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1、开始学案学案4 4一元二次不等式及一元二次不等式及其解法其解法学点一学点二学点三学点四返回目录返回目录 1.1.一般地，一般地，.叫做叫做一元二次不等式一元二次不等式.2.2.一元二次不等式的一般表达形式为一元二次不等式的一般表达形式为 .,其中其中a a,b b,c c均为常数均为常数.3.3.一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：形式：（1 1）(a a0);0);（2 2）（a a00）.上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程axax2 2+bxbx+c c=0=0的根确定的根确
2、定.设设=b b2 2-4-4acac,则：则：axax2 2+bxbx+c c0(0(a a0)0)或或axax2 2+bxbx+c c0(00axax2 2+bxbx+c c000时，方程时，方程axax2 2+bxbx+c c=0=0有两个有两个 的实数根的实数根x x1 1,x x2 2,设设x x1 1 x x2 2,则不等式（则不等式（1 1）的解集为）的解集为 ,不等式（不等式（2 2）的解集为）的解集为 ；=0 =0时时,方程方程axax2 2+bxbx+c c=0=0有两个有两个 的实数根的实数根,即即x x1 1=x x2 2,此时不等式（此时不等式（1 1）的解集为）的解
3、集为 ,不等式（不等式（2 2）的解集为）的解集为 ；0 0时，方程时，方程axax2 2+bxbx+c c=0=0无实数解，则不等式（无实数解，则不等式（1 1）的解集为的解集为 ；不等式（；不等式（2 2）的解集为）的解集为 .不等不等(-,(-,x x1 1)()(x x2 2,+),+)(x x1 1，x x2 2)相等相等(-,(-,)()(,+),+)实数集实数集R R空集空集空集空集返回目录返回目录学点一学点一 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法求下列不等式的解集：求下列不等式的解集：（1 1）-2-2x x2 2+x x+0;+0;（2 2）x x2 2322x x-3;
4、-3;（4 4）x x2 222x x-1;-1;（5 5）3 3x x2 2+53+53x x.【分析】【分析】利用一元二次方程、一元二次函数与一元二利用一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式的关系解不等式次不等式的关系解不等式.返回目录返回目录 【解析】【解析】返回目录返回目录返回目录返回目录【评析】【评析】一般地，解一元二次不等式，应先整理成一般地，解一元二次不等式，应先整理成axax2 2+bxbx+c c00（或（或000，然后通过判别式，然后通过判别式判断相应方程判断相应方程axax2 2+bxbx+c c=0=0的根的情况，求出方程的根，最后的根的情况，求出方程的根，最后可在
5、草稿纸上画出示意图，写出解集可在草稿纸上画出示意图，写出解集.返回目录返回目录解：解：原不等式可变形为（原不等式可变形为（x x-a a）(x x-a a2 2)0 0，则方程（则方程（x x-a a）（）（x x-a a2 2）=0=0的两个根为的两个根为x x1 1=a a，x x2 2=a a2 2.当当a a0 0时，有时，有a aa a2 2，x xa a或或x xa a2 2,此时原不等式的解集为此时原不等式的解集为 x x|x xa a或或x xa a2 2；当当0 0a a1 1时，有时，有a aa a2 2,x xa a2 2或或x xa a,此时原不等式的解集为此时原不等式
6、的解集为 x x|x xa a2 2或或x xa a;当当a a1 1时，有时，有a a2 2a a,x xa a或或x xa a2 2,此时原不等式的解集此时原不等式的解集 x x|x xa a或或x xa a2 2；当当a a=0=0时，有时，有x x00，解关于解关于x x的不等式的不等式x x2 2-(-(a a+a a2 2)x x+a a3 30.0.原不等式的解集为原不等式的解集为 x x|x xRR且且x x00；当当a a=1=1时，有时，有x x11，此时原不等式的解集为此时原不等式的解集为 x x|x xRR且且x x1.1.综上可知当综上可知当a a0 0或或a a1
7、1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 x x|x xa a或或x xa a2 2；当当0 0a a1 1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 x x|x xa a2 2或或x xa a;当当a a=0=0时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 x x|x x00；当当a a=1=1时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 x x|x x1.1.返回目录返回目录返回目录返回目录学点二学点二 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题已知不等式已知不等式mxmx2 2-2-2x x-m m+1+10.0.(1)(1)若对所有的实数若对所有的实数x x不等式恒成立，求不等式恒成立，
8、求m m的取值范围；的取值范围；(2)(2)设不等式对于满足设不等式对于满足|m m|2|2的一切的一切m m的值都成立，求的值都成立，求x x 的取值范围的取值范围.【分析】【分析】(1)(1)由于二次项系数含有字母，所以首先讨论由于二次项系数含有字母，所以首先讨论m m=0=0的情况，而后结合二次函数图象求解的情况，而后结合二次函数图象求解.（2 2）转换思想将其看成关于）转换思想将其看成关于m m的一元一次不等式，利的一元一次不等式，利用其解集为用其解集为-2-2，2 2求参数求参数x x有范围有范围.【解析】【解析】返回目录返回目录返回目录返回目录 【评析】（【评析】（1 1）解决恒成
9、立问题一定要搞清谁是自变）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数谁的范围，谁就是参数.（2 2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0 0就是相应就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在的二次函数的图象在给定的区间上全部在x x轴上方，恒小轴上方，恒小于于0 0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在下就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在下方方.返回目录返回目录返回目录返回目录若关于若关于x x的不等式的不等式 2 2对任意实数对任意实数
10、x x恒成立，求恒成立，求实数实数m m的取值范围的取值范围.解解:返回目录返回目录返回目录返回目录学点三含参数的不等式的解法学点三含参数的不等式的解法解关于解关于x x的不等式的不等式x x2 2-(-(a a+1)+1)x x+a a0.0.【分析】【分析】由于涉及参数字母，要分类讨论由于涉及参数字母，要分类讨论.【解析】【解析】原不等式整理得原不等式整理得(x x-a a)()(x x-1)0.-1)0.原不等式可转化为下面两个不等式组来解：原不等式可转化为下面两个不等式组来解：返回目录返回目录 当当a a11时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 x x|x x a a或或x x1;
11、1;当当a a111或或x x 0.+20.解：解：返回目录返回目录返回目录返回目录学点四根的分布学点四根的分布 【解析】【解析】关于关于x x的方程的方程x x2 2+(+(m m-2)-2)x x+5-+5-m m=0=0的两根都大于的两根都大于2 2，求实数，求实数m m的的取值范围取值范围.返回目录返回目录返回目录返回目录图图3-4-13-4-1返回目录返回目录 【评析】【评析】本题是一元二次方程的实根分布问题，充分本题是一元二次方程的实根分布问题，充分反映了一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二反映了一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者之间的密切关系，
12、是一个应用数形结次不等式的解集三者之间的密切关系，是一个应用数形结合思想解题的典型实例。合思想解题的典型实例。设设a aRR，关于，关于x x的一元二次方程的一元二次方程7 7x x2 2-(-(a a+13)+13)x x+a a2 2-a a-2=0-2=0有两有两实根实根x x1 1,x x2 2,且且00 x x1 111x x2 22,00时，一元二次不等式、一元二次方程及二次函时，一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的关系如下表：数的关系如下表：判别式判别式=b b2 2-4-4acac00=0=000)0)的图象的图象一元二次方程一元二次方程axax2 2+bxbx+c c=0
13、=0(a a0)0)的根的根有两相异实根有两相异实根x x1,21,2=(x x1 1 0(0(a a0)0)R Raxax2 2+bxbx+c c0(0)0)x x|x x1 1 x x x x2 2 x x|x x x x2 2 x xR|x x 返回目录返回目录返回目录返回目录 2.2.如何解含参数的不等式？如何解含参数的不等式？对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准生一个划分参数的标准.一般地，对于一元一次不等式，一般
14、地，对于一元一次不等式，划分的标准是一次项系数大于划分的标准是一次项系数大于0 0、等于、等于0 0、小于、小于0.0.对于形对于形如如axax2 2+bxbx+c c00的不等式划分标准有几种类型：的不等式划分标准有几种类型：（1 1）a a0,0,a a=0,=0,a a00,=0,0,=0,x x2 2,x x1 1=x x2 2,x x1 1 0,0,axax2 2+bxbx+c c00的解集就是使二次函数的解集就是使二次函数y y=axax2 2+bxbx+c c的函数值大于零或小于零的的函数值大于零或小于零的x x的取值范围的取值范围;一元一元二次方程二次方程axax2 2+bxb
15、x+c c=0=0的解就是一元二次不等式的解就是一元二次不等式axax2 2+bxbx+c c0,00的解集端点的解集端点.2.2.解一元二次不等式时，必须注意二次项的系数的符解一元二次不等式时，必须注意二次项的系数的符号，当号，当a a0)0 0或或(x x-x x1 1)()(x x-x x2 2)0)0的形式的形式,则一元二次方程的两根为则一元二次方程的两根为x x1 1,x x2 2,可以直接写出不等式的解集可以直接写出不等式的解集 x x|x x x x2 2 或或 x x|x x1 1 x x x x2 2(x x1 1 x x2 2).).返回目录返回目录一样的软件一样的软件 不一样的感觉不一样的感觉 一样的教室一样的教室 不一样的心情不一样的心情 一样的知识一样的知识 不一样的收获不一样的收获