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1、第6节锐角三角函数及其应用1.(2021桂林)如图,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,则OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值是( D )第1题图A.34B.43C.35D.452.(2021福州模拟)如图,A,B,C是正方形网格的格点,连接AC,AB,则tanBAC的值是( C )第2题图A.52626B.2626C.15D.13133.(2021甘谷一模)在ABC中,若2cosA-1+(3-tanB)2=0,则C=60.4.(2021海南)如图,ABC的顶点B、C的坐标分别是(1,0)、(0,3),且ABC=90,A=30,则顶点A的坐标是(4,3).5.(2021湘西州)有诗云:
2、东山雨霁画屏开,风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方,团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年,湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH的高度,在楼前的平地上A处,观测到楼顶C处的仰角为30,在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45,并测得A、B两处相距20m,求“一心阁”CH的高度.(结果保留小数点后一位.参考数据:21.41,3=1.73)解:设CH为xm.由题意,得AHC=90,CBH=45,A=30,BH=CH=xm,AH=CHtan30=3xm.AH-BH=AB,3x-x=20,解得x=10(3+1)27.
3、3.答:“一心阁”CH的高度约为27.3m.6.(2021柳州)在一次海上救援中,两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息.已知此时救助船B在A的正北方向,事故渔船P在救助船A的北偏西30方向上,在救助船B的西南方向上,且事故渔船P与救助船A相距120海里.(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离;(结果保留根号)(2)求救助船A、B分别以40海里/小时,30海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往事故渔船P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.解:(1)如图,作PCAB于点C,则PCA=PCB=90.由题意,得PA=120(海里),A=30,CBP=45.在RtACP中,C
4、AP=30,PCA=90,PC=12PA=60(海里).在RtBCP中,PCB=90,CBP=45,PB=PCsin45=6022=602(海里).答:收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为602海里.(2)PA=120(海里),PB=602(海里),救助船A、B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发,救助船A所用的时间为12040=3(小时),救助船B所用的时间为60230=22(小时),322,救助船B先到达.7.(2021宁波模拟)疫情停课期间,各地区纷纷开展线上教学.为了使孩子更好地学习网课,某家长为孩子上课所用的平板电脑购置了支架.图为一种平板电脑保护套的支架效果
5、图,AM固定于平板电脑背面,与可活动的MB,CB部分组成支架.平板电脑的下端N保持在保护套CB上,不考虑拐角处的弧度及平板电脑和保护套的厚度,绘制成图.其中AN表示平板电脑,M为AN上的定点,AN=CB=20cm,AM=8cm,MB=MN.我们把ANB叫做倾斜角.(1)当倾斜角为45时,求CN的长;(2)按设计要求,倾斜角能小于30吗?请说明理由.解:(1)当ANB=45时,MB=MN,B=ANB=45,NMB=180-ANB-B=90.在RtNMB中,sinB=MNBN,BN=MNsinB=AN-AMsinB=122,CN=CB-BN=(20-122)cm.(2)不能小于30,理由如下:当A
6、NB=30时,作MECB,垂足为E,如图.MB=MN,B=ANB=30.在RtBEM中,cosB=BEBM,BE=BMcosB=(AN-AM)cosB=63.MB=MN,MECB,BN=2BE=123.CB=AN=20cm,且12320,此时N不在CB边上,与题目条件不符.随着ANB度数的减小,BN长度在增加,倾斜角不可以小于30.8.【数学建模】(2020嘉兴)为了测量一条两岸平行的河流宽度,三个数学研究小组设计了不同的方案,他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如下表:课题测量河流宽度测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意
7、图说明点B,C在点A的正东方向点B,D在点A的正东方向点B在点A的正东方向,点C在点A的正西方向.测量数据BC=60m,ABH=70,ACH=35.BD=20m,ABH=70,BCD=35.BC=101m,ABH=70,ACH=35.(1)哪个小组的数据无法计算出河宽?(2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽.(精确到0.1m)(参考数据:sin700.94,sin350.57,tan702.75,tan350.70)解:(1)第二个小组的数据无法计算河宽.(2)第一个小组的解法:ABH=ACH+BHC,ABH=70,ACH=35,BHC=BCH=35,BC=BH=60m,AH=BHsin70=600.9456.4(m).第三个小组的解法:设AH=xm,则CA=AHtan35,AB=AHtan70.CA+AB=CB,x0.70+x2.75=101,解得x56.4.答:河宽为56.4m.