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1、2011年最新高考+最新模拟立体几何1.20 1 0 浙江理数】设/,是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若/_!_m，机 ua,贝B.若/J _ a,l/m ,则m _ L aC.若/a,m cza,则/加 D.若/a,m/a ,则/机【答案】B【解析】可对选项进行逐个检查.本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题.2.1 20 1 0 全国卷2理数】与正方体A B C。AG A的三条棱A8、C6、4 A所在直线的距离相等的点（）A.有且只有1个 B.有且只有2个C.有且只有3个 D.有无数个【答案
2、】D【解 析】直 线 池上取一点，分 别 作P,P ；，P ：垂 直 于 比D：,B：C,B：A于0：，0；,0：,则P 0：_ L 平 面 A：C：,P 0；_ L 平 面 B：C ,P 0：J平面 A：B ,0；,0；,0：分别作,垂足分别为 M,N,Q,连 P M,P N,P Q,由三垂线定理可得，P N Ji A=P M l CC1；PQ1 A B,由于正方体中各个表面、对等角全等，所以P O：=P O：=P O：,O,N=0.0,.PM=PN=PQ,即 P 到三条棱 A B、C C、A D.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.3.【20 1 0 全国卷2理数】已知正四棱
3、锥S-A8 CO中，S 4=2百，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A.1 B.百 C.2 D.3【答案】C【解析】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.设底面边长为a,则高h=J sA：-（）：=J 1 二 一 三 V=-a:h=-J 12a -a:2 V -所 以 体 积3 37 2,a *-设 2，贝i J v =4S a：-3 a，当y 取最值时，y=48a：-3 a：=0,解得 a=o 或 a=4h=J 1 2-=2时，体积最大，此 时 2 故选C.4.20 1 0 陕西文数】若某空间儿何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()21A.2 B.1 C.-D.-3 3
4、【答案】B【解析】本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱,所以其体积为-x l x V 2 x V 2 =1.25.1 20 1 0 辽宁文数】已知S,4,8,C是球。表面上的点，S 4_ L平面A B C,AB 1 B C ,S A=AB =l,B C =&，则球。的表面积等于()A.4 兀 B.3 4 C.2 万 D.T C【答案】A【解析】由已知，球。的直径为2R =S C =2,.表面积为4万斤=4万.6.20 1 0 辽宁理数】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是()A.(0,V
5、6+V 2 )B.(1,25/2)C.(/6 ,/2 ,+2.)D.(0,2/2 )【答案】A【解析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.根据条件,四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：(1)地面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a,女图，此时.a可以取最大值，可知A D=G，S D=J q 2 i ,则有 J/7 2+收即/8 +4 6=(&+啦)2,B P Wa V6 +V2(2)构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图所示，此时a0;综上分析可知a d(0,V 6+V 2 )7.12010 全国卷2 文数
6、】与正方体ABCDA B C D 的三条棱AB、C3、A D 所在直线的距离相等的点（）A.有且只有1个 B.有且只有2 个C.有且只有3 个 D.有无数个【答案】D【解析】本题考查了空间想象能力.到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上,二三个圆柱面有无数个交点.8.2010 全国卷2 文数】已知三棱锥S-A B C 中，底面A 3 C 为边长等于2 的等边三角形,SA 垂直于底面A B C,S A=3,那么直线A 8 与平面S 6 C 所成角的正弦值为（）6 n V5 0 币 c 3A.-B.C.-D.一4 4 4 4【答案】D【解析】本题考查了立体几何
7、的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A 作 AE垂直于BC交 BC于 E,$E,过 A作 AF垂直于SE交 SE于 F,连 BF,.正三角形ABC,E 为 BC中点，于 BC_LAE,SAJ_BC,二 8（：_1_面 5人 ,r.BCAF,AFSE,/.AF_L面 SBC,V ZABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3,3 3_ r-.r-sin ZA B F =-：.A E=73,AS=3,SE=243,AF=2,4.9.12010电:西理数】过正方体ABCD-A4G2的顶点A作直线L,使L与棱AB,AD,A4,所成的角都相等，这样的直线L 可 以 作（）A.1 条 B.
8、2 条 C.3 条 D.4 条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力.第一类：通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线ACI,第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2 条棱夹角相等，有 3 条，合计4 条.1 0.12010 安徽文数】个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）A.372 B.360 C.292 D.280【答案】B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和.把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的
9、表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4 个侧面积之和.S=2(10 x8+10 x2+8x2)+2(6x8+8x2)=360.IL【2 0 1 0 重庆文数】到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A.只有1 个 B.恰有3 个C.恰有4个 D.有无穷多个【答案】D【解析】放在正方体中研究,显然，线段EF、F G、G l k HE 的中点到两垂直异面直线A B、C D 的距离都相等，所以排除A、B、C,选 D.亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线A B、C D 的距离相等.1 2.1 2 0 1 0 浙江文数】若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示,()A.352 3B.320-
10、cm-cm33C.224 3D.160cm-cm33【答案】B【解析】本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.1 3.【2 0 1 0 山东文数】在空间，下列命题正确的是（）A.平行直线的平行投影重合则此几何体的体积是B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D1 4.【2 0 1 0 北京文数】如图，正方体ABCD-A|B|GD的棱长为2,动点E、F在棱A|B|上 点Q是 C D 的中点，动点P在棱A D 上，若 E F=1,D P=x,A1 E=y （x,y大于零），则三棱锥P-E F Q
11、 的体积（）A.与 x,y都有关；B.与 x,y 都无关；C.与 x有关，与 y无关;D.与 y 有关，与 x无关;【答案】C1 5.2 0 1 0 北京文数】一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：（）正（主）视图侧（左）视图【答案】C1 6.1 2 0 1 0 北京理数】如图，正方体A B C D-4 A G，的棱长为2,动 点 E、F在棱4 与 上，动 点 P,Q分别在棱A D,C D 上，若E F=1,A E=x,D Q=y,D P =z （x ,y ,z 大于零），则四面体P E F Q的 体 积（）A.与 x ,y ,
12、z 都有关DB.与 x有关，与 y,z 无关C.与 y 有关,D.与 z 有关,【答案】D与x,z无关与X,y无关1 7.1 2 0 1 0 四川理数】半径为R的球。的直径AB垂直于平面a,垂足为B ,BCD是平面a内边长为/?的正三角形，线段AC、A 0分别与球面交于点M,N,那么M、N两点间的球面距离是（）八 17A.R ar cco s 2 5C.g兀R【答案】AB.R ar cco s 2 5D.TIR15j 2 /5【解析】由已知，A B=2 R,B C=R，故 t an/B A C=，co s Z B A C=-,连结 0 M,则4O A M2 5为等腰三角形，A M=2 A 0
13、c o s N B A C=1 2 R,|遒 A N=,且 M N C D，而 A C=&R,C D5 54=R,故 M N：C D=A N:A C n M N=R,连结 0 M、O N,有 O M =O N=R,于是 co s/M 0 N =5O M1+O N2-M N22 O M O N,所 以 M、N两点间的球面距离是R ar cco s 一2 5 2 51 8.1 2 0 1 0 广东理数】如图1，A B C 为三角形，/C C ,C C _ L 平面A B C 且33 A4f=-B B =CC=A B,则多面体A A B C -ABC的正视图（也称主视图）是21*1【答案】D1 9.
14、1 2 0 1 0 广东文数】9.如图，为正三角形，平面且，则多面体的正视图，包称主视图）是C.2 6A.6C.2 0.2 0 1 0 福建文数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（)B.2D.6第3题图图 1【答案】D【解析】本题考查立体儿何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由正视图知：三棱柱是以底面边长为2,高为1 的正三棱柱，所以底面积为侧面积为3 x 2 x 1 =6,选面2 1.2 0 1 0 全国卷1 文数】已知在半径为2的球面上有A、B、C、I）四点，若 A B=C D=2,则四面体A B C D 的体积的最大值为（）A.二一 B
15、.一 C.2 G 是二面角C A 8 q 的平面角.A 8 =l ,C =,在 RtADCC.4,.CC.=C O ta n 6 0 =走，21 2 2C,DC Dcos ZCDC,也设点C 到平面C.A B的距离为h,则由-GA B=%-A 8 c 得，4 6.1 2 0 1 0 湖北省年普通高等学校招生全国统一考试模拟训练（二）】如图，在直三棱柱A B C-A B G中，A B=1,A C=2,BC=6,D,E分别是 A C 和 B B i 的中点，则直线DE 与平面B B C C 所 成 的 角 为（【答案】AT【解析】取 A C 中点F,连 DF,B F,则易知B FDE,过 F 作
16、FHJ_ B C于 H,则 FHJ_ 平 面 B CCi B n 则角N F B H 为所求，在直角三角形F H B 中，FH=1,BF=1AC=1,所以Z FB H=3 0 .4 7.1 2 0 1 0 湖南师大附中第二次月考试卷】如图，在正三棱柱A B CABG 中，点 M 为侧棱A A i 上一动点，已知A B C M 面积的最大值是26，二面角MB CA的最大值是工，则该三3棱柱的体积等于（）A.3 6 B.2也 C.6 D.3 0【答案】A【解析】当点M 与点儿重合时，B CM的面积为最大值，此时二面角MB CA也为最大.由已知可得，SM BC=2 7 3 CO S =V 3 ,所以
17、底面正三角形A B C 的边长为2,高 为 百，从而正三棱柱的高A A 产 百 t a n-=3.所以正三棱柱的体积V =3+,故选A.34 8.【2 0 1 0 曲靖一中高考冲刺卷数学（八）】如图，正方体48co dgC iA中，M,N分别为A B,D C 中点，则直线MC与 AN所成角的余弦值为（）A.1 B.i C.-1 D.-1 、产 /2 5 5 3 A p-B i【答案】B：、【解析】连 N A,D.A,则/D NA为所求，在三角形D,N A 中由余弦 芳.定理可求得c os N Di N A=1.A M B54 9.2 0 1 0 曲靖一中高考冲刺卷数学（四）】一个球与一个正三棱
18、柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是3空2肛那么这个三棱柱的体积是（）3A.96 7 3 B.16 C.246 D.4 8 7 3【答案】D79【解析】因为球的体积为牛叫 柱体的高为2 r=4,又正三棱柱的底面三角形内切圆半径与球半径相等，r=2,所以底面边长a=4 m,所以VM半 X（4 如X4=48a5 0.1 2 0 1 0 内蒙古赤峰市四月统一考试】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）AA.-V-3-nB.V 3 rC.V 2 nD.V36 4 2 2【答案】A【解析】设底面边长A B=1,则侧棱长SA=2,过顶点S 作底面的垂线，垂足0
19、为底面中心，连结A O,则N S A O 为所求，因为A 0=g,所以c os N SA O=、g.3 SA 69 j5 1.2 0 1 0 上海市奉贤区4月调研】已知一球半径为2,均面上A、B两点的球面距离为亍,则线段A B 的长度为（）A.1 B.A/3 C.2 D.2 7 3【答案】C【解析】由 l=a R=a X 2=得，a =/,从而知NAOB=，即 A O B 为正三角形，所以A B=0 A=R=2.5 2.1 2 0 1 0 石家庄市教学质量检测（二）】如图，在正三棱锥A-B CD中，E、F 分别是A B、B C 的中点,E F 1 D E,且 B C=1,则正三棱锥A-B CD
20、的体积是（)5 3.2 0 1 0 甘肃省部分普通高中高三第二次联合考试】如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，Z A B C =90,氐4 =B C ，球心O到平面A BC的距离是面距离是（）71A.3B.714万C.3D.2万【答案】B【解析】取 A C 中点H,连 0 H,则 0 H垂直于平面A B C,又 0 A=3,所以A C=2 A H=CH=2 X 乎=3 蚀，又Z48C=90,8A=B C,B C=3,从而三角形0 B C为正三角形，N B 0 C=6 0 ,所以球面距离为14乂3=）5 4.【2 0 1 0 成都石室中学高三“三诊”模 拟 考 试】如图所示，在正三棱锥SA
21、 BC 中，M、N 分别是SC、B C 的中点，且MNLAM,若侧棱S A=2后,则正三棱锥SA BC 外接球的表面积是（）A.12 n B.32 J i C.36 n D.48 n【答案】C【解析】因为M N,A M,所以SB_ LA M,又 SB_ LA C,所以侧面三角形为等腰直角三角形，所以SA=SB=SC=2V 3.所以 2R/X(2镜)=6,所以 S=n (2R)?=36 n .55.【河南省郑州市2010年高中毕业班第二次质量预测】过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的（）【答案】B【解析】易求得截面圆半径为球半径的56.12010 唐山三模】一
22、个与球心距离为I的平面截球所得的圆面面积为4 人，则球的表面积为（）A.5 n B.17 nC.20 n D.68 n【答案】C【解析】截面圆的半径为2,所以球半径口个厅亚鹏，所以S=20n.57.12010 成都市第3 7 中学五月考前模拟】如图，在多面体A BC DEF 中，已知A BC D是边长为 1 的正方形，且AAOE、A/CF均为正三角形，EF A B,EF=2,则该多面体的体积为R 6D.-3D.22A旦3)【答案】A【解析】过 A、B 两点分别作A M、BN垂直于EF,垂足分别为M、N,遍 DM,C N,可正得DM1EF.C NEF ,多 面 体 A BC DEF 分为三部分，
23、多 面 体 的 体 积 V 为V ABCDEF=AMD-BNC+E-AMD+F-BNC f N F =,B F=1 B N =,作 NH 垂直 于 点 H,则 H 为 B C的 中 点，则 N=J,/.S&B NC=-B C N H=,2 2 4 ,AB CDE F ,故选卜 58.【2010 内蒙古赤峰市一模】四面体A BC D的外接球球心在C D上，且 C D=2,A B =6在外接球球面上A、B 两点间的球面距离是（）71 71 2 兀 5万A.B.C.D.6 3 3 6【答案】C【解析】由题意知半径R=l,所以NA 0B=2上7r，从而球面距离为1=27r X1=27r.3 3 359
24、42010 江西赣州十一县（市）第二学期期中联考】棱长为1 的正方体的 8 个顶点都在球。的表面上，E、F分别是棱A B、4 2 的中点，则经过E、F的球截面的面积最小值是（）C.71D.78【答案】C【解析】当截面圆的圆心在直线EF 上时，其面积最小.因为EF 等，可 求 得 球 心 0 到 直 线 E F的距离为手，所 以 截 面 圆 的 半 径5-860.12010 上海文数】已知四棱椎P-A 8CO的底面是边长为6 的正方形，侧棱底 A B C D ,且PA=8,则 该 四 棱 椎 的 体 积 是.【答案】96【解析】考查棱锥体积公式V=1x36x8=96.361.12010 湖南文数
25、】图 2 中的三个直角三角形是一个体积为20c m 2的几何体的三视图，则 h=c m.侧视图（第12遗）【答案】46 2.12010 浙江理数】若某几何体的三 视 图（单位：cm）如 上 图（右）所示，则此几何体的体积是.cm3.【答案】144【解析】图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为1 4 4,本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题.6 3.12010 辽宁理数】如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则 这 个 多 面 体 最 长 的 一 条 棱 的 长 为.【答案】2下）【解析】本题考查
26、了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力.由三视图可知，此多面体是 个底面边长为2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为V22+22+22=273.64.2010 江西理数】如图，在三棱锥。-A B C 中，三条棱0 4,O B ,。两两垂直，且 0 4 。6 。，分别经过三条棱0 4,O B,。作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S,S2,S.,则 S,S2,邑 的大小关系为.【答案】S3 S2 S,【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论,特殊化，令边长为1,2,3得S 3
27、 S 2 S6 5.2 0 1 0 北京文数】如图放置的边长为1的正方形P A B C沿x轴滚动.设顶点p (x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是y =/(x)，则/(x)的最小正周期为；y =/(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所 围 区 域 的 面 积 为.y【答案】4 乃+1 c _ B【解析】“正方形P A B C沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _当顶点B落 在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继 P P 二续，类似地，正方形P A B C
28、可以沿着x轴负方向滚动.6 6.【2 0 1 0,四川理数】如图，二面角a-/-夕的大小是6 0 ,线段B e l,A8与/所成的角为3 0。.则A8与平面所 成 的 角 的 正 弦 值 是.【答案】4【解析】过点A作 平 面B的垂线，垂足为C,在B内过C作1的垂线.垂足为D,连结A D,由三垂线定理可知A D L 1,故/A D C为二面角a /的平面角，为6 0 ,又由已知，Z A B D=3 0 ,连结C B,则/A B C为45与平面4所成的角，设A D=2,贝ijA C=J L C D=1,A BAD sin 30=4,_AC y/3一罚一彳6 7.2 0 1 0 天津文数】一个几何
29、体的三视图如图所示，则 这 个 几 何 体 的 体 积 为.【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，属于容易题.正视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面是长为3,宽为2,高为1的长方体的一半.由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图可知该几何体的高为1,结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为-(1+2 2;k 3=.26 8.12010 天津理数】一个几何体的三视图如图所示，则 这 个 几 何 体 的 体 积 为.【答案】3【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体
30、体积的计算，属于容易题.利用俯视图可以看出儿何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何体的形状，求锥体体积时不要丢掉!哦.由三视图可知，该几何体3为一个底面边长为1,高 为2的正四棱柱与一个底面边长 为2,高 为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2,正四棱锥的体积为上x 4 x l=2,所以该3 34 10几何体的体积V=2+-=.3 36 9.12010 湖北文数】圆柱形容器内盛有高度为3cm的水,同 的 珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm.【答案】4【解析】设球半径为r,则由3%+丫水面V可得3 x g万/+7v r
31、x8=仃2 x6r,解 得r-4.若放入三个相70.2010 湖南理数】图3中的三个直角三角形是一个体积为2 0 c m的几何体的三视图,答案】和【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角过长分别为5cm、6cm,三棱锥的高为hem*则三棱锥的体积为V=匕（56瓶=2 0,解得=4（cw）。命题意图】本题考查简单几何体的三视图，三棱锥的体积，考察空间想象能力，属中档题，7 1.【2 0 1 0 福建理数】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于.【答案】6+26【解析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由正
32、视图知：三棱柱是以底面边长为2,高为1 的正三棱柱，所以底面积为2 x、5x4=2 6，侧面积为3 x 2 x l =6,所以其表面积为6+2 省.47 2.1 2 0 1 0 甘肃省兰州市五月实战模拟】已知S A B C 是正四面体,M为 A B 之 中 点,则 S M与 B C 所成的角为.【答案】a r cco s【解析】设正四面体边长为1,取 A C 中点N,则 M N B C,Z S M N 为异面直线S M 与 B C 所成的角或其补角，且 M N=1,S M=S N 等，由余弦定理可得co s/S M N=g.7 3.1 2 0 1 0 石家庄市质量检测（二）】如图，在底面边长为
33、2的正三/棱柱A B C-A B G 中，若二面角G-A B-C 的大小为60,则点C到平面/A B G 的距离为.Lj/J【答案w【解析】过点C作 C D 1 A B 交 A B 于 D,连 结 C,1）,则由三垂线定理知N C D C 为二面角的平面角，则/C D C=60。.过点C作 C H L G D,交 GD于 H,则 C H L 平面A B G,故 C H 为所求，在三角形C 3 D 中，C D=V 5,从而C 3=3,从而C H=1.7 4.1 2 0 1 0 云南曲靖一中高考冲刺卷六】正四面体A B C。外接球的体积为4 岳，贝 U 点 A到平面B C D 的距离为_ _ _
34、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】平【解析】V=4 岳，所以R f/5,过 A作 AU平面B C D,则垂足为底面中心，则 A H 为所求.又由正四面体与外接球的关系知，AH=1R邛.O O7 5.2 0 1 0 上海市长宁区二模】棱长为a的正方体A B C D-A.B,C,D,的 8个顶点都在球0的表面上，E、F分别是棱A A i、D D i 的中点，则直线E F 被球0截得的线段长是.【答案】瓜【解析】由题意知球心为正方体对角线的中点，球半径为乎a,球心到直线E F 的距离为擀所以宜线E F 被球0 截得的线段长1=27 6.1 2 01 0 邯郸市二模】
35、三棱锥 A B C D,A B=a,C D=b,z A B D=z B D C,M,N 分别为 A D,B C 的中点，P为 B D 上一点，则 M P+N P 的最小值是.a+b【答案】【解析】如图，将三棱锥的两个侧面A B D 与 B C D 展成一个平面,由/A B D=/B D C 知此时A B C D,雌 M N 交 B D 于一点P,此即为最a+b小值点.此时，M N 为梯形A B C D 的中位线，所以M N=-.7 7.【2 01 0 上海市普陀区四月调研】一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是.【答案】平【解析
36、】因为底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以底面边长为a=V ,又顶点在球面上，所以三棱锥的高为半径，所以v=1 x 取（镜）X里7 8.2 01 0 甘肃省兰州市五月实战模拟】已知S A B C 是正四面体,M为 A B 之中点，则 S M与 B C 所成的角为.【答案】a r c c o s6【解析】取 A C 中点N,连结S N,在三角形S M N 中，易求得c o sN S M N i.Z S M N=a r c c o s 66即为所求.7 9.2 01 0 上海市卢湾区4月高考模拟】若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则 该 球 的 体 积 为 （结果保留n ）.【答案】【解
37、析】因为正方体的体积为8,所以边长为2,又各个顶点在一球面上，所以正方体的体对角线为球的直径，即 2 R=2*,所以口=击，所以V 俅=!“丘=4m 1 1.8 0.【2 01 0 浙江五校四月联考】四面体A B C D，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1,63,若四面体的四个顶点同在一个球面上，则 这 个 球 的 表 面 积 为.【答案】1 6 乃【解析】由题可知该四面体内接于球，且球的直径为所以S=1 6 乃.8 1.2 01 0 上海市卢湾区4 月模拟】在正四面体A B C D 中，E、F分别是 ZB C、A D 中点，则异面直线A E 与 C F 所成的角是.(用反/三角值表
38、示)B 口9C【答案】a r c c o s【解析】如图所示，连结D E,取 D E 中点M,连结C M,F M,则 F M A E,所以N C F M 为异面直线所成的角或其补角，设正四面体的棱长为1,在三角形C F M 中，CF 坐 F M g,C M 等,9由余弦定理，可求得c o s/C F M j.8 2.1 2 01 0 年抚州市高三年级教学质量检测】在矩形ABCO中，已知A B =4,B C =3,将该矩形沿对角线AC折成直二面角D-A C-B,则四面体A8CO的外接球的体积为.1 2 5 万【答案】61 2 5 4 解析外接球的球心为对角线A C 的中点，半径r=3 C=j,V
39、 菖 n (|)3=68 3 .【2 01 0 上海文数】如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，-先要制作4 个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平|方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).(1)当圆柱底面半径r取何值时，S 取得最大值？并求出该 卜4最大值(结果精确到0.0 1 平 方 米)；I(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素).解：(1)设圆柱形灯笼的母线长为1,则 L 2-2 r(0 r+8 2+()2=2+22+2 7 2 2,得=一，经检验，此时点N 在线段6c上，所以=.4方法二：(I)解：取
40、 线 段 E 夕 的 中 点”，AQ的 中 点 G,连结AG,AH,GH.因 为 A E =AE及”是 E f 的中点，所以4 _1 /，又因为平面4 后尸_1 平面8 /;,所以A _L 平面B E F,又 AFu平 面 BEE故 A _L A F ,又因为G、H是AF,E 尸的中点，易知G 4 8,所 以 G”_ LAF,于是(第 2 0 我)4q，面 46”，所 以 NAG为二面角A OHC 的平面角，在 用 AG中,AH=2近,GH=2,A G =26所以 co s/AG=3.故二面角 A O/一 C 的余弦3值 为 孚(I I)解：设 FM=x,因为翻折后，C与 A 重合，所以CM=
41、A M,而。用2=。2+。“2=82+（6一%）2 ,AM2=AH2+MH2=AH2+MG2+GH2=（2 何，得 x=442 1，经检验，此时点N 在线段8C上，所以月0=48 6.【2 0 1 0 全国卷2理数】如图，直三棱柱ABC-AG中,AC=BC,AA=A B,。为的中点，E为 A4上的一点，AE=3EB-(I )证明：OE为异面直线人用与。的公垂线；(I I)设异面直线A B|与 CD的夹角为4 5 ,求二面角A 1 A G B 的大小.【解析】松题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力.解：解法一：(I)连接A B 记 A B 与 ABi 的交点
42、为F.因为面AAB为为正方形,故AB_ LABi,且 AF=F Bi,又 AE=3E B”所以 F E=E Bi,又 D 为 BBi 的中点,故 D E BF,D E J _ ABi.作 C G _ LAB,G 为垂足,由AC=BC 知，G为 A B 中点.又由底面ABC 上而 AABB.连接D G,贝 l j D G AB”故 D E L D G,由三垂线定理，得 D E 1 C D.所以D E 为异面直线AB.与 C D 的公垂线.(I I)瓯 D G AB”他C D G 为异面直线ABi 与C D 的夹角，N C D G=4 5,设AB=2,则ABi,D G=、-,CG=:，AC 小方.
43、作 Bi H _ LAC,H为垂足，因为底面A B C 面 A A C,故 Bi H _ L面AAC C.又作H K_ LA3,K 为垂足，连接B K 由三垂线定理，得 Bi KJ _ AG,因此N Bi KH 为二面角ALACI-BI的平面角.B、HAGHC、=yjB,C-B,H*2=容.于 是 瓦 瓦 X=0.DEDC.故 D E BtA,DE L D C.所 以 D E 为 异面 H 线 AB,与 C D 的公垂线.(II)因 为 昭.云 等 于 异 面 玄 线 相 与 8的夹角.故 丽 云=1而I I 觉Icos450即 2及 x j c +2 x 迈=4 2婚得 c=V2.故 衣=(
44、-L O.0).又 羽 =8 瓦=(0 2 0).所以 XCi=AC+AA=(-l.iV 2).设 平 面AA,CB的 法 向 依 为HI=(x.y.z)JW m ACt h 0.nt M =0 即-x +2y+怎=0 且 2y=0.令 刀=右，则 z=l.y=0,故m设 平 面 AB1G 的 法 向 域 为/=(p.g.，)则 n-ACX 0 n*fftA s：O.AC,=+G/5)N=7 7.H K=.tan Z.B.KH=空 丝=y/li.HK所 以 二 面 角 冬 AC,Bt的大小为arctan V14.解法二：(I)以 8 为 坐 标 原 点.射 线 S A 为 x 轴 正 半 幅.
45、建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 为 4B-x y z 设 Aff=2.则 A(20.0).B,(O.XO).0(0.LO).f(l,2.0).2 2又 设 C(l.0.c3 则 近=g.g.O).帝=(N-ZO).OC=(L-h c).-p +4 +/2r=0 2p-%=0.令p=C ,期=故”=(.0 1).所以 cos(mm nv/i)Im lln I ，5由于 em 等于二面角人-4G-鸟的平面角，所以二面角A,-AG-鸟的大小为arccos坐.【点评】三垂线定理是立体儿何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通
46、过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.87.201 0 陕西文数】如图，在四棱锥PABC D 中，底面ABC D 是矩形PAJ _ 平面ABC D,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,P C 的中点.p(I )证明：E F 平面PAD；您、(I I)求三棱锥E ABC 的体积V.解：(I)在APBC 中，E,F 分别是 PB,PC 的中点，.E F aBC.又 BCAD,；.E F AD,又：AD(Z平面 PAD,E F /2 X .2 2 3 3 2 3
47、88.1 201 0 辽宁文数】如图，棱柱4 8。一48 的侧面8。4是菱形，B.C 1 AtB ,(I )证明：平面AB。，平面4B C；(I I)设。是 4G上的点，且48平面与C0,求的值.解：(I )因为侧面B C C B 是菱形，所以g C，8C 1,又已知名。，4 8,且4 8 c 8 G =B ,所以B Q _ L平面A B C,又B|C u平面AB ,所以平面_ L平面ABC .(I I)设 B G 交 Bi C 于点E,连 结 D E,则 D E 是平面A.BC i 与平面B,C D 的交线，因为AB 平面 B,所以AB/D E.又 E是 B G 的中点，所以D为 A C的中
48、点.即A D DCFI.8 9.【201 0 辽宁理数】已知三棱锥P-A B C 中，PAABC,ABXAC,PA=AC=M B,N为 A B 上一点，AB=4 AN,M,S分别为PB,BC 的中点.(I)证明：C M 1 S N；(I I )求 S N 与平面C M N 所成角的大小.证明：设 PA=1,以A 为原点，射线AB,AC,AP分别为x,y,z 轴正向建立空间直角坐标系如图.则 P(0,0,1),C(0,1,0),B (2,0,0),M (1,0,-),N (-,0,0),S (1,0).2 2 2 1 1 1(I)CM=(l,-l,-),S =(-,-,0),因 为 丽 而=,+
49、0 =0,2 2所以CM L S N.-1(I I)N C =(,1,0),2设=(x,y,z)为平面CM N 的一个法向量，则1八x-y +-zO,一-x +y =0.2x 4 l a=(2,1,-2).所以S N 与片面CM N 所成角为4 5 9 0.1 20 1 0 全国卷2 文数】如图,直三棱柱A B C-A|B|C|中，A C=B C,A A|=A B,D 为 B B 1 的中点，E 为 A B 上的一点，A E=3EB 1(I)证明：DE为异面直线A B 1 与 C D 的公垂线；(H )设异面直线A B】与 CD的夹角为4 5 ,求二面角A 1-A C-B 的大小.【解析】本题
50、考查了立体儿何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识.(1)要证明DE为 A B 1 与 C D 的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由A E=3EB 1,有 DE与 B A 1 平行，由A 1 A B B 1 为正方形，可证得，证明CD与 DE垂直，取 A B 中点F.连结DF、F C,证明DE 与平面CF D垂直即可证明DE与 CD垂直.(2)由条件将异面直线A B I,CD所成角找出即为/F D C,设出A B 连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得.9 1.20 1 0 江西理数】如图B CD与4 M C D 都是边长为2的