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1、中考专题训练一二次函数的线段周长问题1.如图，抛物线丫=2+笈+。(存0)与直线y=x+l相交于4(-1,0),B(4,)两(2)点P是直线A B上方抛物线上的一个动点(不与点4、点 B 重合),过点P作直线P D k x轴于点。，交直线A B 于点E,设点P 的横坐标为机.求线段PE长的最大值，并求此时P 点坐标；是否存在点尸使BEC为等腰三角形？若存在，请直接写出?的值；若不存在，请说明理由.2.综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=W+bx+c的 图 象 经 过 点 点(1)求此二次函数的解析式;(2)当-2 4 x 4 2时，求二次函数y=V +法+c 的最大值和最小值；(
2、3)点 P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为相，过 点 P 作 。轴，点。的横坐标为-2加+1.已知点尸与点Q 不重合，且线段P Q 的长度随机的增大而减小.求 他的取值范围；3.如图，在平面直角坐标系中，过点A(0,4)、B(5,9)两点的抛物线的顶点C在 x 轴正半轴上.(1)求抛物线的解析式;求 点 C 的坐标；尸(x,y)为线段AB上一点，1 4 x 4 4,作/y 轴交抛物线于点M,求 PM的最大值与最小值.4.如图，直线y=-x+2 交 y 轴于点4,交 X轴于点B,抛物线y=-/+bx+c过 A、B(1)求这个抛物线的解析式；(2)作垂直于x 轴的直线=/,在第一象限交直线AB
3、于点M,交这条抛物线于点M求当 f 取何值时，MN有最大值?最大值是多少？(3)在(2)的情况下，以A、M、N、。为顶点作平行四边形，求顶点。的坐标.5.如图，已知在平面坐标系中，点 A 的坐标为(-1,0),点 B 坐标为(3,0),点 C坐标(1)如 图 1,求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)如图2,设该抛物线的顶点为点。，求四边形ABDC的面积；(3)如图3,设点。是该抛物线对称轴上的一个动点，连接QA,QC,A C,当AQAC周长最小时，求点。的坐标，并求出此时A Q 4 C 周长的最小值.6.如 图 1,在平面直角坐标系中，抛物线=/+汝+。经过A (I,0),C(0,5)
4、两点，与 x 轴的另一交点为民(1)求抛物线解析式；(2)若点M为直线B C下方抛物线上一动点，MNLx轴交B C于点N；当线段MN的长度最大时，求此时点M 的 坐 标 及 线 段 的 长 度；如图2,连接8M,当 8 M N 是等腰三角形时，求此时点M 的坐标.7.抛物线丫=公2+服+4与 x 轴交于A (-4,0)和 3 (1,0)两点，与 y 轴交于点C,点 P是直线AC上方的抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过 点 尸 作 4c于点E,求 变 P E 的最大值及此时点P的坐标；2(3)将抛物线y a x2+b x+4向右平移4个单位，得到新抛物线.，点M是抛物线的对称轴上一
5、点.在x 轴上确定一点N,使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标.8.如图，抛物线y =x?+力 x+c 经过A(-l,0)、8(4,5)两点，点 E是线段A 8 上一动点，过点E作x 轴的垂线，交抛物线于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)求线段口的最大值；(3)抛物线与大轴的另一个交点为点C,在抛物线上是否存在一个动点尸，使得25 必 8=)$0“？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由9.如图，在直角坐标系中，抛物线丫=弟+反+也 与 x 轴交于A、B 两 点(点4在点8的左侧)，与 y 轴交于点C,顶点为点。，且 0 B =3 0 4
6、=6 0 C.(1)求抛物线的解析式及直线BC的表达式；(2)在线段B C 上找一点E (不与8、C重合)，使。E +g bE的值最小，并求出这个最小值；(3)连接AC,是否在抛物线上存在点P,过点尸作P E J.B C 于点E,使以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.1 0 .在平面直角坐标系中，若两点的纵坐标互为相反数，横坐标不相等，则称这两点互为雅对称，其中一点叫做另一点的雅点.如点(-2,4),(1,Y)互为雅对称，在平面直角坐标系x O y 中，点 A的坐标为(2,1).(1)直线y =x-i 上是否存在点A的雅对称点？若存在，
7、求出点A的雅点，若不存在，请说明理由.(2)若点A的雅点8恰好落在反比例函数y =V的图象上，月 ZA0B的面积为3,求女的x值；(3)抛物线丫二奴?-2 a x-3”上恰有两个点与点A互为雅对称，且这两个点之间的距离不超过6,请求出“的取值范围.1 1 .在平面直角坐标系x O y 中，对于二次函数y=-/+23一 1 2+4 (根是常数)，当相=1时，记二次函数的图象为C/；印 1 时，记二次函数的图象为C 2.如 图 1,图象C/与 X 轴交于A、8两 点(点 A在点8的左侧)，与 y 轴交于点C；如图2,图象C 2 与 x轴交于。、E两 点(点。在点E的左侧).(1)请直接写出点A、B
8、、C的坐标；(2)当点0、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m=(3)如图3,C 2 与 C/交于点P,当以点4、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值.1 ,1 2.如图，抛物线了=-万 厂+法+c 与 x 轴交于A,B两点，与 y 轴交于点C,点 8,C的坐标分别为(2,0),(0,3),点。与点C关于x 轴对称，尸是直线AC上方抛物线上一动点，连接尸力、交 AC于点Q.(1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标；在点尸运动的过程中，求 P。：。的最大值；(3)在 轴上是否存在点M,使N A M B=4 5。？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.1 3 .已
9、知抛物线的顶点为A(2,-1),与)，轴交于点点F(2,1)为其对称轴上的一个定点.(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)已知直线/是过点C(0,-3)且垂直于y 轴的定直线，若抛物线上的任意一点(?,)到直线/的距离为d,求证：PF=d；(3)已知坐标平面内的点。(4,3),请在抛物线上找一点Q,使 山尸。的周长最小，并求此时ADFQ周长的最小值及点Q的坐标.1 4.如 图 1,在平面直角坐标系中，抛 物 线 尸 奴?+6x +c 与x 轴分别交于A(-2,0)、8(6,0)两点，与 y 轴交于点C(0,4),顶点为点G,连接AC、B C,点P为直线B C 上方抛物线上一动点，连接4 P 交
10、 B C 于点(1)求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标;P M P M 当 而 的 值 最 大 时，求点尸的坐标及而的最大值;(3)如图2,在(2)的条件下，E尸是此抛物线对称轴上长为2 的一条动线段(点E 在点尸上方)，连接CE、A F,当四边形ACEF周长取最小值时，求点E的坐标；在此条件下，以点G、E、H、尸为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标.1 5.如图，己知抛物线=/+法+,经过点4(0,-1)和点8(5,4),P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PCy轴与A 8交于点C,PO_LA8于点,连接B4.(1)求抛物线的表达式；(2)当4 P C D的周长取得最大值时，求点P
11、的坐标和小PCD周长的最大值；(3)当附C是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标.1 6.如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线丫 =以2+区+2与x轴交于4-L 0),B 两点(A点位于B点左侧)，与y轴相交于点C,直线y=经过B,C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为第一象限内抛物线上一动点，过点尸作P Q L B C,垂足为。，连接AP.线段PD是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由;当NR1=/ACO时、求直线AP的表达式.1 7.如图，抛物线灰-3与x轴交于A(-1,0)、8(3,0)两点，直线/与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2.(1)求抛物线的
12、函数表达式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P,使得APB C的周长最小，并求出点P的坐标；(3)在平面直角坐标系中，是否存在一点E,使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.1 8.如图，抛物线与x轴交于点B(-2,0)、C(4,0)两点，与y轴交于点A(0,2)；(1)求出此抛物线的解析式;(2汝口图1,在直线4 c上 方 的 抛 物 线 上 有 一 点 求 的 最 大 值;(3)如图2,将 线 段 绕x轴上的动点尸(，0)顺时针旋转9 0。得 到 线 段，若线段O N与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求，的取值范围;1 9.如图，抛
13、物线丫=渥+(+3卜-(6根+9)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,已知点8(3,0).(1)求直线8c及抛物线的函数表达式;(2)P为x 轴上方抛物线上一点.若S&P BC=S&ABC，请直接写出点P的坐标:如图，叨 y 轴交8C 于点D,O E|x轴交AC于点,求 叨+O E的最大值;(3)。为抛物线上一点，若 ZAC0=45。，求点。的坐标.2 0.如图，已知抛物线y=N -5x+4与x 轴交于点A 和点3(点A 在点B 的左侧)，与y(1)求 4、B、C 三点的坐标;(2)如 图 1,若点P 是线段8 c 上的一个动点(不与点B,C 重合)，过点P 作 y 轴的平行线交抛物线于点Q,
14、连接O Q,当线段PQ 长度最大时，判断四边形。CP。的形状，并说明理由;(3)如图2,在(2)的条件下，。是 OC的中点，过点。的直线与抛物线交于点E,且NDQE=2NO。.在)，轴上是否存在点尸，使得ABE尸为等腰三角形？若存在，求点尸的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案:1.(1)=-2+4x+5 心 有 最 大 值 系 点 尸 的 坐 标 为 悖 引；存在，4-月 或。或;【分析】(1)根据题意将抛物线解析式可化为y=a(x+D(x-5),然后待定系数法求解析式即可求解；设尸(人一环+4?+5),表示出P E,根据二次函数的性质求得最大值；分三种情况讨论(i)当BC=BE时，(方)当
15、 8C=CE时，(H i)当3E=CE时，根据等腰三角形的定义，勾股定理列出方程，解方程即可求解.(1)解：由题意，抛物线)，=改 2+。的解析式可化为卜=(犬+1)。-5),将点3(4,)代入直线y=x+l得：=4+1=5,将点 B(4,5)代入 y=a(x+l)(x-5)得：(4+l)x(4-5)a=5,解得a=l,则抛物线的解析式为y=-(x+l)(x-5)=f 2 +4x+5,即 y=-x2+4x+5；(2)由题意：设?(?,-病+4?+5),E(m,m+1),.点尸在点E 的上方，则 PE=nr+4 z +5-(/n+l)=一机2+3wt+4=一(，一)+V-K O325二当小=|时
16、，PE有最大值，最大值 为?当 机 时，-w2+4/?+5=,此时点尸的坐标为(一，);242 4a存在，机的值为4-瓦 或 0 或一.4.,B(4,5),C(5,O),E(m,tn+),BC2=(5-4-+(O-5f=26,BE2=(w-4)2+(机 +1 -5 f=2(机一4)2,CE1=(m-5)2+(/n+l-O)2=(/n-5)2+(m+1)2,答案第9 页，共 4 4 页由等腰三角形的定义，分以下三种情况：(；)当 B C =BE 时，A B E C 为等腰三角形，则 BC-=BE2,即 2(m-4)2=26,解得力=4 一值 或 机=4+(舍去)(JJ)当B C =C E 时，A
17、B E C为等腰三角形，则 B CCE 即(加一y+(.+1)2=26,解得机=0 或加=4(舍去)；(JJJ)当8 E=C E 时，Z X BEC 为等腰三角形，则 B E 2=C E 2,即 2(机一 4)2=。-5)2+(?+1)2,解得机=5；综上，机的值为4-旧 或 0或=.4【点评】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段问题，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键.72.(l)y =x2+x-(2)最小值为-2,最大值为“1 74 加 0,求解即可.(1)解：将 点 代入 y =/+法+C 得:=c b=1,4,解得，Li+b+c c=-4
18、74y =J +x .4(2)抛物线开口向上，对称轴为直线X =-；.答案第1 0 页，共 4 4 页.当x=-；时，y 取最小值为-2,7 1 7.当x =2 时，取最大值2?+2-二=二.4 4（3）解：P Q =-2m+1 -=|-3 w?+1|,当-3 m+1 0 时，尸。=-3 加+1,P Q 的长度随机的增大而减小，当一3?+1 m-,尸。的长度随加增大而增大，.-3 帆+1 0 满足题意，解得加；.【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握用待系数法求二次函数解析式,二次函数的性质.3.y =（x-2 y（2,0）（3）最大值是弓2 5，最小值是44【分析】（1）根据
19、题意设抛物线的解析式为y =a（x-4，然后把点A（0,4）、8（5,9）代入关系式进行计算即可解答；（2）把，=0 代 入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答；（3）先求出A 3 解析式，然后计算当x =l,x=2,x =4,P A/的长度，然后设P（,+4）,4+4）,表示出PM的值，然后再进行计算即可解答.（I）解：抛物线的顶点C在x 轴正半轴上，设抛物线的解析式为y =a（x把点4 0,4、8 5,9）代入k a（x-4 中可得：I ，a（5-h =9解得：。=一1 0 舍去）或/2 =2,.*a=1,抛物线的解析式为：y =（x-2 汽(2)答案第1 1 页，共 4 4 页把
20、 N =0 代入y=(x-2 中可得：(X-2)2=0,.,*x=2,.点C 的坐标为(2,0)；(3)设 的 解 析 式 为：ykx+b,把点A(0,4)、8(5,9)代 入 丘+人中可得：仅=1解得：L ,，h=4 A 8的解析式为：丁 =工+4,点P 为线段A 8上一点，点为抛物线y=(x 2上一点，K l x,(0,1).综上所述，点。的坐标为(2,1)或(0,3)或(0,1).【点评】本题主要考查了二次函数解析式的求法，二次函数的最值，平行四边形的性质，求出二次函数的解析式是解答关键.5.(l)y=x2-2 x-3(2)9。(1,-2),三角形QAC的周长最小值为J Q+3 0【分析
21、】(1)根据A,B 的坐标设抛物线为：y=a(x+l)(x-3),再把C 的坐标代入即可；(2)先求解抛物线的顶点为：(1,-4),如图，记抛物线的对称轴与x 轴的交点为K,则K(1,。)，利用S四 边 物(8D C =SVAOC+S律影O CDK+VBDK可得答案；(3)如图，由4,B 关于抛物线y=(x-l)2-4 的对称轴x=l 对称，连接B C,交对称轴于。，则三角形QAC的周长为：A Q+C Q+A C A C+B C,此时周长最短，再求解BC为：y=x-3,可得。的坐标，再利用勾股定理求解AC,BC即可得到三角形的周长的最小值.(1)解：点A 的坐标为(-1,0),点 B坐标为(3
22、,0),点 C 坐标为(0,-3),设过A,B,C 的抛物线为：y=a(x+l)(x-3),-3a=-3,解得：6 Z =1,抛物线为：y=(x+l)(x-3)=x2-2x-3.(2)y=x2-2 x-3 =(x-l)-4,抛物线的顶点为：0(1,-4),如图，记抛物线的对称轴与x 轴的交点为K,则答案第14页，共 44页 S四 边 形 A B。=SyjAO C+S梯 形 OCDK+SBDK=g 仓 I 3+g仓 J(3+4)+g仓珞(3-1)=9.(3)如图，由A,8 关于抛物线y=(x-l-4 的对称轴x=l 对称，连接8 C,交对称轴于。则三角形QAC的周长为：A Q+C Q+A C =
23、A C+B C,此时周长最短，设直线BC为 y=+3k+bQ 9=1则 L 0,解得：L 。，/=-3 沙=-3；.BC 为：y=x-3,当 x=1,则 y=-2,2(1,-2),A C=712+32=M,B C =+32=3 0，三角形QAC的周长最小值为：710+372.【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握二次函数的轴对称的性质是解本题的关键.6.(l)y=x2-6x+5(2)线段MN的长度最大时，当 M 的 坐 标 为 与，线段MN的长度最大为名(V2,2 4 4答案第15页，共 44 页7-6立）或（1，0）
24、或（2,3）【分析】（1）把 A,C代入抛物线，求得A c即可；（2）先求出8C 的解析式，再设M（m，机 2 6切+5）,则 N（如+5）,表示出MN的长，再配方即可；设 出 M,N 的坐标，再表示出MV和 8M 再分三种情况：M N=B N或 M N=B M 或 B M=B N,分别计算即可.（1）解：二 抛物线了=9+版+。经过A（1,0）,C（0,5）两点，c=5,l+Z?+5=0,解得h=-6,，抛物线解析式为y=/-6 x+5；（2）解：（2）令 y=0,即/-6x+5=0,解得：x；=l,X 2=5,：.B（5,0）,直线8 C 的解析式为：y=-x+5,设 （加，m2-6/T2
25、+5）,则 N（m，-m+5）,M N=（-优+5）-（相 2-6m+5）,5 25M N=-m2+5m=一（m ）2+,2 4.当机=:时，MN的最大值为学，此时M 的坐标为-6 x +5）即 信，线 段 的 长 度 最 大 时，当 M 的坐标为（|，-9）,线段MN的长度最大为彳；.点M 在抛物线y=9-6 x+5 上，点 N 在直线y=-x+5上，设 M（zn,m2-6m+5）,则 N（加，-m+5）,:MN=-户+5?,BN=y2（5-m）,O B=O C,：.ZMN B=ZO CB=4 5 ,i.当 M N=B N时，-/+5 根=V2（5-m）,解得：m=垃，m=5（舍去），M（0
26、,7-6 应），i i.当 3M=MN 时，则 NNBM=NMM3=45,答案第16页，共 44 页:/N MB=9 U ,则加2一 6m+5=0,解得2=1或团=5(舍去)，：.M(1,0),i i i.当 BM=BN时,NB M N=N BN M=4 5 ,N N BM=9 0,/.-(m2-6/w+5)=-m+5,解得?=2或 m=5(舍)，：.M(2,-3),当8MN是等腰三角形时，点 M 的 坐 标 为(后，7-6 0)或(1，0)或(2,-3).【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式,等腰三角形的性质，解一元二次方程，第三问注意分类讨论是解决
27、此题的关键.7.(l)=-x2-3x+4Q)&P E的最大值为2,P(-2,6)2【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；(2)过点尸作P F L x 轴于点尸，交 AC于点。，过点E 作。尸于。，设P(m,-3?+4),则 。机+4),表示出PD 的长，根据二次函数的性质求得的最大值，进 而 根 据 也 PE=，PO=2,即可求解.2 2(3)根据平移的性质求得平移后的解析式，进而分M C为边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质即可求解.(1)=以 2+山；+4 与冗轴交于A(-4,0)和 B(1,0)两点，与 y 轴交于点C,令 x=0,则 y=4,则 C(0,4)设 y=a(x+4)
28、(x-l)将点(0,4)代入得4=-467解得。=-1=-(x+4)(x-l)即 y=-x2 一 3x+4答案第17页，共 44 页（2）如图，过点P作 轴 于 点 尸，交AC于点),过点E作 QELPb于。,A（的最大值为2,止 匕时机=2,（机+4）（帆-1）=2x（3）=6.P（-2,6）（3）答案第18页，共 44页 y=x2-3x+4=(x+3 j+交4向右平移4个单位，得到新抛物线A（T 0）,C（0,4）,%=|,.同-4+|可 即|,0）,CM为对角线时，则f +5,=：-=2 42 4解得“三13，【点评】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数的平移，二次函数线
29、段问题，特殊四边形问题，掌握二次函数的性质，勾股定理，平行四边形的性质是解题的关键.8.(l)y=x2-2x-3答案第19页，共44页（3）存在，点户的坐标为（1-跖2）或（1 +#,2）或（1-6-2）或（1 +夜,-2）【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;（2）先设出点尸的坐标，然后表示出点E的坐标，再表示出EF的长度，根据二次函数的性质即可确定EF的最大值;（3）先求出点C的坐标，然后求出三角形ABC的面积，设出点尸的坐标，用含点P的坐标的式子表示出三角形A C尸的面积，列出关于方程,即可求出点P的坐标.(1)解：把A(-1,0)、8(4,5)代入 y =/+&r+c,得
30、:0=l-b+c5 =1 6 +4 6 +c解得:b =-2c =-3抛物线的解析式为y =炉-2 x-3 ；(2)解：设尸(x,W 2工 一3)(1 v x/6 或6=1 +a或2 =1 一 y/2 或m=1 +yp2，当 z =1 -6 或根=1 +6 时，V =2当机=1 -/2 或机=1 +&时,V =-2,点P 的坐标为(1-#,2)或(1 +疝 2)或(1-夜，-2)或(1 +2).【点评】本题主要考查二次函数的性质，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，会根据解析式确定抛物线和坐标轴的交点，对于动点问题，一般是先设出动点的坐标，再列出关于动点坐标的方程，然后解方程.9.(l)y
31、 =旦2+垣 工+退 与+3 3 3 建3(5(3)存在，点尸的坐标为4,-半【分析】(1)先求出抛物线与y 轴交于点C(0,6),可得o c =，从而得到08 =3,0A=,进而得到8 (3,0),A (1,0),再利用待定系数法解答，即可求解；(2)过点E 作 7 VJ _ x轴于点N.先求出抛物线顶点。坐标为,殍)，再由t a n N CBO=空=更，可得/C 8 O=3 0。，从 而 得 到=进而得到当。，E,N三O B 3 2点共线且垂直于x 轴时，O E +gB E 值最小.即可求解；(3)过点P 作 PE_ L BC于点E,根据勾股定理逆定理可证得/A C 8=9 0。，从而得到
32、当PE=AC=2时，以点A、C、尸、E 为顶点的四边形是平行四边形.然后过点P 作 PF介 轴 交P F=P E=2 =46B C 于点尸，交 x 轴于点G,可得N PFE=6 0。，从而得到 荒 旃 一 二 万 一 行，然后设TP/,-/+管/+6 ,则F t-t+y/3再分两种情况讨论，即可求解./7(1)解：抛物线与y 轴交于点C(0,6),答案第2 1页，共 4 4 页:.o c =6,：OB=3OA=O C,：0B=3,OA=lf：.B(3,0),A (-1,0),把 5 (3,0),A (-1,0)代入y =+法+6得:0=9。+3 b+A/30=a-b +/3解得也a=-32 G
33、，b=-3抛 物 线 的 解 析 式 为 丫=-骨+孚*+6._ 3 2.2百 A i、2.y=-X 4-X+j3=-(X-1)4-,抛物线顶点o坐标为在狡 BOC中，t a n Z CBO=,OB 3，N C B O=3 0。，；EN _ L x 轴，E N=-B E ,2：.DE+-B E =DE+EN,2.根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当D,E,N三点共线且垂直于x轴时，DE+B E值最小.答案第2 2页，共4 4页，D E +-B E =D E +EN =D N =-2 3(3)解：存在，理由如下：如图：过点P 作 P E L B C 于点E,V A (-1,0),B(3,0),
34、C(0词，4 B=4,A C 2,BC=2-/3 :.AC2+BC2=AB：.N A C 8=9 0。，CP ELBC：.Z PEC=9 0,/.P EAC,当P =A C=2 时，以点A、C、P、E 为顶点的四边形是平行四边形.过点P 作刊轴交B C 于点F,交 x 轴于点G,：.Z B F G=Z O C B =60%：N B F G =N P FE,J Z PFE=6 0,在 长 P P E 中，尸 尸 二 P E=2 二46-s i n 6 0-2 ,T设直线B C的解析式为y=nvc+nf将 8 (3,0),。(0,代 入 得：3 加 +=0n=6，答案第2 3 页，共 4 4 页/
35、?=-解得，,3 ,n=6，直线B C的解析式为y=_与x+6设P t,*/+竽f +如，则 尸t,-与+6当0 t 3时,整理得，/一 3/+4 =0,A A=9-4X43时，M鸣+目-恪旺鸣+江迪3 乂 3 3 ）3整理得，-3 f-4 =0，解得“-1（舍去），L=4.点P的 坐 标 为 乎）【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，平行四边的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键.10.(1)存在，(0,-1)=-4 或&=8c 1 口 1 T 1 a W且 或”4一1【分析】（1）根据雅对称点的定义可得，点A（2
36、,1）的雅对称点的纵坐标为-1,将y =-l代入y =x-l求解即可；（2）由题意得，点B的纵坐标为T,设8（相,-1）,分两种情况：当2 0时，当 0 时，当a 0 时，分别过点A、B作 A M _ L x轴，作 B N L y 轴，AM、BN交于息M,S.AOB=-S.O B N-$梯 形，B P x(l+1)x(2-/n)_ -xlx(-，)-x(2 +l)x2 =3 ,222解得，=-8,8(-8,-1),代入反比例函数、=幺，得&=8,x当女0 时，分别过点A、B作轴于点M,作 B N J_ y轴于点N,答案第2 5 页，共 4 4 页B P x(14-1)x(2+ZK)-x 1 x
37、 2-/n x 1 =3,2 2 2解得m=4,8(4,-1),代入反比例函数y=(,得&=-4,X综上，的值为8 或Y；(3)令 y=-l,BPar2-2 a r-3 a =-l,:.a)C-2ax-3a+=0,抛物线丫=底 _2以-3上恰有两个点与点A 互为雅对称,A=(-2a)2-4a(-3a+1)0,.-a。，设两个点的横坐标分别为外,演，2.0,_ 1 -3。/.X,+元2=-=2,X j-x2=-,aa小一到4 6,?.(x-x2)2 36,B P(Xj+x2)2-4%1-x2 36,.22-4 x 1 3 6,g|Jl-l ：,4 点A 与这两个点的横坐标不相等，(2,T)代入
38、y=ax2-2ax-3a答案第26页，共 44 页：.4a-4a-3a=-,解得a=L31:.a-,3，a 一1 且Q 一1；4 3当a 0时，解得综上，a的 取 值 范 围 为 且&片；或【点评】本题是二次函数与反比例函数的综合问题，主要考查二次函数的性质，反比例函数的图象和性质，三角形的面积，根与系数的关系，新概念的理解与应用等知识，正确理解题意，熟练掌握知识点及运用分类思想是解题的关键.1 1.(1)A (-1,0),B(3,0),C(0,3)(2)-6,0,6(3)3【分析】(1)根据题意先求出二次函数的图象。的解析式，当)，=0,求出点A和点8的横坐标，得到点A和点B的坐标，把x=0
39、代入解析式，求得点C的纵坐标，得到点C的坐标；(2)根据题意先求出点。和点E的坐标，分点E是00中点，点。是O E中点，点。是O E中点三种情况，利用中点坐标公式分别求解即可；(3)先表示出点尸的坐标，再求出点4,点C和点。的坐标，若以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，分A C是边和4 c是对角线两种情况分别求解即可.(1)解：.当，”=1 时，y=-/+2 xlxxP+4=-/+2 x+3,二次函数的图象C/为抛物线丫=-N+2X+3,当 y=0 时，0=-X2+2X+3,解得玉=3,x2=-1 ,.点4的坐标是(-1,0),点B的坐标是(3,0),当 x=0 时，y=3,点C的坐
40、标是(0,3)；综上，点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(3,0),点C的坐标为(0,3)；(2)解：机=6,0,6,理由如下：对于 y=x2+lmxm2+A,设 y=0,答案第2 7页，共4 4页则一3+2 以一“?2+4=0,解得 x/=2+?，X22+m,.点。在点E 的左侧，：.D（一2+，”，0）,E（2+机，0）,当点E 是 0。中点时,由中点坐标公式可得:-2+m _-=2+?2解得：?=-6；当点。是 OE中点时,由中点坐标公式可得:2+tn.-=-2+22解得：m=6；当点。是。E 中点时,由中点坐标公式可得:-2+加+2+加 _-=02解得：m=0；综上，当机=-6,0
41、,6 时，点 0、。、E 中恰有一点是其余两点组成线段的中点.故答案为:6,0,6解：联立y=-x2+2x+3y=-x2+2my 一 机 2 +4 解得:加+1x=-2-m1+2m+15，点 P坐标为 点4 坐 标 为（-1,0）,点 C坐 标 为（0,3）,点。坐 标 为（-2+加，0）,若以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形,当AC是边时:若 AC平行且等于O P,由点的平移规律可得2+1 ,c-+1 =-2+m2-tn2+2m+15.八-+3=0此方程组无解;若 AC平行且等于PQ,由点的平移规律可得c+1-2+加 +1 =-2八 r-YTT+2/W+150+3=-解得2=3;y
42、=4m+-m1+2/n+15I 2444当AC是对角线时:因点A 与点。在无轴上，而 CP在同一抛物线上，A。与 CP不存在平行且相等的情形,所以此情况不存在；答案第28页，共 44页综上当以点A、C、D、尸为顶点的四边形是平行四边形时，=3.【点评】此题是二次函数和几何综合题，还考查了中点坐标公式、平行四边形的判定和性质、平移的规律等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键.12.(l)y =x2 x+3；(3,0)16(3)存在，M(0,6)或 M(0,-6)【分析】(1)将 B,C两点坐标代入抛物线的函数表达式求得乩c,进而抛物线函数表达式，根据抛物线对称性或令y=0,进而求得结果；(2)作
43、P F L A B于 F,交AC于 E,设出点P和点E坐标,表示出PE的长,根据M E 0 s ”Q列出比例式，进而配方，进一步求得结果；(3)可先求M 在 y 轴正半轴时：以 为 底 作 等 腰 直 角 三 角 形 A B/,以/为圆心，A/为半径作圆，交)，轴 于 设 点 M(0,m),由M/=4 列出方程求得力的值，从而求得M 坐标，根据对称性求得再y 轴负半轴的情形.(1)-X22+2/?+C=0解：由题意得，2,c=3b=-：.-l,把点8坐标代入求出”即可；(2)过点P作AF于J,根据尸(加,)得到尸(八 2 ,进而求出pF,得到小,P F2(用机表示)即可解决问题；(3)过点。作
44、。直线/于从 过点。作 皿，直线/于N,利用力尸。的周长答案第3 1 页，共 4 4 页=DF+DQ+F Q,。尸是定值=J2ys=2 0，推出。+。尸的值最小时，W只2的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可.(1)解：由题意抛物线的顶点4 2,-1),设抛物线的解析式为y=”(x-2)2-l,.抛物线经过8.抛物线的解析式为y=：(x-2)2-i；O证明：过点P作/V_LAF于 /.1.1 Pm,n),12 1 1 2 1 1/.n=-(m-2)-i=-m m 8 8 2 28 2 2 8 2 2 F(2,1),8 2 2:.d2=PF2,答案第32页，共44页:.PF=d；（3）解：如上
45、图，过点。作Q H J 直 线/于H,过点。作 D V L 直线/于 N.,）尸。的周长=尸+。2+人2，D F是定值=J2?+2?=2应，.OQ+Q F 的值最小时，儿）尸。的周长最小，；Q F =Q H ,D Q+D F =D Q+Q H ,根据垂线段最短可知，当。，Q,H 共线时，OQ+Q H 的值最小，此时点”与 N 重合，点 Q 在线段ON上，的最小值为6,.OFQ的周长的最小值为2夜+6,此时。【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题.1 4.y=-；/+g x+4；G（2，SQ（
46、2）P（3,5）；最大值为福16 乜（3,3）、/。，7）、【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可：（2）作 A NC。交直线8 C 于点N,作 尸。C。交直线8 c 于点。，得：A N/P Q,得到 P Q M s X A N M，也=半，待定系数法求出直线B C的表达式,点N 的坐标是1-2.与，A M A N I 3 J求出AN=乎，求N 的最大值，就是求华的最大值，即PQ的最大值，设3 A M A N答案第33页，共 44页P（P，-g/+g p +4）,Q（p,-|p+4）,得 PQ=-g p 2+2p,进而求出答案；（3）先说明品物形ACEF最小，就是CE
47、+AE最小；作A 4 E/L且A 4 =E F =2,连接E 4 ,如图4,则C +A F =C E+A ；作点C关于对称轴的对称点C （4,4）,连接C A 交对称轴于点E ,则点E运动到点？时，C四 边 叫CEF最小；待定系数法求出直线A C 的表达式，得到E（2,g）,以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，得出答案.（1）解：由抛物线），=加+法+。与x轴分别交于A（-2,0）、B（6,0）两点，与V轴交于点。（0,4）得：0=4a-2h+c/5 +2 +C E+A.F,；C 四 边 形AC杯最小,就是C E+A F最小；作 A 4 F,且 A A =F =2,连接 E 4 ,如
48、图 4,四边形4T E尸是口；:.A,E=A F,：.C E+A F =C E+A E；作点C关于对称轴的对称点。（4,4）,连接CA，交对称轴 于 点 则 点 E运动到点 时,用 边 形 A C E 广 最小；设直线A，。的表达式为y =k、x+a,.乎=-2 4 =4/+4，L=i3解得：，b=0I 3n 1 8即 y=-+-；以点G、E、H、尸为顶点的四边形为平行四边形,答案第3 6 页，共 4 4 页.其(3,3)、4(3,7)、【点评】此题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，作出正确的辅
49、助线是解题的关键.15.(1)j =x2-4 x-1(2)最大值为？(a +1)；此时点尸的坐标为(,-了)(3)(4,-1),(3,-4),(5-亚,6-6 0)【分析】(1)利用待定系数解答，即可求解；(2)先求出直线A 3的表达式为)，=一1,可得APCQ是等腰直角三角形，从而得到PCD的周长为：P C +P D +C D =(4 2+1)PC,设点尸的坐标为则点C 的坐标为(x,x-l),利用二次函数的性质，即可求解；(3)分三种情况讨论，即可求解.(1)解：由题意得：I 彳，5+5b +c =4仍=一4解得：，c=-l则抛物线的表达式为y=X2-4 x 7.解：设直线AB的表达式为)
50、，=丘+。仅*0),VA(0,-1),B(5,4),a =-=5k+a =4 Z=l 直线A B的表达式为y=x-l,设直线AB交 x 轴于点M,答案第37页，共 44页当产0 时，x=,：.O A=O B=1,NAOM=90。，：.ZO AB=4 59 CPy 轴，J NQCP=45。，.PC。是等腰直角三角形，即 CO=PD,*-P C =-J CD2+D P2=4 2CD 即 CO=P0=PC，.PC。的周长为：P C+P D +C D =(y2+lP C,设点尸的坐标为(x,f-4 x-l),则点C 的坐标为(x,x-1),.(X/2+1)PC=(N/2+1)(X-1)-(X2-4X-