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1、备战2023届高考数学解析几何综合专练应用三：圆锥曲线的综合之中点弦问题专练（解析版）一、单选题2 21.已知椭圆C：二+马=1（4 6 0）的左焦点为尸，过点尸的直线x-y +6 =o与椭圆c相交于不同a bL的两点A,B,若P为线段A 8的中点，。为坐标原点，直线。P的 斜 率 为 则 椭 圆C的方程为（）,x2 y2.o x2 2 1 c f 2 X2 y2.A.-1-=1 B +y=1 C.-1-=1 D -1-=13 2 4-4 2 6 3【答案】D【分析】求得尸的坐标，利用点差法建立。力的关系式，由此求得“力，进而求得椭圆方程.【详解】直线x-y +0 =0过点尸，令y=0则x =
2、-G，所以网-6,0）,即c =6.设A a，x）,8（”，,），则M +g _=i，M+=i,两式相减并化简得一4=上 土&.21二匹，a b-a b-a x+x2 x,-x2所以卜=5 =卜2=2，c2=a2 b2=b2=3,b=6,a=/6 ,所以椭圆C的方程为+4 =1.6 3故选：D2.已知直线/与抛物线y2=4x交于A,B两点（点A在第一象限，点8在第四象限），与x轴交于点M（叽0）,若线段A B的中点的横坐标为3,则，的取值范围是（）A.（0,3 B.（7,3 C.（0,6 D.（1,6【答案】A【分析】设A（XM）,B（X2,%）,直线方程为X=+，（5 0），然后抛物线标准方
3、程与直线方程联立消x,得一个关于y一元二次方程，又由线段A 8的中点的横坐标为3,得玉+=6,转化为?=3-2/，由此即可确定m的取值范围.【详解】解：设&芭,）,8（,2），直线方程为x =（y+m（m 0）,x =t y +m c联立 2，消去工，得y 2-4 9-4机=0,所以+%=，y=4x所以%+%=%+），2）+2?=4产 +2”,因为A、8中点横坐标为3,所以西+=6,故机=3-2/4 3,又?0,所以切的取值范围为（0,3.故选：A.3.斜率为的直线/与抛物线V=4x相交于A,8 两点，与 圆（x-5）2+产=9 相切于点时，且 M 为线段A B的中点，则=（）A工2石 Q 4
4、非A.-B.5 5C.土 逑 D.土 也5 5【答案】A【分析】利用“点差法”，求出直线斜率，再利用直线与圆相切的垂直性质，即可求解.【详解】设 A（x i,yi）,B（X2,V 2）,M（x o,yo）,则+y J9得%=土方水=2 =j=土 挛，故选A%+V 5 54.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F（行,0）,直线y=-x+l与其相交于M,N 两点，若 M N中点的横坐标为-3,则此双曲线的方 程 是()看上13 4【答案】A【分析】设双曲线的方程 为*-方=1,知区,X),N(,%),运用点差法，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，可得。，6的方程，结合。，b,c 的关系，解方程可得
5、“，b,进而得到所求双曲线的方程.【详解】2 2解：设双曲线的方程为9。,/，。),由题意可得。2+加=/=7,设用(为，%),N(X2,%)，可得M-器=】，鼻A，a b cr b两式相减可得(%w)(x+为)=(y-%)(乂 十%)b2由题意可得MN的中点坐标为(-3,4)，出线MN的斜率为-1,则与=9.gA W4a xx2 x-x2-3 3由解得a=百，b=2,所以双曲线的方程为5-=1.3 4故选：A.5.过抛物线J=2 p x(p 0)的焦点厂作直线交抛物线于M,N两 点(M,N的横坐标不相等)，弦MN的垂直平分线交X 轴于点H,若|M N|=4 0,则|用=()A.14B.16C
6、.18D.20【答案】D【分 析】利用点差法，得到弦所在直线的斜率与弦中点纵坐标的关系式，再结合抛物线的定义即求.【详 解】设N5,%)，弦MM的中点为“(%,%)，矶 4,0),则4=2 2百丸=2p5所以 Z=2 p,所 以（）（i）=2p,x xx-x2则&MN2p 2P p-=-=X+%2%所 以 弦MN的垂直平分线为y-%=Xf）.令y=0,则X=%+/?,所 以I可=%+勺又|AV|=XX+X2+p=2Xg+p=40,所 以I”日=20.故选：D.2,6.已知双曲线G：-菅=1(。0/0),若 存 在 斜 率 为1的直线与G的左、右两支分别交于点?，Q，且 线 段PQ的中点在圆g：
7、V+(y-2)2=g上，则G的 离 心 率 的 最 小 值 为()A.72 B./3 C.2 D.75【答 案】B【分 析】根据点差法化简后可 得&=与，利用中点在圆上，代入根据方程有解，利用判别式建立不等关系，化简%a即可求出离心率的取值范围.【详 解】设尸(石,凶),。(孙必)，贝 再 智=1，鸟一耳=1a2 b2 a2 b12 2 2 2一得 近 二 五-里 卢=0a b化简得3 =?.%!-X2 X j+x2 a因为直线斜率为1,所以心金，X)+x2 a设为P,。中点，则Ax=4，其中0a 2 2)A因为M在圆上，则与2+(%-2)-=：代入可得(/+/)乂 -4b4y0+=0，方程有
8、解可得 =1 6/-4(a4+b4)bi0,即 5b44a4+4b2 _ 2 2解得咨_22,即斗大3,a a所以，故选：B【点睛】,2关键点点睛：点差法做差后，利用中点及直线的斜率化简可 得=F，代入圆的方程消元后根据一元二与 a次方程有解，利用判别式得出离心率的范围，属于难题.2 27.已知圆M:（x+”?y+y 2 =后（加o）在椭圆c：-y+万=1卜/6 0）的内部，点A为 C 上一动点.过A作圆M 的一条切线，交 C 于另一点8,切点为。，当。为 A 8的中点时，直 线 的 斜 率 为-2a,则 C 的离心率为（）A 1A 2R x/2 Rlx A/3 u sfb2 2 4【答案】C
9、【分析】当点。为A 8中点时，由点差法可得心B 再由AB与圆M 相切可得心屋3 =-1，可解出d-怎8=孝；设 E 为C 的左顶点，连接，则 NOME=2 4 0 0 0，根据正切的二倍角公式可解得tan/D O M 考，即得 出 =-多将 如 邛 和 如 =-4代入=二 =-5 得/=（，然后解出离心率 e=,11 r=-a2 2【详解】设A（X1,yJ,fi（x,y2）,（%,%）,则2%=入+，2y0=yt+y2.国+1 1将A,B的坐标分别代入C 的方程，得“，匕，五+&=1L2 b2两式相减，得，（X：宕）=一乒（）；一 ）,所以？一%平+%-9,即厘匹。”（西一%2）（玉 +元2）
10、a（X j-X2）XQ a当。为 A 8的中点时，勺仍=一2五，则砥夕=一=,故 止&=坐.%4 再-电 4如图，设 E 为C 的左顶点，连接0。，则 M =2NZTA/,所以tan NOME=tan2NDOW2 tan Z.D0M.fT m 日 r-r-正 1=-1 小八1，=2A/2,整理得 y/2 tan/DOM +tan/DOM -/2=0，解得 tan Z.DOM=-或1-tan-ZDOM2tan Z D OM=-V2（舍去），则无.。=-tan NOOM=-=&,所以乂=一与，所以&=1,故2 x0 4 I 2 J 矿 a-4C 的离心率6=故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的计
11、算，难度较大，解答的关键在于根据题目条件解出心3和心”，然后运用点差法得出砥心”=-4 而得出“，匕的关系求解离心率，其中难点在于根据3M得到tanNQME，运用二倍角公a式解出tan 2 D OM从而得出kon.2 28.已知椭圆 +g =l（b 0）的右焦点和上顶点分另1|为点F（c。c）和点A,直线/：6 x-5 y-28=0交椭圆于P,。两点，若尸恰好为AAPQ的重心，则椭圆的离心率为（）A应 n 6A.-B.2 3石 n 2石5 5【答案】C【分析】由题设F（c,O）,A（O，利用尸为AAPQ的重心，求出线段P。的中点为将2 代入直线方程得9 c+y-2 8 =0,再利用点差法可得2
12、?=5反，结合/=层+2,可求出。，c,进而求出离心率.【详解】由题设厂（。,0）,4（0 力）,（不芳）,0（毛,），则线段PQ的中点为以知）,由三角形重心的性质知府=2 而，即（G-）=2（为一c,%）,解得：x0=y,y0=-|即8 但,一 勺 代 入直线/:6 x-5 y-2 8 =0,得9 c+及-2 8 =0.0）的点的轨迹是圆；若动点M（x,y）满足J（x 7+（y +2）2 =|2 x-y-4|,则动点M的轨迹是双曲线；若过点C(l，l)的直线/交椭圆+=1于不同的两点A,B,且C是A B的中点，则直线/的方程是3x+4y-7=0.其中真命题个数为()A.1 B.2 C.3 D
13、.4【答案】B【分析】对于：设动点P(x,y),宜接求出P的轨迹方程即可验证；对于：利用儿何法求出|网+|时|的最小值即可验证：对于：当2=1时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，即可验证；对于：利用双曲线的定义，进行判断；对于：用 点差法 求出直线方程进行验证即可.【详解】对于：设动点尸(x,y),由题意可得：则=1,即J。T：*。一一=，整理化简得:3,一4x +4/=0,d 2|x-2|2即求出的轨迹方程为：3-4x+4y 2=o.故错误；对于：设P到抛物线的准线的距离为，则 =|P M|+g,由抛物线的定义得，d=|%,所以PM =d-=P F ,所以|P A|+|P
14、M|=|R4|+|P F|；,如图示，当P运动到。点时，P、A、尸三点共线，归山+|尸必=忸山+归尸卜3最小，此时|P A|+|P M =|硝 一g =J，一g j+(6-0)2 =；=6,故正确；对于：当a=1时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，故错误；对于：“若动点M（X,y）满足J（x-1）2 +（），+2）2 =|2 x-y -4 ,则动点M的轨迹是双曲线”显然不正确，因为不满足双曲线的定义，故不正确；对于：当直线/的斜率不存在时，直线/：41,A8的中点为（1,0）,不符合题意：设直线/的斜率为我,设 天不凶）,8优,%），贝 必=止2t.X）Xi因为4 8在椭圆
15、三+=1上，所以，4 3A=2 1 =3 w+药与一办 4 y 2 f-2竺32%一3十I V4K4两式相减得：号一干所以因为C（l,l）是A8的中点，所 以 专L =l,丐2L=I,所以=一了若j=一.,所以直线/的方程是3 x+4y-7=0.故正确.故选：B1 0.过椭圆（+1 =1的右焦点心并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为8,椭圆上不同的两点A（不,y）,C（x?,%）,满足条件：|g A|,|尸/|,1 6 c l成等差数歹U,则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是（【答案】C【分析】利用焦半径公式得药+=8,设A C 中点”(4,%),利用点差法可求得心，进而求得弦A C 的中垂
16、线方程,求得其在V 轴上的截距，利用“(4,%)在椭圆“内”，可求得结果.【详解】1 Q因为|入川,|刃9|,|耳。成等差数列，.优 A|+怩C|=2 因B|=不，利用焦半径公式得：优 小 5-白，优=5-/2,代入可得%+9=8J D设 A C 中点(4,%)，椭圆上不同的两点4 冷乂),。*2，%)，1 2 5 9,两式作差可得上二&一工29 X +X,9 4_ _ _ Z-b-_ _，A C _ _ 2 5 y +y2 2 5%所以弦A C 的中垂线的方程为：-%=攀。-4),当X=O 时，y=-等，此即A C 的中垂线在y 轴上的截距,.加(4,%)在椭圆“内”，屿+史 1,2 5 9
17、9-59-5_ _ 1 6 1 6 y0 1 6-T-9-()条件，在用点差法 时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.(2)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：设 点，设出弦的两端点的坐标；代 入：将两端点的坐标代入曲线方程；作 差：将两式相减，再用平方差公式展开；整 理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解.=1-22132%一3+1122一12二、填空题H.是 圆(x+2 y+(y-l)2=|的一条直径,若椭圆 +=经 过A,8两 点，则A B直线方程为.【答 案】x-2 y+4 =0【分 析】根据圆的性质可知A8中点为(-2,1),在 椭 圆 中 利 用 点 差 法 可 求 得,由直线点
18、斜式可整理得到所求直线方程.【详 解】Q A B 是 圆(x+2 y+(y I)?*的直径，A B 中点为(-2,1),设A(X，yJ,B(x,y2),则 两 式 作 差 得.，+/)(力 一七)()1+力)()1一%)1 2 3.“壮 匹.立 上 xL占F 4 y+/4 2 2 1.4 5所在直线方程为：y l =g(x+2),即 x-2 y+4 =0.故答案为：x-2 y+4 =0.1 2.过 点M(2,0)的 直 线 机 与 椭 圆 与+产=1交 于P,P 2两 点，线段尸山2的 中 点 为P,设直 线 机 的 斜率为ki(A#0),直 线。尸 的斜率为A 2,则 花A 2的值为.【答
19、案】【分 析】联立直线/与椭圆方程，表 示 出P点的坐标，表示出直线0 P的斜率，从而求出仁川2的值.【详解】设直线/的方程为：y=K（x+2）,片&,y）,（孙 力）由整理得：（1 +2婷）/+8婷x+8婷一 1 =0,匚 匚 I、I 8ZJ 8左J 1所以g=K 4k所 以 乂 +必=&I（办+2）+勺（马+2）=匕a +4）=+左，所以P(4媾-2 k,1 +2 婷1+2 4-2k、,h=一5所以总=一；Vj Z/V|乙1 +27故答案为：，1 3.直 线/:-y-（。+5）=0（。是 参 数）与 抛 物 线/:y =*+1）2的相交弦是A 3,则 弦A 3的中点轨迹方程是.【答 案】y
20、=2x2-7（-2 x =2x2-7(-2 4 x 4 4)2 21 4.已知直线/：版-2 1 =()与椭圆0:二+4 =1(“6 0)交于4、6两点，与圆 C,:(x-2)2+(y-l)2=i 交a b于C、O两点.若存在左-2,-1,使 得/=丽，则椭圆G的 离 心 率 的 取 值 范 围 是.(5-【答案】0彳 _【分析】求得直线恒过定点，该定点刚好为圆心，则CO为直径，又由条件可知圆心也为A8的中点，设A、B点的坐标，并运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的取值范围.【详解】直线/：h-y-2 A+l =0,即 为-2)+l-y=0,可得直线恒过定点(2,1)
21、,圆C?:(x-2 +(y_ l =1的圆心为(2,1),半径为1,且C,。为直径的端点，由 刀=丽,可得AB的中点为(2,1),设8(七,为),则+=1,4+4=1.两式相减可得&+.)(西 一-)+(、+%)0、一%)=0,a b-ar a b由 Xi+”4,乂 +%=2,可得 3 =、_%=-等,由-2 V Z W-1,即有 14M“x、-X a-2 a11 5.已知椭圆，+，=l（a b 0）的离心率为乎，三角形A 6 C 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB.B C、A C 的中点分别为。、E、F,且三条边所在直线的斜率分别为七，k2,k3（业2依#）.若直线O D、O E、。尸的
22、斜率之和为-1（O为坐标原点），则:+；+?=_.b 0）的离心率为 变，a b 2:叵,则=!，得 鸟=2.a 2 a 2 bz又三角形A B C的三个顶点都在椭圆上，三条边A B、B C、AC的中点分别为。、E、F,三条边所在直线的斜率分别为由、h,心，且h、h,心均不为0.O为坐标原点，直线O。、O E、。厂的斜率之和为-1,设 A （JCI,yi）,B（X2,）2）,C（X3,则+=】,4+4=i-a2 b-a2 b1两式作差得（A7 2）g+）=Gi f?+%）,a2 b2士一室。2（弘+必）_ a2 卜 nnl 1 则 从（）J 口k1 2 i 2同理可得厂=一”如，=-k2 h
23、攵3 方1 +工1 +R1 =一 手a2（*+*+*）=-2X（-1）=2.故答案为：22 o16.已知椭圆C：+=1（。6 0）的左焦点为尸，过尸作一条倾斜角为60。的直线与椭圆C交于A ,B两点,若由）为线段A8的中点，则椭圆C的离心率是.【答案】巫5【分析】利用点差法，代入”（-5,6）为线段的 的中点，可求得3/=5。2,进而得2a 2=5/,即可求得离心率.【详解】设A（x“x）,8（，），A,B在椭圆上,所以4+m=1,4 +4=1,a b a2 b两式相减，得（为+）-）+（,+力）5-乃）=o,a b又M（5,后）为线段A8的中点，所以与+=1 0,凶+必=2 6.岂+冬 叵
24、出=（）,即3a 2=5尸，即2/=5。2,所以e=叵.a2 b2 a 5故答案为：巫5【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的离心率，用点差法 求解弦中点问题的解题步骤：设点，设出弦的两端点的坐标；代入：将两端点的坐标代入曲线方程；作差：将两式相减，再用平方差公式展开；整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解.17.已 知 双 曲 线=过点尸（2,1）作一直线交双曲线于A、8两点，并使尸为AB的中点，则直线A B的斜率为.【答案】6【分析】设点A6,%）、5（七,%），利用点差法可求得直线A 8 的斜率.【详解】设点人（菁,%）、B（七,力），则司+土,22 一,即2LA=I2%+x2=4%+
25、为=2 由已知条件可得=22132%一3，两个等式作差得O=2%-才即（斗+）（%一）=如畔L*，即4（%_马）=*，所以，直线A3 的斜率为砥0=上二1=6.%一工2故答案为：6.3 Y21 8.若直线y=交椭圆 上+丁=1 于 乙。两点，则线段PQ的中垂线/在工轴上的截距的取值范围5 4是.【答案】卜而9 无9 -【分析】设P（AX），。（。2），线段尸。的中点为T（%,%），然后分=0 和 两 种 讨 论，当&W 0 时，联立直7 4 k线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得然后算出y+%、/、%，然后求出/的5 4 K +1范围和得 到 机=-；与，然后可得直线,在X 轴上的截距为,4,
26、即可求出答案.【详解】设 P（J,Q（x2,y2）,线段尸。的中点为7（%,%）当攵=0 时，易得线段PQ的中垂线/在X 轴上的截距为0；当R w O 时，由,3y=k x-72 ,得（4/+1）+/=i4-小 竺=o,5 2 5山1“2 4 k所以i2 45k4 F+T6 -65-5（4Z:2+l）1 2 k 1 2于是有x W 4 公+1-M17 r,4Z +一k3V-5（4J12+1）因为 4攵 +，（-O O,-4D4,4-0 0）k所以与 _3-5小(。,|,因为X=J 5 4&?+1-3 0-5（4J12+1）;所 以 益=-%0,因为直线/的方程为y%=-/(x-Xo),933
27、9 、(9所以直线/在x 轴上的截距为依,0 0,.*44 J X,42 V0/9 9综上，线段尸。的中垂线/在x 轴 上 的 截 距 的 取 值 范 围 是.故答案为:9 92 052 0【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.工 2 11 9.已知椭圆C +/=1,A,5 是椭圆。上两点，且关于点M4 1 2,P 是椭圆。外一点，满足 B 4,9的中点均在椭圆。上，则点尸的坐标是【答案】24-1-V13-6一或【分析】先利用点差法可求出直线A 3的斜率为-立，即可得出直线方程，代入椭圆方程可求出A,B 坐标，设出6点 P,则
28、可表示出双，P 8 中点坐标，代入椭圆方程即可求出点P 坐标.【详解】设4（片,y）,3（孙力）,A,8 是椭圆C 上两点,则，2+短=1,两式相减得马2（%+）（占-*2）+（y+%）（%-%）=。，41 正2 T是 AB中点，则工二4J 当）=。，*C故直线AB斜率为耳,则直线AB方程为广江-a./3 y/3 B|J y=-x+6 3将直线方程代入椭圆得V x 2=0,解得当=-Lx?=2,则可得A,8（2,0）,设尸（血,），则附中点为rn-2n+6、24，P 8 中点为m+2 72 j1 PA,P 8 的中点均在椭圆C t,则（，l）（2 +6）1i16 16（加+2）2 4二 16
29、4 解得-1-V13m=-2Y-晒n=-4或，-1+V13m=-2-G+回n=-4二户的坐标为24-1-713-6一或2r-1+713-y/3+4故答案为：-|或 一-，-；-I 2 4）（2 4 J【点睛】本题考查中点弦问题，解题的关键是先利用点差法求出直线斜率，进 而 求 出A,B坐 标，再结合题意求解.,22 0.已 知F（四,0）为 椭 圆C:l（a/0）的右焦点，过 点 尸 的 直 线/与 椭 圆C交 于A 8两 点，尸为A 8的中点，。为坐标原点.若 “P是 以。尸为底边的等腰三角形，且 的 外 接 圆 的 面 积 为 年，则椭圆C的长轴长为.【答 案】2上【分 析】山外接圆面积求
30、半径，应用正弦定理求 OEP中的N O E P,结合己知有原如=-心户，根据中点弦，应用点差法有心父的尸=-4即可求椭圆。的长轴长a【详 解】由 阳 外 接圆的面 积 唁，则其夕卜接圆半径 为 当.O即 是 以。尸为底边的等腰三角形，设NOFP=a,则2 0尸尸=万一2C，近&_ 2 nsinz O P F sin 2a 3得 sin2a=,27 1 r,7 1 a=_ 或 a=.6 3不妨设点尸在X轴 下 方，由 OP是 以。尸为底边的等腰三角形，知：kpF=-kop=4或后又根据点差法可得有耳，而4一3（此 时 焦 点 在V轴 上，舍去）a a 3 ar2 2/（夜,0）为 椭圆C*+方
31、=l（a/?0）的右焦点，a=G，故 椭 圆C的长轴长为2 6.故答案为：2下）.【点睛】关键点点睛：利用外接圆的面积求半径，由正弦定理、等腰三角形的性质求相关直线斜率，应用点差法列方程求椭圆参数a三、解答题2 1.已知双曲线C：2x2-y2=2与点尸（1,2）.（1）是否存在过点P的弦A8,使得A B的中点为产；（2）如果线段A8的垂直平分线与双曲线交于C、。两点，证明：A、B、C、。四点共圆.【答案】（1）存在；（2）证明见解析.【分析】（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.【详解】解：（1）双曲线的标准方程为小
32、一 =1,=/=2.2设存在过点尸的弦AB,使得AB的中点为P,设46，%），8（孙为），X；吟=1，君-母=1两式相减得入二&史 3 =4,即 勤-2 =耳 得：k-2=2,:.k=l.x,-x2 x,+x2 a 1 a存在这样的弦.这时直线/的方程为y =x+1.（2）设8 直线方程为x+y +z =O,则点P（l,2）在直线8 上.则”=一3,直线8 的方程为x+y-3 =0,设C（W，%），0（x4，%），的中点为。（%，%），尤;-半=1,=l两 式 相 减 得 比=R，则-1&=2,则=-2%入 0 a%又因为Q(%,%)在直线8匕有%+%-3 =0,解得。(-3,6),f XV
33、4-1=0 /、/、9/解得 A(T O),8(3,4),I zx y=zy-3 =0 -,x.+x,=-6一、整理得d+6 x 1 1 =0,则 广 一2 厂-y=2 -x4=-1 1贝|J|C)|=J l +*%-司=4 /1 0由距离公式得|。4|=|Q =|Q。=Q D=2 M所以A、B、C、。四点共圆.2 2.已知椭圆。:+=1(。6 0)的左、右焦点分别为耳，F2,且椭圆C过点(-2,0),离心率e =g,0为坐标原点，过 K且不平行于坐标轴的动直线/与C有两个交点A,B,线段A 8的中点为例.(1)求 C的标准方程；(2)记直线QM的斜率为勺，直线AB的斜率为卷,证明：%他为定值
34、；(3).V轴上是否存在点尸，使得八钻尸为等边三角形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)+-=1；(2)证明见解析；(3)不存在，理由见解析.4 3【分析】(1)由椭圆C所过点及离心率，列方程组，再求解即得；(2)设出点A,8坐标并列出它们满足的关系，利用点差法即可作答；(3)设直线/的方程，联立直线/与椭圆C的方程，借助韦达定理求得|A B|,|M P|,再结合 BP为等边三角形的条件即可作答.【详解】C 1/(1)显然。=2,半焦距c 有e =5，即c =l,则匕=五 一。=#),所以椭圆C的标准方程为+$=1 ；4 32 2 2 2(2)设 4%,y),3(马，
35、)，由(1)知 工+竺=1,2 +江=1,4 3 4 3两式相减得中+吟五=,即品.靠=3,而弦”的中点M(詈当当,则有X1+x23所以 2=-(3)假定存在符合要求的点P,由知定(L 0),设直线/的方程为产%(*-1)(b0),由，+3=14 3-得：(3+4&2)Y-8/x+442-12=0,则再+4y=4k2+3止一121-x.x42=s-+3-6k于是得y+%=k(X1+X2)-2 =-j,从而得点M(J 十 TK4k23k3+4F 3+4A8公T)因45尸为等边三角形，即有|MP|=|A 8|,MP L A B，因此，|明=卡h|=仲民广43=舒，M=V1+F嵩-。43k+-J4
36、k+2 k2从而 得 立.必 士 或=幽 业 ,整理得23公+27=0,无解，2 3+4廿 3+4产所以在y 轴上不存在点P,使得人台/5为等边三角形.2 3.已知抛物线7：y2=2px(pM)和椭圆C：、+丁=1,过抛物线丁的焦点厂的直线/交抛物线于A,8 两点，线段A 8的中垂线交椭圆C于，N 两点.y一（1）若尸恰是椭圆c的焦点，求/，的值；（2）若 MN恰好被A B 平 分,求 面 积 的 最 大 值.【答案】（1）P=4；（2）班.2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F恰是椭圆C的焦点，即可得出答案；（2）设直线/：x=my+-,y,）,B（x2,y2）,M（x3,
37、y3）,W（x4,y4）,联立 一 犯？，求得 A B 的中点y2=2px坐标，根据因为MN恰好被A B平分，则直线MN的斜率等于一?，再根据点差法求得直线“V的斜率，求得 病，根据由A 8的中点在椭圆内，求得p的最大值，从而可求得AOAB面积的最大值.【详解】解：（1）在椭圆中，c2=a2-b2=4,所以c=2,因为尸恰是椭圆C的焦点，所以5 =2,所以。=4；（2）设直线/：x=m y+,4（玉,乂）,8卜2，%）,&3，必）小（匕,丫4），Px=my H c .联立彳 2 ,得 y2 _ 2mpy _ p2=0 ,y=2 p x则+必=2mp,yy2=-p2，则石 +%=2 k/+，故A
38、5的中点坐标为，又因为MV恰好被AB平分，则七+.=2?2 2+2，+%=2叫,直线MN的斜率等于一根，将 M、N的坐标代入椭圆方程得：X3 .v 2 _i X42,2 _ 1-y+3 t，彳 +%-1，两式相减得：(演+匕,七一%)+(%+%)(%_)，4)=0,故g=一空，xi-x4 0 m即直线MN的斜率等于-2 S ，1 0 m所以 近 土1 =一相，解得小2=:，1 0/77 8由A8的中点在椭圆内，得，”引 ,、2 ,，解得。2 的，-1二-+(网7)2 -1 3因为pe Z,所以P 的最大值是2,I%-%I=J(y-%)2=J(y+%)-%=J 4P21n?+4p?,则 AOAB
39、 面积 S=x|y,-y,|=y/4p2m2+4p2-p2 +(y-2 =1.(2)由题设知：0C 交圆0于A,则=了，可得&当，又|A Q|=|A H，x +y-=4P,。是以A为圆心，的 为半径的圆与Q 轨迹的交点，.圆A：(-$2+(),-1)2=弓，与。轨迹作差，即可得MN的方程为3 x+y-1 3 =o,二C 到MN的距离为4=|1 2 +3-1 3|V 1 02V i o且|M N|=2 的_/，I +-1 3 1A到MN的距离为,=5 5 =_J _M 回 C _ 1/I 7486 SA M N =2h MN=iO,【点睛】关键点点睛：(1)先求出参数尸，根据点、线的位置关系确定
40、。的轨迹为以C P 为直径的圆，求方程.(2)求 A坐标，由 已 知 有 是 以 A为圆心，A P 为半径的圆与Q 轨迹的交点，再由RQ 与直线MN的位置关系，可 知 的 方 程 可 由 圆 A与。的轨迹作差得到，进而求|M N|、A到MN的距离，即可求面积.f12 5.已知双曲线C：-y2=(0)的左、右焦点分别为士，尸”(0,1),过焦点工，且斜率为:的a 6直线与C 的两条渐近线分别交于A,8两点，且 满 足 祠=2 的.(1)求 C 的方程；(2)过 点 且 斜 率 不 为 0的直线4 交 C 于川，N两点，且|E M|=|硒 求 直 线 4的方程.【答案】(1)-y2=-,(2)y=
41、+【分析】(I)通过联立方程组求得4B两点的坐标，结 合 丽=2 旃 求 得。，由此求得C的方程.设/2：=*1+1(心 0),联立直线4的方程和双曲线C的方程，化简写出根与系数关系，求得中点G 的坐标，根据E G LMN求得上 由此求得直线4的方程.【详解】(1)双曲线C的渐近线方程为y =x,a过 F(c,0),且斜率为，的直线方程为y =x-c),6 61,a A ac cl由 彳 1 n4 7 1 /、a-o a-o)y=/(i)1a _ j ac-c I由 彳 i=8 -7-7，y=z(x-。)l o由 于 近=2 的，即-c -9，一 啖)=(考,)，V a-6 a-6 J 1 +
42、6 a+6)所以-=a=2.-6。+6“2所以双曲线C的方程 为-y 2=l.4 -（2）设4：丫 =火卜+3）（无二0）,）=小 +|）由 消 去 并化简得（1-4犷卜2-1 2 4 2 X-9公一 4 =0,X 2.=1 4 4%4+4(1-4用(9标+4)=1 6-2 8公 0,k2 S.k0.设团（看,X）川（,%）,则芭+犬212k2，/小，-r-7 T,yl+y2=k(xt+x2+3)=k1-4K告H3k所以M,N中点G的坐标为6k2l-4k2，i-4k2-1-4公27由于|EM|=|EN|,所以 EG 上 MN,kEG=-1 ,力2_ _ _ _ 11-4犷T，化简得8/+1 5左 一2 =0,2%-。仅+2)(81)=。，解得氏=2或 =O41由于公 且女工0,所以=g,所以直线4的方程为y=?（x+，.【点睛】求解有关直线和双曲线相交有关的问题，可设而不求，结合根与系数关系来进行求解.