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1、2022-2023学年江苏省无锡市江阴市长泾片八年级第一学期期中数学试卷一.选 择 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）I.下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形A.打喷嚏，捂口鼻B.戴口罩，讲卫生C.勤洗手,勤通风 喷 嚏 后,慎揉眼2.如图，已 知 下 列 所 给 条 件 不 能 证 明 ABC丝OCB的 是（）A.ZA=Z B.AC=BD C.NACB=NDBC D.AB=DC3.已知等腰三角形的两条边长分别是2 和 4,则它的周长是（）A.8 B.8 或 10 C.10 D.无法确定4.如图，如果把AABC沿 折 叠，使点C 落在边A 8
2、上的点E 处，那么折痕（线段AO）是ABC的（）A.中线B.角平分线C.高D.既是中线，又是角平分线5.下列说法正确的是（）A.形状相同的两个三角形全等B.角不是轴对称图形C.全等的两个三角形一定成轴对称D.等腰三角形的底角必小于9 0 6 .如图，已知 A B C 中，NB=50,P为AABC内一点，过点P的直线MN分别交A B,B C 于点M、N.若 M 在 PA的中垂线上，N在 PC的中垂线上，则/APC的度数为（）A.1 0 0 B.1 0 5 C.1 1 5 D.1 2 0 7 .如图，两个正方形的面积分别为6 4 和 4 9,则 AC等 于（）8 .如图，在等边aABC中，AD.C
3、E是 A B C 的两条中线，AD=5,P是 4。上一个动点,则 P 8+P E 最小值的是（）C.7.5D.1 09 .如图，已知R t z X A B C 中，Z C=9 0 ,乙4=3 0 ,在直线8C或 AC上取一点P,使得 P A 8 是等腰三角形，则符合条件的尸点有（）B C.A.5个 B.6 个 C.7个 D.8个1 0 .已知：如图，Z S A B C 中，8。为 A B C 的角平分线，且 8 O=8 C,E为 BD延长线上的一点，B E=B A,过 E作 E F L A B,F为垂足.下列结论：A B。丝 E B C；N B C E+Z B C Z）=1 8 0 ；A D=
4、A E=E C；B A+B C 2 B F.其中正确 的 是（）A.B.C.D.二、填 空 题（本大题共8 小题，每小题3 分，共 24分）1 1 .在等腰三角形4 B C 中，Z A=1 2 0 ,则N8=.1 2 .已知aABC的三边长分别为6、8、1 0,则 最 长 边 上 的 中 线 长 为.1 3 .在直角AABC中，N C=9 0 ,AO平分NBAC交 BC于点。，若 C D=4,则点。到斜边 AB的距离为.1 4 .如图，A B C 中，C O _ L A B 于。，AC=BC,E 是 A C 的中点.若 A O=1 2,DE=10,1 5 .如图，把一个长方形的纸片沿E F 折
5、叠后，点。、C分别落在点M、N的位置，如 果/EFB=65,那么 N A E M 等于.1 6.如图，线段A B、8 C的垂直平分线人/2相交于点0,若N l=3 9 ,则N A O C=1 7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示 的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为“，较短直角边长为6,若（a+6）2=2 1,大正方形的面积为1 8 .如图，R t Z A B C 中，/A C B=9 0。，ZABC=30 ,4 c=6,是线段 A B 上一个动点，以B D为边在 A B C外作等边 B
6、 O E.若 尸 是OE的中点，当 C F取最小值时，4 B D E的周长为.C B三、解 答 题（本大题有8 小题，共 66分）1 9 .已知：如图，点 E、F 在线段 B。上，BE=DF,AB/CD,/A=/C.求证：A B=C DA2 0 .如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1.(1)画出 ABC关于直线/对称的图形AIBCI；(2)在直线/上找一点P,使尸B=P C；(要求在直线/上标出点P 的位置)(3)连接PA、P C,计算四边形以8 C 的面积.2 1 .如图，在 R&B C 中，ZB=9 0 ,分别以点A、C 为圆心，大 于 长 为 半 径 画 弧,两弧相交于点M、N,连接
7、与A C、B C 分别交于点。、E,连接4 E.(1)按要求作出草图，并求N AO E=；(直接写出结果)(2)当 AB=3,A C=5时，求 ABE 的周长.2 2 .如图，ZV I BC中，A O是高，E、尸分别是4 8、A C 的中点.(1)若 AB=1 0,A C=8,求四边形A E O F 的周长；(2)E F 与 有 怎 样 的 位 置 关 系？请证明你的结论.A2 3 .如图，四边形 ABC。中，AB=2 0,BC=15,CD=1,A=2 4,ZB=9 0.(1)判断/D是否是直角，并说明理由.(2)求四边形ABC。的面积.2 4 .定义：如图，等腰4 A B C中，点E,尸分别
8、在腰A8,4 C上，连 结E F,若A E=C E则称E F为该等腰三角形的逆等线.(1)如 图1,E尸是等腰 4 BC的逆等线，EFVAB,A8=AC=8,A E=3,求逆等线E F的长;(2)如图2,若直角三角形O E f 的直角顶点。恰好为等腰直角A8C底边B C上的中点，且点E,尸分别在AB,A C上，求证：E F为等腰4 A B C的逆等线.若 点P从 点A出发，以每秒2 cm的速度沿折线4-B-C-A运动，设运动时间为/秒(/0).(1)若点尸在8 C上且满足P A=P B,则此时t=(2)若点P恰好在N A B C的角平分线上，求此时f的值;(3)在点尸运动过程中，若 4 CP为
9、等腰三角形，则此时f=2 6.过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形.若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”.(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 (只填写序号).等腰直角三角形；等边三角形；顶角为1 5 0的等腰三角形.(2)如图1,在 ABC中，ZA=6 0,N B=4 0,直接写出ABC被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；(3)如图2,中，/A=3 0,C O为A B边上的高，BD=2,E为A O的中点，过 点E作直线/交A C于点F,作CM J J,D N L I,垂足为M,N.若 射 线 为AABC的“友好分割线”，
10、求C M+D N的最大值.参考答案一.选 择 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形打喷嚏，捂口鼻B.口罩，由卫生C 勤洗手，勤通风密 喷嚏后，慎揉眼【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；B.是轴对称图形，故此选项符合题意；C.不是轴对称图形，故此选项不合题意;D.不是轴对称图形，故此选项不合题意.故 选:B.【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
11、部分沿对称轴折叠后可重合.2.如图，已 知 下 列 所 给 条 件 不 能 证 明ABC四 DCB的 是（）A.B.A C=B DC.N A C B=N D B C D.A B=D C【分析】利用SSS、SAS.ASA、AAS.H L进行分析即可.解：A、添加可利用AAS判定ABC0 D C B,故此选项错误;B、添加AC=BO不能判定ABC会DCS,故此选项正确；C、添加NACB=ND8C可利用4s4 判定ABC也O C 8,故此选项错误；D、添加AB=C可利用SAS判定ABC丝O C B,故此选项错误；故选：B.【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
12、SAS、ASA、AAS,HL.注意：414、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.3.已知等腰三角形的两条边长分别是2 和 4,则它的周 长 是（）A.8 B.8 或 10 C.10 D.无法确定【分析】根据2 和 4 可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解.解：当 2 为腰时，三边为2,2,4,由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当 4 为腰时，三边为4,4,2,符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2=10.故选：C.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理.关键是根据2,4,分
13、别作为腰，由三边关系定理，分类讨论.4.如图，如果把ABC沿 4 0 折叠，使点C 落在边AB上的点E 处，那么折痕（线段A。）是ABC的（）A.中线B.角平分线C.高D.既是中线，又是角平分线【分析】根据翻折变换的性质可得对应的角相等，进而得出AZ）是角平分线.解：由翻折变换的性质得，Z C A D=Z E A D,二4。平分 NBAC,故选：B.【点评】本题考查翻折变换，掌握翻折的性质，即对应角相等，对应边相等是解决问题的关键.5.下列说法正确的是（）A.形状相同的两个三角形全等B.角不是轴对称图形C.全等的两个三角形一定成轴对称D.等腰三角形的底角必小于90【分析】选项A根据全等三角形的
14、定义判断即可；选项B根据角的性质以及轴对称图形的定义判断即可；选项C根据全等三角形的定义判断即可；选项。根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理判断即可.解：A.形状和大小相同的两个三角形全等，原说法错误，故本选项不合题意；B.角是轴对称图形，原说法错误，故本选项不合题意；C.全等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误，故本选项不合题意；D.等腰三角形的底角必小于90,说法正确，故本选项符合题意.故选：D.【点评】此题主要考查了全等三角形，等腰三角形的性质以及轴对称图形的定义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合.6.如图，已知 A B C中，ZB=
15、50,P为a A B C内一点，过点P的 直 线 分 别 交AB,B C 于点、M、N.若M在P A的中垂线上，N在P C的中垂线上，则/A P C的度数为（）A.100 B.105 C.115 D.120【分析】根据三角形的内角和得到/8AC+NACB=130。，根据线段的垂直平分线的性质得到P N=C N,由 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到N C P N=/P C N,进而得出/M A P+/P C N=/P A C+/A C P=*X 1 3 0。=65,根据三角形内角和定理计算即可.解:V ZABC=50，：.ZBAC+ZACB=30Q,.M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上
16、,：.AM=PM,PN=CN,NMAP=ZAPM,NCPN=ZPCN,：ZAPC=180-ZAPM-NCPN=180-ZPAC-ZACP,：.AMAP+ZPCN ZPAC+ZACPX 130=65,2；./A PC=115 ,故选：C.【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.7.如图，两个正方形的面积分别为64和4 9,则AC等 于（）B CA.15 B.17 C.23 D.113【分析】根据正方形的性质求出AB、BD、Z）C的长，再根据勾股定理求出AC的长即可.解：.两个正方形的面积分别是64和49,：.A
17、B=BD=S,OC=7,根据勾股定理得：AC=7AB2+BC2=17-故 选:B.【点评】本题考查了勾股定理，求出AB、BC的长并熟悉勾股定理是解题的关键.8.如图，在等边4BC中，A。、CE是AABC的两条中线，AD=5,P是A上一个动点,则P8+PE最小值的是（)A.2.5B.5C.7.5D.10【分析】如图连接P C,只要证明P B=P C,即可推出P B+P E=P C+P E,由PE+PCNCE,推出尸、C、E 共线时，PB+PE的值最小，最小值为A。的长度.解：如图连接PC,：AB=AC,BD=CD,：.ADBC,：.PB=PC,：.PB+PE=PC+PE,:PE+PCCE,P、C
18、、E 共线时，PB+PE的值最小,最小值为C E的长度，即为AO的长为5.故选：B.【点评】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.9.如图，已知RtABC中，NC=90,NA=30,在直线BC或 AC上取一点P,使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P 点 有（）B.6 个C.7 个 D.8 个【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论.解：如图，第 1个点在。延长线上，取一点P,使 BA=AP；第 2 个点在CB延长线上，取一点P,使第 3 个点在4 c 延长线上，取一点P,使 AB=P8；
19、第 4 个点在8 c 延长线上，取一点尸，使 A8=PA；第 5 个点在AC延长线上，取一点P,使 AB=AP；第 6 个点在AC上，取一点P,使=符合条件的点尸有6 个点.【点评】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解.1 0.已知：如图，ZXABC中，8 0 为aA BC 的角平分线，且 8Z）=8C,E 为 3。延长线上的一点，B E=B A,过 E 作 E R LA 8,尸为垂足.下列结论：ABOgEBC；NBCE+ZBCD=180；A D=A E=E C B A+B C=2 B F.其中正确的是（）EDA.B.C.D.
20、【分析】易证可得/8CE=NBD4,4Z)=EC可得正确，再根据角平分线的性质可求得ND4E=NOCE,即正确，根据可求得正确.解：;B。为ABC 的角平分线，./ABO=/CB,B D=B C.在AB。和EBC 中，ZABD=ZCBD-B E=B A.48。丝EBC(SA S)，正确；为ABC的角平分线，BD=BC,BE=BA,：.NBCD=NBDC=ZBAE 乙BEN,：/ABD/EBC,：.NBCE=NBDA,：.ZBCE+ZBCD=ZBDA+ZBDC=SO,正确；.,/BCE=NBQA,NBCE=NBCD+NDCE,NBDA=NDAE+/BEA,NBCD=NBEA,：.NDCE=NDA
21、E,.ACE为等腰三角形，.AE=EC,:ABDQ/XEBC,:AD=EC,.AO=AE=EC正确；过E作EGLBC于G点，是NABC的角平分线2。上的点，且EF_LA8,:.EF=EG(角平分线上的点到角的两边的距离相等)，.,在 R t A B G 和 R t A B E F 中,B E=B EEF=EG：.Rt/BEGRt/BEF(H L),：.BG=BF,在 Rt/XCEG 和 R t A F E 中,E F=E GA E=C E(/.R t A C G R t A A F (H L),：.AF=CG,：.BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF.正确.故选：D.【点评】
22、本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键.二、填空题(本大题共8 小题，每小题3 分，共 24分)1 1 .在等腰三角形A 8 C 中，Z A =1 2 0 ,则N8=30【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况时行分析，从而求解.解：当/A 是顶角时，/B=(18 0。-120 )+2=3 0。；当/A是底角时，则另一个底角也是120 ,因 为 120 +120 18 0,所以不符合三角形内角和定理，故舍去;故答案为：30。.【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三
23、角形内角和定理的综合运用.12.已知 A 8 C 的三边长分别为6、8、10,则最长边上的中线长为5 .【分析】根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据直角三角形的性质计算即可.解:62+82=100,102=100,.,.62+82=102,这个三角形是直角三角形，最长边上的中线长为5,故答案为：5.【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的逆定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.13.在直角 A B C中，Z C=9 0,平分/8 A C交B C于点。，若C )=4,则点。到斜边A 3的 距 离 为4 .【分析】根据角平分线的性质定理，解答
24、出即可；解：如右图，过。点作D E L A B于点E,则。E即为所求,V Z C=9 0,平分/B A C 交 8 c 于点 ),：.C D=D E(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)，V C =4,：.DE=4.故答案为：4.【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等.14 .如图，4 B C 中，C D J _ A 8 于。，AC=BC,E 是 A C 的中点.若 A =12,D E=10,R【分析】先利用等腰三角形的性质得到A D=B D=U,即。为 A 8 的中点，则判断D E为ABC的中位线，则B C=2 D E=2 0,然后利用勾股定理计算C D的长
25、.解：；AC=BC,CDLAB,.A D B D=2,即。为A 8的中点，Y E 是 AC的中点，.DE为aA B C 的中位线，：.D E BC,2:.BC=2DE=20,在 RtZiBCQ 中，C D=VBC2-BD2=V 202-122=16.故答案为：16.【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.也考查了等腰三角形的性质和勾股定理.15.如图，把一个长方形的纸片沿E尸折叠后，点。、C 分别落在点M、N 的位置，如 果/【分析】根据两直线平行，内 错 角 相 等 可 得 再 根 据 翻 折 的 性 质 和 平 角等 于 180列式计算即可得解
26、.解：.,矩形对边AOBC,；.NDEF=NEFB=65 ,.沿E F折叠后，点。、C 分别落在点M、N 的位置，N D E F=NMEF,：.ZAEM=S00-65 X2=50.故答案为：50。.【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键.16.如图，线段A8、8 c 的垂直平分线/i、/2相交于点。，若N1=39,则N4OC=78H【分析】解法一：连接8 0,并延长8 0 到 P,根据线段的垂直平分线的性质得4 0=。8=。（：和/8。0=/3 。=90。，根据四边形的内角和为360。得N0E+/ABC=180。，根据外角的性质得N A O P=/A+/A 8O
27、,NC O P=N C+N O BC,相加可得结论.解法二：连 接 0 8,同理得A O=O B=O C,由等腰三角形三线合一得N A 0D=N 80。，Z B O E=Z C O E,由平角的定义得/8 0 0+/8。后=141。，最后由周角的定义可得结论.解：解法一：连接8 0,并延长8 0 到 P,.线段AB、BC的垂直平分线/卜/2相交于点0,：.AO=OB=OC,NBDO=NBEO=90,：.ZDOE+ZABC=180,VZDOE+Z 1 =180,./4 2 C=/1 =39,：OA=OB=OC,：.ZA=ZABO,ZO BC=ZC,：ZAO PZA+ZABO,ZCO PZC+ZO
28、 BC,：.ZAO C ZAOP+ZCOP ZA+ZABC+ZC=2X39=78；解法二：连接OB,线段A3、3 c 的垂直平分线八、/2相交于点。，.AO=OB=OC,：.ZAOD=/BO D,NBOE=乙COE,VZDOE+Z1=180,Z l=39,A ZDOE=141 ,即 N30Z)+NB0E=141。,A ZAOD+ZCOE=141 ,NAOC=360-(NBOD+NBOE)-(NAOO+NCOE)=78；故答案为：78。.【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.17.“赵爽弦
29、图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示 的 赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为“，较短直角边长为b,若(+/2=2 1,大正方形的面积为1 3,则小正方形的面积为5.【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4 个直角三角形的面积，利用 已 知(+b)2=2 1,大正方形的面积为1 3,可以得出直角三角形的面积，进而求出答案.解：如图所示：/(。+6)2=21,.a2+2ab+b2=2 l,.大正方形的面积为13,2ab=2-13=8,二小正方形的面积为13-8=5,【点评】此题主要考查了勾
30、股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键.1 8.如图，RtZABC 中，/ACB=90。，NABC=30。，A C=6,。是线段 AB 上一个动点，以BD为边在ABC外 作 等 边 若 尸 是 OE的中点，当 C尸取最小值时，ABDE的周长为 18.【分析】连接B F,过点C 作交BF的延长线于H,由等边三角形的性质可知NABF=30,则点尸在射线BF上运动，当点F 与点，重合时，CF最小，从而解决问题.解：连接8凡 过点C 作 C H LB F.交 8尸的延长线于H,是等边三角形，点 F 是 OE的中点,，/ABF=30,.点F 在射线8 F 上运动，当点尸与点H 重合时，CF最小，V Z
31、ACB=90，ZABC=30,A ZA=60，AB=2AC=12,：ZABF=30,A ZBDH=ZADC=60,.AC。是等边三角形，：.AD=AC=6,：.BD=AB-AD=2-6=6,的周长为：18,故答案为：18.【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点尸的运动路径是解题的关键.三、解 答 题（本大题有8 小题，共 66分）1 9.已知：如图，点 E、F 在线段 8。上，BE=DF,AB/CD,/A=N C.求证：ABCD.【分析】利用AAS证明ABF也(?)即可解决问题.【解答】证明：；8E=F,：.BE+EF=DF+EF,：.BF=DE,JAB/CD,
32、NB=ND,在AB尸和(?：中，NA=NC+O F+F A=1 8；（2）E尸垂直平分A O.证明：是A B C的高，./A Q B=N A O C=9 0 ,是A 8的中点，：.DE=AE,同理：DFAF,：.E,F在线段AO的垂直平分线上，垂直平分A O.【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.2 3.如图，四边形 A B C C 中，A B=2 0,B C=1 5,C Q=7,A D=2 4,ZB=9 0 .（1）判断/是否是直角，并说明理由.（2）求四边形A B C。的面积.B【分析】（1）连接A C
33、,根据勾股定理可知A =8 A 2+8 C 2,再根据A C u O A Z+n c?即可得出结论；（2）根据S四 边 柩ABCD=SAABC+SAADC即可得出结论.解：（1）NO是直角.理由：连接A C,VZB=9 0 ,：.AC2=B A2+BC2=4 0 0+2 2 5=6 2 5,DA2+CD2=2 4 2+7 2=6 2 5,.ACDADC2,.4 C 是直角三角形，即/是直角；（2）四 边 形ABCD=SZXABC+SAADC,S miliKABCD=AB-BC+ADCD2 2=X 2 0 X 1 5+X 2 4 X 72 2=2 3 4.【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟
34、知如果三角形的三边长。，b,c 满 足/=c V 那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.2 4.定义：如图，等腰AABC中，点 E,F分别在腰A B,A C ,连 结 E F,若 A E=C F,则称E F为该等腰三角形的逆等线.(1)如 图 1,所 是等腰AABC的逆等线，EFVAB,A B=A C=8,A E=3,求逆等线EF的长；(2)如图2,若直角三角形/的直角顶点。恰好为等腰直角A B C底边8 c上的中点，且点E,尸分别在A 8,4 c上，求证：E F为等腰4 A B C的逆等线.【分析】(1)由等腰三角形的逆等线的定义可得C F=A E=3,由勾股定理可求解;(2)由“A
35、 S A”可证 E D 4 Z尸力C,可得A E=C/，可得结论.【解答】(1)解：尸是等腰 A B C的逆等线，：.CF=AE3,又：A 8=A C=8,：.AF=5,：EFLAB,F=VAF2-A E2=V2 5-9 =4 ；(2)证明：连接A。，在等腰Rt A B C中，点。为底边上中点，：.AD=CD,ZADC=90,ZBAD=ZC=45又,.,N D F=9 0 ,ZE D A=9 0 0 -Z A D F=NFDC,在 E D A和 F Q C中，N B A D=/C 0).(1)若点P 在 上 且 满 足 P A=P B,则此时f=.(2)若点P 恰好在/A B C 的角平分线上
36、，求此时f 的值；(3)在点P 运动过程中，若尸为等腰三角形，则此时f=2 或盘或2 或 3.-42-5-【分析】(1)设 P B=P A=x,贝 iJ P C=4-x,在 RtZVICP 中，依据 AG+PCZMA P?,列方程求解即可得到f 的值.(2)设 P O=P C=y,则 A P=3-y,在 RtZAOP 中，依据 42+p)2=4p2,列方程求解即可得到，的值.(3)分四种情况：当尸在AB上且AP=CP时，当 P 在 AB上且AP=CA=3时，当尸在 AB上且AC=PC时，当尸在BC上且AC=PC=3时，分别依据等腰三角形的性质即可得到/的值.解：(1)如图，设 P B=P A=
37、x,贝 iJPC=4-x,.AC=3cm,在 RtZACP 中，A C2+PC2=A P2932+(4-%)解得X=-,882 5,_ A B+B P _ 5 _ 6 5 i-x-.2 1 6故答案为：黑.1 6(2)如图，过 P 作 P，AB于。,3尸平分NA3C ZC=90,：.PD=PC,BC=BD=4,AO=5-4=1,设 PD=PC=y,则 AP=3-y,在 Rt/XADP 中，AD2+PD2=AP2f：.l2+f=(3-y)2,解得产4，o4 .if _A B+BC BC_ 1 2-A B r：.AP=2AD=,5.,_A P _9 I 2 5如图，当 P 在 BC上且A C=PC
38、=3时，8P=4-3 =1,2 2综上所述，当 =号 培 或 号 或3时，前尸为等腰三角形.4 2 5故答案为：或/或金或3.4 2 5【点评】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用.画出图形，利用分类讨论的思想是解第(3)题的关键.2 6.过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形.若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”.(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 (只填写序号).等腰直角三角形；等边三角形；顶角为1 5 0 的等腰三角形.(2)如 图1,在 A BC中，ZA=
39、60 ,/B=4 0 ,直接写出a A B C被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；(3)如图2,ZV IBC中，NA=3 0 ,C D为A 8边上的高，BD=2,E为AD的中点，过点E作直线/交A C于点尸，作CM_U,DN l,垂足为M,N.若射线C O为A BC的“友好分割线”，求C M+O N的最大值.【分析】(1)根 据“友好分割线”的定义判断即可；(2)分三种情形：当“友好分割线”经过点C,当“友好分割线”经过点A,当“友好分割线”经过点B,分别画出图形求解即可；(3)证明)可 且4 GECA S 4),推出 D N=A G.在 R tZXA G尸和 中，Z C M F=ZA
40、GF=90 推出 CMWCF,A G A F,推出 CM+AGWCFM凡 即 CM+AGWAC,由此可得结论.解：(1)根 据“友好分割线”的定义可知，等腰直角三角形，顶角为150。的等腰三角形存在“友好分割线”.等边三角形不存在“友好分割线”.故答案为：；(2)如图 3-1 中，当 EC=EA 时，乙4EC=60。，当 FC=F8 时，Z B F C=100,当 8C=BG 时，ZB=40.如图 3-2 中，当 AC=AR 时，NC4R=20,当 CA=CW时，ZC=80,如图 3-3 中，B C=B Q 时，ZCBQ=20图3-3图3-2综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20。
41、，40。，60,8 0 或100；(3)解：如图2中，作A G JJ于点G.c图2/CD为A 8边上的高，：.ZCDBZCDA=90.：.ZACD=90a-ZA=60.CD4不是等腰三角形.C为AABC的“友好分割线”，.CD8和CD 4中至少有一个是等腰三角形.：./CDB是等腰三角形，且 CD=BD=2.V ZA=30,：.AC=2CD=4.YDNLl 于 N,：.ZDNE=ZAGE=90.Y E为A。的中点，：.BE=AE.在%：和 AAGE 中，ZA GE=ZDNE,DE=A E,ZDEN=ZA EG,：./DNE/AGE(A SA),：.DN=AG.在 RtZAG尸和 RtZCM尸中，ZCMF=ZAGF=90,J.CMCF,AGWAF,A CM+AGCF+AF,即 CM+AGAC,:.CM+DNW4,.CM+W的最大值为4.【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.