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1、2023年中考数学一轮复习第14讲：锐角三角函数1.特殊角的三角函数值（1）特指30、45、6 0 角的各种三角函数值.s i n 30=；c o s 30 =辿二；ta n 30 =义上；223s i n 45=1；c o s 452=退 _；ta n 452=1;s i n 6 0=乂二 c o s 6 0 2=；ta n 6 0 2（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大：二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多.2.
2、解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.（2）解直角三角形要用到的关系锐角、直角之间的关系：N Z+4 8=9 0 ；三边之间的关系：+庐=02；边角之间的关系：tanA=NA的对边=NA的邻边ab（a,b,c 分别是/、N B、NC的对边）3.解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.（2）解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化
3、为解直角三角形问题）.根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.第1页 共9页4.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度和水平宽度/的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=l：的形式.（2）把坡面与水平面的夹角a 叫做坡角，坡度i 与坡角a 之间的关系为：i=/?=ta n a.（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题.应用领域：测量领域；航 空 领 域
4、航 海 领 域：工程领域等.5.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角.（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.6.解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数.（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要
5、用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.7.平行投影（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象.一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的.（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的.如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影.（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.一.选 择 题（共 1
6、2小题）第 2 页 共 9 页1.（2 0 2 2 平原县模拟）一艘货轮8在灯塔/的南偏西6 0 方向，距离4点 3 啦 海 里，货轮 8沿北偏东1 5 航行一段距离后到达C地，此时/C距离2 0 我 海 里，判 断 C在 4的北偏西多少度（）2.（2 0 2 2 高新区校级三模）如图，在 Z 8 C 中，AC平分N N C 3,B D L C D 于点、D,N A B D=Z A,若 BD=1,A C=7,则 t an N C B。的 值 为（）A.5 B.2 /6 C.3 D.V 2 63.（2 0 2 2 沂源县二模）如图，某车型车门设计属于剪刀门设计，即车门关闭时位置如图中四 边 形
7、车 门 打 开 是 绕 点/逆 时 针 旋 转 至 与 垂 直，己 知 四 边 形 与四边形 8 。在同一平面，若 AD BC,Z =4 5 ,N D 4 8 =3 0 ,C D =60cm,百 1.7，则 月 8的长约为（）A.60cm B.5cm C.42cm D.2 l e w4.（2 0 2 2 惠安县模拟）如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷 板 长 为 4米，支柱 04垂直地面.如图，当A B的一端4接触地面时，A B与地面的夹角的正弦值为上;2如图 ，当48的另一端B接触地面时，与地面的夹角的正弦值为工，则支柱。，的3长 为（)第3页 共9页A图 图A.0.5 米 B.0.6
8、 米 C.0.8 米 D.亚-米25.（2022湖里区二模）如图，在 4X 4 正方形网格中，点4B,C 为网格交点，ADLBC,垂足为D,则 s in/8/D 的 值 为（）6.（2022双阳区一模）如图为固定电线杆Z C,在离地面高度为7 米的N处 引 拉 线 使拉 线 与 地 面 8 C 的夹角为a,则 拉 线 的 长 为（）s i n C L7.（2022红花岗区三模）如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上8,C 两点间的距离，在河的岸边与8 c 平行的直线E F 上点4 处测得/E/8=3 7 ,Z F A C=6 0Q,已知河宽30米，则 8,C 两点间的距离为（）（参考数据：s
9、in37弋3,cos37弋居，5 5tan37=A）4第4页 共9页CBA.（18+25%）米 B.（40+10愿）米 C.（24+10禽）米 D.（40+30A/3）米8.（2022朝阳区校级模拟）如图，表示一条跳合滑雪赛道，在点4 处测得起点8 的仰）米.A.50sin350B.50cos350C.50.sin35D 等9.（2022襄州区模拟）如图，在边长为1 的 4 X 4 的正方形网格中，。为4 3 与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是（）A.tanA=2B.ZACB=90C.CD10.（2022碑林区校级模拟）如图，在 8 c 中，N4C8=60,D.cos8=义 5Z5=4
10、5,A B=GCE平分N/C 8 交 N 8于点E,则线段C E的 长 为（）C.近D.V 6-V 211.（2022井研县模拟）如图，边长为1 的小正方形网格中，点/、B、C、E 在格点上，连接B C,点。在 8 C 上且满足/。_L 8C,则/E D 的正切值是（）第 5 页 共 9 页Ec-4D41 2.（2 0 2 2 宁德模拟）市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜 角 为 铅 直 高 度 为 人 则 指 示 牌 的 边 的 长 等 于（）A.A s i n as i n aC./z co s aD.co s a二.填 空 题（共 5 小题）1 3.（2 0
11、2 2 鹿城区校级二模）飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）.五颗同轨道同步卫星，其位置4 B,C,D,E如图2所 示.是 它 们 的 运 行 轨 道,弧/C度数为1 2 0 ,点 8到点C和点/的距离相等，B D L C E 于 M,A D 交 B E 于 N,交 C E 于 H,连结C ）,A E,已知一架飞机从M 飞到N 的直线距离为8千公里，则轨道OO的半径为 千公里，当 B E：B D=4：5时，则线段/E,CD的长度之和为千公里.图1 图21 4.（2 0 2 2 丰润区二模）如图，一艘轮船位于灯塔尸的南偏东6 0。方向，距离灯塔5 0 海里的/处，它沿正北方向
12、航行一段时间后，到达位于灯塔尸的北偏东45。方向上的8处，第6页 共9页此时8处与灯塔P 的距离为 海里；AB=海 里（结果保留根号）.1 5.（2 0 2 2 德州一模）如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个3米长的标杆。，然后他在N 处测得C点的俯角0 为 5 3 .再测得。点的俯角a 为 45 ,则两座楼房之间的水平距离大约为 米.（参考数据：s i n 5 3 1 6.（2 0 2 2 固安县模拟）如图，小明在尸处测得/处的俯角为1 5 ,8处的俯角为6 0 ,PB=20m,NPHB=NAFB=90 ,若 斜 面 坡 度 为 1：禽.（1）ZPBA=
13、；（2）/F 的长为 m.1 7.（2 0 2 2 博山区二模）计算：6 t a n 3 0 -2 c os3 0 =三.解 答 题（共 5 小题）1 8.（2 0 2 2 榆阳区一模）凌霄塔亦名文笔塔，为榆林市重点文物保护单位，位于榆林城南榆阳桥东侧山峰上，某校数学社团开展“探索生活中的数学”实践活动，小华与队友计划测量凌霄塔的高N8,如图，首先，在阳光下某一时刻，小 树 的 影 子 顶 端 恰 好 与 塔 的第7页 共9页影子顶端E重合，测 得C D=D E=3 m；然后利用测角仪在G点测得塔顶A的仰角为3 5 ,测角仪的高 G F=l/n,E G=l 1 m；已知/8 _ L 8 G,C
14、 DLBG,F G 1 B G,点 8、。、E、G在一条直线上，求凌霄塔的高48.（参考数据：si n 3 5 0 -0.5 7,c os3 5 七0.8 2,t a n 3 5 弋0.7 0）B DE G1 9.（2 0 2 2 嘉兴一模）图 1 是小明家电动单人沙发的实物图，图 2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示.沙发通过开关控制，靠背力8和脚托C 可分别绕点8,C旋转调整角度.“/某某”模式时，表示,如“1 4 0 看电视”模式时/N 8 C=1 4 0 .已 知 沙 发 靠 背 长 为 5 0 c m,坐深8c长为54CTH,8c与地面水平线平行，脚托 CD 长为 40cm
15、,Z D C D =Z A B C -8 0 ,初始状态时 CDBC.求“1 2 5 阅读”模式下N O C。的度数.（2）求当该沙发从初始位置调至“1 2 5 阅读”模式时，点。运动的路径长.（3）小明将该沙发调至“1 5 0 听音乐”模式时，求点4 D 1之间的水平距离（精确到个 位）.（参 考 数 据：我心1.7 ,si n 7 0 七 0.9 ,c os7 0 七 0.3 ）2 0.（2 0 2 2 云岩区模拟）如 图 1 所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成.图2是其侧面结构示意图，支撑板。=4 0 料?机，托板Z8固定在支撑板顶点C处，且 C 8=4 0 m m,托 板
16、 可 绕 点 C转动，支撑板CO可绕点。转动.（1）如图2,当/C DE=6 0 时，求点C到直线。E的距离；第8页 共9页(2)如图3,当N C 8=9 0 时，再将CO绕点。转动，使点5落在。E上，求此时NC D B的度数.图12 1.(2 0 2 2 安顺模拟)火灾是生活中最常见、最突出的一种灾难，消防车是救援火灾的主要装 备.图 1 是一辆登高云梯消防车的实物图，图 2是其工作示意图，起重臂4 C(1 0?W/C W 2 0 机)是可伸缩的，且起重臂/C可绕点/在一定范围内上下转动，张角NC 4 E(9 0 W NC 4 W 1 5 0 ),转动点4距离地面的高度图1图2(1)当起重臂
17、/C的长度为1 2 机，张角NC 1 E=1 2(),求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF.(2)某日一居民家突发火灾，该居民家距离地面的高度为1 8 0 加，该消防车能否实施有效救援？(参考数据：7 3 1.7 3 2)2 2.(2 0 2 2 湖北模拟)周末爬山、郊游是现代市民常见的健康休闲生活方式.小 明和小亮两家相约周末一起去天柱山游玩.如图，他们从天柱山西坡的3点出发，沿坡角为3 0 的山坡走了 3 0 0 加到达山腰E点处休息；然后又沿着坡角为4 5 的山坡走了 1 5 0 m 到达山顶 4处.求天柱山的高度.(结果精确到个位，参考数据：加 处 1.4,7 3 1.7)第 9 页 共 9 页