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1、北京市丰台区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷阅卷人-、单选题供10题；共20分）得分L（2 分）已知函数/（%）=cos%,则/电=（）A.当 B.一堂 C.1 D.【答案】D【解析】【解答】因为/Q）=sin x,所以/（看）=sin看=故答案为：D【分析】由导函数的运算性质，代入数值计算出结果即可。2.（2 分）（X 2尸的展开式中/的系数是（）A.-12 B.12 C.-6 D.6【答案】C【解析】【解答】（x-2尸的展开式的通项为：Tr+1=G x3T（-2），令3 r=2=r=1,所以必的系数是：C 2）1 =6故答案为：C.【分析】首先求出二项展开式的通项公式，再由
2、已知条件求出r 的值并代入到二项展开式的通项公式，由此即可得出答案。3.（2 分）设5是数列 册 的前n 项和，若Sn=n2+2 n,则=（）A.-21 B.11 C.27 D.35【答案】B【解析】【解答】由Sn=n2 4-2九 得S5=52+2 X 5=35.S4=42+2 x 4=2 4,所 以=Ss-4=35-24=11,故答案为：B【分析】根据题意由数列的前n 项和公式与数列项之间的关系，由此即可得出答案。4.（2 分）经验表明，某种树的高度y（单位：m）与胸径x（单位：cm）（树的主干在地面以上1.3米处的直径）具有线性相关关系.根据一组样本数据（，%）。=1,2,，n）,用最小二
3、乘法建立的经验回归方程为夕=0.25%+15.据此模型进行推测，下列结论正确的是（）A.y 与x 负相关B.胸径为20cm的树，其高度一定为20mC.经过-一段时间，样本中一棵树的胸径增加1cm,估计其高度增加0.25mD.样本数据（阳，=2,，n）中至少有一对满足经验回归方程9=0.25%+15【答案】C【解析】【解答】因为，=0.25%+15,分=0.250，故y 与 x 正相关，A 不符合题意；当 =20时，由？=0.25%+15可得9=2 0,故树高大约为20 m,B 不符合题意；由E=0.25知，当x增加1cm时，估计其高度增加0.25m,C 符合题意；样本数据（，=2,，n）中不一
4、定有一对满足经验回归方程9=025%+15,D 不符合题意.故答案为：C【分析】根据题意由线性回归方程代入数值计算成就感由此得出选项A 错误；结合题意袋鼠制止计算出结果由此得出选项B 错误；由线性相关的系数分析，结合线性回归方程的方程，由此对选项逐一判断即可得出答案。5.（2 分）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系Z i（t）=4.9t2+4.81+11.该运动员在t=ls时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A.10.9 B.-10.9 C.5 D.-5【答案】D【解析】【解答】解：因为九（t）=一 4.9/+4
5、.81+11,所以八）=-9.81+4.8，令t=l,得瞬时速度为-5.故答案为：D.【分析】根据题意首先对函数求导，再由特殊值法代入计算出结果即可。6.（2 分）同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件4 两枚骰子的点数之和等于6”为事件B,则P(B|4)=()A-J B-I C-T2 D.亲【答案】B【解析】【解答】事件4 包含6 种基本事件，事件A B 包含1 个基本事件，所以(叫)=喘4故答案为：B【分析】结合题意由条件概率公式，代入数值计算出结果即可。7.(2 分)甲，乙，丙 3 位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课
6、程各不相同的概率为()3-8A.3-4B.827C8-D.9【答案】A【解析】【解答】甲，乙，丙 3 位同学从开设的4门校本课程中任选一门参加的事件数为4 3甲，乙，丙3 位同学参加的校本课程各不相同的事件数为所故所求概率为p =4=最4d 0故答案为：A【分析】首先由已知条件求出各个事件的个数，并代入到概率公式由此即可得出答案。8.(2 分)“a=2”是“函数f(x)=ex(x-a)在x =1 处有极小值”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【解答】因为/(X)=ex(x a+l)，且函数/(%)=靖(久a)在x =1
7、处有极小值，所以/(I)=e(2 一 a)=0，解得a=2,经检验，当a=2 时，函数/(%)=-a)在x =1 处有极小值，符合题意.所以a=2,故“a=2”是“函数/(x)=ex-a)在x =1 处有极小值”的充分必要条件，故答案为：C.【分析】根据题意对函数求导，结合导函数与函数极值之间的关系，对 a 赋值由此计算出结果即可。9.（2 分）某项活动需要把包含甲，乙，丙在内的6 名志愿者安排到A,B,C三个小区做服务工作，每个小区安排2名志愿者.已知甲必须安排在A小区，乙和丙不能安排在同一小区，则不同安排方案的种数为（）A.2 4 B.3 6 C.4 8 D.7 2【答案】A【解析】【解答
8、】解：根据题意，分 2 种情况讨论：甲和乙丙中1 人在A小区，此时A小区的安排方法有以种，B小区的选法有以种，则此时有以X以=1 2 种安排分法，甲和其他三人中的1 人在A小区，则乙丙两人分别在B,C小区，有 2 种情况，将其他三人全排列，安排到三个小区，有房=6 种安排方法，则此时有2 x 6 =1 2 种安排方法；故有1 2 +1 2 =2 4 种安排方法；故答案为：A.【分析】结合题意由排列组合以及计数原理，分情况讨论计算出结果即可。1 0.（2 分）已知的是不大于低的正整数，其中neN*.若%+。2 +a3+“+（?7 0,则正整数m 的最小值为（）A.2 3 B.2 4 C.2 5
9、D.2 6【答案】B【解析】【解答】已知an是不大于低的正整数，即时式低，且册 A N*求满足的+a2+a3+-+am 7 0 的正整数m 的最小值，即0n取不大于迎的最大正整数，可知，的=1，且的+&3 =3a4=a5 =a8=2,且即+a2+a3 H-l-a8=3 +2 x 6 =1 5C i g=C li o=C li 5 =3 且 a1+a2 +。3+的5=3 +1 2+3 x 7 =3 6ci6=a7=。24=4,且a 1+o,2 +0-3+4-G24=3 6 +4 x 9 =7 2故正整数m 的最小值为2 4故答案为：B【分析】由已知条件利用特殊值法，代入数值计算出结果即可。二、填
10、空题（共5题；共6分）阅卷人得分1 1.（2 分）为了解性别因素是否对某班学生打篮球的经常性有影响，对该班40名学生进行了问卷调查，得到如下的2x2列联表:经常打篮球不经常打篮球合计男生m420女生820合计n40则 m=,n=.【答案】16；16【解析】【解答】解：依题意可得列联表如下:故 zn=n=16；经常打篮球不经常打篮球合计男生16420女生81220合计241640故答案为：16；16：【分析】根据题意由已知的图表中的数据，即可求出m 与 n 的取值。12.（1 分）由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有 个.（用数字作答）【答案】6【解析】【解答】当首位为1时，有 1122
11、,121221,有 3 个当首位为2 时，有 2211,2121,2112,有 3 个，所以由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有6 个，故答案为：6【分析】结合题意由列举法即可得出答案。1 3.(1 分)函数/(久)=苧在 =1 处 的 瞬 时 变 化 率 为.【答案】1【解析】【解答】因为函数八%)的图象上各点的瞬时变化率为/(%),/(%)=与 野，所以函数/(%)=带在=1 处的瞬时变化率为/(1)=空=1，故答案为：1【分析】由频率的定义结合导数的几何意义，代入数值计算出结果即可。1 4.(1 分)数列 斯 的通项公式为即=2 九 2 +7 1(P R),若斯+1 V册，则P的
12、一个取值为.【答案】-1 (答案不唯一，只要满足“p 即可)【解析】【解答】解：因为期=p M +“p 幻，且Q九+小即即+1 an=p(n+l)2+(z i+1)(p n2+n)=(2 n+l)p +1 0，所以p 石，p 因为九 N *,所以当=1 时(2:b l)=一/所以p V 4；故答案为：-1 (答案不唯一，只要满足“p 给出下列四个结论：当r e(0,r i)时，/(r)0;/(r)在区间g,5)上单调递减；/(r)在区间(0,6)上存在极小值；/(r)在区间(0,弓)上存在极小值.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【解析】【解答】由图可知：当r e(o,q)时，P
13、2 P1，故/(r)=P 2 P l 当T o O i，5)时，由图象可知，P 2 在r =o 处的切线斜率大于2 1 在7 =2处的切线斜率，故 2,p，=f(r)=P2-P 11 0.因 此/(r)在区间(q,5)上单调递增，错；根据图象可知：图象匕先快后慢，而P 2 图象先慢后快，所以可得/)在(0,q)上的变化是先减后增，故由极小值，正确；/(r)=p2，_ p1，,当r 趋近于r i时，P 2 在丁 处的切线斜率明显大于P i在r 处的切线斜率，而当r 趋近于0 时，P i在r 处的切线斜率明显大于P 2 在r 处的切线斜率，所以可得f(r)在(0,勺)上的变化是先减后增，故由极小值
14、，故正确.故答案为：【分析】由导数与切线斜率之间的关系，即可得出函数的单调性以及函数的极值，结合已知的图象，对选项逐一判断即可得出答案。阅卷人，三、解答题洪6题；共7 5分)得分1 6.(1 0 分)某同学在上学途中要经过一个路口，假设他骑车上学在该路口遇到红灯的概率为去已知该同学一周有3 天骑车上学.(1)(5 分)求该同学在这3 天上学途中恰有1 天遇到红灯的概率；(2)(5 分)记该同学在这3 天上学途中遇到红灯的天数为X,求X 的分布列及数学期望E(X).【答案】（1）解：记“该同学在这3 天上学途中恰有1 天遇到红灯”为事件A,M P )=C|x|x(l-1)2=所以，该同学在这3天
15、上学途中恰有1 天遇到红灯的概率为出(2)解：X 的所有可能取值为:0,1,2,3.P(X=0)=CX(1)X(1-1)3=A,P(X =l)=Cj x|x(l-1)2=P(X =2)=Ci x(1)2x(l-1)1=|,P(X =3)=髭 x(3 3 x(l _ o=务X 的分布列为X0123P8421279927数学期望 E（X）=0 x+lx +2 x|+3x=l【解析】【分析】（1）根据题意由n次独立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。（2）根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。1 7.（1 0 分）己 知 等
16、 差 数 列 的 前 n 项和为Sn，S2 =9,请从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：条件：。4 =7；条件：S4=2 2.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）（5 分）求数列 a 的通项公式；（2）（5 分）若数列 瓦 满足勾=2 即-3,求数列 怎 的前几 项和加.【答案】（1）解：选择条件：设公差为d,因为S2 =9,。4 =7,所以9 a l i十 3CL /解得*二:，所以即=几+3,（z i e N*）.选择条件：设公差为d,因为S2 =9,S4 =2 2,所以+6d =2 2解得 胃_ ；，所以即=般+3,(n e N*).(2)解：因为
17、勾=2%-3,所以0 =2an-3=2n所以数列 g 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以7=b1+b2+-+bn=2(；二/)=2(2-1)=2n+1-2【解析】【分析】(1)选择条件，根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出首项与公差的取值，从而得出数列的通项公式。选择条件：由数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此得出首项与公差的取值，从而得出通项公式。(2)由(1)的结论即可得出数列.的通项公式，然后由等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。18.(10分)已知函数/(%)=/2 a/+十 ,a e R.(1)(5分)当a=2时，求/(%
18、)在区间口，3上的最大值和最小值；(2)(5分)求f(x)的单调区间.【答案】解：当a=2时，/(x)=x3-4x2+4x,/(%)=3x2-8x+4f (%)=(3x 2)(x 2)令/(x)=0得，x=，或x=2.当x在区间 1,3上变化时，/(X),/(x)的变化情况如下表X(1,2)2(2,3)-0+/(X)单调递减0单调递增因为/(1)=1,/(3)=3，所以/(%)在区间 1,3上的最大值为3,最小值为0(2)解：f (%)=3x2-4ax+a2=(3x a)(x a)0,/(%)的单调递增区间为R，无单调递减区间；当a 0时，!a,随着x的变化，/(%),/(x)的变化情况如下表
19、Xa(-8,3)a3a(+d)a(a,4-oo)/(X)+0-0+/(久)单调递增4 a 327单调递减0单调递增所以/的单调递增区间为(-8,I),(a,+8)；/(%)的单调递减区间为6，a).当a a,随着式的变化，/(%),/(%)的变化情况如下表X(-c o,a)a(a，物a3a与，+8)/(X)+0-0+/(X)单调递增0单调递减4a327单调递增所以/(%)的单调递增区间为(-8，a),传，+o o)；/(%)的单调递减区间为(a,|).综上所述：当a =0 时，所以/(久)的f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间.当a 0时，/(%)的单调递增区间为(一 8,1),(a,+
20、0 0)；f(x)的单调递减区间为，a).当a 0时，%)的单调递增区间为(一 8,a),(|，+8)；/(%)的单调递减区间为(a,刍.【解析】【分析】(1)由a 的取值即可得出函数的解析式，对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性求出函数的最值。(2)根据题意首项求出函数的定义域，结合a 的取值范围即可得出导函数的性质，从而得出函数的单调性以及单调区间。1 9.(1 5 分)一兴趣小组为了解5 种AP P 的使用情况，在某社区随机抽取了 2 0 0 人进行调查，得到使用这5 种4 P P 的人数及每种4 P P 的满意率，调查数据如下表：(1)(5 分)从 这 2 0
21、 0 人中随机抽取1 人，求此人使用第2 种力P P 的概率;APP第 1 种第 2 种第 3 种第 4种第 5 种使用4 P P 的人数1 609 01 5 09 08 0满意率0.8 50.750.80.70.75(2)(5 分)根据调查数据，将使用人数超过5 0%的4 P p称为“优秀/P P”.该兴趣小组从这5 种/P P 中随机选取3 种，记其中“优秀4 P P”的个数为X,求X 的分布列及数学期望E(X)；(3)(5 分)假设每种Z P P 被社区居民评价为满意的概率与表格中该种/P P 的满意率相等，用“。=1”表示居民对第k种/P P 满意，“。=”表示居民对第土种4 勿不满意
22、a=1，2,3,4,5).写出方差。(晶)、2)、。(装)、。(6 4)、。(公)的大小关系.(只需写出结论)【答案】(1)解：记“这 2 0 0 人中随机抽取1人，此人选择第2 种A P P”为事件4,由表中数据可得：2 0 0 人中有9 0 人选择使用了第2 种力P P,所以，P(A)=4.因此，从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种4PP的概率为治.(2)解：样本数据中有5种4Pp,其中“优秀4PP”有2种，X的所有可能取值为0、1、2,所以，随机变量X的分布列为P(X=0)=等=芸，P(X=D=等=|，2=2)=等=卷X012p110353TO数学期望E(X)=0 x点+l x|+
23、2 x余=|.(3)解：O&)D&)=D&)。(耳)【解析】【解答】(3)解：由题意可知，。=1 曾?坐 不 由 空 土,赈质从两点分布，(0,居民对第k类APP不满意所以，0()=0.85 x 0.15=0.1275,。(3)=。(七)=。-75 x 0.25=0.1875,。d 3)=0.8 x 0.2=0.16,0(%)=0.7 x 0.3=0.21,因此,D&)D&)。6 2)=0延5)0时，函数/(%)存在极值；(3)(5分)若函数/(%)在区间(1,+8)上有零点，求a的取值范围.【答案】(1)解：当a=0时，/(x)=-2 ex-x,/(%)=-2ez-l-/(O)=-3因为/(
24、O)=-2,所以曲线y=%)在=0处的切线方程为y-(-2)=-3(%-0),即 3x+y+2=0(2)证明：/(x)=2 ae2 x 4-(a -2)ex-1=(a ex-l)(2 ex+1)当a0时，由/(x)=0 得，x=l n 随着x 的变化，/(%),/(%)的变化情况如下表：所以/(%)存在极小值，且极小值为l n a-，+lX1(-8,In-)1In a1(In 五，+8)/(%)0+/(X)单调递减1In a-F la单调递增(3)解：/(%)=2 ae2 x+(a -2)ex-1=(a ex-l)(2 ex+1)-当a SO 时，因为+o o),所以/(x)0，f(x)在区间
25、(一 1,+8)上单调递减，且/(0)=2 a-2 0，解 得 a 空，e 乙 e e+1所以福产 0 时，/(-I)=+?+1=e a+/2+e 2 0,因为/(%)在区间(-1,+8)上有零点，由(1)可 知,/(x)min=/(l n i)=l n a-+l 0,因为函数y =l n x,y =1是增函数，所以函数y =l n x-1+1是增函数，又 g(l)=0,所以0 a W 1,综上所述，a 的取值范围是(毛 苧，1.【解析】【分析】(1)由a 的取值即可得出函数的解析式，然后对函数求导并把结果代入到导函数的解析式，结合点斜式即可得出切线的方程。(2)根据题意由函数的单调性结合函数
26、极值的定义，整理化简即可得出答案。(3)首项对函数求导，再结合a 的取值范围即可得出导函数的性质，从而得出函数的单调性，再由函数零点的定义以及函数单调性即可得出关于a 的取值范围。21.(15分)已知数列 即 是无穷数列.若%=即+1-斯，则称 匕 为数列 而 的 1阶差数列;若“bn+1-bn,则称数列 为数列 a 的2 阶差数列；以此类推，可得出数列但工的p阶差数列，其中p N*.(1)(5 分)若数列 册 的通项公式为斯=层，求数列 斯 的2 阶差数列的通项公式；(2)(5 分)若数列%0的首项为1,其一阶差数列 既 的通项公式为“=2n，求数列&J的通项公式；(3)(5 分)若数列 即
27、 的通项公式为即=7(小6”)，写出数列 即 的m阶差数列的通项公式，并说明理由.【答案】(1)解：因为斯=n2,所以“=a+1 an=(n+l)2 n2=2n+1，cn=%+i%=2(九 +1)+1 (2n+1)=2(2)解：因为“=斯+i-且“=2 n,所以的+1 -即=2n,所以做一cii2,的 a?=4,1)阶差数列各项均为0.当 m=2 时,an=n2,其 1阶差数列的通过项公式匕几=(n+l)2 n2=2n+1,2 阶差数列的通项公式为、=2,t(t 2)阶差数列各项均为0.假设m k时，an=/(i e N,0 i)阶差数列各项均为0.当m=k+l 时，,=的 1阶差数列为bn
28、(n+l)+i nk+1=Cl+1nk+F C*+1n+1因为即=9+1的k+1阶差数列就是6n=C1+1nk+C fc+1nk-1+瑶+次+1的k阶差数列，由假设知 的k 阶差数列各项均为常数屐+!=(k+1)!.因为；lan+4 al的 1阶差数列为(4an+flbn)-(AOn-l+M6n-l)=忒 厮-n-l)+4(bn-bn-i),所以的+既 的 1阶差数列为即的1阶差数列与b 的 1阶差数列的和，进而有斯+勾的k 阶差数列为与的k 阶差数列与0 的k 阶差数列的和.所以，数列&J 的m 阶差数列的通项公式为4小斯=m!.【解析】【分析】(1)由已知条件结合阶差数列的定义，整理化简即
29、可得出数列国 兀 的通项公式。(2)根据题意由数列的递推公式整理化简即可得出数列伯工的通项公式。(3)由已知条件结合阶差数列的定义，对 m 分情况讨论即可得出数列 a 的血阶差数列的通项公式。试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：101分分值分布客观题（占比）23.0(22.8%)主观题（占比）78.0(77.2%)题量分布客观题（占比）12(57.1%)主观题（占比）9(42.9%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）填空题5(23.8%)6.0(5.9%)解答题6(28.6%)75.0(74.3%)单选题10(47.6%)20.0(19.8%)3、试卷难度结构分析序号难
30、易度占比1普通(19.0%)2容易(52.4%)3困难(28.6%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1等比数列的前n 项和10.0(9.9%)172归纳推理1.0(1.0%)123利用导数求闭区间上函数的最值26.0(25.7%)15,18,204等差数列的通项公式10.0(9.9%)175两个变量的线性相关4.0(4.0%)4,116排列、组合及简单计数问题2.0(2.0%)97二项式系数的性质2.0(2.0%)28数列的求和2.0(2.0%)39利用导数研究曲线上某点切线方程2.0(2.0%)810导数的几何意义1.0(1.0%)1311数列的概念及简单表示法
31、15.0(14.9%)2112离散型随机变量及其分布列25.0(24.8%)16,1913等差数列的前n 项和10.0(9.9%)1714函数单调性的性质25.0(24.8%)18,2015线性回归方程2.0(2.0%)416利用导数研究函数的极值28.0(27.7%)8,15,18,2017必要条件、充分条件与充要条件的判断2.0(2.0%)818可线性化的回归分析2.0(2.0%)419利用导数研究函数的单调性26.0(25.7%)15,18,2020导数的运算4.0(4.0%)1,521条件概率与独立事件2.0(2.0%)622二项式定理17.0(16.8%)2,2123n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率10.0(9.9%)1624数列的函数特性18.0(17.8%)10,14,2125概率的基本性质2.0(2.0%)726离散型随机变量的期望与方差25.0(24.8%)16,19