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1、第一节 解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思考1一、复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:2在定义中应注意在定义中应注意:3例例1 解解4例例2 解解56例例3 解解782.可导与连续可导与连续:函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但函数但函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证9证毕证毕103.求导法则求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变并且复变函数中的极
2、限运算法则也和实变函数中一样函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:11124.微分的概念微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致.定义定义13特别地特别地,14二、解析函数的概念1.解析函数的定义解析函数的定义152.奇点的定义奇点的定义根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内
3、可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等不等价价的概念的概念.即函数在一点处可导即函数在一点处可导,不一定在该不一定在该点处解析点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.16例例4 解解由本节例由本节例1和例和例3知知:171819例例5解解20例例6解解2122课堂练习课堂练习答案答案处处不可导处处不可导,处处不解析处处不解析.23定理定理以上定理的证明以上定理的证明,可利用求导法则可利用求导法则.24根据定理可知根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式
4、在复平面内是处处解析的.25三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法求导方法.注意注意:复变函数的导数定义与一元实变函数复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求它们的一些求导公式与求导法则也一样导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限然而复变函数极限存在要求与存在要求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关,这表明它在这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多一点可导的条件比实变函数严格得多.26思考题思考题27思考题答案思考题答案反之不对反之不对.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.28