《河北省唐山市2021-2022学年高三第一次调研测试数学试卷含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省唐山市2021-2022学年高三第一次调研测试数学试卷含解析.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2 .选择题必须使用2 B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。4 7 r1.如图所示，用一边长为行的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角
2、形，做成一个蛋巢，将体积为3-的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则 鸡 蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A 2 1 n V 2 +12 2c瓜-1 D 6-1 2 22 .若+的二项式展开式中二项式系数的和为3 2,则正整 数 的 值 为（）A.7 B.6 C.5 D.43 .已知集合 A=x|x l ,B=x|3 贝！IA.AnB=x|x l D.A C B 04.三国时代吴国数学家赵爽所注 周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称
3、为朱实、黄实，利用2 x勾X股+（股-勾）2=4 x朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2 .设勾股形中勾股比为1:百，若向弦图内随机抛掷1 0 0 0颗 图 钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）5.如图，矩形45。中，AB=1,BC=0,E是4 0的中点，将ZSABE沿5E折起至AA,S E，记二面角A BE 3的平面角为a,直线A宏与平面5C0E所成的角为夕，A E与8 c所成的角为7,有如下两个命题：对满足题意的任意的A的位置，。+尸；对满足题意的任意的A 的位置，a +y 0)的焦点尸的直线与抛物线交于A、8两点，且 衣=2而，抛物线的准线/与轴交于C,A4CF的
4、面积为8 0，则|A =()A.6 B.9 C.9.72 D.6夜7.命题 P：/(-1,2,丁-2x+a2 0(aeR)的否定为A.%e(-l,2,x；-2%+a 2 0(a e R)B.Vxe(-l,2,x2-2x+a 0(a e R)C.e(-1,2,XQ-2x0+a 0(a e R)D.Vxg(-l,2,x2-2x+a 0(a e R)8.定义在R上的函数/(x)=x+g(x),g(x)=2x 2+g(2-x),若/)在区间卜1,转)上为增函数，且存在 2 r 0,使得/(0)/吗)C.f(r+2)f(r+l)B./(-2)0 /(r)D./(/+1)/(/)9.明代数学家程大位(15
5、331606年)，有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出 算法统宗，可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输出的y的值为2,则输入的X的 值 为（）7A.-456B.27C.2D.1641 0.由曲线7=如与曲线V=x所围成的平面图形的面积为（1 2A.1 B.-C.-3 311.（V 2x3）（x+2）5的展开式中，V项的系数为（）A.-23 B.17 C.204D.D.633)2 212.已知椭圆E：+与=1（。人 0）的左、右焦点分别为耳，工，过工的直线2x+y 4=0与 轴交于点A,a b-线段A8与后交于点3.若|A 8
6、|=|8F；|,则E的方程为（A.E +反=1 B.二+反=1 C.+士40 36 20 16 10 6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且c=石，那么椭圆D.-p J=5的方程是.14.已知F为抛物线C：2=4的焦点，过/作两条互相垂直的直线/一/2,直 线 与C交于A、B两 点,直线&与。交于。、E两 点,贝!+目的最小值为.x0,15.已知x,）满足约束条件,x+y N l,则2=一 丁 的 最 大 值 为.2x+y 2,16.已知数列 q 是等比数列，6=1,%=3 6,贝1 生=.三、解
7、答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2分)某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了 1 0 0人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.(D估计这1 0 0人体重数据的平均值和样本方差e r?；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在 5 5,6 5)的人数，求X的分布列和数学期望；(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重丫近似服从正态分布NJ。?).若尸(-2bWY 0.9 5 4 4,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理
8、由.1 8.(1 2分)如图，在矩形A 8 C O中，A 3 =2,B C =3,点E是边AD=2E D,点”是B E的中点,将/X A B E沿 着 虚 折 起，使点A运动到点S处，且满足S C =S O.上一点，S.A E(1)证明：S”,平面B C D E；(2)求二面角CS B 的余弦值.19.(12分)已 知/(幻=女2 一2x(0 xW l),求f(x)的最小值.20.(12分)已知椭圆C:5 +y2=i的左、右焦点分别为,与，直线/垂直于x轴，垂足为T,与抛物线=4x交于不同的两点P,。，且 可 亚=一5,过尼的直线，与椭圆C交于两点，设 豆=丸 豆 瓦 且4G-2,-1.(1)
9、求点T的坐标；(2)求|方+而|的取值范围.221.(12分)已 知 函 数=一 优2+?2工”/?)的导函数为了，3.(1)若函数g(x)=/(x)二/(X)存在极值，求机的取值范围；(2)设函数(x)=/(e)+/(l n无)(其中e为自然对数的底数)，对任意机e R,若关于x的不等式处x)N十公在(0,口)上恒成立，求正整数&的取值集合.22.(10分)已知抛物线。/=4力(p为大于2的质数)的焦点为R过点尸且斜率为依后0)的直线交C于A,B 两点,线段A5的垂直平分线交y轴于点E,抛物线C在点A,3处的切线相交于点G.记四边形A E 5 G的面积为(1)求 点G的轨迹方程；(2)当点G
10、的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1,又因为鸡蛋的体积为4 7三r，所以球的半径为1,所以球心到截面的距离d 工=正，而截面到球体最低点距离为i-立，而蛋巢的高度为，V 4 2 2 21 (后出_ 故 球 体 到 蛋 巢 底 面 的 最 短 距 离 为=士.2 2 2京）的二项展开式中二项式系数和为2，2=32,.“=5.点睛:本题主要考查折叠问
11、题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.2.C【解析】由二项式系数性质，（“+）”的展开式中所有二项式系数和为2计算.【详解】（2x+故选：C.【点睛】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键.3.A【解析】.集合 B=x|3 13=%|x 0.集合 A=x|xlAnB=x|x0,A u6=x|xl故选A4.A【解析】分析：设三角形的直角边分别为1,石，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即
12、可得出结论.解析：设三角形的直角边分别为1,百，则弦为2,故而大正方形的面积为4,小 正 方 形 的 面 积 为-1）2=4-2相.图钉落在黄色图形内的概率为匕叵=纪叵.4 2 落在黄色图形内的图钉数大约为1000 x立 史a 134.2故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量.(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3
13、)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.5.A【解析】作出二面角。的补角、线 面 角/、线线角/的补角，由此判断出两个命题的正确性.【详解】如图所示，过A作平面3C DE,垂足为。，连接0E,作连接AM.由图可知=Z A O =/3 1=2%，二%=-2%，乂=-2父=一/,可 得 闻=4，M=2冈=0 p,抛物线的准线/与x轴交于。(-，。)AACF的面积为L x x 0 p =交 2=8近，解得P=4,则抛物线的方程为y2=8x,2 2,9 2所 以|4即=%+工2 +=)；+4=+/?=9,故
14、选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7.C【解析】命题，为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题 的否定为3 e(-1,2,j-2x0+a 0(e R),故选 C.8.D【解析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可.【详解】由条件可得/(-2-x)=-2-x +g(-2-x)=-2-x +g(x)+2x+2=g(x)+x=/(x)函数fM关于直线x=1对称；/(X)在L 1,e)上单调递增，且在一2 f 0时使得f(0)/C)0；又.(-2)=/(0)./(0 0,
15、所以选项3成立；3 1 1 1t2+t+2 =(+y+o,./+/+1 比一离对称轴迹，2 2 4 2 可得/(户+，+1)，选项A成立;.(t+3)2-(t+2)2=2f+50,.-Jr+3|r+2|,.可知，+2比r +1 离对称轴远+选项 C 成立;1.-2 r ft 0）a b2短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上=t a n 60=6c又a-a2=+c2Aa2=12 力 2=9,r2 v2.,椭圆的方程为二+=1,12 9v2 v2故 答 案 为 二+工=1.12 9考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识.14.16.【解析】由题意可知抛物线C:/=4 x
16、的焦点F:（l,0）,准线为x =1设直线4的解析式为y =Z（x-l）.直线4 4互相垂直A的斜率为-K与抛物线的方程联立一 消去y得k2x2-（2 k2+4）x +/=0y2=4x 设点 A&,8（孙 为），C（&，%）,。（%4，%）2 k2+4 2+4由 跟 与 系 数 的 关 系 得 玉+/=三 ，同 理 七+*4=号kF 根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离*|A B|=玉 +1 +9 +1,同理|。目=W+1 +4 +12 2+4I A B l +DE=2 k 4+-+4=8+:+4公 8+2=1 6,当且仅当r=1 时取等号.111 k kF故答案为16点
17、睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件.15.1【解析】先画出约束条件的可行域，根据平移法判断出最优点，代入目标函数的解析式，易可得到目标函数z=x-y的最大值.【详解】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，由于z =x y,贝!）y =x _ z,要求Z =%-），的最大值，则求y=X-z的截距-Z的最小值，显然当平行直线过点A（1,O）时，
18、z取得最大值为：z =l-0=1.故答案为：1.【点睛】本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值.16.6【解析】根据等比数列通项公式，首先求得4,然后求得的.【详解】设 4 的公比为4,由=1吗=3 6,得 才=36国=6,故生=6.故答案为：6【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)60；25(2)见解析，2.1(3)可以认为该校学生的体重是正常的.见解析【解析】(1)根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差(2)由题意知X服从二项分布B(3,0.7),分别求出P(X=0),P(X=1
19、),P(X=2),P(X=3),进而可求出分布列以及数学期望；(3)由第一问可知丫服从正态分布N(60,25),继而可求出产(504丫 70)的值，从而可判断.【详解】解：(1)H=(47.5+72.5)x0.004x5+(52.5+67.5)x0.026x5+(57.5+62.5)x0.07x5=604=(60-47.5)2+(72.5-60)2、0.02+(60-52.5)2+(67.5-60)2 x0.13+(60-57.5)2+(62.5-60)2 x 0.35 25(2)由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在55,65)的概率为0.7.随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交
20、量X服从二项分布8(3,0.7),则尸(X=0)=仁 x0.7 x0.33=0 027,P(X=1)=C；x0.7x0.32=0.189,p(X=2)=(x 0.72 x 0.3=0.441,P(X=3)=(x 0.73 x 0.3=0.343,所以X的分布列为：X0123P0.0270.1890.4410.343数学期望EY=3x0.7=2.1(3)由题意知丫服从正态分布N(6(),25),则 心 一 2b K 丫 +2b)=P(50 K 丫 0.9544,所以可以认为该校学生的体重是正常的.【点睛】本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，
21、如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.18.（1）见解析；（2）旦3【解析】（1）取CO的中点连接S M ,由S E =S B =2,进 而 第，3 ,由S C =S D,得SMLCD.进而C O _ L平面S H M,进而结论可得证（2）（方法一）过，点作CO的平行线G交3 C于点G,以点H为坐标原点，6,例,5所在直线分别为轴、），轴、二轴建立如图所示的空间直角坐标系”一孙z,求得平面S 8C,平面S 8 E的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取B S的中点N,8。上的点P,使B P =2 P C,连接H N,P N,P H ,得H N L B S,H
22、P L B E,得二面角。一5 6-的平面角为N P N”，再求解即可【详解】（1）证明：取CO的 中 点 连 接”M,S M ,由已知得A E =A 6 =2,所以S =S B =2,又点”是 鹿 的 中点，所以S/7_ L 3E.因为S C =SD,点M是线段CO的中点，所以S M L C D.又因为“M_L6 C,所以H M L C D,从而C D _ L平面,所以COLS”，又C D,B E不平行，所以S H _ L平面B C D E.（2）（方法一）由（1）知，过 点 作C Z）的平行线G交3 C于点G,以点，为坐标原点，所在直线分别为x轴、丁轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系H-
23、型，则点3。,一1,0）,C（l,2,0）,（-1,1,0）,S（0,0,7 2）,所 以 及=（0,3,0）,B E =（-2,2,0）,f i S=（-l,l,V 2）.设 平 面 的 法 向 量 为 加=（w，y,z j ,由*tn-BE=0,得m -BS-0X =X A 1c，令 =1，X j +y +/2 Z =0得比=(1,1,0).同理，设平面S B C的法向量为n=（%,%，Z 2），由，n-B C =Q，-,得“n-BS=Q%=X-,+%+/2Z2 0令Z 2=l,得 八=（血,0,1所以二面角ffi*万V 2=V 3C-S B-E的余弦值为c o s 西n）=同 司=二.（
24、方法二）取B S的中点N,8 C上的点P,使B P =2P C,连接N,P N,P，易 知 N _ L B S,HP上BE.由（1）得S H上HP,所以平面8 S E,所以HP上SB,又HN L B S ,所以8S _ L平面P”N,所以二面角。一5 6-的平面角为N P N H.又计算得N”=l,P H=血，P N =6所以c o s/P N H =4=回.6 3【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题a-2,a.a【解析】讨论a =0和a。0的情况，然后再分对称轴和区间之间的关系，最后求出最小值【详解】当a =0时，/(x)=-2 x,它在 0
25、,1 上是减函数故函数的最小值为/(1)=2当a H 0时，函 数/(力=公2 -2的图象思维对称轴方程为x =：当a N l时，:e(0，l ，函数的最小值为/(5)=一：当0 a 1,函数的最小值为/(1)=。一2当a()时，-1,函数的最小值为/(l)=a 2aa-2,a综上=.a【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。2 0.(1)T(2,0)；(2)2,【解析】(1)设出P,。的坐标，代 入 造 磔 =-5,结合P,。在抛物线y 2=4X上，求得P,Q两点的横坐标，进而求得T点的坐标.(2)设出直线加的方程，联立直线
26、?的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结 合 用=4月万，求得|毒+巫 的表达式，结合二次函数的性质求得|m+TB的取值范围.【详解】(1)可知耳(一 1,0),4(1,0),设 P(X o，%)，Q(x。，一%)则6 P =-5=(+1,%)(义 一 1,一%)=1 一%2 ,又 y 2 =4x ,所以一5=-1 一4x()解得=2,所以 T（2,0）.（2）据题意，直线加的斜率必不为0,所以设机:x=（y+1,将直线m方程代入椭圆C的方程中,整理得（产+2）/+2”-1 =0,设人（石，/），8（%,%），2 t则X+%=一 百 豆 因 为 不=4月及所以X=%，且x 0,解得加(-2,2)；
27、(2)由(1)可知，fr(x)=2x2-2/wc+m2,所以 h(x)=2e2x-2mex 4-2(ln x)2-2m lnx+2m2因为/z(x)=2e2x-2mex+2(In x)2-2m In x-2m2 m2+k2整理得 m2-2(ex+In x)m+2e2x+2(ln x)2-F 0,设”(x)=，+ln x,则 H(x)=+,0,所以(x)单调递增，X又因为 H(ei)=ec 1 +7/21 m，所以存在 x e(e,),使得(x)=+In x=m，设F(m)=加一 2(/+In x)m+2e2x+2(ln x)2-k1,是关于加开口向上的二次函数，则 F(m)m in=F(e*+
28、In x)=(ex+In x)2-k1,设G(x)=e-l n x,则G(x)=ev,令(x)=e ,贝!J(x)=e、+4 0,XXX所以G(x)单调递增，因为G(3=&-2()21,X 1所以存在x e q,l),使得G(X o)=O,即e=一,当 x e(O,X o)时，G(x)0,所以G(x)在(0,%)上单调递减，在(x”,+8)上单调递增，所以 G(尤)m i n=G(x0)=-ln x0=x0+,因为看(；,1),所以G(X o)=X o+J e(2,g),又由题意可知(G(x)2-k20,所以(G(X)1 nh i)2 -4 2 =(G(x 0)2 -/2 0,解得Z 4 G(
29、x 0),所以正整数A的取值集合为 1,2 .【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题，恒成立问题要逐步消去参数，转化为最值问题求解，适当构造函数是转化的关键，本题综合性较强，难度较大，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.2 2.(1)y=P(2)当 G点横坐标为整数时，S不是整数.【解析】(1)先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G的轨迹方程；(2)先 求 解 弦 长 再 分 别 求 解 点 E,G 到直线AB的距离，表示出四边形的面积，结合点G的横坐标为整数进行判断.【详解】(1)设 A(%,%),5(%,%)。(如 )，则%；=4 py芯=4
30、p%,抛物线C的方程可化为则y，=J*,4p 2 P所以曲线C在点4 处的切线方程为y =；%(x -%)+x =:-x/x，2 P 2 p1 /1在点8 处的切线方程为,=/(“一 )+%=/、一%,11因为两切线均过点G,所 以%=丁 玉/-弘，y0=-2x0-y22P 2p1 1所以A,5两 点 均 在 直 线 上.%=丁/一），所以直线A8的方程 为 为=丁 玉）*一），2 P 2 P又因为直线A 3过点尸（0,p）,所 以%=-。，即G点轨迹方程为丁=一（2）设点G（x。，P）,由（1）可知，直线AB的 方 程 为=,2P1即 =丁 守+，2 P将直线A8的方程与抛物线联立，1-2
31、P o ,整理得2/x 4p 2=0,x2-4 p y所 以 玉+=2/，xx2=-4 p2,解得-司=2小 片+42 ,因为直线A5的斜率左=（；入。力0,所以土）。，且|A B|=J 1 +1 2|X -x2-x。,线段A B的中点为M（X o，1-x；+P）,2P所以直线EM的方程为：=一 女（%一七）+；片+,/2P_ 1 2所以E点坐标为（0,X o +p）,2P直线A B的方程整理得x 0 x -2 p y +2 P2 =0,则 G 到 A B 的距离&=J：4P!=J x；+4p 2 ,J%+4p-.I X g 4p2|r-则E到A B的 距 离-i=J%+4P,J x；+4p 所以s=j阴（4+&）=a+4P 2严心设X o=m p,因为p是质数，且M为整数，所 以 同=；或当|同=,时，1=1,$=+4-）,苞+4/厂是无理数,不符题意，P P当zeZ（m。0）时，s=（m M）p27m2+4.因 为 当 同2 2时，加2的（网+1）2,即是无理数，所 以 同N 2不符题意，当加=1时，石是无理数，不符题意，综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的切线问题通常借助导数来求解，四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题，表示出面积的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.