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1、解析函数的概念第1页，本讲稿共28页一、复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:第2页，本讲稿共28页在定义中应注意:第3页，本讲稿共28页例1 解解注第4页，本讲稿共28页例2 解解第5页，本讲稿共28页第6页，本讲稿共28页例3 解解第7页，本讲稿共28页第8页，本讲稿共28页2.可导与连续:函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但函数但函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证第9页，本讲稿共28页证毕证毕第10页，本讲稿共28页3.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义
2、与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:第11页，本讲稿共28页第12页，本讲稿共28页4.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致.定义定义第13页，本讲稿共28页特别地特别地,第14页，本讲
3、稿共28页二、解析函数的概念1.解析函数的定义解析函数的定义第15页，本讲稿共28页2.奇点的定义根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但是但是,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等不等价价的概念的概念.即函数在一点处可导即函数在一点处可导,不一定在该不一定在该点处解析点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.第16页，本讲稿共28页例4 解解由本节例由本节例1和例和例3知知:第17页，本讲稿共28页第18页，本讲稿共28页第19页，本讲稿
4、共28页例5解解第20页，本讲稿共28页例6解解第21页，本讲稿共28页第22页，本讲稿共28页课堂练习课堂练习答案答案处处不可导处处不可导,处处不解析处处不解析.第23页，本讲稿共28页定理以上定理的证明以上定理的证明,可利用求导法则可利用求导法则.第24页，本讲稿共28页根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.第25页，本讲稿共28页三、小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法求导方法.注意注意:复变函数的导数定义与一元实变函数复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求它们的一些求导公式与求导法则也一样导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限然而复变函数极限存在要求与存在要求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关,这表明它在这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多一点可导的条件比实变函数严格得多.第26页，本讲稿共28页思考题第27页，本讲稿共28页思考题答案反之不对反之不对.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.第28页，本讲稿共28页