AEBO是平行四边形，O
42、B=AE,VOA=OB,AE=OA=OE,AEO是等边三角形，ZOAE=60,ZOAE+ZAOB=180,/.ZAOB=120.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.14.(2020江苏连云港市八年级期末)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点O 为矩形ABCD对角线的交点，点P为AD边上任意一点.(1)如 图1,连接P 0并延长，与BC边交于点Q.求证:AP=CQ；(2)如图2,连接BP、D Q,将 ABP与ACDQ分别沿BP与DQ翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A，、C处，连接PA;Q C,试
43、求证:四边形PAQC是平行四边形；(3)在(2)的条件下，请直接写出:当点A:C同时落在矩形ABCD的对角线上时A，C的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)1或彳.【解析】(1)由“ASA”可证 PAO之Q C O,可得 AP=CQ；(2)由“SAS”可证 BAP附ADCQ(S A S),可得NAPB=NDQC,由折叠的性质可得NAPA=2NAPB,ZCQC=2ZQCD,AP=AP,CQ=CQ,可得NAPA，=NCQC,AP=CQ,可证 APC Q,由平行四边形的判定可得四边形PAQC是平行四边形；(3)分两种情况讨论，由折叠的性质和矩形的性质可求解.(1)连接ACV O是矩形是AB
44、CD的对角线交点.；.AC 过点 0,且 AO=OC:四边形ABCD是矩形，AD/BC/.ZPA0=ZQC0XZA0P=ZC0Q.AOPACOQ(ASA).AP=CQ(2),四边形ABCD是矩形/.AB=CD,ZA=ZC又AP=CQ,/.BAPADCQ(SAS)JNAPB=NDQC.翻折，NAPA，=2NAPB,ZCQC=2ZCQD,AP=AP,CQ=CQ,J ZAPAZCQC AP=CQVAD/BC NAPQ=NCQPJ Z APA-Z APQ=Z CQC-Z CQP即 NQPA，=NPQC.A*P/CQ又 YAP二CQ，四边形PAQC是平行四边形(3)若点点C都落在BD上时，如图,图31
45、矩形 ABCD 中，AB=3,BC=4,:,BD=AC 7 AB2+CB2=19+16=5,.将 ABP与4 CD Q分别沿BP与D Q翻折，点A与 点C分别落在矩形ABCD内的点A C处,，AB=AB=3,CD=CD=3,.AC=AB+CD-BD=1；若 点A，点C都落在A C上时，如图，设BP与A C交于点E,图3-2.将 ABP折叠,.,.BPAA,AE=AE,SA ABC=xABxBC二 xACxBE,AE=dAB?-BE?=.AE=AE=-,5 AC=ACAA，=Z,57同理可得A C=g,.AC=AC-AC-AC=,5综上所述：AC=1或 三.【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形
46、的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.15.（2020江苏南京市八年级期末）同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换-旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法.图（1）（问题提出）如图，在正方形A8CQ中，N M AN=4 5 ,点、M、N 分别在边BC、C D _,求证：M N=B M+D N.证明思路如下:第一步：如图，将A D N 绕点A 按顺时针方向旋转90。得到 A B E,再证明E、B、M 三点在一条直线上.第二步：证明A A fM 四请
47、你按照证明思路写出完整的证明过程.（2）（初步思考）如图，四边形ABCO和 CEFG为正方形，连接。G、B E,得到ZX7G和ABCE.下列关于这两个三角形的结论：周长相等；面积相等；N C B E=N C D G.其中所有正确结论的序号是.图（3）（深入研究）如图，分别以口 4 8 8 的四条边为边向外作正方形，连接EF,G H,IJ,K L.若 口 的 面 积 为 8,则图中阴影 部 分（四个三角形）的 面 积 之 和 为.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）16【解析】(1)将ADV绕点A 按顺时针方向旋转90。得到A 3E,证明八 4711名 八 47加，即可得到结论；(2)通过证明
48、aB C E 与O C G 不一定全等，可以判断，过G 作GQ J_C。于。，过后作。交8 C 的延长线于“，证明 GQC也 7/C,再利用正方形的性质与三角形的面积公式可判断.(3)连接A C,5。，证明尸也 ZFCB=90,?.ZCAF+ZAMC=90,：.NACD+N DCF=N FCB+N DCF,即 NACF=N8C,A C D C在4 ACF 和4 DCB 中，J52-42=3，CP=3+5=8,，/=4,点。的坐标为(3,4)：当点Q在射线B C 上时，如图2,四边形。PQ是菱形，。=。=5,在 RS OC Q 中，C Q =y52-42=3-CP=5-3=2,点 Q的坐标为(-
49、3,4)；(3)如图3,连接。:PM=0D=5,PM/ODf，四边形ODMP是平行四边形，OP=DM,：.四边形 QAMP 的周长=QA+AM+MP+PO=15+AM+PO=15+AM+OM作点月关于直线BC的对称点4,连接WM,AD.?.四边形OAMP的周长=15+4M+DM,所以，当点A,M,。三点在同一直线上时，四边形QAMP的周长最小,在 RS ATM 中，+心=6+82=磁,所以四边形。AMP的周长最小值为15+廊.【点睛】本题考查了坐标轴的动点问题，掌握平行四边形的性质、菱形的性质、两点间距离公式是解题的关键.18.（2020江苏扬州市八年级期末）如图1,矩形ABCD中，AB=3,
50、BC=4,将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转，得到矩形BEFG.（1）当点E落在BD上时，则线段DE的 长 度 等 于 ；（2）如图2,当点E落在AC上时，求ABCE的面积：（3）如图3,连接AE、CE、AG、C G,判断线段AE与CG的位置关系且说明理由，并求CE?+AG?的值；（4）在旋转过程中，请直接写出S谶CE+SO B G的最大值I)【答案】(1)2；(2)；(3)垂直，理由见解析；C：2 +A G2=5 0；12.25【解析】(1)求出B。的长度，利用旋转的性质得出AB=BE,进而求出D E的长度即可：(2)过点B 作 于 点 利 用 等 面 积 法 求 出 的 长 度，利用勾股定理