《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)09 指数与指数函数(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)09 指数与指数函数(含详解).pdf（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题0 9指数与指数函数【考点预测】1.指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果x =a，那么叫做。的次方根，其中5 1,”e N*),记 为 标，称为根指数，”称为根底数.(2)根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幕运算a(aw0)中的一个参数，。为底数，为指数，指数位于底数的右上角，惠运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幕的分类“个正整数指数幕(e N*)；零指数累=1(0)；负 整 数 指 数 塞 H0，e N*)：()的正分数指数暴等于0,0 的负分数指数累没有意义.(5
2、)有理数指数幕的性质aan=am+(a 0,机，e Q)；(a)=a(a 0,m,neQ).(a力(a 0,b0,m&Q).值=嬴4 0，明2.指数函数y-axa象、vAvA2J1 X1 ,定义域R，值域(0,+8)质济=:1,即时x=0,y=l,图象都经过(0,1)点，=4，即x =l 时，y 等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数 x 1：x 0 时，0 ，1既不是奇函数，也不是偶函数x 0 时，0 a*0 时，a 1【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时.，必须分4 1”和 两 种 情 形 讨 论.(2)当0 。1时xf+8，y-o；a 的值越大，图
3、象越靠近V轴，递增速度越快.(3)指数函数y=与 y=(-)v的图象关于丁轴对称.a【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例 1.(2022四川凉山三模(文)计算：+el n 3-(/3-1)+l g 4+l g 0.25=.例 2.(2022.河北邯郸一模)不等式1(/_ 6 -3,1的解集为.例 3.(2022陕西榆林市教育科学研究所模拟预测(理)甲、乙两人解关于x的方程2，+6 2-，+。=0,甲写错了常数4得到的根为x=-2或 4 l o
4、 g?j 乙写错了常数c,得到的根为x =0 或x =l,则原方程的根是()A.x =-2 x =l o g23 B.%=-1 或x=lC.x =0 或x =2 D.1=一 1 或尤=2例 4.(2022全国高三专题练习(文)已知函数 x)是定义在R 上的奇函数，当X 2 0 时,f(x)=4-3 x2 +2 a.则关于x 的不等式 x)4-6 的解集为()A.-2 B.(0,-1C.-2,O)U(O,2)D.-2,0)5 2,”)例 5.(2 0 2 2 全国高三专题练习)化简：(1)(/2XV3)6+(-2018)-4X（2）（L1 30，0）Jab2 a 3b3 73 2/c、a2-1
5、a+a2。-1 I-1-+H-.a+a2+1 a2+1 a2-1【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如a=6,af Mb,/6的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如4*+Ba+C =0或/，+Bax+C摩）（0）的形式,可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6.（2022浙江绍兴模拟预测）函数/（x）=（：+叫,的图象如图所示，贝I J （）a-am 0,0 a l B.m 1 C.m0,0aD.例7.（2022全国高三专题练习）函数句=|2-1卜加恰有一个零点，则的取值范围 是（）A.（L+oo）B.0
6、u(l,+oo)C.0u 1,+g的解集是（0,叱）D.是增函数例9.（2022河南三模（文）已知/（x-1）为定义在R上的奇函数，/=0,且/（x）在卜1,0）上单调递增，在 0,+8）上单调递减，则不等式/（2、-5）1,0）上，则一1 二+士2最小值为.例 U.（2022北京高三专题练习）已 知 耳=22，+2川一。2+1（其中a e R 且。为常数）有两个零点，则实数”的取值范围是.例 12.（2022全国高三专题练习）已知函数.f（x）=2+h 2T（%为常数，&wR）是 R上的奇函数.（1）求实数k 的值；若函数）=/（x）在区间山 司上的值域为，?，求，+的值.【方法技巧与总结】
7、解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例 13.（2022北京高三专题练习）设“X）是定义在R 上的偶函数，且当X 40时，/（另=2,若对任意的x e m,m+l,不等式f（x）分尸一）恒成立，则正数加的取值范围为（）A.m l B.m C.0 /n 1 D.Gm例 14.（2022 北 京 高三专题练习）已知函数/（x）=3-3 T.（1）利用函数单调性的定义证明/（x）是单调递增函数；若对任意x T，l ,（叫?+时 w-4 恒成立，求实数?的取值范围.例 15.（
8、2022 全 国 高三专题 练 习（文）已知函数/（犬尸。-节（。为实常数）.（1）讨论函数 x）的奇偶性，并说明理由；（2）当“X）为奇函数时，对任意x e l,6 ,不 等 式/恒 成 立，求实数”的最大值.例 16.（2022全国高三专题 练 习（文）已知函数刈=4,-0.2+1.（1）若函数/（x）在xe0,2上有最大值一8,求实数。的值；（2）若方程/（x）=0 在2上有解，求实数。的取值范围.例 17.（2022全国高三专题练习）已知函数/（幻=/，g（x）=（|-m（1）当x e-1,3时，求/*）的值域；（2）若对Vxe0,2,g（x）.l成立，求实数，”的取值范围；（3）若
9、对 内 e 0,2,切 e-l,3,使得g（G J g）成立,求实数加的取值范围.【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型四：指数函数的综合问题例 18.(2022天津河西二模)己知定义在区上的函数/。)满足：2-力+/(幻=0 泡 彳-2)-/(-力=0；在 T,l 上的解析式为f(x)=2 L J,则函数/(x)与函数g(
10、x)=的图象在区间-3,3 上的l-x,xe(O,l 交点个数为()A.3 B.4 C.5 D.62+3 x0例 19.(2022.北京.二模)若 函 数/(x)=l 一 的定义域和值域的交集为空集，则正数。的取值(x-2),0 x a范 围 是()A.(0,1 B.(0,1)C.(1,4)D.(2,4)4例 20.(2022甘肃省武威第一中学模拟预测(文)已知函数/(x)=+s i n G,则(2022)(2022)(2022)-例 21.(2022全国高三专题练习)已知函数 x)的定义域为R,满足f(x+l)=2/(x-1),且当x e(T l 时，/(x)=2-,则/(2020)=.0
11、2 T X 2 X)+1)1例 23.(2022江西二模(文)设函数 5，若”1)是 函 数 的 最 大 值，则实数。的 取 值 范 围 为.【过关测试】一、单选题1.(2022北京通州模拟预测)已知函数,f(x)=3*-,则/(x)()A.是偶函数，且在R是单调递增 B.是奇函数，且在R是单调递增C.是偶函数，且在R是单调递减 D.是奇函数，且在R是单调递减2.（2 0 2 2 安徽淮南二模（理）1 9 4 7 年，生物学家M a x K l e i b e r 发表了一篇题为 b o d y s i z e a n d m e t a b o l i c r a t e 3的论文，在论文中
12、提出了一个克莱伯定律:对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的1次幕成正比，即尸=3，其中F为基础代谢率，例为体重.若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的1 0 倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：V l O 1.7 7 8 3）（）1000-f 100*O.4 r10-*A.5.4 倍B.5.5 倍 C.5.6 倍 D.5.7 倍 MQUSI0叱t I f T !f J *001 0.1 1 10 100 1000 10.000Body mats(kg)3.（2 0 2 2 陕西 西安中学模拟预测（文）英国著名数学家布鲁克 泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级
13、数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级r2 工 3数，并建立了如下指数函数公式*+X+5 +R其中x eR,eN,则近的近似值为（精确到0.01）（）A.1.63B.1.64C.1.65D.1.664.（2022河南洛阳 二模（文）已知函数3x+,-l,x l-lo g3(x +5)-2,j t 1，且/=-2,则/(6+%)=()A.26 B.16 C.-16 D.-265.（2022 四川成都三模（理）若函数 x）=9+方”的零点为七,则9（当一1）=（）.A.-B.1 C.V 3 D.26.（2022河南 开封高中模拟预测（文）若关于x的不等式。有实数解，则实数的
14、取值范 围 是（）A.（l,+=o）B.（2,+o o）C.1,-K O）D.2,+c o）7.（2022.四川.内江市教育科学研究所三模（理）已知函数了（对满足：对任意工1,/卜+|=-/卜-|.当x w-l,0)时，y(x)=3 -1,则/(lo g 390)=()8.（2022上海宝山二模）关于函数,（x）=（2，-J/和实数犯 的下列结论中正确的是（）A.若则/（，）/（）B.若初 （）,则/（?）/（）C.若 y（m）/（），则/D.若/（峭./（）,贝 1 疝 3二、多选题9.（2022湖南模拟预测）在同一直角坐标系中，函数y =能与y =bg“（x-2）的图象可能是（）A.若，?
15、-扬=1,J U!a-b b,则下列不等式中正确的有（）A.a-b 0 B.2 2 C.a o h c D.a2 b2f 4 s i n7 rx,0 x 0,则点9，f(r)与 原 点 连 线 的 斜 率 恒 为 正.其 中 正 确 结 论 的 序 号 为.四、解答题1 7.(2 0 2 2 全国高三专题练习)由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y (单位：n?)与时间1(单位：h)成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y与 r的函数关系式为y =&x 1|J (为常数)，如图所示.(1)求)，关于f
16、 的函数关系式;(2)已知该地下车库的面积为2 5 6 0 n，当积水深度小于等于0.0 5 m时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？1 8.(2 0 2 2 全国高三专题练习)计算：库卜(-9.6)。-仁+(|；已 知)+/=3,求 蹩 费 的 值 1 9.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知 0,且 存 1,若函数y=|以一2|与 y=3 a 的图象有两个交点，求实数a的取值范围.2 0.(2 0 2 2 全 国 高 三 专 题 练 习)设 函 数=且 是 定 义 域 为 R的奇函数;(1)若 1)0,判断f(x)的单调
17、性并求不等式/(x +2)+/(x-4)0 的解集;a(2)若f(l)V，且g(x)=、+a-2，_”(x),求 g(x)在 上 的 最 小 值.2 1.(2 0 2 2 北京高三专题练习)定义在。上的函数/(x),如果满足:对任意x e。,存在常数M 0,都有-历 4 7(x)4 M 成立，则称/(x)是。上的有界函数，其中例称为函数“X)的上界.已知/（x）=4+tz-2-2.（1）当。=-2 时，求 函 数 在（0,+8）上的值域，并判断函数“X）在（0,+）上是否为有界函数，请说明理 由；（2）若函数/（x）在（7）,0）上是以2 为上界的有界函数，求实数”的取值范围.22.（2022
18、全国高三专题练习）已知函数/0）=优+%（。0力0,a二1力片1）.（1）设 =2力=g,求方程f（x）=2 的根；（2）设a=2,6=g,若对任意x e R,不等式/（2x）N x）-6加恒成立，求实数?的最大值；（3）若。“1力函数g（x）=x）-2 有且只有1个零点，求必的值.专题0 9指数与指数函数【考点预测】1.指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果x =a，那么叫做。的次方根，其中5 1,”e N*),记 为 标，称为根指数，”称为根底数.(2)根式的性质：当为奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当 为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指
19、数的概念：指数是幕运算a (a w0)中的一个参数，。为底数，为指数，指数位于底数的右上角，惠运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幕的分类“个正整数指数幕(eN*)；零指数累=1(0)；负 整 数 指 数 塞 H 0，eN*)：()的正分数指数暴等于0,0 的负分数指数累没有意义.(5)有理数指数幕的性质aan=am+(a 0,机，eQ)；(a)=a(a 0,m,neQ).(a 力(a 0,b0,m&Q).值=嬴4 0，明2.指数函数y-axa象、v Av A2J1 X1 ,定义域R，值域(0,+8)质济=:1,即时x=0,y=l,图象都经过(0,1)点，=4，即x=l时，y等于底数a在定
20、义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数 x0时，。*1：x0时，0，1既不是奇函数，也不是偶函数x 0 时，0 a*0 时，a 1【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时.，必须分 4 1”和 两 种 情 形 讨 论.(2)当0。1 时，x f+8，y -o；。的值越小，图象越靠近V轴，递减的速度越快.当。1 时x f+8，y-o；a的值越大，图象越靠近V轴，递增速度越快.(3)指数函数y =与 y =(-)v的图象关于丁轴对称.a【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典
21、例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例 1.(2 02 2 四川凉山三模(文)计算：+eln 3-(V 3-l)O+l g4+l gO.25=.【答案】1 8【解析】【分析】根据指对数事的计算公式求解即可【详解】(/J +e 3-(百 T +lg 4 +lg 0.2 5 =4 2+3-l+lg(4 x0.2 5)=1 8 故答案为：1 8例 2.(2 02 2 河北邯郸一模)不等式1 0-6,-3,2 1 的解集为.【答案】口,+)【解析】【分析】将原不等式变为(专+(4),+(2)41，设然后利用函数的单调性解不等式.【详解】由 10,-6,-3*21，可得(L)+(41.因 为
22、尸 儒J，y=儒)，y=懦j均为R上单调递减函数则x)在R上单调逆减，且1)=1,.-.xl故不等式10,-6，-3*2 1的解集为L”).故答案为：口,+().例3.(2022陕西榆林市教育科学研究所模拟预测(理)甲、乙两人解关于x的方程2*+62-*+c=0,甲写错了常数6,得到的根为x=-2或 户lo g?,乙写错了常数c,得到的根为x=0或x=l,则原方程的根是()A.x=-2x=log,3 B.x=-l 或x=lC.x=0或x=2 D.x=1 或x=2【答案】D【解析】【分析】令f=2 3则方程2+b-27+c=0可化 为/+6=0,根据甲计算出常数c,根据乙计算出常数6,再将也c代
23、入关于x的方程2*+62*+c=O解出x即可【详解】令”2 3则方程2+b-2-，+c=0可化为产+a+A=0，甲写错了常数6,所以二和1Z是方程“+0的两根，所以c=-t+1 =-g，4 414 4；2乙写错了常数c,所 以I和2是方程产+加+6=0的两根，所以 =1x2=2,则可得方程r一|r+2=0,解得工=3山=4,所以原方程的根是x=-1或*=2故选：D例4.(2022全国高三专题练习(文)已知函数x)是定义在R上的奇函数，当X20时，/(x)=4 3 x 2+2 a.则关于x的不等式/(x)4-6的解集为()A.B.C.-2,O)U(O,2)D.-2,0)o(2,4)【答案】A【解
24、析】【分析】由，(力是R上的奇函数求出。值，并求出x 0时，函数f(x)的解析式，再分段讨论解不等式作答.【详解】因 函 数 是 定 义 在R上的奇函数，且当X 2 0时，/(x)=4 -3 x 2 +2 a.则/(0)=4-3 x 2 +2 =2 -2 =0,解得a =l,即当x N O时，/(x)=4*3 x 2*+2,当 x 0,则 x)=-/(-x)=-(4 T-3 x 2 T +2),而当 X N O 时，/力、=(23-,/1-/一“1 则当/小、项 寸,_x(407 _3X2 7+2)(4 即fx 0叱+旌。,陞 4所以不等式x)4-6的解集为(V,-2|.故选：A例5.(2 0
25、2 2全国高三专题练习)化简：1(1)(V2XV3)6+(-2018)-4X 2+/(3-)4a3b2(2)(1 V _ 1 1 (0,b0).&ib?a 3b(3)3 2a2-1 a+a2 a-T-+1 ai-1【答案】9 9+万；%【解析】【分析】(1)根据指数基的化筒原则，计算整理，即可得答案.(2)根据指数基的化筒原则，计算整理，即可得答案.(3)根据指数基的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案.【详解】(1)原式=(蚯)6义(6)6 +1-4、/竺+|3-司=4乂2 7 +1-7 +乃 一3 =9 9 +万(2)原 式=J.2 i/b2613 b3加小加/10 8 oa3b
26、3 5 4I ),32 7 2 7a b(3)原式a2-1 a+a2+1 2 1 2 1 i i)出。+一 出 2+出 。+Q-=.a+a2+1【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如=人，小 b,的形式常用“化同底”转 化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a?，+8优+C=0或+Bax+C摩)(0)的形式,可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题 型 二：指数函数的图像及性质例6.(2022.浙江绍兴.模拟预测)函数/(x)=+犷，的图象如图所示，则()a-a【答 案】Cm 0,0 a 1B.ml C./z0,0a 0时,f(x)0时，(x+”?y 0,
27、则加20,又 由/(x)图像不关于原点中心对称可知?*0,则m0-1则x 0时，出一4-，0，即-0,则0。=|2 -1|与 =只 有 一个交点,0 u l,+o o).例8.(2 02 2四川省泸县第二中学模拟预测(文)函 数/()=二，下列关于函数/(x)的说法错误的是1 4-eA.函 数/(x)的图象关于原点对称B.函 数“X)的值域为(0,1)C.不 等 式/(x)；的解集是(。,+8)D.7(x)是增函数【答 案】A【解 析】【分 析】利用特殊值法可判断A选 项；求 出函数f(x)的值域，可 判 断B选 项；解 不 等 式f(x)g可 判 断C选 项；利用指数型函数的单调性可判断D选
28、项.【详 解】对 于A选 项，函 数 的 定 义 域 为R,且 0)=；#0,所 以，函 数/(x)的图象不关于原点对称，A错；对于 B 选 项，因 为e-+l l，所 以，/(x)=j-7 7e(O,l),B 对；对 于C选 项，由=可得则T 0,C对；对于D 选项，对任意的x e R,y=l+e-*l,旦函数y=l+e-*在R 上单调递减，故函数/（x）是增函数，D 对.故选：A.例 9.（2022 河 南 三模（文）己知/a-l）为定义在R 上的奇函数，/（1）=0,且/（X）在-1,0）上单调递增，在 0,+纥）上单调递减，则不等式/（2-5）0 的解 集 为（）A.（2,log,6）
29、B.（-,l）u（2,log26）C.（log26,+co）D.（l,2）j（log26,+oo）【答案】D【解析】【分析】首先判断出/（x）的对称性，求得/（x）0 的解集，从而求得了（2-5）0 的解集.【详解】因为f （x-l）为定义在R 上的奇函数，所以 力 的图象关于点（-1,0）对称，且 -1）=0,又 1）=0,所以-3）=0.依题意可得，当一3V x l时，/（x）0.所以/（2-5）0 等价于-3 2、-5 1 ,解得1 v x log,6.故选：D例 10.（2022新疆阿勒泰三模（理）函数y=i +l 图象过定点A,点A在 直 线 向+”丫 =3（，1,0）上，则一1 +
30、士2 最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】9，#4.5m-n 2【解析】【分析】根据指数函数过定点的求法可求得A（l,2）,代入直线方程可得（-1）+2 =2,根据 7+2 =：（一二+工（根-1）+2），利用基本不等式可求得最小值.m-n 2 m-n）【详解】当x=l 时，y=a+l=2,y=axx+1 过定点 A（l,2）,又点A在直线如+肛，=3 上，./%+2 =3,即（6 一 1）+2 =2,/m ,n 0,m一 10,念=中，即m g =|时取等号）,n J 2 V m-2(m-1)n9=-（当且仅当1 2 的最小值 为9m-n 2g故答案为：.例 11.（
31、2 02 2 北京高三专题练习）已知/（力=2 2，+2 川-优+1 （其中aeR且。为常数）有两个零点，则实数。的取值范围是.【答案】（4,4 8）【解析】【分析】设f =2，e（0,+8）,可转化为*+（2-4）f +l =0 有两个正解，进而可得参数范围.【详解】设，=2%（0,同，由 x）=2 2、+2 向一+1 有两个零点，即方程於+（2-。+1 =0 有两个正解，=（2-）-4 0所以。,解得a 4,他=1 0即 a w（4,”），故答案为：（4,-KO）.例 1 2.（2 02 2 全 国 高三专题练习）己知函数/5）=2 +七2 一,（左为常数，林 R）是 R上的奇函数.（1）
32、求实数k的值；（2）若函数y=/（x）在 区 间 上 的 值 域 为,求机+的值.【答案】（1 乂=一 1【解析】【分析】由/（0）=0 求得参数值，再检验即可；/(!)=(2)由函数的单调性得，、1 5,代入可求得?，.4(I)由/(x)是奇函数得/(0)=1 +%=0,k=-l,此时f(x)=2，-2 T 是奇函数;(2)由复合函数的性质得f(x)=2-2-*=2，-5 在定义域内是增函数，f(1)=n1 3 1 1 5 1所以 1 5,=2-=-,2 -=-,2 =4 或2 =：(舍去)，j(m)=-2 2 2 4 4m =2 ,3 7所以 2 +/7 =2 +=.2 2【方法技巧与总结
33、】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13.(2 0 2 2 北京高三专题练习)设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x 4 0 时，/(司=2,若对任意的Xe m,m+1,不等式/(x-。恒成立，则正数，”的取值范围为()A.m l B.m C.Q m D.0 /n 1【答案】A【解析】【分析】分析可知 司=2 叱 由已知可得国之2 k-时对任 意 的 肛m+1 恒成立，解得X 4 2%对 任意的加，加+1 恒成立，可得出关于实数，的不等式，解之即可.【详解】因为函数
34、.“X)是定义在R上的偶函数，且当工 4 0 时 一，/(x)=2-*,则当x N O 时，-x 2*叫，即|耳 N 2 卜一同对任意的x 右 ，”,7+1 恒成立，且“，为正数，则XN2(X-7),可得所以，m+2m,可得m N/.故选：A.例14.(2 0 2 2 北京高三专题练习)已知函数/(x)=3 3 T.（1）利用函数单调性的定义证明/（X）是单调递增函数；若对任意“X）7+时（x）2-4恒成立，求实数机的取值范围.【答案】（1）证明见解析 4【解析】【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.-Q Q-（2）令r =3=3T,根据X的范围，可得f的范
35、围，原式等价为力（。=/+加，te,只需（。向 nNY即可，分别讨论-?-今和-今2三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案.（1）由已知可得/（X）的定义域为R，任取再,W R，目.X%，则石）-/=3厂3-（3-3）=3*（1-3-）（1 +1 9，因为 3”0,1+-0,1 -3 y，0,所以一/（引 。即/（x J /（W）,所以“X）在R上是单调递增函数.“X）了+时（x）=（3、-3-r）2+W（3*-3 T），一 8 8一令/=3、一3，则当 xT，l 时，,所以 f （切+时（x）=/+皿.,/2 8 8令产+m，te,则只需当;q,即历 若 时，咐在-*|上单调
36、递增，所以M，）m i n =4_：=整-JmN-4,解得mV与，与m2 矛盾,舍去;J J y J o 3当-1即 弋 巾?时，在卜*4上单调递减,在 国 图 上单调递增,所以/?（%_=4卜一?4,解得 T4W44；当即一 当 时，在-g g 上单调递减,所以向n =力 图 吟+,-4,解 得 诺 Y，与 叱 弋 矛盾，舍去.综上，实数m的取值范围是 T,4.例 15.（2022.全国高三专题练习（文）已知函数f（x）=a-R1s为实常数）.（1）讨论函数x）的奇偶性，并说明理由；（2）当“X）为奇函数时，对任意xe l,6,不等式f（x）q 恒成立，求实数w的最大值.【答案】（1）函数
37、x）是奇函数，理由见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）若函数/（X）为奇函数，由奇函数的定义可求得。的值；又当时一1）*/，K/（-l）*-/（l）,函数f（x）是非奇非偶函数；（2）对任意xl,6,不等式 x）N/恒 成立，化简不等式参变分离，构造新函数9。），利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数的最大值.【详解】解：当。得 时 小）+/（-、）=2 一 3-=24-3=0,即/（-x）=-x）：故此时函数 x）是奇函数；因当ax 1 时，/（l）=a L/（l）=a 2,故且y（1）于是此时函数f（x）既不是偶函数，也不是奇函数；（2）因/（X）是奇函数，故 由（1）知a
38、 =，从而 x）=-汨 不由不等式/（X）吟，得 4 尹-舒 丁令2*+1=r 3,65（因xe l,6）,故“-=+y l-由于函数9（，）=|卜+力 一|在 3,65 单调递增，所以 的 焉=奴 3）=1；因此，当不等式在xe l,6 上恒成立时，un m=l.例 16.(2022 全 国 高三专题练习(文)已知函数/(8)=4=.2，“+1.(1)若函数f(x)在xe 0,2J 上有最大值-8,求实数。的值；(2)若方程/(x)=0 在2 上有解，求实数。的取值范围.17【答案】(I)5；(2)!|时，/(x)w=l2-2a xl+l=-8,解得。=5,:.a=5；(2)v xe -l,
39、2,.,.令/=2*,4,g(t)=r-2at+1 =0,4 有解，a=*；.2厚=1当且仅当：=即f =l时等号成立，此时函数g =r-2f +l 的图象如图,.,J=4时，。取得最大值右,O【点 睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题.例17.(2022全国高三专题练 习)已 知 函 数/(X),g(x)=|j j -m(1)当x e -l,3时，求f(x)的值域；(2)若 对Vxe(),2,g(x).l成 立，求实数皿的取值范围；(3)若 对 由40,2,士”-1,3,使 得g a n J G)成 立，求
40、实 数 机 的取值范围.【答 案】(1)0,9；(2)/,-；(3)W.-8.【解 析】【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化 为 求g(x)在 0,2的最小值大于或 等 于1,再根据指数函数的单调性得出实数m的取值范围;(3)将 问题转化为g(x)在 0,2的最大值小于或等于f(x)在-1,3上 的 最 大 值9,从而得出实数机的取值范围.【详 解】(1)当x e L3时,函 数/(x)=/e O,9.J(x)的值域 0,9(2)对V x e 0,2,g(x).l成立,等价于g(x)在 0,2的最小值大于或等于1.而g(x)在 0,2上单调递减，所以即，町(3)对 e ()
41、,2,即 e -l,3,使得 g(G (f)成立,等价于g(x)在 0,2的最大值小于或等于/(x)在 T3 上的最大值9由 1 一n,9,了.”一8【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型四：指数函数的综合问题例1 8.(2 0 2 2 天津河西二模)已知定义在R上的函数/(x)满足：/(2-力+_/(x)=0；/(x-2)
42、-/(T)=()；在Tl 上的解析式为x)=C s y T L则函数/(x)与函数g(x)=(邛的图象在区间-3,3 上的l-x,xe(O,l 交点个数为()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解.【详解】由/(2 -x)+f(x)=0知/(x)的图象关于(L 0)对称，由f(x-2)-/(一外=0知f。)的图象关于x=T对称，的图象在区间 T 3 上的交点个数为4.故选：B.2*+3,x4 0例1 9.(2 0 2 2北京 二模)若函数/(x)=,、2 的定义域和值域的交集为空集，则正数。的取值(x-2),0 x a范 围 是(
43、)A.(0,1 B.(0,1)C.(1,4)D.(2,4)【答案】B【解析】【分析】首先得到函数的定义域，再分析当X 40时.f(x)的取值，即可得到。43,再对时分“22和0 a 2两种情况讨论，求出此时f(x)的取值，即可得到f(x)的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为y(x)h2 +3,x 0(x-2)2 Q x。，当x 40时f(x)=2，+3,则/(x)在(7,0 上单调递增，所以x)e(3,4；要使定义域和值域的交集为空集，显然0 “V3,当时/(x)=(x-2),若a N 2则/(2)=0 ,此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若0a 2时/(x)在(0,可上单
44、调递减，此时(2)4),则/(x)e(a-2)2,4)U(3,4,所以 1H)，解得。”1，W e(0,l)故选：B4例2().(2 0 2 2甘肃省武威第一中学模拟预测(文)已 知 函 数/(司=王 互+而 公，则+(2 0 2 2 J(2 0 2 2)(2 0 2 2)-【答案】4 0 4 3【解析】【分析】根据题意，化简得到f(x)+/(2-x)=2,结合倒序相加法求和，即可求解.【详解】4由题意，函数=下+sin万 x，4 4可得/（力+/（2-力=+sin 7ix+2 2 T +2+,足 万（2 一 口）4 4-2v-1-Z-2*+2 4+2 A4 2-22X+2+2+22-X=2，
45、设5=/岛卜岛卜+(翳，则 S=f4043202240422022+/12022+f两式相加，可得2S=丁 盛 翁所以 S=4043.故答案为：4043.例 21.(202 全国高三专题练习)已知函数八可的定义域为/?,满足/(+1)=2/(-1),且 当 工 -1 时,x)=2i,则 42()20)=.【答案】21009【解析】【分析】根据已知条件，求得f(x+2)=2/(x),结合f(0)的值以及递推关系，即可求得结果.【详解】由/(x+l)=2/(x-l),得/(x+2)=2/(x),于是/(2020)=2/(2018)=22/(2016)=.=2,(,0f(0),又当时，尤)=2*T,
46、故可得f(0)=；,则“2020)=2必 x；=2*09.故答案为：21009.1|01-2 _ Q2-A 尤 2-，则不等式“尢)+/(1)0 的解集为.【答案】(-8 4)【解析】【分析】分别在x V 2、2 x 3 4的情况下，根据/(x)和/(x l)的解析式和符号依次求解即可.【详解】当X M 2时，x-lWl,j/(x)=1 0 -2-1 0 j在(3,2 上单调递增，”(x)W2)=0,又小-1)2)=。，.,(x)+/(x_ l)0 恒成立；当2 x M 3时,1 x-l2 ./(x)=|x 3|-1 =2 x0,又f(x-l)4 f(2)=0,./(x)+/(x-l)0恒成立
47、；当 3x4 4 时，2 x-l 3,/(x)=|x-3|-l=x-4,/(x-l)=|x-4|-l=3-x；./(x)+x-l)=T 4时，x-l 3,/(x)=|x-3|-l=x-4,/(x-l)=|x-4|-l=x-5,、9 9J (x)+/(x-1)=2 x-9 v 0,解得：x-j 4 x ；综上所述：不等式f(x)+/(x 1)12值范围为.【答案】1,2【解析】【分析】由X 1,求得/(X)的范围，再求得/。)=2 g同 的单调性，讨论。12当X 1时“X)=-；x+1函数单调递减且“X)a时函数单调递减，在x =3、与 y=一在定义域上单调递增，所以=在R 上单调递增;故选：B
48、2.(2022安徽淮南二模(理)1947 年，生物学家 Max Kleiber 发表了一篇题为 body size and metabolicrate33的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律:对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的;次幕成正比，即尸=，其中F 为基础代谢率，M 为体重.若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的(参考数据：师。1.7783)()W W W.r i ,WomanA.5.4 倍B.5.5 C.5.6 倍 D.5.7 倍10 1 C MBody mast(kg)【答案】c【解析】【分析】利用幕的运算性质去求解即可解决【详解】3设 该 哺 乳
49、动 物 原 体 重 为、基础代谢率为耳，则 耳=，3经过一段时间生长，其体重为10M，基础代谢率为尸2,则居=C（IO M尸则及=G （1 0陷1=1 0 -=1 0*6，则 蕾=1 0 4 s si.7 7 8 3,5.6故选：C3.（2 0 2 2陕西西安中学模拟预测（文）英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：er=l+x+其中x e R,e N,则血的近似值为2 6 n(精确到0.0 1 )()A.1.6 3 B.1.6 4C.1.6 5D.1.
50、6 6【答案】c【解析】【分析】应用题设泰勒展开式可得eU l +l +l+随着 的 增大，数列 二递减且靠后各项2 8 4 8 n-2 无限接近于0,即可估计段的近似值.【详解】计算前四项，在千分位上四舍五入a l +；+g +a 1.6 4 6 a 1.6 5 故选：C4.（2 0 2 2河南洛阳二模（文）已知函数x）=l(lo g3(x +5)2,x ，且 租）=一2,则/（6+优）=（)A.2 6【答案】A【解析】B.1 6C.-1 6D.-2 6【分析】1 1 1分段函数的性质可得当m2 寸，3 3-1 =-2，当烧 1时,-log3(m+5)-2=-2,求出机的值，从而可求出/(6