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1、应用五：圆锥曲线的综合之定点问题专练（解析版）学校:姓名：班级：考号：一、单选题21.已知椭圆上+V=1的上顶点为A,B、C为椭圆上异于A 的两点，且 A B,A C,则4*直线8 c 过 定 点（）A.（1.0）B.（G,0）C.D.【答案】D【分析】设直线8 c 的方程为=0+加，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示A B Y C 可解得机=-左或，”=女，然后分类讨论可得答案【详解】设直线BC的方程为=切+，8（司,凶）、。（刍,必），则由x=ky+mx2 2 整理得(攵 2+4)y?+2?心，+-4=0,彳+,=1所以y+必=-2mk/一 4公+4，)|乃=r +4,2 ./、),)机2
2、4,一2mk 2x(x2=k yxy2 k y y2)+m-=k-+mk+,因为 A(0,l),AB=(xt,y,-l),A C=(x2,y2-l),AB LAC 所以荏=石2+（乂-1）（必一1）=芭+乂%一（乂+必）+1.o /n2-4 ,-2mk,m2-4 2mk 1,匚？八=k -+ink-+77r+-+-+1 =2km+5加 -3k=0公+4 公+4 二+4 廿+43解得m=一攵或加=s 女，当机=一攵时，直线BC的方程为=一%=左（丁 一 1）,直线过（0,1）点而4（0,1）,而A B、C 不在同一直线上，不合题意；当?=|k 时，直线BC的方程为x=+|z =（y+|）,直 线
3、 过 符 合 题 意.故选：D.本题考查了直线和椭圆的位置关系，解题的关键点是利用韦达定理表示A8-AC，考查学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.2.抛物线C：V=4x的焦点为F,P是其上一动点，点 直 线/与 抛 物 线C相交于A,8两点，下列结论正确的是（）A.|PM|+|PF|的最小值是2B.动点P到点“（3,0）的距离最小值为3C.存在直线/,使得A,8两点关于直线x+y-3=0对称D.与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N,若直线A8过定点（2,0）,则点N在抛物线C的准线上【答案】A【分析】A中利用三点共线判断线段和最小值；B中利用两点距离公式转为二次函数最值处理：C
4、中设直线联立方程组结合韦达定理，得A3中点坐标代入x+y-3=0求解即可；D中分别求得AN,8N方程，进而得从8直线方程，将点（2,0）代入求解判断即可.【详解】A选项：对于抛物线C：y2=4x,当工=1时、=2,故点（1,1）在内部又因为|尸 耳等于P到准线的距离，故作M到准线的垂线为MT，T为垂足，当P与M T三点共线时，|PM|+|PF|取得最小值为|町=2,故A正确；B 选 项:设P&,%）,%2=4x0 1/1 1|PH|2=（x0-3）2+=（x0-1 ）2+88当%=1 时11nbi=2忘,B 错;C选项：设人（内,M）,8（孙必），/与x+y-3=0交点为。（%,）因为A,B两
5、点关于直线x+y-3=0对称，令/方程为y=x+?因为A,8 在抛物线上，联立抛物线得V-4）,+=0,有两解故A=16-1 6%0,得初 1由于+%=4，西=乂+必 一 2%=4-2”？所以超=2-九%=2 代入+一 3=0 得%=1,又因为m 1,故，”无解，C 错:D 选项：设A（x，y）,B（孙），N（%）由于y?=4*得、=2五，所以y=；vx因为4V,8N 均为切线，设斜率软.=丁，原.=一 丁VX1 *21 /、贝 I A N 方程为y-X=丁（工 一 玉），化简得四一2x 2玉=0,BN方程为丫-必=（了-），化简得劝-2工-2工 2 =0因为AN与 8 N 交点为N所以%乂
6、一 2x-2xl=0,yay2-2xn-2x,=0则 AB方 程 为%y-2x-2x=0,由于直线AB过定点（2,0）,所以x=-2,即N（-2,0）,又因为准线方程为x=-l,所以点N 不在抛物线C 的准线上，D 错故选：A【点睛】本题关键在于利用抛物线定义与几何性质，结合韦达定理以及对称性求解问题.3.已知抛物线V=4 x,过其焦点厂作抛物线相互垂直的两条弦AB,C D,设 A8,CD的中点分别为M,N,则直线MV与x 轴交点的坐标是（)A.(2,0)B.(3,0)C.(4,0)D.不能确定【答案】B【分析】由题意设 4%,月),8(%,当)、C(xvy,),D(x4,y4),AB:y=k
7、(x-),CD:y=-(x-l),k2 2联立抛物线方程，结 合 韦 达 定 理 知%）、N（242+1,-2幻，写出直线MN的方程,即可求与x 轴交点的坐标.【详解】由题意知:尸(1,0),%存在且女工0,设 AB:-1),CD:kf y2=4 x.若%,%),8(%,必)，联立，k2x2-2(k2+2)x+k2=0,y=Z(x-l)则,+电=2()：2),y+必=-玉+马 _ 2)=：,即M(1+1 令,y2-4 x若0 品,%),。(匕,必)，联立 1 ，丁-2(2/+1+1=0,K则三+4=2(2/+1),%+卜 4=2 (3+=)=-4 女,即N(2公+1,一 2公k,_2直线 M
8、N-.卜=露，,整理得x+(k-：)y-3 =0,x-(l+4)A Q U)ky=0 时，x=3,故选：B【点睛】关键点点睛：设两条相交弦的直线方程，联立抛物线方程确定M、N 的坐标，写出其直线方程，进而确定与x 轴交点.2 24.已知抛物线C:y2=2px(pN 0)的焦点厂与椭圆E：；+,=l 的一个焦点重合，过坐标原点。作两条互相垂直的射线。“，O N,与 C 分别交于M,N,则直线MN过定点()A.(4,0)B.(-4,0)C.(-1,0)D.(1,0)【答案】A【分析】由椭圆方程可求得产坐标，由此求得抛物线方程；设M N:x =my+f,与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，根据OM_
9、LON可 得 丽.而=0，由此构造方程求得乙 根据直线过定点的求法可求得定点.【详解】由椭圆E 方程知其焦点坐标为(1,0),乂抛物线C 焦点厂(与，0)，.=1,解得：P =2,则抛物线C 的方程为V=4 x,由题意知：直线MN斜率不为0,可设MN:x=my+r,x=my+t.由；得：y-4g-4 f =0,则 =1 6 4+1 6 f 0,即4+/o,l r =4 x设/（&%）,N（w，%）,则 加 +%=4机，yly2=-4 r,.X 1%2=2 1 A =r2,1 6；O M IO N,O M O N =+yty2=t2-4 t=0,解得：r =0 或f =4；又M,N与坐标原点。不
10、重合，；1 =4,.,.M N:x=m y+4,.当y=0 时，x=4,.直线MN恒过定点（4,0）.故选：A.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于 或 y 的一元二次方程的形式；利用A 0 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；根据直线过定点的求解方法可求得结果.5.已知抛物线：V=4x,过点（2,0）作两条斜率为公，心的直线与抛物线的准线/分 别 相 交 于 点 历 2 .分 别 过 作/的 垂
11、 线 交 抛 物 线 于点P,。，当4时，则点M（2,0）到直线P。的距离的最大值是（）8 2 3 9A.1 B.C.D.2 1 1 6 4【答案】c【分析】设 P（X2J,。（王，当），直线PQ：x=m y+a，与抛物线联立，得到韦达定理，由桃2=-；求得”的值.则直线P Q 过定点则M 到直线PQ的最大距离即M N.【详解】解：设 P（X 1,y）,。（刍,%），直线PQ：x=%y+a,y=4 x由 ,得/一 4 冲一4 a =0.则 yi 2=T。.x=my+a直线P Q过定点N(卷,0),则M到直线PQ的距离d 0)的焦点为F,点 P(4,?)是抛物线C上 一 点,且 阳=5 .设直线
12、/与抛物线C交于A、8 两点，若。4,0 8(。为坐标原点).则直线/过定点().A.(1,0)B.(2,0)C.(4,0)D.(3,0)【答案】C【分析】先结合抛物线的定义求得抛物线方程，设出直线/的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，由04,08列方程，化简求得s =4,由此求得直线/过定点(4,0).【详解】尸(4,，”)是抛物线(；上一点，且|P F|=5.4+4 =5,2解得。=2,即抛物线C的方程为V=4 x.依题意可知直线/的斜率不为0,设直线/的方程为x=O+s,4(%,y),B(x2,y2),由,*，消去 得 2-4(y-4 s =0,则%+必=4，y,-y2=-4
13、.v.y=4 x2 2因为0 4 1.0 8,所以占3 2 +%=0，即号 立 +%=化简得X%=T6.由Y s =-1 6 得s =4,所以直线/的方程为x=+4,所以直线/经过定点(4,0).故选：C7.已知抛物线y 2=4 x的焦点为尸，点M 为直线x=-1 上的一动点，过点M 向抛物线V=4x 作切线，切点为B,C,以点。为圆心的圆与直线B C 相切，则该圆的面积的最大 值 为()冗A.B.C.4 4 D.1 6%4【答案】B【分析】可适当将图形旋转成V=4y,目的在于f=4y可以化为函数y =，方便利用导数的几何意义求取切线方程.再利用两切线都过点M（办-1）,找到x=罟+1,%=罟
14、+1,从而利用方程与函数思想，写出直线8c的方程，从而求出。到 8 c 距离最大值.【详解】不妨将抛物线逆时针旋转9 0 ,变成抛物线/=4y,此时焦点坐标为尸（0,1）,准线方程由原来的=-1 变成y =-1 .设过例向抛物线f=4 y 作切线，切点为3,C.不妨设8（x，y）,C（%2，X）炉=4 即=匕，求 导 有=；4 2则过B点抛物线的切线方程为：/（）即）r啰号又有“j故 y 哼f又切线方程过M（z,-1），有-1 =罟-%，即必=罟+1同理有过C点抛物线的切线方程为：y=-yt,切线过点同样满足：必=罟+1故直线BC的方程为：y=x +l,故B C 恒过定点（0,1）。到B C
15、距离为,当?=0,即例（0,-1）时，。到 B C 距离最大为1故面积的最大值为万.回到旋转之前的图形中作答即有：当点A 7为（-L 0）,此时圆的面积最大为万.故选：B【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到.方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解.8.过抛物线V=4x 上点2 1,2）作三条斜率分别为占，k2,&的直线4，4,4,与抛物线分别交于不同于P的点AB,C.若 k、+k2=Q,k2-k3=-,则以下结论正确的是（）A.直线A 8 过定点B.直线A 8 斜率一定C.直线8 c 斜率
16、一定【答案】B【分析】D.直线AC斜率一定4由题意，%,k,心均不为0,设4X”X),B(X,%),C(X 3，%)，则 勺=一同理可得+24 4内=-7 7，勺=T 7，由尢+&=0,得 y +%+4 =0,再设出直线AB的方程为x=m,y+tl,利用韦达定理即可判断选项A、B,同理判断选项C、D.【详解】由题意，k、,k2,%均不为0，设 4%，)，8(孙/2)。工 3，%)，k=X -2 =必-2 =4 y -2 4则 百一1 一 片 _ 1 一必+2,同理可得质=不受，V,-2 4 4 4%=由 勺+&=，得/+兀*=，即X+%+4=。，设直线A 8的方程为x=叫 了 +4，联立抛物线
17、方程可得V-4 叫 丫 -劭=0 ,则/0,M+%=4 犯,%=-4 乙 代入式可得4 叫+4 =0 ,in=-1,此时直线AB的方程为“=-丫 +*故直线4 8 斜率是定值，故 B正确，A错误;4 4由心=一 1，得/、/=一 1 即必为+2(必+为)+2。=0,，同理设直线B C的方程为x=?)，+12,联立抛物线方程可得r-4 w2y-4 r2=0 ,则/0,%+y 2=4 y 3 y 2=-4 r 2 代入式可得2 以!T 2+5 =0,此时8c的方程为、=机”+2,巧+5 =生(+2)+5,恒过定点(5,2),斜率不是定值，故 C错误；4 4由&M 3 =T，勺+玲=。，得勺怎=1,
18、B P r x-T =1,+，%十 Z即y%+2(y+*)-1 2 =0 ，同理设直线AC的方程为=砥丫+4,联立抛物线方程可得 丁-4 1 4-4 r 3=0,则/0,%+%=4%,%=-4 G 代入式可得2%-A,一 3 =0 ,止 匕 时A C的方程为x=砥 +2 m,-3=，%(y +2)-3 恒过定点(-3,-2),斜率不为定值.故 D错误.故选：B【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到定值、定点问题，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力，是一道有一定难度的题.9.已知椭圆E:上+V=1 的左焦点为R过点P(2,f)作椭圆E 的切线勿、P B,切点2分别是A、B,则三角形4
19、8 尸面积最大值为()4A.J2 B.1 C.2 D.-3【答案】A【分析】设&和 3 8区,)，2)，并求出切线 以、P2的方程，进而求出直线AB方程，并确定其过定点(1,0),且定点为椭圆的右焦点尸2,再联立方程求得y +必=黄2 t3，%=7-1s，再表示出5,=名”巨，利用基本不等式求出范围即可.【详解】由椭圆方程土+丁=1，知=2,匕2=1,c?=|2F(-l,0),设右焦点为鸟(1,0),即|朋|=2设 A 5,y),B(w，%)，由椭圆的切线方程可知切线期的方程 为 当+y y =l,切线尸8的方程为 券+y 2 y =1 X.+=1由于点P在切线 附、尸8上，贝|J/故直线A
20、l7方程为x +(y =l,g +优=1所以直线A8过定点(L 0),且定点为椭圆的右焦点弱,Ix +Z y =1X2 2 ，消去 X 得：（/+2）y 2-2）-1 =0二12 f -1由韦达定理得%+%=产*，%=西 不，SVABF=I%I x|y -必|=g x 2 x J（y|+%）2-4 y%=（2T也T=2丘 用iU+2）/+2 *+2 0-1 I 则/=M-1 ,tn-2 ,则 1 2m m+一m _ 2 7 /7 7 1 _ _ 2 V 2 /.rri工A再立一r气“2，当且仅当加=1,即E=o时，等号成立,m-m故三角形A8F面积最大值为0故选：A【点 睛】关键点点睛：本题考
21、查椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式2 2求三角形的面积得最值，解题的关键是清楚椭圆方程=+4=1在椭圆上一点P（x ,y。）a b 的切线方程 为 誓+苦=1,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于较难题.a b10.已 知 A、5 是 抛 物 线 V=4 x 上 异 于 原 点。的两点，则“&.0 1=0”是“直 线 A 5 恒过 定 点（4,0）”的（）A.充分非必要条件 B.充要条件C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件【答 案】B【分 析】设 出A 8的坐标和直线A 8的方程，将直线方程代入抛物线方程并化解，进而求出O A O B 然后结合根与系数的关系将
22、届.小 化简，最后根据逻辑关系得到答案.【详 解】根据题意，A、8是 抛 物 线V=4 x上 异 于 原 点。的两点，设A （幻，y i）,B（及，”），设 直 线A B方 程 为x=m y+b,将 直 线A B方程代入抛物线方程y2=4 x,可 得 炉-4 my-4 b=0,则 y i+）2=4 i,y i”=-4 6,则 OA-O B=M X2+y i y 2=+）旧=-4 b =b（b-4）（b w 0）.若&=0，则 加%则 直 线A 8的方程为x=my+4,直 线A 8恒 过 定 点（4,0）；若 直 线A 2恒 过 定 点（4,0）,则6=4,于 是&.0 1=（）.所 以d&=0
23、是“直 线A B恒 过 定 点（4,0）”的充要条件.故选：B.二、填空题11.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理，及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称，勾”，股，二，弦”，且，勾？+股 三 弦 2 设 直 线/交 抛 物 线 =：V 于 A B 两 点，若|。4卜|，烟 恰 好 是R t O A B的“勾”股”（。为坐标原点），则此直线/恒过定点.【答案】（0,4）【分析】设直线A3的方程为 二 质+b,4不）8（,），直线方程与抛物线方程联立写出韦达定理，由条件可得 即 次，砺，所 以 次 砺=工尸2+乂%=，将韦达定理代入可得答案.【详
24、解】设直线A8的 方 程 为 日+3，A&，X ），8（%）由y=kx+b ,八尤24),，x2-4 kx-4 Z;=0则 x1+x2=4 k,x1x2=-Ab若O,OB恰好是RtNOAB的“勾”“股”（O为坐标原点）可得+|。癖=|阴2所以OALO8,即 砺_ 13豆所以O/C QQ=X X,+y y,=0,yty2=-xl2x -x22=-（x,x2）4 4 16所以 04 0 8 =%（*2+y 2 XtX2+a（王）-=-4匕 +七X （-4 6）-=0即62-4 6=0,解得b =4 9=0 （舍）所以直线AB的方程为丫 =履+4,恒过点（0,4）故答案为:（0,4）【点睛】关键点睛
25、：本题考查直线与抛物线的位置关系和直线过定点问题，解答本题的关键是由条件得 出 砺_ L而，所 以 西 丽=玉 +/%=0，得到从-劭=0，属于中档题.1 2.设A,B是抛物线。:丁:以上的两个不同的点，。为坐标原点，若直线O A与。B的斜率之积为-2,则直线A8过定点，定点坐标为.【答案】（2,0）【分析】设直线04为 =依，与抛物线联立，根据条件，分别求得A,3的坐标，写出直线A 2的方程，从而判断是否过定点.【详解】设直线。4 为，=依，（&N0）,联立抛物线方程y?=4 x,得/-4%=0，解得则 以=+即4.，由直线。4 与直线。8 斜率乘积为-2,同理求得5（公,-2外，则直线A
26、8的方程为（：+2k）（x-/）一（二 一 /）（+2 0=0,k k2化简得G-k）y=x-2,故直线A B过定点（2,0）k故答案为：（2,0）【点睛】关键点点睛：求得A,8 的坐标，写出直线A 8的方程，不论上取何值，均满足方程，则参数上 前的系数应为0,从而求得定点坐标.1 3.已知抛物线C：y J 2 p x（p 0）的焦点厂与椭圆E：+?=l 的一个焦点重合，过坐标原点。作两条互相垂直的射线OM，O N,与 C 分别交于M,N,则直线MN过定点【答案】（4,0）【分析】先利用交点求抛物线方程，设直线方程，并与抛物线联立求得点M,M 再利用两点坐标求斜率，利用点斜式写直线MN方程，整
27、理即得定点.【详解】因为抛物线C：V=2px（p 0）的焦点广与椭圆E:+f=l 的一个焦点重合，所以尸（1,0）,P=2,所以抛物线C的方程为r =4%.设O M的方程为J H，与抛物线C 的方程联立得M（2，），同理.，O N的方程为y=-1 x,与抛物线C的方程联立得点N（4 ki,-4 k）,故直线MN的斜率kM N=-记=-/（工 1），故直线MN的方程为尹 4女=占-4用，1 KL整理得 y=J（x-4）,1 -A:故直线MN过定点（4,0）；当欠=1时，直线MN的方程为x =4,也过点（4,0）,综上可知，直线例N过定点（4,0）.故答案为：（4,0）.【点睛】思路点睛：圆锥曲线
28、中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理，或者宜接求得交点坐标，结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算直线方程，即可求出定点，运算量较大.1 4 .已知抛物线b=x上一点过点A作抛物线的两条弦A8,A C,且AC _L A8,则直线8c经过定点为.【答案】（2,-1）【分析】设8（y；,y）,C（,以），应用直线方程的两点式并整理得宜线8c为x-（y+%）、+%=。，再由斗二,*4 =T确定丫防，M+外的关系，即可知B C的定M T 必 一 点坐标.【详解】由题设，令y）,C（,y2）,则直线B C为上 芸=与 当，又乂二必且均不为1,x-y
29、 必一必BC：-4=，整理得x-（y+必）丁+%2=0，又VG.十7=厂二不7 1 7；=-1，即+必+,必+2 =0,得必=-（乂 +%+2）,yt-1 y 2 T （必 +1）（必+1）B C为 x=（y +%）（y +D +2 ,即 B C经过定点（2,-1）.故答案为：（2,-1）【点睛】关键点点睛：通过设8,C的坐标，利用两点式化简整理出直线B C的方程，再由垂直关系有心C/AB=7确定参数关系，并代入所得B C的方程，即可确定定点坐标.1 5 .双曲线丁-汇=1的左、右两支上各有一点A、B,点8在直线x=?上的射影是点32B,若直线45过右焦点，则直线A 9必 定 经 过 的 定
30、点 的 坐 标 为.【答案】【分析】根据双曲线1-?=1的右焦点为（2,0）,设4（占方）,8区%）,3。，几：=-2）,直线与双曲线方程联立，表示出直线A 8 的方程，令 =0,结合韦达定理求解.【详解】双曲线/-1=1的右焦点为（2,0）,设小 y=&（x-2）,直线与双曲线方程联立得。-公 产+必?必2_3=0,m il 4 炉 4 k2+3则=E所以+1=;（芭+9）,y2-yt k（x2-xt）直线AB，的斜率为 -1 一 -i,2 f 2-X|所以直线A B的 方 程 为y-k-2）=r（xf）,2-X令y=。化筒得，+1=京占-3）,即（三-%）,用=0,则X=3恒成立，4所以直
31、线必定经过的定点的坐标为（5,0）,故答案为：（：，0）1 6.已知抛物线V=2 x上一点（2,-2）,点A,B是抛物线C上异于用的两动点，且M A M B =0,则点M到直线A B的 距 离 的 最 大 值 是.【答案】2 H【分析】根据题意设出A,8的坐标和直线A B的方程，将点坐标代入抛物线方程，联立直线与抛物线，结合平面向量数量积的坐标运算，由韦达定理即可求得直线A B的方程中利的等量关系式.进而求得直线A 8所过定点N的坐标，结合点与直线的关系，即可知当M N与直线A B垂宜时点M到宜线A B的距离最大，由两点间距离公式即可求解.【详解】抛物线V=2x,A,B是抛物线C上异于Af的两
32、动点设樗，）J，崎,J设直线A B的方程为x=my+n x=my+n、则 2 c 化简可得y 2?y-2=0y=2x所以 +%=2m,M%=-2，=4m2+8 （）因为 M（2,-2）则 必件-2,y+2,M B=(A-1因 为 加 分=0所以仔-2）1*2卜（）+2）（%+2）=0化简可 得;(弘 +2)(必+2)(%-2)(%-2)+4=0所以(乂+2)(%+2)=0 或(*-2)(%-2)+4=0展开化简可得y必+2（y +必）+4=0或y 必一 2（x+、2）+8=0代入为+72=2 m,乃=-2 可得2/%-+2=0 或 2/%+-4 =0即=2 z+2 或=-2加+4因为 =4 m
33、2+8”0恒成立当“=2m+2时，代入可得当?=-2时/0不恒成立，所以舍去当”=-2?+4时,代入可得 =4（相-2）2+16 0恒成立所以 二 一2m+4则直线A8的方程为 户 阳-2加+4即 X-4=7?2（-2）所以直线AB过定点N（4,2）当MN与直线AB垂直时，点M到直线AB的距离最大，旦最大距离为|M N|=J(4-2)2+(2 +2 产=2 逐故答案为：2 石【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，平面向量数量积的定义及坐标运算,点到直线距离的最值求法，综合性强，属于难题.21 7.已知椭圆：工+y 2=1,N为短轴顶点，椭圆 上两个不同点尸。满足N P NQ =9Q。，4则
34、 直 线 恒 过 的 定 点 的 横 坐 标 为.【答案】0【分析】设直线PQ的方程为：y =H+f,Q w l),与椭圆联立，求得韦达定理，又N N P Q =9 0 ,则 赤 湎=0,代入化简可以得到参数f满足的方程，解得f的值，即可求得定点，从而解得定点的横坐标.【详解】设 N(0,l),P(xy,),Q(x2,y2),直线 P Q 的方程为:y=kx+t,(t l),y=kx+t由题意知必然存在，联立,+y =14化简得(1 +4 k2)x2+8 t o+4 户-4 =0,由韦达定理知,X+入2砧=-8 fa-T+4 p4 -41 +必 2又N N P Q =9 0 ,则加 由=0，即
35、 X X2+(必 一 1)(%一 1)=(1 +左 2)%4 2+左。-1)(工 1+)+产2f+1 =0 ,3代入韦达定理，化简得5/2-3 =0,解得或，=1 (舍)：所以过定点(0,-|),定点的横坐标为0,同理，根据对称性可得，当N(0,-l)时，定点的横坐标为0,故答案为：0【点睛】方法点睛：求直线过定点，需要求得直线方程，根据斜率和截距的关系，判断定点的值，在求解过程中，常常联立直线与圆锥曲线方程，通过韦达定理代入条件化简来求得参数间的关系，从而求得结果.1 8.已知抛物线y?=4x上 一 点P（l,2）,且抛物线上两个动点4 B满足即人即p=6,若直 线A B过 定 点M,则 的
36、 坐 标 为 .【答案】【分 析】根据题意设出合适直线A 8的方程x=）+m,联立直线与抛物线的方程，得 到 关 于y的一元二次方程及其韦达定理形式，将 八即8=6转化为和韦达定理有关的形式，由此求解出机J的关系式，用f表示机后即可求得所过的定点坐标.【详 解】由题意可知，直 线A 8的斜率不为零，所以设=所 以x=4 Zyx+Z 所 以1厂1 3-4 所以 x+必=4/y 2 =y-2 y2-2 y,-2%-2 16：（又 因 为%“多 小=6,所 以%一1 w-l-%1一（,+2）（.力+2）一4 一 4 一所 以8=3口 以 +2（乂+%）+4 ,所 以8=3（-4加+8/+4）,所以机
37、=2f+g,所以 A B:x-g=f（y+2）,所以 AB过定点,故答案为：【点 睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：（1）若设直线方程为丫=履+机或x=0 +%,则只需要将已知条件通过坐标运算转化为机,后之间的线性关系，再 用 用 替换或用左替换机代入直线方程，则定点坐标可求；（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.1 9.设A,B分别为椭圆：C:=+2=1的左、右 顶 点，动 直 线/经 过x轴 上 一 定 点”，4 交 椭 圆C于A/,N两点（M,N分 别 在x轴上、下方），记
38、直 线A ,8 N的斜率分别为U 若 勺=4仁，则 点H的坐标为.【答 案】（*（）【分 析】设直线AM、8N的方程与椭圆方程联立，可求得用船 七表示的M、N点坐标，设0),利用kH M=kH N和右=4勺可得答案.【详解】由已知得人 2,0),8(2,0),由已知跖也是存在的，设直线AM的方程为y =4(x+2),.)X-2 _由=得(1+4 4卜2+1 6 0+1 6%；-4 =0,y=kx+2)1命 一4 2 区 户解得/“=詈才，因为乙=-2,所 以 与=衿*，1 +4 k 1 +4%，(/XM+2c)=4,(K2-8 Z:,2 +2A 诉4 k.，所s以 屈*/(2-宙8公，宙4 k
39、.J)，设直线B N的方程为y =&(x-2),由-f（）乂+%=内，心=药因为NMQ O=NNQ。，所以&+=0,即-7 2/1 2（2-w）rk+k=二 为 2-%+（2?）（4 +丫2）3上+4-3/+4 -0Q,v 0）,过点T（O，P）作两条互相垂直的直线乙和%4交抛物线C于A,8两点，/2交抛物线C于E,F两点，当点A的横坐标为1时，抛物线C在点A处的切线斜率为（1）求抛物线C的标准方程；（2）已知。为坐标原点，线段A 8的 中 点 为 线 段 防 的 中 点 为N,求证：直线MN过定点.【答案】(I)V=4y；(2)证明见解析.【分析】Y(1)由抛物线方程化为 =在 并求导，根据
40、切线斜率求参数p,即可写出抛物线方程.2P(2)由题意设直线4、4为y=+2、y=-2 +2,令 人(西,乂)、8(2,%)、E(W，%)、厂(%,%),联立抛物线方程并结合韦达定理求士+占，占“2，X3+X4,x3-x4,进而求AB.EF中点M、N坐标，进而可得直线MN方程，即可确定是否过定点.【详解】Y,x(1)由炉=2py(p0)可化为y=r，则y=j当4的横坐标为1时，抛物线C在4处的切线斜率为3，.=:，即2=2,P 2二抛物线C的标准方程为V=4y.(2)由(1)知：点7坐标为(0,2),由题意知，直线4和4斜率都存在且均不为0,设直线4为 丫 =+2,y=kx+2x2=4y由联立
41、消去y并整理得/一4履一8=0，=(-4左)2+32=16k?+32 0,设8(巧,%)，则/+%=4 ,xrx,=-8,；乂+、2 =4(%+)+4=4公+4,又用为 AB 中点，贝 iJM(22X+2),rV/,1/,N为EF中 点 则直线4为y=-7+2,联立抛物线可得依2+41_弘=0,K4.xo E x.+x4.43+x4=-,%3-x4=-8,则 为+”=-+4=+4K K KN4 1+2 1二直线 MN 为 y_(2+2)=2k2+2-(-+22k+-k.(x-2Z)=(k-j(x-2k),整理得x+4,直线MN恒过定点(0,4).2 3.已知椭圆C：J +，=l(ab0)的 离
42、 心 率 是 当 一 个 顶 点 是8(0,1).（1）求椭圆c 的标准方程（2）设 P,。是椭圆上异于顶点的任意两点，且 B PL B Q,求证：直线P。恒过定点.【答案】（1）+/=1;（2）证明见解析.4 -【分析】（1）根据离心率、8点坐标求得a,b,c,由此求得椭圆方程.（2）设出直线P。的方程，并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，结合B PLB Q列方程，化简求得PQ所过定点.【详解】a 2（1）椭圆焦点在X轴上，所以,解得a =2,=l,c =君，“2 =从+C2j.2所以椭圆方程为二+y 2=i.4 -（2）依题意可知，直线夕。的斜率存在，设直线产。的方程为丫 =履+，设产（%
43、，乂），。（,月），y=kx+m由 2_消去y并化简得（1+4公 产+8如1r+4病一4 =0,T+m ii 8km 4疗一4 小则 再+=-17病占 =7 7而 =64产4（1 +4?）（4-4）0,即4 A:?-n z2+l 0.因为BP _L 8。，且直线8尸,8。的斜率均存在，v y 所以-=T,整理得%+乂%-（%+%）+1=0，X 工2因为,=+加,=区2 +加，所以M+必=攵（玉+马）+2机，X%=炉百2+成（+%2）+石，代入整理得:（1+攵2）为%2 +%（m-1）（*+/）+I）?=0 ,将代入上式并化简得5.2一2 m-3 =0,解得初=一|或m=l （舍去），3m =_
44、 g 使 4 Z?+i o 成立.所以直线PQ恒过定点24.已知点M（x,y）是平面直角坐标系上的一个动点，点M到直线x=4的距离等于点M到点。(1,0)的距离的2 倍，记动点M 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)斜率为g 的直线/与曲线C 交于4 8 两个不同点，若直线/不过点设直线PA、的斜率分别为既心&心，求即+原 的数值；(3)设点E为曲线C的上顶点，点尸,Q是椭圆C上异于点E的任意两点，若直线E 尸与EQ的斜率的乘积为常数4(4 0,:.-2 m X 4 3+4公-y/3 y4-V3 _（如+，）（区4 +，）-（仇 +，+H4+，）+3则 PEQE=&/不加+但 -6 攵
45、）（13+工 4）+产-2Vf+3 3r-3/3=-=7=4,x3x4 4什45/3所以,=3+4四,3-42所以直线经过定点，定 点 坐 标 0,4对”.j 4A 7【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或 y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系：（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为o 或不存在等特殊情形.有时若直线过X轴上的一点，可将直线设成横截式.r2 v225.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+g =l（“0）的左右焦点分别为片，工,点尸为椭圆C 上的动点，在/居的面积的
46、最大值为G，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x-4y+5=0 相切.（1）求精圆C 的方程；（2）若直线/过定点（1,0）且与椭圆C 交于不同的两点A,B,点 M 是椭圆C 的右顶点，直线AM,分别与y 轴交于P,。两点，试问：以线段P。为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1）+丁=1；（2）是，7（百,0）.【分析】（1）由 题 设 可 得=6且原点到3x-4y+5=o 的距离为，即可求椭圆参数，进而写出椭圆方程.（2）法一：讨论斜率的存在性分别研究定点，且斜率存在时设y=/（x-l）、A（a y J、3（,为），联立椭圆方程，应用韦达
47、定理求士+、占；法二：设龙=阳+1,联立椭圆方程应用韦达定理求X+%、,%；（两种方法后续过程）求直线A/、BM方程进而确定P,。坐标，设定点N 坐标，则有PN-QN=O，利用向量数量积的坐标表示列方程求，坐标即可；【详解】（1）由耳P K 的面积最大值为 退，且以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 3x-4y+5=0 相切.S.pg=g2c.b=6 ,解得b=l,c=6,0=2,则椭圆C 的方程是土+V =1.b=/=1 4（2）以线段PQ为直径的圆过x 轴上的定点.法一：当直线/斜率不存在时，以PQ为直径的圆的方程为：/+丁=3,恒过定点.当直线/斜率存在时，设了=&（*-1）,化工
48、0）.y=（x-1）由彳/，得：0+4公）/一 8/x+4公一4=0.1+），=1设4（百，凶），8（孙必），则有为+/=逅 中 2 =:/.又M 是椭圆C 的右顶点，则M（2,0）.由题意知：直线A/W为故P（O,-2）.直线而 为：=上；（万 一 2）,故（2（0,_之.x2（X2-2）若以P。为直径的圆过x 轴上的定点N（x0,0）,则等价 于 所.函=（）恒成立.小 丽 二 片+二 三 二。恒成立.-X N 大、乙T 7 /c /A 4/一4 8-4公X(x,-2)(x2-2)x1x2-2(x1+x2)+4 =T-r-2 xr-?+4 =T-%外=%(再 一 1)N&一 1)=巧 中,
49、一(3 +&)+1 =k2+1 =.-n k2,-I%=2 1+4/(X,-2)(X2-2)-(，4 9+4 k2=x：-3 =0,解得/=6.故以尸。为直径的圆过龙轴上的定点(8.0).法二：设x =m y +l,代入?+丁=1 得(m 2+4)y 2+2 m y -3 =0.2 m 3乂 十%=-广=，X)2=厂二加 +4 加 +4直线AM：丫 =(彳-2),令x =o得 丫 二*二 三 三，即p，,3、,同理得X j -2 X l+2 myx-(my-1)设以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点T(f,0),有P7LQ7,即 可 /=(),则/_ _ _ _ _ _ _ _=0m-yly2-m(y,+y2)+将M +必、%代 入 得 八3=0,，=6,则定点T(G,0).【点睛】关键点点睛：第二间，设直线及交点坐标，联立椭圆方程并整理，应用韦达定理求西+、久也或y+必、必力，再根据己知确定R Q坐标，并设N坐标易 知 所.丽=0，利用向量数量枳坐标公式求N坐标即口J*.