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1、备 战 2023届 高 考 数 学 解 析 几 何 综 合 专 练 应 用 七：圆 锥 曲 解 的 综 合 之 向 量 共 线 问 题 专 练（解 析 版）一、单 选 题,r2已 知 椭 圆 c,2y=Kab 0）的 右 焦 点 为 F,经 过 点 F 的 直 线 I的 倾 斜 角 为 45。,且 直 线/交 该 椭 圆 于 A 3 两 点，若 衣=2而，则 该 椭 圆 的 离 心 率 为（）x/3.TR 近 15.-2 3【答 案】C【分 析】写 出 直 线/的 方 程 为 y=x-C,与 椭 圆 联 立，写 出 韦 达 定 理，结 合 条 件/=2 届，求 得 A，B 的 横 坐 标,代
2、入 到 韦 达 定 理 中 的 士 当 中，化 简 求 得。与 c 的 关 系，从 而 求 得 离 心 率.【详 解】由 题 知,直 线，的 方 程 为 丫=工-%设 A（%，M）,B（x2,y2）,y=x-c联 立,J 2,整 理 得 面 十 加*一 242cx+2c2_42/=0,b 4=1则 王+马=2a2ca2+bra2(c2 一。之)a2+从 又 入 尸=2 F B 则（。一 X，一 乂）=2（X2 c9y2）,则%+2%=3c,结 合 韦 达 定 理 知，a2c-3 b2c寸 a。，a2c+3b2c工 2a2+b2则 xx2=a2c-_ 3_b_l_e_ _a_2cx+_ 3_b_
3、2_c_ _a2+b2 er+Z?2a2(c2-b2)a2+h2整 理 得 方 2=%2,则 离 心 率 e=变 a 3故 选：c_ 2 _2.已 知 抛 物 线 C：丁=2夕 x(0)的 焦 点 为 下，点 M,N 分 别 在 抛 物 线 上，且 而=；丽，|MN|=16,则 P=()A.4 B.6C.8 D.12【答 案】B【分 析】由 抛 物 线 的 定 义 及 其 性 质，解 三 角 形 的 知 识 结 合 焦 点 弦 公 式，即 可 解 出.【详 解】令 府 耳=3 f,则|而 卜 f,过 N,M 作 准 线/：x=-5 的 垂 线，垂 足 为 AT,M,过 N 作 N H 垂 足
4、为 H,如 图，易 得|M”|=27,在 RtZJWNH 中,?NMH 60?,.直 线 M N 的 倾 斜 角 为 6=60。，焦 点 弦|MN|=,sin 0，P=6,故 选：B.23.已 知 椭 圆 C：工+2=上 的 三 点 A,B,C,斜 率 为 负 数 的 直 线 8 c 与 y 轴 交 于 M,若 原 点。是 AABC4 2-_的 重 心，且 3 M=M C,则 直 线 5 C 的 斜 率 是()y【答 案】A【分 析】设 8,C,M,A 的 坐 标 与 直 线 B C 的 方 程，联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程，由 题 意 结 合 根 与 系 数 的 关 系 建 立
5、 方 程 组，求 解 即 可【详 解】设 8（冷 弘），C（x2,y2）.4 5，必），直 线 8 C 的 方 程 为=去+，”._ 2 _-2 由 可 得 占=-1x2 联 立 4=（4,+l）x?+8wAx+4?z2-4=0.%+七=二，中=世=，由 整 理 可 得：10（）炉 加=1+4 5-1+4K-1+4/原 点。是 AABC的 重 心，与=一（%+&）=;8?：5，%=-（%+%）=-伙（X+4）+2汨=-;2；、-.：X；+44=4,（叱，,）2+4（_，）2=4 n 1+4公=4m 2.1+4%1+42由 可 得 廿=，；Z0.=-3.100 10故 选：A4.已 知 抛 物
6、线 C:y2=2px(p0),过 点 尸(1,0)且 斜 率 为 g 的 直 线 与 C 交 于 A 8 两 点，若 Q=3而，则 好()【答 案】D【分 析】根 据 点 尸 的 坐 标 设 出 直 线 A B 的 方 程，代 入 抛 物 线 消 去 x,根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 到 两 点 纵 坐 标 的 关 系，再 根 据 泰=3尸 得 到 两 点 纵 坐 标 的 另 一 个 关 系，解 出 即 可.【详 解】容 易 判 断 若 直 线 4 8 的 斜 率 不 存 在，则 不 满 足 淳=3而，于 是 设 直 线 y=|(xT)，由 2 得 3 y 6 P=。设 A(3,y)
7、,8()，则,“十 3,又 j2=2px,yy2=-2pAP=3 PBf 即(1 一 芭，乂)=3(工 2-L%)，-M=-3%，-2%=”3所 以 3 n p=g-3y1=-2p故 选：D.5.已 知 抛 物 线 C：V=3 x,过 点 P(l,0)且 斜 率 为(Q 0)的 直 线 与 C 交 于 A,B 两 点，若 丽=3万，贝 必=()A.g B.y c.I D.【答 案】B【分 析】设 A(x“y),B(x2,y2),再 设 出 直 线 方 程，然 后 与 抛 物 线 方 程 联 立，由 根 与 系 数 的 关 系 得 出 X，必 的 关 系,又 根 据 AP=?,PB得 到 如 必
8、 的 关 系，联 立 方 程 组 解 出 即 可.【详 解】设 直 线，=%(x l)仅 0),由,：二；一)得 正-3y-3%=o,设&x“y),B(x2,y2),则 有 卜+%=%,1，=x 丫 历=-3又 酢=3而,所 以。-玉,-1)=3(毛-1,%)，则|=-3为，_2V=_ 3于 是，2 k,且 fc0,进 一 步 得=T，%=；3 货=-3 2故 选：B.6.已 知 点 厂 为 抛 物 线 C:y?=4x的 焦 点，过 点 尸 的 直 线/交 抛 物 线 C 于 A,B 两 点，若 荏=3而，则|明=()9A.9 B.4亚 C.2A/2 D.-【答 案】D【分 1?】设 直 线/
9、的 方 程 为 x=4y+l,联 立 直 线/与 抛 物 线 方 程 化 简 可 得 y2-4小-4=0,设 8 毛,必)，由 此 可 得,刈 二-4，结 合 而=3而 可 求 4 8 的 坐 标，再 由 焦 点 弦 公 式 求|4B|.【详 解】因 为 焦 点 打 1,0),设 直 线/的 方 程 为=右+1,代 入 抛 物 线 方 程，得 3-4 办-4=0.设 孙 丫 2)，由 韦 达 定 理 得 X%=-4.因 为 丽=3而，所 以 存=2而，所 以 X=-2%.解 得 y=-2&,%=也 或 y,=2-2,y2=/2,所 以 玉=2,9=5，所 以|AB|=X+X2+p=5+2+2=
10、5.故 选 D.7.已 知 抛 物 线 M 的 顶 点 在 原 点，焦 点 在),轴 正 半 轴 上，过 其 焦 点/作 直 线/交 抛 物 线 于 A,B 两 点,过 点 A,8分 别 作 抛 物 线 准 线 的 垂 线，垂 足 分 别 为 点 C,D,AF=2BF,且 反 丽=72,则 该 抛 物 线 的 方 程 为()A.x2=8y B.x2=1 Oy C.x2=9y D.x2=5y【答 案】A【分 析】设 A（X|，X）,B（x,y2）.抛 物 线 的 方 程 为 父=2 y（p0）由 标=2而 求 出 点 A,8 的 坐 标，进 而 可 得 点 C,。的 坐 标，由 反.丽=72列
11、方 程 即 可 求 得。的 值，进 而 可 得 抛 物 线 的 方 程.【详 解】设 A（%,y）,8（,%）,为，抛 物 线 的 方 程 为 炉=2py（p0）,小,3由|AF|=2|8F|可 得 而=2万，所 以（-入 4-%）=212，必-9所 以 _为=2%，所 以 2=（，M=P，$=也 p，x2=-p 所 以 4（应 p,p）,C（&p,O）,01-殍,。因 为=72,所 以 反.丽=些?、述 p=72,所 以 2=4,2 2所 以 抛 物 线 的 方 程 为 f=8y.故 选：A.2 28.已 知 双 曲 线 C：5-2=l（a0,b0）的 右 焦 点 为 凡 关 于 原 点 对
12、 称 的 两 点 A、B 分 别 在 双 曲 线 的 左、右 两 支 上，AF FB=O 3而=定 且 点 C在 双 曲 线 上，则 双 曲 线 的 离 心 率 为（）A.V2 B.巫 C.6 D.22【答 案】B【分 析】由 点 A、8 关 于 原 点 对 称，设 3(x,y),贝 iA(-x,-y),利 用 38齐=户。，得 C(4 c-3 x,-3 y),再 利 用 才 己 方=0得 到 关 系 式 c2=x?+y 2,再 用 点 C、8 在 双 曲 线 上，三 个 式 子 联 立 求 解 得 到+勿 2=3。疡 二 7,化 简 得 到 2/_ 7 e 2+5=0,即 可 求 得 双 曲
13、 线 的 离 心 率.【详 解】由 点 A、B 关 于 原 点 对 称，设 B(x,y),则 A(-x,-y)U U U U U Uv F(c,0),设 C)，/.BF=(c _ x,-y),FC=(m-c9n)U U U UUIUQ3BF=F C，3(C-X)=AH-C-3y=nm=4c-3x,、_ 3,即 C(4 c-3 x,-3 y)min uu um u uuuQ A F F8=0，AF=(c+x,y),B F=(c-x,-y)利 用 向 量 数 量 积 公 式 得：(c+x,y(c-x,-y)=0,即=/+y 又 点 C、8 均 在 双 曲 线 上，穹=1,(4 f 应 b&a2 b
14、i由 可 得：a1+2c2=3ayl2c2-a2两 边 同 时 除 以/可 得：1+2/=3,2/-1两 边 同 时 平 方 得；(l+2e2)2=9(2e2-l),即 2/-7/+5=0/(2 0 2-5 2 2-1)=0又 双 曲 线 的 离 心 率 e l,贝 b 2=|,即 6=，|=萼 故 选：B.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 考 查 双 曲 线 的 离 心 率，解 题 关 键 是 找 到 关 于。，c 的 等 量 关 系.本 题 中 利 用 3而=斤 得 到 点 C 坐 标，利 用 点 C、8 均 在 双 曲 线 上，得 到 关 系 式，再 利 用 而.丽=0得 到 关 系
15、 式，三 个 式 子 联 立 得 到 所 要 求 的 等 量 关 系，考 查 了 学 生 的 运 算 求 解 能 力，逻 辑 推 理 能 力.属 于 中 档 题.v-2 v2 19.已 知 椭 圆 C:土+匕=1的 下 顶 点 为 A,点 8 是 C上 异 于 点 A的 一 点，若 直 线 AB与 以 为 圆 心 的 8 4 3圆 相 切 于 点 P,且 A户,启，贝!|tan NASA/=（）【答 案】B【分 析】由 题 意 可 知，A（0,-2）,设 8（占,%），利 用 平 面 向 量 的 数 乘 运 算 得 到 彳 户=（；/，；%+:进 而 求 出 P 点 坐 标，得 到 标 的 坐
16、 标，利 用 直 线 A B与 圆 M 相 切 于 尸 点，得 到 而 庐，而，利 用 向 量 的 数 量 积 公 式 结 合 芯 _+芯=1,即 可 求 出 方,得 到 8,尸 坐 标，利 用 两 点 之 间 的 距 离 公 式 求 解 即 可 得 出 结 果.8 4由 题 意 可 知,4(0,-2),设 2 2则 8 点 满 足 迎+生=1,8 4 A3=(X。,%+2).V AP=-ABf4.京=(H 0+j 1 尸(卜 3-9,屈=(!W).直 线 A 8与 圆 M 相 切 于 尸 点,亚 J_而，.1 fl 71/八 八 xo，xo+70-7 卜(+2)=04 14 o J即;片+；
17、尤 一|%_1=0，2 2 2 c l将 E+至=1代 入 上 式 可 得 生+%+,=()8 4 4 3*0 32解 得%=-或-2(舍)，BP=-AB=y,4X V/B P M=90。，tan/ABM=2y/5MPTBP T 3故 选：B.【点 睛】关 键 点 睛：利 用 丽=:而 得 到 户 点 坐 标，利 用 已 知 条 件 得 到 丽，而，求 出 a P 坐 标 是 解 决 本 题 的 关 键.1 0.设 抛 物 线)，2=2px(p0)的 焦 点 为 F,倾 斜 角 为 的 直 线/经 过 抛 物 线 的 焦 点 尸，且 与 抛 物 2线 相 交 于 M,N 两 点.若 局.而=_
18、2俞，则 sin 2 6=()A.述 B.C.正 D.迪 3 3 4 9【答 案】D【分 析】首 先 根 据 前.俞=_2俞,得 到|扁|=2|无|，接 着 利 用 抛 物 线 的 定 义 得 到 需,=1 根 据 比 例 11VI CiiVi|乙 关 系 得 到 cosNENC=g=：=cos。,最 后 计 算 sin29即 可.【详 解】如 图 所 示，过 点 M,N 分 别 作 准 线 的 垂 线，垂 足 分 别 为。，C,直 线/与 准 线 交 于 点 E,由 题 意 可 得|局|=2|而|，设|FN=x,则|FM|=2x,由 抛 物 线 的 定 义 可 知，ICWhx,MD=2x,|
19、CN|EN|_ 1MD EM 2所 以|EN|=3x,在 ENC中，cos/ENC=5 黑=2=cos。，I EN|3所 以 sin”速，3AJ2则 sin 20=2sin 9 cos 0=-.9故 选：D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 直 线 与 抛 物 线 相 交 的 问 题，中 间 涉 及 到 抛 物 线 的 定 义 的 应 用，构 造 相 似 三 角 形，利 用 比 例 关 系 建 立 边 长 与 直 线 倾 斜 角 之 间 的 关 系，从 而 达 到 解 题 的 目 的，考 查 学 生 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力，对 学 生 能 力 要 求 比 较 高.二、填 空
20、 题 2 21 1.已 知 双 曲 线 C:2-卓=1 e。）的 左,右 焦 点 分 别 为 耳，心，离 心 率 为 e，尸 为 双 曲 线 c 的 右 支 上 一 点，且 耳 玛，8 为 圆/+/=从 上 的 一 点，且 砺=后 而，则 彳 巨 的 最 小 值 为.【答 案】75【分 析】根 据 双 曲 线 的 通 径 公 式 和 勾 股 定 理 求 出 匕=为，可 得 离 心 率%再 根 据 基 本 不 等 式 可 求 出 结 果.【详 解】由 题 意 可 得 I。月|=，所 以|而|=|而|=叵 6,2 2又 工,耳 乙，所 以 所 以|0尸|=J|P招+|0 玛=勺+。2,所 以 与
21、7（勺+/，所 以:=+。2+从，所 以 4/+4/17。2=0，所 以（4/一）（。2-4）=0,所 以 4a2=力 2或 02=破，所 以 2。=。或=因 为 4 0,所 以 人 二 2，所 以 c=la2+h2=J a2+4/=y5a，所 以 e=/=逐，所 以 正=g 0=1（4+2）2 j 义 2、5=石，当 且 仅 当=石 时，等 号 成 立.b 2a 2 a 2 N aAF故 答 案 为：加【点 睛】易 错 点 睛：利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 注 意 其 必 须 满 足 的 三 个 条 件：(I)“一 正 二 定 三 相 等“一 正 就 是 各 项 必 须 为
22、 正 数；(2)“二 定”就 是 要 求 和 的 最 小 值，必 须 把 构 成 和 的 二 项 之 积 转 化 成 定 值；要 求 积 的 最 大 值，则 必 须 把 构 成 积 的 因 式 的 和 转 化 成 定 值；(3)“三 相 等 是 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，必 须 验 证 等 号 成 立 的 条 件，若 不 能 取 等 号 则 这 个 定 值 就 不 是 所 求 的 最 值，这 也 是 最 容 易 发 生 错 误 的 地 方.12.知 直 线，过 抛 物 线/=22氏(0)的 焦 点/，且 交 抛 物 线 于 4、B 两 点,交 其 准 线/于 点 C.若 於
23、1,CB=2BF,贝 _【答 案】3【分 析】过 A、8 作 准 线/的 垂 线，垂 足 分 别 为 过 尸 作 A N 的 垂 线，垂 足 为。，根 据 丽=2/结 合 抛 物 线 的 定 义 可 得 NE4=/MC8=3(r,据 此 求 出 IA0=3,再 根 据 抛 物 线 的 定 义 可 求 出 P.【详 解】如 图：过 A、8 作 准 线/的 垂 线，垂 足 分 别 为 过 F 作 A N 的 垂 线，垂 足 为。，D因 为 丽=2而，所 以|C B|=2|8尸 I,因 为|B用 所 以|C 3|=2|B M|,所 以 NMCB=30，所 以 NOFA=30,在 直 角 三 角 形
24、A。/中，因 为|A F|=6,所 以|AD|=3,因 为|A N|=|A尸|=6,且|4 V R A O|+0=3+p,所 以 6=3+p,所 以 p=3.故 答 案 为：3【点 睛】关 键 点 点 睛：利 用 抛 物 线 的 定 义 求 解 是 解 题 关 键.1 3.已 知 双 曲 线 口 5-1=1(3 0/0)的 右 焦 点 为 尸，过 点 尸 的 直 线/：2而-2)，-3 3=0与 双 曲 线 C交 于 A、B两 点.若 衣=7可，则 实 数 左=.【答 案】土 石【分 析】由 直 线 方 程 过 右 焦 点 得。力 的 关 系，设 4 为,),8(,以)，直 线 方 程 与 双
25、 曲 线 方 程 联 立 消 去 X，应 用 韦 达 定 理 得 出%+由 A=7万，得 弘=-7丫 2,这 样 结 合 起 来 可 得 值.【详 解】在 2 fcr-2 y-3 履=0 中 令=0得=应，所 以。=称，则/=。2-/=至，设 4 外,必）,8。2，%）,=一 斗=1、“I,lt（b2 八 2 3而 Serb1 _ill*a b，用 去 x 得 jja 丁 H j7+7=0，2kx-2y-3ka=0 13kab2 5k2a2b2,一 一 4曰,3kab2 kab2由”=7FB得 X=_7%,%+%=_ 6%=7Pr r._ 2 r k2a2bA 5k12b2.1 5/口.12/
26、?2所 以 M%=-7%=-7=（八 加=岭,化 间 得&=五 一 3k=-73.故 答 案 为：士 耳.【点 睛】方 法 点 睛：本 题 考 查 直 线 与 双 曲 线 相 交 问 题，解 题 方 法 是 设 而 不 求 的 思 想 方 法，即 设 交 点 坐 标（国,%）,（%，%），由 直 线 方 程 与 双 曲 线 方 程 联 立，消 元 后 应 用 韦 达 定 理（本 题 得）y+%，%，已 知 条 件 又 得 乂=-7%，这 样 结 合 起 来 可 求 得 值.14.过 抛 物 线。：/2=2犬（0）的 焦 点/的 直 线/,交 抛 物 线 C 的 准 线 于 点 A,与 抛 物
27、线 C 的 一 个 交 点 为 B,且 布=尸 化 2 码.若/与 双 曲 线 千 爷=1（0,/,0）的 一 条 渐 近 线 垂 直，则 该 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 是.【答 案】1 e/2【分 析】不 妨 设 直 线/的 斜 率 为 正 数，过 8 作 B C 与 抛 物 线 的 准 线 垂 直，垂 足 为 C,根 据 抛 物 线 的 定 义 可 知|=|BC,结 合 丽=k丽 化 2 夜）可 得 直 线/的 斜 率 的 取 值 范 围，利 用 两 直 线 垂 直 可 求 出 结 果.【详 解】依 题 意 可 知 直 线/的 斜 率 存 在 且 不 为 0,不 妨 设
28、直 线/的 斜 率 为 正 数，如 图：【分 析】设 直 线/方 程 为：x=my+l,A（N，X）,S（x,y2）,用 坐 标 表 示 而=3而 瓦 可 得 一 乂=3%,将 直 线/与 抛 物 线 联 立，结 合 韦 达 定 理，可 解 得 机=骼，BP）l=tan0=,结 合。0,万），即 得 解.【详 解】因 为 点 在 抛 物 线 E：9=2 a（0）上，所 以 4=2 p x l,得 p=2,所 以 V=4 x,设 过 点（1,0）的 直 线 方 程 为：x=my+,x=my+.所 以 2 4，所 以 y-4 加,一 4=0,y=4x设 A（X，y J,W/M，所 以 乂+%=4机
29、，,为 二-4，又 因 为 赤=3荻，所 以 一 乂=3%，所 以?=巨，3则 直 线 斜 率 R=tan 6=6,由 e o，所 以 e.或 专.故 答 案 为：（或 与 1 6.已 知 产 为 抛 物 线 丁=4行 x 的 焦 点，过 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 于 A,B 两 点,若 浮=3无，贝！11M|=【答 案】电 I3【分 析】由 题 意 可 知 直 线 的 斜 率 存 在，设 出 直 线 方 程：y=k（x-y/3）,与 抛 物 线 联 立，设 出 交 点 坐 标 4（5,M）,3（,%），利 用 韦 达 定 理 可 得 多=3,再 根 据=3用，可 得 6-占=3（-
30、6）,从 而 可 求 出x,x2,进 而 求 出|AB|【详 解】过 抛 物 线 y2=4y/3x的 焦 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 于 A,B两 点，且 祥=3卷.则 直 线 的 斜 率 存 在，设 直 线 48 为 卜=%-6），且 k（）y=k（x-y/3）,、所 以,整 理 可 得 好/一（2公+4）x+=0,y2=4 j3x设 4（内,必）,8（孙 力），则*2=3,且 再 百%2（1）由=3序，则 6-西=3（-6）（2）,%1=33X.=6将（1）（2）联 立 可 求 出,或，3所 以|A=x+x2+p=3下+2 6=1 6 f.故 答 案 为：”叵 3【点 睛】思 路
31、点 睛：解 决 直 线 与 抛 物 线 的 综 合 问 题 时，要 注 意：（1）注 意 观 察 应 用 题 设 中 的 每 一 个 条 件，明 确 确 定 直 线、抛 物 线 的 条 件；（2）强 化 有 关 直 线 与 抛 物 线 联 立 得 出 一 元 二 次 方 程 后 的 运 算 能 力，重 视 根 与 系 数 之 间 的 关 系、弦 长、斜 率、三 角 形 的 面 积 等 问 题.1 7.已 知 抛 物 线 C：y2=2px（/（）的 焦 点 为 尸，M 为 抛 物 线 的 准 线 上 一 点，且 M 的 纵 坐 标 为 3#,N 是 直 线 与 抛 物 线 的 一 个 交 点，若
32、 丽=2标，则。=.【答 案】3【分 析】根 据 抛 物 线 的 性 质 及 丽=2标 关 系，将 点 N 的 坐 标 表 示 出 来，再 将 其 带 入 抛 物 线 中，即 可 求 得。的 值【详 解】解：抛 物 线 c：y2=2px(p 0)的 焦 点 为 F,M 为 抛 物 线 的 准 线 上 一 点，且”的 纵 坐 标 为 3相，N 是 直 线 M 尸 与 抛 物 线 的 一 个 交 点，若 丽=2而，设 N(x,y),M(-1,3x/3),吗,0),M N=卜+多 打 3 月),NF=仁 _兑 _)，+勺 2(/)，y-3石=2)可 得 修 闾，代 入 抛 物 线 方 程 可 得：3
33、=2xpx(,解 得 P=3.故 答 案 为：3.【点 睛】本 题 考 查 抛 物 线 的 简 单 性 质 的 应 用，是 基 本 知 识 的 考 查，基 础 题.y2 v2 ULIU U ll U U U U U18.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中，已 知 点 A 在 椭 圆 行+1=1上，点 尸 满 足 AP=(/l-1)04(2eK),且 0尸.04=48,则 线 段。尸 在 x 轴 上 的 投 影 长 度 的 最 大 值 为【答 案】10【分 析】由 已 知 可 得。，A,尸 三 点 共 线，先 设 0 P 与*轴 的 夹 角 为。，8 为 A(x,y)在 x 轴 上 的 投
34、 影，从 而 有 线 段 0P在 X 轴 上 的 投 影 长 度 为 I而 Icos需 空=誓,结 合 椭 圆 方 程 及 基 本 不 等 式 可 求.0A x+y【详 解】v AP=(A-1)OA=OP-OA,OP=A O A,则 0,A,P 三 点 共 线,m i iu.ni丁 0A op=48，设 O P 与 x 轴 的 夹 角 为 e,8 为 4x,y）在 x 轴 上 的 投 影,则 线 段 0 P 在 x 轴 上 的 投 影 长 度 为 I bpcos0=48|西|0A2 8叫=48X 48x-=iox2+/16|幻,9 2425|x|5当 且 仅 当 甯=4 即 lxl=?时 取
35、得 最 大 值 10.故 答 案 为：10.【点 睛】方 法 点 睛：在 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 特 别 注 意“拆、拼、凑 等 技 巧，使 其 满 足 基 本 不 等 式 中“正（即 条 件 要 求 中 字 母 为 正 数）、，定”（不 等 式 的 另 一 边 必 须 为 定 值）、，等”（等 号 取 得 的 条 件）的 条 件 才 能 应 用，否 则 会 出 现 错 误.19.过 双 曲 线 C：W-1=l（a0/0）的 右 焦 点 尸 作 C 的 一 条 渐 近 线 的 垂 线，垂 足 为 A 交 另 一 条 渐 近 线 于 点 a b B,若 丽=4 标，3 2
36、 4,求 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 为【答 案】佟，噌【分 析】由 题 意 得 右 焦 点 歹（c,0）,设 一 条 渐 近 线 的 方 程 为 y=,则 另 一 条 渐 近 线 方 程 为 丫=-2%，由 垂 直 可 得 a a直 线 用 的 方 程，分 别 与 渐 近 线 联 立 得 到 4 8 的 横 坐 标，由 向 量 共 线 的 坐 标 表 示，结 合 3 4 2 4 4,即 可 求 出 离 心 率 的 取 值 范 围.【详 解】设 右 焦 点 尸（c,0）,设 一 条 渐 近 线 的 方 程 为 y=x,另 一 条 渐 近 线 的 方 程 为 y=a a由 FA 的，
37、可 得 用 的 方 程 为：尸+-0联 立 方 程 by=xy=-(x-c)b=x=下 a72c后 _=7a2 即 nn 4=a2联 立 方 程 by=xaca2=X=-7=-;-7a-h 2 a-cnnca2 即 2 _._ _ cay-FB=A A F，2 Q2_C2(2 1.CT=A,C-Cc(c2-a2)2a2-c22 2c c-a=A X-e2又 3V4V4,3?4,2-e2即 2-e22?3解 得 一=才 下=占 解 得：即 且 w 亚 4 5 2 5故 答 案 为：当，怨【点 睛】方 法 点 睛：本 题 是 对 双 曲 线 的 渐 近 线 以 及 离 心 率 的 综 合 考 查，
38、求 解 离 心 率 在 圆 锥 曲 线 的 考 查 中 是 一 个 重 点 也 是 难 点，一 般 求 离 心 率 有 以 下 几 种 情 况：直 接 求 出 4 C,从 而 求 出 e：构 造 a，C的 齐 次 式，求 出 e：采 用 离 心 率 的 定 义 以 及 圆 锥 曲 线 的 定 义 来 求 解；根 据 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义 求 解.20.已 知 平 面 非 零 向 量 7、%，而、平 满 足 何 一 日）国 一，同=1，若 艮“|=7 不。=1,2）,（而 一 1）,（肩 一 j=o，则 而 G 的 最 小 值 为.【答 案】o【分 析】设 1=丽，=乩 幺，n=A
39、 N,丽=肩，分 析 可 知 点 A、&在 抛 物 线 2=2x上，且 A 4 为 抛 物 线 V=2 x的 一 条 过 焦 点 N 的 弦，并 可 得 出 以 A 4 为 直 径 的 圆 B与 抛 物 线 y2=2x准 线 相 切，可 得 值 点 M 的 轨 迹 为 圆 B,数 形 结 合 可 得 出 而 不 的 最 小 值.【详 解】设 勾=例，a2=A4,n=AN 则 4 一=惚，a2-n=NA2,设 点 A,g,O）、呜,0）,则;=（1,。），设 4（x,y）（i=l,2）,则=（x+g,y）,I j l l|a?-n|=+y2,o*-n=x+,由 E-q=5（i=l,2）可 得 J
40、 _；+y2=+；,化 简 可 得 V=2x,故 点 A、&在 抛 物 线 丁=2x上，因 为 何-力/（%），则 两/瓯,故 A、N、4 三 点 共 线,即 A 4 为 抛 物 线/=2x的 一 条 过 焦 点 N 的 弦，设 A M=m，则/n _ q=A M,m-c=M,所 以，（加 _ 1）,（m-4）=A/，4 加=0,故 点 例 的 轨 迹 是 以 4 4 为 直 径 的 圆，设 点 A&，x）、4（&，%），则|4闽=|4网+|4 时=3+1=2（%/+；）,而 占+,+1是 线 段 A 4 的 中 点 B 到 抛 物 线）2=2X准 线 的 距 离，故 以 4 4 为 直 径
41、的 圆 B 与 抛 物 线 y2=2x准 线 相 切，当 点 M 不 是 圆 B 与 直 线 x=-g的 切 点 时，m n=AM-AN0;当 点”是 圆 B 与 直 线 x=-g的 切 点 时，m n=0.综 上 所 述，正 石 的 最 小 值 为 0.故 答 案 为：0.【点 睛】关 键 点 点 睛：解 本 题 的 关 键 在 于 将 向 量 坐 标 化，根 据 已 知 条 件 求 出 点 A、4 所 在 的 曲 线 方 程，并 分 析 出 点 M 的 轨 迹，利 用 数 形 结 合 思 想 求 解.三、解 答 题 21.已 知 椭 圆 C：=+与=1(4 0)的 离 心 率 为 正，直
42、线/经 过 椭 圆 C 的 右 焦 点 尸 与 上 顶 点，原 点 0a b 2到 直 线/的 距 离 为 2(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)斜 率 不 为 0 的 直 线 过 点 尸，与 椭 圆 C 交 于 M,N 两 点,若 椭 圆 C 上 一 点 P 满 足 丽=也 而，3求 直 线 n 的 斜 率.【答 案】+1.【分 析】(1)由 已 知 条 件 可 得 c=/2be&a 2再 结 合 可 求 出。力，从 而 可 求 得 椭 圆 方 程,(2)设 直 线 的 方 程 为 x=my+l,设 点(电,力)，将 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 方 程 组，消 去 x，利
43、 用 根 与 系 数 的 关 系，结 合 丽=也 加 表 示 出 点 P 的 坐 标，再 将 其 坐 标 代 入 椭 圆 方 程 中 可 求 得 直 线”3的 斜 率【详 解】（1）由 题 意 可 得 椭 圆 C 的 右 焦 点 F（c,O）与 上 顶 点（0 4），所 以 直 线/为 吕+?=1,即 b x+c y-b c=O,c b因 为 椭 圆。的 离 心 率 为 它，原 点。到 直 线 法+-秘=0的 距 离 为 变,2 2c=V2所 以 2 且“2=+0 2,解 得 人=c=,4=0,史=也 所 以 椭 圆 C 的 方 程 为+丁=1.（2）因 为 直 线 的 斜 率 不 为 0,所
44、 以 可 设 直 线 的 方 程 为=阳+1.设 点 M（X，X）,N（w，%）,联 立 方 程 1+2）7=，得 x=my+1,（+2）y?+2/ny 1=0,l I 2m 1则 y+必=-2-m+2 m+22将 点 P 的 坐 标 代 入 椭 圆 方 程 得 平 2+2）通=-，2即（加 凶+1）（冲 2+1）+2丁 1%=一，解 得 zn2=1,故 直 线 n 的 斜 率 为 1.2 2.如 图 所 示，设 抛 物 线 C=/的 焦 点 为 入 动 点 尸 在 直 线/：2=0上 运 动，过 P 作 抛 物 线 C的 两 条 切 线 3,P B,切 点 分 别 为 4,B,求 证：ZAF
45、B=ZBFP.【答 案】证 明 见 解 析【分 析】把 ZAFB=ZBFP转 化 为 cosZAFB=cos A B F P,利 用 向 量 的 夹 角 公 式 进 行 证 明.【详 解】证 明：设 切 A、2 的 坐 标 分 别 为（毛 片）和（玉 商）（.可 得 切 线 AP的 方 程 为 2/x-y-片=0；切 线 8尸 的 方 程 为 2中-y-x：=0,解 得 点 P 的 坐 标 为 Xp=区 步,力=4 百.则 而=玉”片 而=（包|工,改 丙-；）,而=由 于 点 尸 在 抛 物 线 外,即|丽 快 0.同 理 叱 二 RR 府 荷 卜 二 可 丁 二 百，所 以 cos ZAF
46、B=cos ABFP综 上 可 知：ZAFB=ZBFP.23.已 知 椭 圆 C:x2+2y2=8和 点 P(4,l),过 尸 作 直 线 交 椭 圆 于 A,B 两 点，在 线 段 A 8 上 取 点 Q,使 AP=APB,AQ=-A Q B,求 动 点。的 轨 迹 所 在 曲 线 的 方 程.【答 案】2x+y-4=0(里 2叵-(叵 2叵)9 9【分 析】设%)，Q U，y)，根 据 题 中 条 件 而=彳 而，硕=，诙 得 出*=方 与)：2 y；然 后 设 出 直/一($+X2)线 A B 的 方 程，与 椭 圆 方 程 联 立 消 元 写 韦 达；然 后 根 据 所 得 式 子 消
47、 去 参 数 A 即 可.【详 解】设 人(方,芳),仅，y2),Q(x,y),则 由 4尸=花 氏 4。=-/108可 得：=X)4 A-X解 之 得:4(x,+x2)-2xtx28(%,+J C2)(1)设 直 线 4 8 的 方 程 为：y=k(x-4)+,代 入 椭 圆 C 的 方 程，消 去，得 出 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程:(2&2+1)/+4&(1-4%)x+2(1-4幻 2-8=0(2)Xj+x2%2=_ 奴(以 一 1)-2条+1 2(1-42)2-8-2 公+1代 入(1),化 简 得：元=六 9(3)攵+2与 y-)+l联 立,消 去 左 得：(2x+y-4
48、)(x-4)=0.在(2)中，由 A u-b d r+M k+Zd。，解 得 2-W k 2+M,4 4结 合(3)可 求 得 而 6+2而 9 9故 知 点。的 轨 迹 方 程 为：2x+y-4=0（16-2710%/10）2 2（五、24.已 知 椭 圆。邑+斗=1（。）的 一 个 焦 点 为 尸（1，），点 T 1 在 椭 圆。上，过 点 尸 作 一 直 线 交 椭 圆 于 P,。两 点，且 坐 标 原 点。关 于 点 F 的 对 称 点 记 为 T;（1）求 椭 圆 的 方 程；（2）求 PQT面 积 的 最 大 值；（3）设 点 P，为 点 P 关 于 x 轴 的 对 称 点，求 证
49、：Q,P,T 三 点 共 线；【答 案】（1）+/=1;（2）巫；（3）证 明 见 解 析.2 2【分 析】（1）由 椭 圆 焦 点 和 椭 圆 所 过 的 一 个 点 列 方 程 组 求 解；1x=my+x2 2，得（+2）丁+2冲 7=0,设 尸 即 M）,Q（W，%），由%”=!|心 一 力 1能 推 导 出 5+y=i2 PQT面 积 的 最 大 值；（3）P（x,-yl）,Q=（x2-xx,y2+yi）,7=（x2-2,y2）,通 过 计 算（3-%）力-（N-2）（）：+必）可 得 结 果.【详 解】2 2（亚、解：（1）因 为 椭 圆 C:+=l（a b 0）的 一 个 焦 点
50、为 尸（1,0）,点,一 三）在 椭 圆 C 上，a2-b2=11 1 k+h解 得“2=2万=1,所 以 椭 圆 的 方 程 为 H+V=1：2（2）设 过 点 尸 的 直 线 方 程 为 x=my+l,x=m y+1由 2y+r=1得(m2+2)y2+2tny-1=0,设（百，b）,。（x2，%），,4加 2+4(m 2+2)川+2由 条 件 可 知 点 7（2,0）,C _ 1,FTII,1 也 病+4(病+2)S Q T=-FTy i-y2=-2/八 2高 令 t=-m+2则/（0，2则 S&PQT=J-2/+2t=J_2(g)2+；当 且 仅 当 f=g,即 机=0(此 时 P Q