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1、2022-2023学年江苏省无锡市江阴市长泾片八年级第一学期期中数学试卷一.选 择 题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1 .下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形打喷嚏，捂口鼻勤洗手,勤通风D.喷嚏后2 .如图，已知N 4BC=N O CB,下列所给条件不能证明 A B C 丝 OC B 的 是（）A.ZA=ZD B.AC=BDC.NACB=/DBCD.AB=DC3 .已知等腰三角形的两条边长分别是2和 4,则它的周长是（）B.8 或 1 0C.1 0D.无法确定4 .如图，如果把AABC沿 A。折叠，使点C落在边A8上的点E处，那么折痕（线段A
2、。）是 A B C 的（）A.中线B.角平分线C.高D.既是中线，又是角平分线5 .下列说法正确的是（）A.形状相同的两个三角形全等B.角不是轴对称图形C.全等的两个三角形一定成轴对称D.等腰三角形的底角必小于9 0。6 .如图，已知 A 8 C中，Z B=5 0 ,P为 A B C内一点，过 点 尸 的 直 线 分 别 交A B,8c于点M、N.若M在P A的中垂线上，N在P C的中垂线上，则/AP C的度数为（）1 0 0 B.1 0 5 C.1 1 5 D.1 2 0 7 .如图，两个正方形的面积分别为6 4和49,则AC等 于（)1 5B.1 7C.2 3 D.1 1 38 .如图，在
3、等边 A B C中，A D.CE是aABC的两条中线，49=5,尸是AO上一个动点,贝U P B+P E最小值的是（）2.5B.5C.7.5 D.1 09.如图，已知R t A B C中，Z C=9 0 ,Z A=3 0 ,在直线8C或AC上取一点尸，使得 P A B是等腰三角形，则符合条件的尸点有（B.6个C.7个 D.8个1 0.已知：如图，A B C中，8。为 4 B C的角平分线，且8 O=8 C,E为BD延长线上的一点，B E=B A,过E作E F L A B,尸为垂足.下列结论：ABO丝EBC；NBCE+ZBCD=180；A D=A E=E C；B A+B C=2 B F.其中正确
4、的是（）B.C.D.二、填 空 题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11.在等腰三角形ABC中，ZA=120,则NB=.12.己知ABC的三边长分别为6、8、1 0,则 最 长 边 上 的 中 线 长 为.13.在直角aA B C中，ZC=90,A。平分N 84C交BC于点O,若C=4,则点。到斜边A B的距离为.ABC 中，CDLAB 于。，AC=BC,E 是 AC 的中点.若点。、C分别落在点M、N的于/H，2相交于点O，若N l=3 9 ,则N 40C=那 么 Z A E M 等如图，线段4 8、8 c的垂直平分线“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，
5、如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若C a+b)2=2 1,大正方形的面积为1 3,则小正方形的面积为如图，Rt A A B C 中，Z A C B=9 0 ,NA B C=3 0 ,A C=6,D 是线段A B上一个动点，以8。为边在 A B C外 作 等 边 若 尸 是O E的中点，当C F取最小值时，B C E的周长为1 9.已知：如图，点 E、F 在线段 8。上，BE=D F,A B/C D,/4=/C.求证:正方形网格中每个小正方形边长都 是1.(1)画出A B C关于直线/对称的图形 A
6、 S G：(2)在直线/上找一点P,使P8=PC；(要求在直线/上标出点P的位置)(3)连接PA、P C,计算四边形PA B C的面积.D、E,连接 A E.(1)按要求作出草图，并求/A O E=;(直接写出结果)(2)当A 8=3,A C=5时，求A B E的周长.4。是高，E、F分别是A B、A C的中点.(1)若A B=1 0,A C=8,求四边形A E QF的周长;(2)E F与A D有怎样的位置关系？请证明你的结论.图，四边形 A B C。中，AB=20,BC=15,CD=1,2 3.如(1)判 断 是 否 是 直 角，并说明理由.(2)求四 边 形 的 面 积.5/c2 4.定义
7、：如图，等腰aABC中，点E,F分别在腰A B,A CD上，连结E F,若A E=C F,则称E F为该等腰三角形的逆等线.(1)如 图1,E F是等腰A A B C的逆等线，若E F L 4 8,A B=A C=8,A E=3,求逆等线E F的长；(2)如图2,若直角三角形 O E F的直角顶点。恰好为等腰直角A 8 C底边B C上的中点，且点E,尸分别在A B,4 C上，求证：E尸为等腰 A B C的逆等线.A/尸 AE/X 2 5 .如 图，A A B C 中，/A C B =B C B D C图1 图29 0 ,A B=5cm,B C=4 c m,若点P从点A出发，以每秒2 c机的速度
8、沿折线4 -B -C-4运动，设运动时间为，秒(Z 0).(1)若点P在B C上且满足P A=P B,则此时r=.(2)若点P恰好在/A 8 c的角平分线上，求此时f的值；(3 )在点尸 运 动 过 程 中，若 ACP为 等 腰 三 角 形，则 此 时tA=.2 6.过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角B C形分成两个三角形.若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”.(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 (只填写序号).等腰直角三角形；等边三角形；顶角为1 5 0 的等腰三角形.(2)如 图1,在 4 B C中，N A=6 0 ,NB=4 0 ,直接
9、写出 A B C被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数;(3)如图2,ZXABC中，NA=30,C。为A8边上的高，80=2,E为 的 中 点，过点E作直线/交AC于点F,作CML/,D N V I,垂足为M,N.若射线C。为ABC的“友好分割线”，求CM+ON的最大一.选 择 题(本 大 题 共10小题，每小题3分，共30分)1.下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；B.是轴对称图形，
10、故此选项符合题意；C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.不是轴对称图形，故此选项不合题意.故选：B.【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.D.A B=D C【分析】利用SSS、SAS.ASA、A4S、L进行分析即可.解：A、添加=可利用AAS判定aABC之 O C8,故此选项错误；B、添加AC=8。不能判定AABC四 O CB,故此选项正确；C、添加NAC8=NOBC可利用ASA判定故此选项错误；D、添加4B=C可利用SAS判定ABC丝 O C8,故此选项错误；故选：B.【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一
11、般方法有：SSS、SAS.ASA、AAS.HL.注意：AAA、S S A不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.3.已知等腰三角形的两条边长分别是2和4,则它的周长是（）A.8 B.8或10 C.10 D.无法确定【分析】根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解.解：当2为腰时，三边为2,2,4,由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，当4为腰时，三边为4,4,2,符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2=10.故选：C.【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理.关键是根据2,4,分别作
12、为腰，由三边关系定理，分类讨论.4.如图，如果把ABC沿A。折叠，使点C落在边A B上的点E处，那么折痕（线段A。）是4BC的（）A.中线EZ/B-D-cB.角平分线C.IHD.既是中线，又是角平分线【分析】根据翻折变换的性质可得对应的角相等，进而得出AO是角平分线.解：由翻折变换的性质得，Z C A D=Z E A D,平分/B A C,故 选:B.【点评】本题考查翻折变换，掌握翻折的性质，即对应角相等，对应边相等是解决问题的关键.5.下列说法正确的是（）A.形状相同的两个三角形全等B.角不是轴对称图形C.全等的两个三角形一定成轴对称D.等腰三角形的底角必小于90【分析】选项A 根据全等三角
13、形的定义判断即可；选项3 根据角的性质以及轴对称图形的定义判断即可；选项C 根据全等三角形的定义判断即可；选项。根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理判断即可.解：A.形状和大小相同的两个三角形全等，原说法错误，故本选项不合题意；B.角是轴对称图形，原说法错误，故本选项不合题意；C.全等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误，故本选项不合题意；D.等腰三角形的底角必小于90,说法正确，故本选项符合题意.故选：D.【点评】此题主要考查了全等三角形，等腰三角形的性质以及轴对称图形的定义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合.6.如图，已知ABC中，ZB
14、=50,P 为ABC内一点，过 点 尸 的 直 线 分 别 交 A8,BC于点M、N.若例在PA的中垂线上，N在 PC的中垂线上，则/A P C 的度数为（）D.12 0【分析】根据三角形的内角和得到N 8 A C+/A C 8=13 0 ,根据线段的垂直平分线的性质 得 到A M=P M,PN=CN,由等腰三角形的性质得到Z CPN=ZP C N,进而得出N M 4 P+N P C N=N P A C+N A C P=a B E=B A(S A S),正确；为 A B C 的角平分线，BD=BC,BE=BA,：.NBCD=NBDC=NBAE=ZBEA,：AABD AEBC,：.NBCE=ZB
15、DA,：.NBCE+NBCD=NBDA+NBDC=180,正确；NBCE=NBCD+NDCE,NBDA=/DAE+NBEA,4BCD=NBEA,：.ZD CE=ZD AE,.A C E 为等腰三角形,：.AE=EC,:XABD艺MEBC,：.AD=EC,：.A D=A E=E C.正确；过 E作 EGLBC于 G点，是/ABC的角平分线BO上的点，且 E F _ L A B,：.EF=EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），B F=B F 18 0,所以不符合三角形内角和定理，故舍去；故答案为：3 0。.【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.12 .已知 A B
16、 C 的三边长分别为6、8、10,则最长边上的中线长为5 .【分析】根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据直角三角形的性质计算即可.解:V 62+82=100,102=100,.62+82=102,.这个三角形是直角三角形，.最长边上的中线长为5,故答案为：5.【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的逆定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.13.在直角AABC中，NC=90,平分NB4C交 8 C 于点),若 C)=4,则点。到斜边 AB的 距 离 为 4.Ar 分析】根据用平分线的性质定理，解答出即可，R n c解：如右图，过。点作QEJ
17、_AB于点区 则。E 即为所求，V ZC=90,AO 平分NBAC 交 8 c 于点。，：.C D=D E(角的平分线上的点到角的两边的距离相等),。=4,：.D E=4.故答案为：4.A1点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两R D C.边的距离相等.14.如图，ABC 中，CD_LAB 于 D,A C=BC,E 是 AC 的中点.若 AO=12,D E=O,则CD的长等于 16.1【分析】先利用等腰三角形的性质得到A O=B O=12,即。为 AB的中RC点，则判断DE 为AAB C的中位线，则B C=2 D E=2 0,然后利用勾股定理计算CD的长.解：AC=BC,C
18、D _LA B,：.AD B D=U,即。为 AB的中点，是 AC的中点，.DE为A8C的中位线，：.D E=BC,2：.BC=2DE=20,在 RtABCD 中，CD=B C2_B D2=2 02_1 22=16.故答案为：16.【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.也考查了等腰三角形的性质和勾股定理.15.如 图，把一个长方形的纸片沿E F折叠后，点。、C 分别落在点/、N 的位置，如果/EFB=65,那么 NAEM等于 50【分析】根据两直线平行,内错角相等可得NOE尸=N E F B,再根据翻折的性质和平角等于180列式计算即可得解.解：
19、；矩形对边AOBC,:.NDEF=NEFB=65 ,；沿 E F折叠后，点。、C 分别落在点M、N 的位置,：.Z D E F=ZMEF,./AEM=180-65 X2=50.故答案为：50.【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键.线段的垂直平分线的性质得A O=O B=O C和/BOO=NBEO=90,根据四边形的内角 和 为 3 6 0 得/。后+/4/=1 8 0 ,根据外角的性质得N 40P=NA+NABO,ZC O P=N C+N O B C,相加可得结论.解法二：连 接 0 8,同理得A O=O 8=O C,由等腰三角形三线合一得乙40。=乙 80。
20、，N B O E=N C O E,由平角的定义得/B O D+/B O E=141。，最后由周角的定义可得结论.解：解法一：连接8 0,并延长8 0到P,线段A3、5 c的垂直平分线人/2相交于点0,：.AO=OB=OCf NBD0=NBE0=9U,：.ZD0E+ZABC=180,V ZDOE+Z1=180,A ZABC=Z 1=39,：OA=OB=OCf：.ZA=ZAB0,N0BC=NC,V ZAOP=ZA+ZABOf ZC0P=ZC+Z0BC,：.ZA0C=ZAOP+Z COP=ZA+ZABC+Z C=2X390=78；解法二：O,线 段AB.B C的垂直平分线/i/2相交于点：.AO=O
21、B=OCt：.ZAOD=ZBODf/BOE=/COE,VZDOE+Z 1 =180,Zl=39,A ZDOE=141 ,即NB0D+N30E=141,A ZAOD+ZCOE=41,A ZAOC=360-CZBOD+ZBOE)-(NAOO+NCOE)=78；故答案为：7 8 .【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.17 .“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角
22、边长为“，较短直角边长为b,若（a+6）2=2 1,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为5 .【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知（+8）2=2 1,大正方形的面积为13,可以得出直角三角形的面积，进而求出答案.解：如图所不:,/(a+C)2=2 1,.a2+2 ab+b2=2 1,丫大正方形的面积为13,2 ab=2 -13 =8,.小正方形的面积为13-8=5,【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关18 .如图，R tA A B C 中，N A C B=9 0。，N A B C=3 0,A C=6,D 是线段 A
23、B 上一个动点，以B D为边在A A B C外 作 等 边 若 尸 是QE的中点，当C F取最小值时，B O E的周长为 18【分析】连接B F,过点C 作CH L B F.交B F的延长线于H,由等边三角形的性质可知/A 8F=30,则点F 在 射 线 上 运 动，当点F 与点，重合时，C尸最小，从而解决问题.解：连接8 凡 过点C 作 C4_LBF.交 8 F 的延长线于H,点 F 是。E 的中点,.点尸在射线B F上运动，当点厂与点”重合时，CF最小，V ZACB=90,NABC=30,，/A=60,AB=2AC=12,V ZA BF=3 0 ,A Z B D H ZA D C=60 ,
24、.4 CO是等边三角形，：.A D=A C=6,：.BD,=A B-A D 2 -6=6,.BOE的周长为：18,故答案为：18.【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点F 的运动路径是解题的关键.三、解 答 题（本大题有8 小题，共 66分）1 9.已知：如图，点、E、尸在线段B力上，BE=D F,A B/C D,Z A=Z C.求证：A B=C D.A【解答】证明：8 E=O F,【分析】利用A 4S证明A A B尸丝（?），即可解决问题.：.BE+EF=DF+EF,：.BF=DE,:AB CD,：.ZB=ZD,在 A A B F 和C E 中，N A=N C
25、+O F+E4=1 8；（2）E尸垂直平分A D.证明：是A B C的高,./A Q8=N A O C=9 0 ,是 A8的中点,：.D E=A E,同理：D FA F,:壬、尸在线段A。的垂直平分线上，./垂直平分4。.【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.2 3.如图，四边形 A B C。中，A B=2 0,3 c=1 5,C D=1,A O=2 4,Z B=9 0 .（1）判断NO是否是直角，并说明理由.（2）求四边形A B C。的面积.B/Z c【分析】（1）连接AC,根据勾股定理可知A G=8 A
26、 2+B C 2,D再根据AC2=DA2+DC1即可得出结论；（2）根据S四 边）RW D =SA48C+SAA0C即可得出结论.解：（1）是直角.理由：连接A C,V Z B=9 0 ,：.A C2=B A2+BC2=40 0+2 2 5=6 2 5,D A2+C D2=2 42+7 2=6 2 5,J.A C D A D C2,.A O C 是直角三角形，即/。是直角;(2)S mHlKA BC D =S&A BC+SA D C r：.S mKABCD=AB-BC+ADCD2 2=X 2 0 X 1 5+X 2 4X 72 2=2 3 4.s/Z【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如
27、果三角形的D三边长a,b,c满足次+6=c2,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.2 4.定义：如图，等腰4 A B C中，点E,F分别在腰A B,4 c上，连结E F,若A E=C尸，则称E F为该等腰三角形 的 逆 等 线.(1)如 图1,E F是等腰A A B C的逆等线，若A B,A B=A C=S,A E=3,求逆等线E尸的长；(2)如图2,若直角三角形 O EF的直角顶点。恰好为等腰直角a A B C底边8 C上的中点，且点E,F分别在A 8,A C上，求证：E F为等腰A A B C的逆等线.线的定义可得CF=A E=3,由勾股定理可求解；(2)由“A SA”可证ED
28、4丝可得A E=C R 可得结论.【解答】(1)解：是等腰 A B C的逆等线，.,.C F=A E=3,又；A B=A C=8,：.A F=5,：EFLA B,F=V A F2-A E2=V 2 5-9 =4；(2)证明：连接A。,在等腰RlZABC中，点。为底边上中点,：.AD=CD,Z ADC=90,ZBAD=ZC=45又,./EOF=90,二 ZEDA=900-ZADF ZFDC,，ZBAD=ZC在 ”和FCC 中，AD=CD，,ZADE=ZCDF./EDA/FDC(ASA),J.AECF,：.EF为等腰AABC的逆等线.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，
29、勾股定理，理解等腰三角形的逆等线定义是解题的关键.2 5.如图，AABC中，/ACB=90,AB=5cm,BC=4c机，若 点 P 从点A 出发，以每秒2cm的速度沿折线A-8-C-A 运动，设运动时间为f 秒(r 0).(1)若点尸在BC上且满足P A=P B,则此时f=鉴 .(2)若点尸恰好在NABC的角平分线上，求此时f 的值；在点尸运动过程中，若 为 等 腰 三 角 形，则 此 时=?或马或3 或 3-42-5-【分析】(1)设 P B=P A=x,则 P C=4-x,在 RtZVICP中，依据 AG+PG=AP2,列方程求解即可得到t的值.(2)设 P Q=P C=y,贝 iA P=
30、3-y,在 RtaAQ尸中，依据人了+二人产，列方程求解即可得到，的值.(3)分四种情况：当 P 在 AB上且AP=C尸时，当 P 在 AB上且AP=CA=3时，当尸在 AB上且AC=PC时，当 P 在 8C 上且AC=PC=3时，分别依据等腰三角形的性质即可得到/的值.解：(1)如图，设 P B=P 4=x,则 PC=4-x,V ZACB=90,AB=5cm,BC=4cmf.AC=3cfnf在 RtAACP 中，AC1PC1=AP2,32+(4-x)解得X=孕，o 3P=空，825.,_ A B+B P _ 5 _ 6 5.i-x-.2 16故答案为：黑.16(2)如图，过尸作POLAB于8
31、P 平分NABC,ZC=90,:PD=PC,BC=BD=4,AD=5-4=1,设 P O=P C=y,则 A P=3-y,在 RtZAO尸中，AD2+PI2=AP2,.12+y=(3-y)2,解得y=J，4：.CP=,34 LAB+B(XT 5+4+3 1当点P与点B重合时，点尸也在/A B C的角平分线上,此时，尸 丝=3.2 2综上所述，点尸恰好在/A B C 的角平分线上，r 的 值 为 黑 或 提.(3)分四种情况:6 2如图，当 P 在 A 8上且AP=C尸时，ZA=Z A C P,而NA+NB=90,ZACP+ZBCP=90,:CP=BP,尸是AB的中点,即AP=AB=提，2 2.
32、,_ A P _ 5 I 2 4如图，当 P 在 AB上且AP=CA=3时,如图，当 P 在 AB上且AC=PC时，过 C 作 CJ_AB于。，则 CQA C-B C 1 2A B 5如图，当 尸 在 8 c 上 且 A C=P C=3时，8尸=4-3=1,BCA B+B P 6 q-=3.2 2综上所述，当 或 生 娼 或3时，取。尸为等腰三角形.4 2 5故答案为：5或3 或 或3.【点评】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用.画出图形，利用分类讨论的思想是解第(3)题的关键.2 6.过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三
33、角形分成两个三角形.若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”.(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 (只填写序号).等腰直角三角形；等边三角形；顶角为1 5 0 的等腰三角形.(2)如 图1,在A A B C中，Z A=6 0 ,N B=4 0 ,直接写出a A B C被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；(3)如图2,A B C中，Z A=3 0 ,C O为A 8边上的高，BD=2,E为AO的中点，过 点E作直线/交A C于点尸，作C M，/,D N l,垂足为M,N.若射线C3为4 A B C的“友好分割线”，求C M+Q N的最大值.析】(1
34、)根 据“友好分割线”的定义判断即可；(2)分三种情形：当“友好分割线”经过点C,当“友好分割线”经过点A,当“友好分割线”经过点8,分别画出图形求解即可；(3)证明 W E g Z A G E(A S A),推出 W=A G.在 R t/X A G尸和 中，N C M F=ZA GF=90 0 推出 C M W C E A G W A尸，推出 C M+4 G W C尸+A尸，即 C M+A G W A C,由此可得结论.解：(1)根 据“友好分割线”的定义可知，等腰直角三角形，顶角为1 5 0。的等腰三角形存在“友好分割线”.等边三角形不存在“友好分割线”.故答案为：；(2)如图 3-1 中
35、，当 EC=EA 时，NAEC=60 ,当 FC=FB 时，ZBFC=100,当 8c=3G 时，ZB=40.如图 3-2 中，当 AC=AR 时，/C 4R=20,当 C4=CW 时，Z C=80,如图 3-3 中，BC=BQ 时，ZCBQ=20图3-1图3-2图3-3综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20,40,60,8 0 或100；(3)解：如图2 中，作 A G JJ于点G.,：CD为 AB边上的高,.NCOB=NCD4=90.ZACD=90-ZA=60.CD4不是等腰三角形.CO为AABC的“友好分割线”，.CDB和CD 4中至少有一个是等腰三角形.，COB是等腰三角形
36、，且C D=B D=2.V ZA=3 0 ,：.A C=2 C D=4.,:D N A J 于 N,：.Z D N E=Z A G E=9 0c).E为 AO的中点，：.BE=A E.在/D NE 和 AAGE 中，N A G E=/D N E,D E=A E,：./D NE/A GE(A SA),Z D E N=Z A E G,：.D N=A G.在 RtHiAG尸和 Rt/XCM尸中，Z CM F=ZA GF=9Q ,.,.C MC F,A GA F,：.C M+A GC F+A F,即 CM+AGWAC,:.C M+D NW4,：.C M+D N 的最大值为 4.【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.