《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)16 极值与最值(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)16 极值与最值(含详解).pdf（60页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题16极值与最值【考点预测】知识点一：极值与最值1.函数的极值函数f(x)在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/(x)F(x。)，则称/(七)是函数的一个极小值，记作y极 小 值=/(%).极大值与极小值统称为极值，称/为极值点.求可导函数/(x)极值的一般步骤(1)先确定函数/(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程(x)=0 的根；(4)检 验/(X)在方程广。)=0 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数)，=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.注可导函数/(
2、x)在点不处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即(%)=0,且在与左侧与右侧，(。)的符号导号.尸(%)=0是4 为极值点的既不充分也不必要条件，如=-(0)=0,但%=0 不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数/(力=凶，在极小值点%=0是不可导的，于是有如下结论：X。为可导函数/(x)的极值点n/(与)=0;但/(%)=0芳%为/(x)的极值点.2.函数的最值函数),=f(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(%)最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.导函数为 f (.r)=ax2+bx+c=a(x x,)(x x2)(m x x2 0 时，
3、最大值是/(西)与/()中的最大者；最小值是/()与/(?)中的最小者.(2)当。a在区间D上恒成立o/a；不等式/(x)2 a在区间D上恒成立o/(x)n,n a；不等式 Z?在区间D上恒成立o/(力 四 b；不等式/(x)功 在区间D上恒成立o/(x)a K h；(2)若函数/(X)在区间D上不存在最大(小)值，且值域为(见)，则不等式(或f (尤)之。)在区间D上恒成立。m N a.不等式f(x)b(或/(x)8)在区间D上恒成立o m Wb.(3)若函数/(x)在区间D上 存 在 最 小 值 和 最 大 值“同 出，即则对不等式有解问题有以下结论：不等式a /(x)在区间D上有解o a
4、 x)n u x；不等式a W /(x)在区间D上有解o a /(x)在区间D上有解o a /(x)n i m；不等式a 2 在区间D上有解o a 2 /(x)n h i;(4)若函数/(x)在区间D上不存在 最 大(小)值，如值域为(相，n),则对不等式有解问题有以下结论：不等式a x)(或a W/)在区间D上有解oa /(x)(或b 2/(x)在区间D上有解o h相(5)对于任意的司e a,目，总存在w e m,n,使得/(9)(石)1 mx 4 g(9)1 M x；(6)对于任意的玉e a,可，总存在士 e m,n,使得/&)幺()0/(%)二 (动 血；(7)若存在句，对于任意的A2
5、G lm,n,使得/(石)W g(w)o/(%)1 r f l i 4 g(毛 心；(8)若存在玉e a,b ,对于任意的w w m,使得/(%)幺()0%)1 r a x幺 仇)1 r a x；(9)对于任意的王e a,司，.eg 使得/(石)。(9)0 5)1a x京()向、；(1 0)对于任意的 e a,可，w m,可使得/(石)欠(3 0/4可 幺(天)的；)若存在玉 e a,司，总存在毛 em,n ,使得 )K g(电)o 芭)1nh i K g(W)1rax(1 2)若存在玉e a,外 总 存 在 毛 em,n ,使得N g(天)丽.【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点题型
6、二：根据极值、极值点求参数题型三：求函数的最值(不含参)题型四：求函数的最值(含参)题型五：根据最值求参数题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用题型七：不等式恒成立与存在性问题【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点例1.(2022.江西上饶市第一中学模拟预测(文)已知函数 x)=e -a(x-l)(a e R).当a=l 时，求函数y=/(x)的极值；例 2.(2022.湖北襄阳四中模拟预测)设 x)=e sinx.求/(x)在卜万，句上的极值；若对V/w W。,司，x产 七，都 有 以 上 9+4 0 成立，求实数”的取值范围.例 3.(2022天津市咸水沽第一中学模拟预测)已知函数/(
7、外=蚂也-61!1(6=2.71828自然对数底数).x 当”=e 时，求函数f (x)的单调区间；当 a e 时，(i)证明：f(x)存在唯一的极值点：(i i)证明：/(x)/3）C.-2 6,2百 D.-2,2例 11.（2022四川省南充高级中学高三阶段练习（理）已知函数/（月=3-3/加+m+用2在x=l 处取得极值0,则 加+=（）A.2 B.7 C.2 或 7 D.3 或 9例 12.（2022全国高三专题练习）函数/（x）=e-q（x lnx）在（0,1）内有极值，则实数的取值范围是（）XA.（f,e）B（0,e）C.（e，+oo）D.%+8）例 13.（2022.陕西.西北工
8、业大学附属中学模拟预测（理）已知函数/（可=加-（4“+1）+4+3卜，若=2是/（x）的极小值点，则实数。的取值范围是（）C.(,0)D.(-l,+oo)例 14.（2022.全国高三专题练习）已知函数/（司 千 一/+彳 在 区 间（对上既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是（）A.（2,+c o）B.2,+o o）C.（2,目 D.（2,与）例 15.（2 0 2 2 全国高三专题练习）函 数/）=93-；（血+1）/+2（?_以在（0,4）上无极值，则机=.例 16.（2 0 2 2 吉林长春模拟预测（文）已知函数 x）=a r+s i nx,x 0,兀）.当a =l 时，过（0,
9、1）做函数 x）的切线，求切线方程；（2）若函数/（x）存在极值，求极值的取值范围.例 1 7.（2 0 2 2 北京市第十二中学三模）已知函数f（x）=l nx+2,a e R.（1）当a =l 时，求函数/（x）的单调递增区间；（2）设函数g（x）=以岁，若g（x）在 l,e 上存在极值，求。的取值范围.例 1 8.（2 0 2 2 天津耀华中学二模）已知函数f（x）=Q +l nx-x（a 0）.X 若 a =l,求函数“X）的单调区间；（2）若“X）存在两个极小值点4天，求实数a的取值范围.例19.（2 0 2 2 河北石家庄二中模拟预测）已知函数力=-丁+加+区.当 =0,人=1 时
10、，证明：当x e（l,+oo）时，/（x）0 时，求 x）在区间 L 2 上的最大值.题型五：根据最值求参数例 30.（2 0 2 2 河北模拟预测）已知a 0,函数g （x）=x+2 在 2,心）上的最小值为1,则。=例 31.（2 0 2 2 山西运城模拟预测（理）已知函数 x h g x +g d-z x+l,若 函 数 在（2 a 2,陵+3）上存在最小值.则实数。的 取 值 范 围 是.例 32.（2 0 2 2 浙江湖州高三期末）若 函 数 制=任+2 +1 +4）/存在最小值，则实数。的取值范围是例 33.（2 0 2 2 陕西模拟预测（理）若函数/（x）=V-3 x-l 在区间
11、（4-2,2 a+3）上有最大值，则实数。的取值范围是.题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用例 34.（2 0 2 2 全国高三专题 练 习（理）已知函数/（x）=e x+a x-s i nx.（1）求 y=f （x）在 x=0处的切线方程；当。=2时，设函数g （x）=&，若乃是g （x）在（0,n）上的一个极值点，求证：初是函数Xg（X）在（0,兀）上的唯一极小值点，且 e 2 g（X0）e 72 .例 35.(2022四川泸州三模(文)已知函数力=-；/+依，eR.(1)讨 论 函 数 的 单 调 性；若 g(x)=/(x e 有且只有一个极值点，求。的取值范围.例 36.(2022
12、广东深圳市光明区高级中学模拟预测)已知函数 x)=e-ax+sinx-1.(1)当a=2时，求函数A x)的极值点；当 14 2时，试讨论函数Ax)的零点个数.例 37.(2022北京市H 一学校高三阶段练习)已知函数_/(x)=(x-l)e -g a x 2+g _ i)x 当 a=l 时，求曲线y=/(x)在点。，/)处的切线方程；(2)判 断 函 数 的 极 值 点 的 个 数，并说明理由.2例 38.(2022重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知函数/(x)=e*(x-3)-lnx-.x求曲线y=f W在点(1,7(1)处的切线方程；7(2)证明：J 3 存在唯一极大值点方,且-2 e-2
13、f(与)0,函数f（x）=a，-g x 3 的极小值为-，贝 陷=（）A.孤 B.1 C.V2 D.V24.（2022内蒙古包头一模（理）设m 工 0,若x=，”为函数f（x）=m（x?）2（x-）的极小值点，则（）n nA.rnn B.mn C.1m m5.（2022河南模拟预测（文）当*=，时，函 数/（力=丁 一/+34一 21叱取得最小值，则机=（）2 3A.-B.1 C.-D.23 26.（2022四川凉山三模（理）函数 x）=3 x 2-s in x,若在（0,上有最小值，则实数a 的取值范围 是（）A.（0,+8）B.（0,1）C.（9,0）D.（-1,0）7.（2016天津市红
14、桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数/（x）=，-4）（x-a）,a 为实数,尸（-1）=0,则/在 -2,2 上的最大值是（）A.2 B,1 C.3 D.-史2 5 278.（2022宁夏高三阶段 练 习（文）若函数 x）=+在区间（a,a+D上存在最小值,则实数。的取值范 围 为（）A.B.（-2,-1）（用 n r-i-nC-8，D-x/7二、多选题9.（2 0 2 2 重庆三 模）已知函数力=厂：+1 （e 为自然对数的底数，=2.7 2）,则关于函数f（x）,下列结论正确的是（）A.有 2个零点 B.有 2个极值点C.在（0,1）单调递增 D.最小值为1 1 0.（2 0 2 2.
15、湖北.宜城市第一中学高三阶段练习）已知=则下列说法正确的有（）A.函数y =f（x）有唯一零点x =0B.函数y =/（x）的单调递减区间为C.函数y =有极大值;D.若关于x的方程/（力=。有三个不同的根.则实数”的取值范围是（0,|1 1.（2 0 2 2.福建省德化第一中学模拟预测）设函数f（x）的定义域为R,%（毛/0）是/（另的极大值点，以下结论一定正确的是（）A.V xe/?,/（x）/（）B.-4是-x）的极大值点C.T。是-f（x）的极小值点 D.-%是-x）的极小值点1 2.（2 02 2 全国模拟预测）已知函数/（力=（4-航”+疣、的图象关于直线x=g对称，则下列说法正确
16、的是（）A.”=e B./在（%）上单调递增C.尤=；为/（冷的极小值点 D.“X）仅有两个零点三、填空题1 3.（2 02 2 全国高三专题练习）函 数/（力=93-3（m+1*+2（m _ 1 在（o,4）上无极值，则机=.1 4.（2 02 2.天津河西二模）若函数/。）=/+#7-9在x=l处取得极值，则 2）=.1 5.（2 02 2 湖南长郡中学高三阶段练习）函数/（x）=g +ln|x|的极值点为.X X,C I7 则下列命题正确的有：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4J V x 7,若，（X）有两个极值点，则。=0 或g 4 l若X)有极小值点，则若f(x)有极大值
17、点，则使“X)连续的。有 3个取值四、解答题1 7.(2 02 1 四川省叙永第一中学校高三阶段练习(文)己知函数/(x)=x3 +a r 2 +6 x+c 在X =12与=-：时，都取得极值.(1)求。，。的值；(2)若/(-1)=|,求X)的单调增区间和极值.1 V1 8.(2 02 2 河南郑州高三阶段练习(文)已 知 函 数/(*)=诏 .若4 =0,求曲线y=/(x)在点(1 J )处的切线方程；(2)若/(x)在 x=-1 处取得极值，求/(X)的单调区间及其最大值与最小值.1 9.(2 02 2.陕西武功县普集高级中学高三期末(文)已知函数 x)=l nx-g若=-3,求函数f(
18、x)的极值；(2)若 函 数 在 e,e上单调递增，求 的取值范围.2 0.(2 02 2 全国高三专题练习)已知函数力=*3+/+6+1 在(-1,0)上有两个极值点，4三，且占 x?.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，2 1.(2 02 2 北京人大附中三模)设函数/.(x)=a r 2 (4 a +i)x+4 a+3 e.若曲线y=/(x)在点(1 J(1)处的切线与X 轴平行，求a；(2)若 f(x)在 x=2 处取得极大值，求”的取值范围.2 2.(2 02 2 浙江嘉兴.模拟预测)已知函数/(x)=e*+a r 2-e,a eR.(注：e=2.7 1 8 2 8 是自然对
19、数的底数)(1)当a =l时，求曲线y=/(x)在点(1,/(1)处的切线方程；(2)若 f(x)只有一个极值点，求实数。的取值范围；(3)若存在 e R,对与任意的x e R,使得/(X)*恒成立，求Q-的最小值.专题16极值与最值【考点预测】知识点一：极值与最值1.函数的极值函数f(x)在点X。附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/(x)F(x。)，则称/(七)是函数的一个极小值，记作y极 小 值=/(%).极大值与极小值统称为极值，称/为极值点.求可导函数/(x)极值的一般步骤(1)先确定函数/(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程(x)=0 的根；(4)检 验/(X)在方
20、程广。)=0 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数)，=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.注可导函数/(x)在点不处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即(%)=0,且在与左侧与右侧，(。)的符号导号.尸(%)=0是4 为极值点的既不充分也不必要条件，如=-(0)=0,但%=0 不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数/(力=凶，在极小值点%=0是不可导的，于是有如下结论：X。为可导函数/(x)的极值点n/(与)=0;但/(%)=0芳%为/(x)的极值点.2.函数的最
21、值函数),=f(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(%)最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.导函数为 f (.r)=ax2+bx+c=a(x x,)(x x2)(m x x2 0 时，最大值是/(西)与/()中的最大者；最小值是/()与/(?)中的最小者.(2)当。a在区间D上恒成立o /a；不等式/(x)2 a在区间D上恒成立o/(x)n,n a；不等式 Z?在区间D上恒成立o /(力 四 b；不等式/(x)功 在区间D上恒成立o /(x)a K h；(2)若函数/(X)在区间D上不存在最大(小)值，且值域为(见)，则不等式(或f (尤)之。)在区间D上恒成立
22、。m N a.不等式f(x)b(或/(x)8)在区间D上恒成立o m Wb.(3)若函数/(x)在区间D上 存 在 最 小 值 和 最 大 值“同 出，即则对不等式有解问题有以下结论：不等式a /(x)在区间D上有解o a x)nu x；不等式a W /(x)在区间D上有解o a /(x)在区间D上有解o a /(x)ni m；不等式a 2 在区间D上有解o a 2 /(x)nh i;(4)若函数/(x)在区间D上不存在 最 大(小)值，如值域为(相，n),则对不等式有解问题有以下结论：不等式a x)(或a W/)在区间D上有解o a /(x)(或b 2/(x)在区间D上有解oh相(5)对于任
23、意的司e a,目，总存在w e m,n,使得/(9)(石)1 m x 4 g(9)1 Mx；(6)对于任意的玉e a,可，总存在士 e m,n,使得/&)幺()0/(%)二 (动 血；(7)若存在句，对于任意的A2 G l m,n,使得/(石)W g(w)o/(%)1 r f l i 4 g(毛 心；(8)若存在玉e a,b ,对于任意的w w m,使得/(%)幺()0%)1 r a x幺 仇)1 r a x；(9)对于任意的王e a,司，.eg 使得/(石)。(9)0 5)1a x京()向、；(1 0)对于任意的 e a,可，wm,可使得/(石)欠(3 0/4可 幺(天)的；)若存在 看 e
24、 a,国，总存在毛e m,n ,使得“%)。(小3 二 Kg(马)侬(1 2)若存在 玉 可 a,外 总 存 在 电 e m,可，使得%)冷(%2)0/(3)1 r a x Ng(%)1 1 1 t a.【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数题型三：求函数的最值(不含参)题型四：求函数的最值(含参)题型五：根据最值求参数题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用题型七：不等式恒成立与存在性问题【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点例 1.(2 02 2.江西上饶市第一中学模拟预测(文)已知函数 x)=e-a(x-l)(a e R).当a =l 时，求函数y
25、=的极值；【解析】由题知，当 a =l 时，/(x)=er-(x-l),XG R/./,(x)=e -1,令/(x)=O,x =0.二 x e(-w,0)时，/(x)0,/(x)单调递增.x =0 是f(x)的极小值点，二)的极小值为 0)=2,无极大值.例 2.(2 02 2 湖北援阳四中模拟预测)设/(x)=e*s i n x.(1)求“力在卜肛句上的极值;若对也,9 0,司，x 产 乙，都 有 幺*g+a 0 成立，求实数。的取值范围.玉 x2V 2 6红【答案】(1)极小值为F，极大值 为 卫 e 工2 e4 2+8【解析】【分析】(1)直接求导计算即可.(2)将问题转化为/(电)+应
26、/(再)+竭，构造新函数g(x)=/(x)+加 在 0,句上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以.(1)由/(x)=e*(s i n x+co s x)4 0,x e-肛句得/(x)的单调减区间是-乃，-?，彳，乃，JT*T T同理，“X)的单调增区间是-1，彳.故“X)的极小值为/(-)=-I,极大值为了(与 卜 日 步.由对称性，不妨设。4与 0 即 为/+O X?/(%,)+竭.不一石设g(x)=/(x)+以2，则g(x)在0,可 上单调递增,故 g(x)=e (s i n x+co s x)+2ax 2 0 在0,可 上恒成立.方法一：(含参讨论)设力(x)=g (x)=e*(
27、s i n x+co s x)+lax 0,则(0)=l 0,h )=-e +2 a 0,解得之匚.2 4(x)=2(e、co s x+Q),(0)=2(Q+1)0,(乃)=2(a e ).当a Ne 时,(x)=2 ev(co s x-s i n x)，故，当工 0,时，(犬)=2 e，(co s K-s i n x)2 0，/(x)递增；当,7T 时，(x)=2 eA(co s x-s i n x)O,符合条件.当-4 (0)=2 g+1)0,(万)=2(a -e )0,/)=g(x)单调递增：当刀(知句 时,“(X)0,=-e +2 a%N 0,.=h x)mi n 1/?(O),/z(
28、)|0,符合条件.综上，实数”的取值范围是导，+8 .方法二：(参变分离)由对称性，不妨设。占 0 即为/(a)+0 /(3)+竭V 一 石设8(6 =/(力+加，则g(x)在 0,句 上单调递增,故 g (x)=e*(s i n x+co s x)+2 o r 上。在 0,句 上恒成立.g(0)=1 。，；.，g(x)=eA(s i n x+co s x)+2 o r N 0 在 0,7i 上恒成立 -2 a =心+”.)X设/z(x)=e*(s i n：+co s x),、。，句，则厅(x)=二蠹一),*日。团,V x w(O,4 .则心2-熹，0 身虫，万?，乃 上单调递增；(7T 3
29、4上单调递减.从而，(x)cos x=2x cos x-sin x-cos x 0,又 x=/时，2xcos x-sin x-cos x=1 0,故力(x)=。、c o s A)e 时,(i)证明：f(x)存在唯一的极值点：(i i)证明：/(x)0,当 x (3,+8)时，*(x)e 时，g(x)在(0,+8)上单调递减*(3)=1 -In a 0 二 p(x)在(0,+(：，当 x e(0,x J时，0,当 x e(%,+oo)时，奴x)0则函数/(x)的单调递增区间为(0,%),单调递减区间为(玉),田).Ax)存在唯一的极值点4”、，”、ln(axn),(i i)由 可知：/(x)/(
30、x0)=-elnx()%V l-ln(ar0)-ex0=0,即 1 一 ex。=ln(0)、ln(axn)1 1 /(%)=-elnx0=-elnx0-e,且天%g(x)=g _ e ln x-e 在(单调递减则 g(x)e),则l(x)=(e 0 当工 0 时恒成立则(%)在(e,+8)上单调递增,则力(x)/z(e)=e(e-2)0贝 ij e(x-l)x+eln x-e(x e),即(a-l)e a +eln-e/./(x)(a-l)eY例 4.(2022 江西师大附中三模(理)已知函数/(x)=-sinx,g(x)为/(刈的导函数.e(1)判断函数g(x)在区间(0，；)上是否存在极值
31、，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；(2)求证：函数/(x)在区间(T O,兀)上只有两个零点.【答案】(1)存在；极小值(2)证明见解析【解析】【分析】(1)转化为判断导函数是否存在变号零点，对g(x)求导后，判断g(x)的单调性，结合零点存在性定理可得结果；(2)当x 0 时，利用单调性得f(x)0 恒成立，此时/(无零点；当x=0 时，/W =0:当0 x0,erk 2 J(ec)-ex所以阿X)在(0,手 上单调递增，即g(x)在 但)上单调递增，因为/(0)=-2 0,所以存在不(0,5)，使得g a)=。，当 xe(O,%)|l寸，g(x)0,g(x)单调递增，
32、所以当x=x。时，函数g(x)取得极小值.(2)Y1 Y1 Y由/(x)=-；7-s in x,当x 1,所以/(x)=g(x)=1-一cosx0,e e e所以/(x)在(v,0)上为增函数,所以/。)O,即加(x)在(0马 上单调递减，在(5 兀)匕单调递增，又因为加()=1一3 0,所以存在 e管,j使得加(玉)=0,当x w(O，E)时，加(x)0,又因为?()0 ,所以存在(用,兀)使得加(毛)=0,即是函数f(x)的一个零点.综上可得，函数/(x)在(-8,兀)上有且仅有两个零点.【点睛】关键点点睛：第二问中，分段讨论并利用导数和零点存在性定理求解是解题关键.例5.(2 0 2 2
33、江苏苏州模拟预测)函数/(x)=x-sinx-co sx.求函数x)在卜巴方)上的极值；(2)证明：F(x)=/(x)I nx有两个零点.【答案】(1)极大值，1-、；极小值，-1;(2)详见解析.【解析】【分析】(1)由题可得r(x)=l-0 c o s(x-?),进而可得；(2)当x w(0,爸 时，利用导数可得函数的最小值,进而可得函数有两个零点，当x w 普，等)，xe号,+8)时，利用导数可得尸)0,即得.(1)*/(x)=x-sinx-co sx ,/./z(x)=l-co sx +sinx =l-5/2 co s x +,xe(一),由尸(x)=0,可得x =-,或x =0,x
34、e，,-、)，/(x)0 J(x)单调递增，x e(-、,0),/(x)0 J(x)单调递增，=时，函数x)有极大值/(一乡=1一,x =0时，函数/*)有极小值/(0)=-1；(2)丁 JF(X)=f(x)-l nx =x-sinx-co sx-l nx,x 0,/./z(x)=F x)=1 -co s x +sin x ,x 0 ,(x)=sinx +co sx +U=0 sin(x +|+-,厂 V 4 J x-当x e(0,)时，(x)0,/i(x)单调递增，即尸(x)单调递增，又 F X-)=1-1 0,4 71 2 71故存在与 彳 今 卷)，r(xo)=o,所以x 0,%(x)0
35、,F(x)单调递减，xw,用 尸(x)0,尸 单调递增，x e|o,与)时，函数 F(x)m j n=F(x0)F(l)=l-sinl-co sl 0 ,故x e43 乃八 0时,F(x)=/(x)-l n x 有两个零点,4当工 苧，誓)时，/2 s i n x +j x-I n x ,对于函数S(x)=x-l n x,则d(x)=l =l 0,又夕=0,誓,普)，e(x)e(l)=0,即 F(x)0,此时函数F(x)=/(x)-l n x 没有零点，当 x e 誓,+8)时，F(x)=x-s i n x-c o s x-l n x =x-0 s i n(x+?)-l n x*x-xf2-n
36、x,由上可知F(x)2?-忘-ln?0,故当x e ,+8)时，函数2幻=f(x)-l n x 没有零点，综上，函数尸(x)=,f(x)-l n x 有两个零点.【点睛】利请导数研窕零点问题：(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：利用最值或极值研究；利用数形结合思想研究；构造辅助函数研究.【方法技巧与总结
37、】1 .因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程尸(x)=0 根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾.2 .原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点.判断口诀：从左往右找穿越(导函数与x 轴的交点)；上坡低头找极小，下坡抬头找极大.题型二：根据极值、极值点求参数例 6.(2 0 2 2 四 川 绵阳中学实验学校模拟预测(文)若函数“力=1-加-区+/在=1 处有极值i o,则a-b=()A.6 B.-1 5 C.-6或 1 5 D.6 或-1 5【答案】B【解 析】【分 析】,_ f 3-2a-h=0先求出函数的导
38、函数/0),然后根据在x =l时/*)有 极 值1 0,得 到i Q 8 +c j=O ，求出满足条件的 方，然后验证在x =l时/*)是否有极值，即可求出。-力【详 解】/(x)=x3-ax2-bx+cr,/.fx)=3x2-2ax-h又x=l时有极值1 03-2a-b=0解得a=-Ab=或a=3h=-3当 q =3,=_ 3 时，fx)-3 x2-6x +3 =3(x -1)2 0此 时/(x)在X =1处无极值，不符合题意经 检 验，a=,b=l 时满足题意，。一。=一1 5故选：B例7.(2 0 2 2江苏南通模拟预测)已知 函 数/(x)=(x-a)(x-)e在x =处取极小值，且/
39、(X)的极大值为4,则 =()A.-1 B.2 C.-3 D.4【答 案】B【解 析】【分 析】对“X)求 导，由函数/(耳=(万-4)(工 一6，在 户。处取极小值，所 以 用。)=。，所 以“=./(A)=(x-)2e,对V(x)求 导，求单调区间及极大值，由/(x)的极大值为4,列方程得解.【详 解】解：/(x)=(x-)(x-/?)ev=(-2-ax-bx+abex,所以/f(x)=(2 x-a-Z)el+(x?-ax-bx+abe=e x2+(2-a-bx+aba-b因为函数”x)=(x-a)(x-6)e在x =a处取极小值，所以r(a)=e a2+(2-a-b)a+4 h-a b
40、=e(-b)=0,所 以a=8,./(耳=(-4)屋,r(x)=e*x 2 +(2-2 a)x+/-2 a=e(x-)x-(a-2),令_ f(x)=0,得x=或 后。2,当x e(-8,a-2)时,1 f(x)0,所 以 x)在(r o,a-2)单 调 递 增,当x w(a-2,a)时,f(x)时,/r(x)0,所 以/(x)在(a,+8)单调递增，所 以 x)在x=a-2处有极大值为f(a-2)=4 e-2=4,解 得。=2,所 以6=2.故选：B例8.(2 0 2 2四川绵阳二 模(文)若x=2是 函 数/(力=炉+2(。一2卜 4 alnx的极大值 点，则实数。的取值范 围 是()A.
41、(co,2)B.(2,+co)C.(2,+8)D.(2,2)【答 案】A【解 析】【分 析】求 出 尸(x),分aW O,a-2,-2 0)X X X若a N O时，当 x 2时，r(x)0：当0 x v 2时，f(x)0-则在(0,2)上单调递减；在(2,+8)上单调递增.所以当x=2时，f(x)取得极小值，与条件不符合，故满足题意.当 a0 可得 0vx-“；由/(x)0 可,得 2 cx e 4所以在(0,2)上单调递增；在(2,-4)上单调递减，在(-0内)上单调递增.所以当x=2时，“X)取得极大值，满足条件.当一2。0可得0cxe-a或x 2；由/(力0可得一ax2所以在(0,-a
42、)上单调递增；在(-a,2)上单调递减，在(2,+向 上单调递增.所以当x=2时，f(x)取得极小值，不满足条件.当a=2时，f(x)2 0在(0,+8)上恒成立，即在(0,+8)上单调递增.此时f(x)无极值.综上所述：a 0两种情况，根据函数的单调性得到极值，计算得到答案.【详解】函 数 的 定 义 域 为(0,+8),1(力=_1-2次=匕 生 二，X X当aVO时，f(x)0,所以/(x)在(0,+8)上单调递增，f(x)无极值，不符合题意；当。0时,当xe时，/(%)0,当xe时，小)0恒成立，y =f+(a +2)x+a+2为开口向上的抛物线，若函数x)=(V+以+2)-e*在R上
43、无极值，则y=x2+(a+2)x+a+2 20恒成立.，所,以 =(a+2)4(a+2)40,解得：-2 a 0,函数单调递增，无极值点，舍去.当时，r(x)=3 f+1 2 x+9 =3(x+l)(x+4),在x e(-w,-4)和x e(-l,+8)时，T(x)0,函数单调递增；在x e(T,-1)时，/(力 0,函数单调递减，故函数在x =-l出有极小值，满足条件.综上所述：m+=9-2 =7.故选：B.例1 2.(2 0 2 2全国高三专题练习)函数/(幻=-“(彳-1 11彳)在(0,1)内有极值，则实数的取值范围是()XA.(F C)B.(0,e)C.(e,+oo)D.e,+oo)
44、【答案】C【解析】【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.【详解】ex由 /（X）=-a（x-In无）得,x因函数/(X)=-a(x-lnx)在(0,1)内有极值，则 x w(0,l)时，/(%)=0 =有解，XX即在x e(0,l)时，函数&(刈=与 直线产。有公共点，X而g，(x)=(l-L)g(l)=e,则”e,显然在 a =C 零点X Xx左右两侧/(X)异号，所以实数a的取值范围是+8).S，0)D.(-1,-KO)即可求解.故选：c【点睛】结论点睛：可导函数y=/(x)在点助处取得极值的充要条件是/(初)=0,且在切左侧与右侧八 尤)的符号不同.例1 3.(2 0 2
45、 2映西西北工业大学附属中学模拟预测(理)己知函数乂)=以2 _(4 +1)犬+4 4 +3卜，若工=2是 x)的极小值点，则实数”的取值范 围 是(A.卜8,g B.(g，+8)C.【答案】B【解析】【分析】根据导函数的正负，对。分类讨论，判断极值点，【详解】由 y(x)=6i x2-(4 a +l)x+4 a +3 e 得/(x)=(a r-l)(x-2)e*,令/z(%)=(a r-l)(x-2)eA 0=(a x-l)(x-2)0,若avO,贝i j(a r l)(x-2)0 =，v x 2 ,此时在，x 2,x 0=x ,此时/(x)在x v 2,x ，单调递增，在2c戈 0=x 2
46、,x 2,工 x 单调递减，可知户2是/(月 的极小值点，符合题意.若a=g,f(x)在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.综上可知：故选：B例14.(2 0 2 2全国高三专题练 习)已 知 函 数 小 卜 产-淮+苫 在 区 间(川 上 既 有 极 大 值 又 有极小值，则实数。的取值范围是()A.(2,+o o)B.2,+0 0)C.(2,g D.(2,弓【答案】C【解析】【分析】把题意转化为r a)=o在(别内应有两个不同的异号实数根，利用零点存在定理列不等式组即可求得.【详解】函数f (x)=；丫3 -3ax?+x,导函数r(x)=/一依+1 .因为“X)在(；，3)上既有极
47、大值乂有极小值，所以/(x)=0在6,3)内应有两个不同的异号实数根.0r(3)o-3,解得：2 ”万2 2吧0；而/f(x)=x2-(/n+l)x+2(/-l)=(x-2)x-(w +l),当利-1 2时，式解为x 4 2 或xNm l；显然x 0,4)时，式不成立；当机-1 2；显然xe(0,4)时，式不成立；当?一1 =2 时，式解为x=2,?=3.故答案为：3.例 16.(2022吉林长春模拟预测(文)已知函数/(x)=+sin x,X G(0,7T).(1)当a=l 时，过(0,1)做函数 x)的切线，求切线方程；(2)若函数/(X)存在极值，求极值的取值范围.【答案】(l =x+l
48、(2)(0,乃)【解析】【分析】(1)设切点，再根据导数的几何意义求解即可；(2)求导分析导函数为。时的情况，设极值点为看得到a=-c o sx 0,代入极值再构造函数Mx)=-x c o sx+sin x,求导分析单调性与取值范围即可(1)由题，当 a=l 时，/(x)=x+sinx,/,(x)=l+cosx,设切点为(%),%+sin x0),则 f(玉)=1+cos%,故切线方程为y-s in%=(1+8$天)-不)，又切线过(0,1),故 1 一 天-sin%=-5(l+cos%),BPsin%0-x()cosx0-l=0,设 g(x)=sinx_xcosx_,xe(0,n),则 g，
49、(x)=xsinx0,故g(x)为增函数.又g()=si吟-c o s 5-l=0,JI故sinxo-xocosxo-l=0 有唯一解/=5，故切点为斜率为1,故 切 线 方 程 为+=x-,即y=x+l；(2)因为，(x)=a+c o s x,x e(O,?t)为减函数，故 若 函 数 存 在 极 值，则 第 x)=0 在区间x e(O 上有唯一零点设为,则 O +CO SXo =0 ,即 6?=-c o s x0,故极值/(%)=+s i n X。=_ x c o s%+s i n%,设力(x)=x c o s x+s i n x ,x e(0,7 t),则(x)=x s i n x 0
50、,故(x)为增函数，故(0)/7(X)0h(l)0 卜 2)0,即可求解.(1)解：当。=1 时.，函数f(x)=l n x +2，其定义域为(0,+),X可得=-=当 x e(o,l)时，r(x)0,f(x)单调递减:当x w(l,+0,“X)单调递增，所以函数/(X)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,”).(2)解皿：由.g(zx)x =-/-(-%-)-!=-I-n-x-H a 1 ril,e 2i,X X X r,口 ，/、1-l n x 1 2a 2x-xrx-2a可得 g(x)=+r设/?(x)=2x-x l n x-勿,则/?(x)=2-(l +l n x)=l-l