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1、第五章第五章 平均指标和标志变异指标平均指标和标志变异指标o 第一节平均指标第一节平均指标o 第二节第二节 标志变异指标标志变异指标第一节平均指标第一节平均指标一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用二、算术平均数二、算术平均数三、调和平均数三、调和平均数四、几何平均数四、几何平均数五、众数五、众数六、中位数六、中位数七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系（一）（一）平均指标含义平均指标含义 一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用 （二）平均指标的特点（二）平均指标的特点 概括地描述统计分布的一般水平或集中趋概括地描述统计分布的一般水平或集中趋势的数值，用以
2、反映总体在具体条件下的一势的数值，用以反映总体在具体条件下的一般水平。般水平。1 1、数量差异抽象化、数量差异抽象化2 2、反映总体变量值的集中趋势、反映总体变量值的集中趋势一般水平一般水平（三）平均指标的作用（三）平均指标的作用1 1、反映总体各变量分布的集中趋势和一般水平。、反映总体各变量分布的集中趋势和一般水平。2 2、便于比较同类现象在不同单位间的发展水平。、便于比较同类现象在不同单位间的发展水平。3 3、能够比较同类现象在不同时间的发展变化趋势、能够比较同类现象在不同时间的发展变化趋势或规律。或规律。位置平均数位置平均数 根据标志值某一根据标志值某一特点位置特点位置来确定的平来确定的
3、平均数。根据数列中处于特殊位置上的个别单位或部分单均数。根据数列中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的。位的标志值来确定的。（四）平均指标的分类（四）平均指标的分类平均指标根据其具体的代表意义和计算方式不同，可平均指标根据其具体的代表意义和计算方式不同，可分为：分为：数值平均数数值平均数 是以统计数列的所有各项是以统计数列的所有各项数据来数据来计算计算的平均数。其特点是统计数列中任何一项数据的的平均数。其特点是统计数列中任何一项数据的变动，都会在一定程度上影响数值平均数的计算结果。变动，都会在一定程度上影响数值平均数的计算结果。众数众数中位数中位数 平均数平均数位置平均数位置平均
4、数位置平均数位置平均数 数值平均数数值平均数数值平均数数值平均数 算术平均数算术平均数调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数第三节平均指标第三节平均指标一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用二、算术平均数二、算术平均数三、调和平均数三、调和平均数四、几何平均数四、几何平均数五、众数五、众数六、中位数六、中位数七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系二、算术平均数二、算术平均数（一）算术平均数的概念与用途（一）算术平均数的概念与用途（二）算术平均数的计算（二）算术平均数的计算算术平均数：全部变量值之和与变量值算术平均数：全部变量值之和与变量值个数相除所得的商。通常也称
5、为平均数个数相除所得的商。通常也称为平均数（average）或均值（）或均值（mean）。）。算术平均数的概念与用途算术平均数的概念与用途STATSTAT算术平均数算术平均数8383名女生的身高名女生的身高变量一般水变量一般水平、代表性平、代表性数值数值分布的集分布的集中趋势、中趋势、中心数值中心数值算术平均数算术平均数二、算术平均数二、算术平均数算术平均数的概念与用途算术平均数的概念与用途算术平均数的计算算术平均数的计算算术平均数的计算算术平均数的计算算术平均数算术平均数=总体标志总量总体标志总量总体单位总数总体单位总数数据集数据集数据个数数据个数 N简单算术平均数简单算术平均数5名学生的学
6、习成绩分别为：名学生的学习成绩分别为：75、91、64、53、82。则平均成绩为：。则平均成绩为：例例 总体各单位的标志值总体各单位的标志值没有经过任何分组没有经过任何分组，就用简单算数平均数求平均值就用简单算数平均数求平均值单项单项数列数列组距数列组距数列组距数列，但没有组距数列，但没有次数，只有频率次数，只有频率身高身高cmcm人数（人）人数（人）比重（比重（%）150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上以上1113.25总计总计83100某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料某年级某年级83名女生身高资料名
7、女生身高资料组距数列组距数列次数次数f f频率频率f/ff/f变量变量x x加权算加权算术平均术平均数数身高身高cmcm人数（人）人数（人）比重（比重（%）150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上以上1113.25总计总计83100234567819权数与加权权数与加权234567819权数与加权权数与加权234567819234567819权数与加权权数与加权234567819权数与加权权数与加权234567819算术平均数的计算取决于变算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用：量值和权数的共同作用：变量值决定
8、平均数的范围；变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置权数则决定平均数的位置 权数权数（1 1）概念）概念对平均数的大小起着权衡轻重的作用。平均对平均数的大小起着权衡轻重的作用。平均数总是趋向于出现次数最多的哪个标志值。数总是趋向于出现次数最多的哪个标志值。（2 2）权数的表现形式）权数的表现形式绝对数形式绝对数形式绝对数形式绝对数形式 相对数形式相对数形式相对数形式相对数形式u 权数在平均数中的权衡轻重的作用，是通过各组权数在平均数中的权衡轻重的作用，是通过各组频率的大小体现出来的；频率的大小体现出来的；u 频率越大，该标志值计入平均数的份额也越大，频率越大，该标志值计入平均数的份额也
9、越大，对平均数的影响就越大；对平均数的影响就越大；u 反之，频率越小，该标志值计入平均数的份额就反之，频率越小，该标志值计入平均数的份额就越小，对平均数的影响就越小越小，对平均数的影响就越小.（3 3）权数的作用）权数的作用u 当各组的当各组的次数次数都相同时，各标志值对平均数的影响都都相同时，各标志值对平均数的影响都相同时，那就无所谓权数的相同时，那就无所谓权数的“权衡轻重权衡轻重”了，加权算术了，加权算术平均数就等于简单算术平均数。平均数就等于简单算术平均数。（4 4）权数不起作用的场合）权数不起作用的场合即当即当即当即当时，时，时，时，简单算术平均数实际上是加权算术平均数的特例。简单算术
10、平均数实际上是加权算术平均数的特例。根据根据单项数列单项数列计算加权算术平均数计算加权算术平均数计算公式：计算公式：应用条件：单项式分组，各组次数不同。应用条件：单项式分组，各组次数不同。应用条件：单项式分组，各组次数不同。应用条件：单项式分组，各组次数不同。加权算术平均数的计算加权算术平均数的计算例例:某车间某车间某车间某车间20202020名工人加工某种零件资料：名工人加工某种零件资料：名工人加工某种零件资料：名工人加工某种零件资料：按日产量分组（件）按日产量分组（件）按日产量分组（件）按日产量分组（件）x x工人数（人）工人数（人）工人数（人）工人数（人）f f 日产总量日产总量日产总量
11、日产总量 xf xf 14 14 14 14 2 2 2 2 28 28 28 28 15 15 15 15 4 4 4 4 60 60 60 60 16 16 16 16 8 8 8 8 128 128 128 128 17 17 17 17 5 5 5 5 85 85 85 85 18 18 18 18 1 1 1 1 18 18 18 18 合计合计合计合计 20 20 20 20 319 319 319 319根据根据根据根据组距数列组距数列组距数列组距数列计算加权算术平均数计算加权算术平均数计算加权算术平均数计算加权算术平均数应用条件：组距式分组，各组次数不同。应用条件：组距式分组，
12、各组次数不同。按日产量分组按日产量分组按日产量分组按日产量分组（公斤）（公斤）（公斤）（公斤）工人数工人数工人数工人数f f f f组中值组中值组中值组中值x x x x日产总量日产总量日产总量日产总量xfxfxfxf2030203020302030 10 10 10 10 25 25 25 25 250 250 250 2503040304030403040 70 70 70 70 35 35 35 35 2450 2450 2450 24504050405040504050 90 90 90 90 45 45 45 45 4150 4150 4150 4150506050605060506
13、0 30 30 30 30 55 55 55 55 1650 1650 1650 1650合合合合 计计计计 200 200 200 200 8400 8400 8400 8400例：例：例：例：某车间某车间某车间某车间200200200200名工人日产量资料：名工人日产量资料：名工人日产量资料：名工人日产量资料：组距数列只有频率计算加权算术平均数组距数列只有频率计算加权算术平均数按日产量分按日产量分按日产量分按日产量分组（公斤）组（公斤）组（公斤）组（公斤）人数比重人数比重人数比重人数比重（%）组中值组中值组中值组中值x x x x2030203020302030 5 5 5 5 25 25
14、 25 253040304030403040 35 35 35 35 35 35 35 354050405040504050 45 45 45 45 45 45 45 455060506050605060 15 15 15 15 55 55 55 55应用条件：组距数列中只有频率，没有次数应用条件：组距数列中只有频率，没有次数应用条件：组距数列中只有频率，没有次数应用条件：组距数列中只有频率，没有次数公式：公式：公式：公式：二、算术平均数二、算术平均数算术平均数的概念与用途算术平均数的概念与用途算术平均数的计算算术平均数的计算算术平均数的数学性质算术平均数的数学性质第三节平均指标第三节平均指标
15、一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用二、算术平均数二、算术平均数三、调和平均数三、调和平均数四、几何平均数四、几何平均数五、众数五、众数六、中位数六、中位数七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系调和平均数（调和平均数（）调和平均数又叫做倒数平均数，它是各个变量值倒数调和平均数又叫做倒数平均数，它是各个变量值倒数的算术平均数的倒数。的算术平均数的倒数。先计算各个变量值的倒数，先计算各个变量值的倒数，然后计算倒数的算术平均数的倒数，然后计算倒数的算术平均数的倒数，即，即，调和平均数是算术平均术的另外一种表现调和平均数是算术平均术的另外一种表现形式。在实际工作中，由于获
16、取的数据不形式。在实际工作中，由于获取的数据不同，有时不能直接采用平均数的形式进行同，有时不能直接采用平均数的形式进行计算，这时就需要使用调和平均数的形式。计算，这时就需要使用调和平均数的形式。x、f 为已知为已知若只知若只知 x 和和xf，而，而f 未知，则不能使用加未知，则不能使用加权算术平均方式，只能使用其变形即加权算术平均方式，只能使用其变形即加权调和平均方式。权调和平均方式。苹果苹果 单价单价 购买量购买量 总金额总金额 品种品种 （元）（公斤）（元）（公斤）（元）（元）红富士红富士 2 3 6青香蕉青香蕉 1.8 5 9 例例班班 组组平均劳动生产率平均劳动生产率 x x实际工时实
17、际工时 产品产量产品产量(件件)一一 10 10 100 100 1000 1000 二二 12 12 200 200 2400 2400 三三 15 15 300 300 4500 4500 四四 20 20 300 300 6000 6000 五五 30 30 200 200 6000 6000合计合计 11001100 19900 19900调和平均数的应用调和平均数的应用【例】【例】【例】【例】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）日产量（件）日产量（件）日产量（件）各组工人日总产量（件）各组工人日总产量（件）各组工人日总产量（件）各组工人日总产量
18、（件）1010111112121313141470070011001100456045601950195014001400合计合计合计合计97109710计算该企业该日全部工人的平均日产量。计算该企业该日全部工人的平均日产量。解解即该企业该日全部工人的平均日产量为即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。件。某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如下表，计某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如下表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格。算三种蔬菜该日的平均批发价格。蔬菜名蔬菜名称称批发价格（元）批发价格（元）x成交量成交量（kg）f成交额（元）成交额（元）xf甲甲乙乙丙丙1.200.500.80
19、1500025000800018000125006400合计合计4800036900平均价格成交额平均价格成交额成交量成交量 xfxf f f 36900369004800048000 0.7690.769（元）（元）如果已知的数据不是成交量而是成交额（如下表）如果已知的数据不是成交量而是成交额（如下表）蔬菜名称蔬菜名称 批发价格（元）批发价格（元）x成交额（元）成交额（元）m甲甲乙乙丙丙1.200.500.8018000125006400合计合计36900根据上表计算平均批发价格时，无法直接采用加权根据上表计算平均批发价格时，无法直接采用加权算术平均法，而应用调和平均法，即：算术平均法，而应
20、用调和平均法，即：平均价格成交额平均价格成交额成交量成交量 m(mx)3690048000 0.769（元）（元）上例是根据上例是根据绝对数绝对数计算的，与算术平均数一样，调和平计算的，与算术平均数一样，调和平均数也可以根据均数也可以根据相对数或平均数相对数或平均数来计算。来计算。（1 1）由相对数计算调和平均数）由相对数计算调和平均数例在下表中计算工作量计划完成程度：例在下表中计算工作量计划完成程度：按工作量计划完按工作量计划完成程度分组成程度分组组中值组中值x实际工作量（万元）实际工作量（万元）m90-100100-110110-1209510511557420172合计合计649平均完成
21、计划（）平均完成计划（）m(mx)（57+420+172）(60+400+150）106.4按工作量计划按工作量计划完成程度分组完成程度分组组中值组中值x实际工作量（万实际工作量（万元）元）mmx（计划工作量）（计划工作量）90-100100-110110-120951051155742017260400150合计合计649610 （2 2）由平均数计算调和平均数）由平均数计算调和平均数例设某车间三个班组的工人劳动生产率如下表，计例设某车间三个班组的工人劳动生产率如下表，计算该车间平均劳动生产率。算该车间平均劳动生产率。班组班组平均劳动生产率平均劳动生产率（件工时）（件工时）x实际产量（件）实
22、际产量（件）m甲甲乙乙丙丙101112400022002400合计合计8600车间平均劳动生产率车间平均劳动生产率 m(mx)（4000+2200+2400）（）（400+200+200）10.75（件工时）（件工时）班组班组平均劳动生产率平均劳动生产率（件工时）（件工时）x实际产量（件）实际产量（件）mmx（实际工时）（实际工时）甲甲乙乙丙丙101112400022002400400200200合计合计8600800第三节平均指标第三节平均指标一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用二、算术平均数二、算术平均数三、调和平均数三、调和平均数四、几何平均数四、几何平均数五、众数五、众数六
23、、中位数六、中位数七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系几何平均数（几何平均数（geomeangeomean（geomatric geomatric meanmean）是）是 N N 个变量值连乘积的个变量值连乘积的N N 次次方根方根G G。几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数两种。几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数两种。简单几何平均数简单几何平均数车间车间投入量投入量产出量产出量合格率合格率%x 一一 1000 800 80 二二 800 720 90 三三 720 504 70例：例：某企业生产某种产品需经过三个连续作业车间才能完成。某企业生产某种产品
24、需经过三个连续作业车间才能完成。应用条件：资料未分组应用条件：资料未分组应用条件：资料未分组应用条件：资料未分组计算公式：计算公式：加权几何平均数加权几何平均数计算公式：计算公式：年份年份累计存款额累计存款额本利率本利率%第第1年年105%第第2年年105%第第3年年108%第第10年年112%例：将一笔钱存入银行，存期例：将一笔钱存入银行，存期例：将一笔钱存入银行，存期例：将一笔钱存入银行，存期1010年，以复利计息，年，以复利计息，年，以复利计息，年，以复利计息，1010年的利率分年的利率分年的利率分年的利率分配是第配是第配是第配是第1 1年至第年至第年至第年至第2 2年为年为年为年为5%
25、5%、第、第、第、第3 3年至年至年至年至5 5年为年为年为年为8%8%、第、第、第、第6 6年至第年至第年至第年至第8 8年为年为年为年为10%10%、第、第、第、第9 9年至第年至第年至第年至第1010年年年年12%12%，计算平均年利率，计算平均年利率，计算平均年利率，计算平均年利率设为本金设为本金设为本金设为本金应用条件：资料经过分组应用条件：资料经过分组应用条件：资料经过分组应用条件：资料经过分组本利率本利率x年数年数f 105%2 108%3 110%3 112%2 合合 计计 10平均年利率平均年利率=8.77%某系某系8383名女生身高资料（按序排列）名女生身高资料（按序排列）
26、身高身高 人数人数（CM）（人）（人）152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数（CM）（人）（人）164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计总计 83 152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161
27、161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174将变量值按顺序排列起来，当反映将变量值按顺序排列起来，当反映分布集中趋势的度量值仅仅由数列分布集中趋势的度量值仅仅由数列中某个位置的值来确定时，这个值中某个位置的值来确定时，这个值就称为次序统计
28、量，也可以称为位就称为次序统计量，也可以称为位置平均数。置平均数。位置平均数与数值平均数的基本区位置平均数与数值平均数的基本区别在于其不需要依据每一个变量值别在于其不需要依据每一个变量值来计算。来计算。某系某系83名女生身高资料（按序排列）名女生身高资料（按序排列）身高身高 人数人数（CM）（人）（人）152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数（CM）（人）（人）164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计总
29、计 83 将变量值按顺序排列起来，当反映分布将变量值按顺序排列起来，当反映分布集中趋势的度量值仅仅由数列中某个位集中趋势的度量值仅仅由数列中某个位置的值来确定时，这个值就称为次序统置的值来确定时，这个值就称为次序统计量，也可以称为位置平均数。计量，也可以称为位置平均数。位置平均数与数值平均数的基本区别在位置平均数与数值平均数的基本区别在于其不需要依据每一个变量值来计算。于其不需要依据每一个变量值来计算。152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 1
30、60 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174第三节平均指标第三节平均指标一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用二、算术平均数二、算术平均数三、调和平均数三、调和平均数
31、四、几何平均数四、几何平均数五、众数五、众数六、中位数六、中位数七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系众数众数1 1、众数的含义：总体中出现次数最多、频率最高、众数的含义：总体中出现次数最多、频率最高的标志值。的标志值。2 2、确定众数的方法、确定众数的方法:（1 1）单项数列确定众数）单项数列确定众数按日产量分组（件）按日产量分组（件）工人数（人）工人数（人）2015213022202310（2 2）由组距数列确定众数）由组距数列确定众数1 1、计算公式：、计算公式：年人均纯收入（千元）年人均纯收入（千元）年人均纯收入（千元）年人均纯收入（千元）农户数（户）农户数（户）农户
32、数（户）农户数（户）5 5 5 5以下以下以下以下2402402402405656565648048048048067676767110011001100110078787878700700700700898989893203203203209 9 9 9以上以上以上以上160160160160合计合计合计合计3000300030003000农户年人均收入众数计算表农户年人均收入众数计算表众数的原理及应用众数的原理及应用83名女生身高原始数据名女生身高原始数据83名女生身高组距数列名女生身高组距数列当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，
33、适合使用众数。时，适合使用众数。在数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中在数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。或多众数，也等于没有众数）。众数的原理及应用众数的原理及应用1981198019791978197719761975160140120100806040200413413名学生出生时间分布直方图名学生出生时间分布直方图众数的原理及应用众数的原理及应用没有突出地集没有突出地集中在某个年份中在某个年份192.5190.5188.5186.5184.5182.
34、5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100众数的原理及应用众数的原理及应用413413名学生的身高分布直方图名学生的身高分布直方图出现了两个明出现了两个明显的分布中心显的分布中心413413名学生身高分布条形图名学生身高分布条形图413名学生身高分布名学生身高分布100%叠加条形图叠加条形图158cm以下没以下没有男生有男生178cm以上没以上没有女生有女生STATSTAT在研究身高时，男生与女生不能合成一在研究身高时，男生与女生不能合成一
35、个总体，而是应当作为两个总体分别进个总体，而是应当作为两个总体分别进行统计。行统计。当数据分布呈现出双众数或多众数时，当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。可以断定这些数据来源于不同的总体。第三节平均指标第三节平均指标一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用二、算术平均数二、算术平均数三、调和平均数三、调和平均数四、几何平均数四、几何平均数五、众数五、众数六、中位数六、中位数七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系中位数中位数 1 1、中位数的含义、中位数的含义将总体各单位按其标志值将总体各单位按其标志值大小顺序排列起来居于中间位置的那个数
36、就是大小顺序排列起来居于中间位置的那个数就是中位数。中位数。2 2、确定中位数的方法、确定中位数的方法（1 1）由未分组资料确定中位数）由未分组资料确定中位数中位数的作用：中位数的作用：不受极端数值的影响不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。，具有较强的代表性。标志值的个数是奇数标志值的个数是奇数【例】【例】【例】【例】某售货小组某售货小组某售货小组某售货小组5 5 5 5个人，某天的销售额按从小到大的个人，某天的销售额按从小到大的个人，某天的销售额按从小到大的个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为顺序排列为顺序排列为顺序排列为440440440
37、440元、元、元、元、480480480480元、元、元、元、520520520520元、元、元、元、600600600600元、元、元、元、750750750750元，则元，则元，则元，则中位数的位次为：中位数的位次为：中位数的位次为：中位数的位次为：即第即第即第即第3 3 3 3个单位的标志值就是中位数个单位的标志值就是中位数个单位的标志值就是中位数个单位的标志值就是中位数标志值的个数是偶数标志值的个数是偶数【例】【例】【例】【例】若上述售货小组为若上述售货小组为若上述售货小组为若上述售货小组为6 6 6 6个人，某天的销售额按个人，某天的销售额按个人，某天的销售额按个人，某天的销售额按从
38、小到大的顺序排列为从小到大的顺序排列为从小到大的顺序排列为从小到大的顺序排列为440440440440元、元、元、元、480480480480元、元、元、元、520520520520元、元、元、元、600600600600元、元、元、元、750750750750元、元、元、元、760760760760元，则元，则元，则元，则中位数的位次为中位数的位次为中位数的位次为中位数的位次为中位数应为第中位数应为第中位数应为第中位数应为第3 3 3 3和第和第和第和第4 4 4 4个单位标志值的算术平均数，即个单位标志值的算术平均数，即个单位标志值的算术平均数，即个单位标志值的算术平均数，即由单项数列确定
39、中位数由单项数列确定中位数按日产量分组按日产量分组按日产量分组按日产量分组（件）（件）（件）（件）x x x x工人数（人）工人数（人）工人数（人）工人数（人）f f f f累计次数累计次数累计次数累计次数向上累计向上累计向上累计向上累计向下累计向下累计向下累计向下累计20202020101010101010101080808080222222221515151525252525707070702424242430303030555555555555555526262626252525258080808025252525合计合计合计合计80808080中位数为第中位数为第中位数为第中位数为第4
40、0 40 40 40 名和名和名和名和41414141名日产量的平均值名日产量的平均值名日产量的平均值名日产量的平均值【例】某企业某日工人的日产量资料如下：【例】某企业某日工人的日产量资料如下：【例】某企业某日工人的日产量资料如下：【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）日产量（件）工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计合计800中位数的位次：中位数的位次：计算该企业该日全部工人日产量的中位数。计算该企业该日全部工人日产量的中位数。计算该企业该日全部工人日产量的中位数。计算该企业
41、该日全部工人日产量的中位数。由组距数列确定中位数由组距数列确定中位数计算公式计算公式年人均纯收入（千元）年人均纯收入（千元）年人均纯收入（千元）年人均纯收入（千元）农户数（户）农户数（户）农户数（户）农户数（户）向上累计次数向上累计次数向上累计次数向上累计次数5 5 5 5以下以下以下以下24024024024024024024024056565656480480480480720720720720676767671100110011001100182018201820182078787878700700700700252025202520252089898989320320320320284
42、02840284028409 9 9 9以上以上以上以上1601601601603000300030003000合计合计合计合计3000300030003000中位数位次：中位数位次：(计算累计次数；计算累计次数；确定中位数组确定中位数组(67)(67)年人均纯收入（千元）年人均纯收入（千元）年人均纯收入（千元）年人均纯收入（千元）农户数（户）农户数（户）农户数（户）农户数（户）向上累计次数向上累计次数向上累计次数向上累计次数5 5 5 5以下以下以下以下2402402402402402402402405656565648048048048072072072072067676767110011
43、001100110018201820182018207878787870070070070025202520252025208989898932032032032028402840284028409 9 9 9以上以上以上以上1601601601603000300030003000合计合计合计合计3000300030003000根据中位数计算公式计算中位数根据中位数计算公式计算中位数【课练】某车间【课练】某车间5050名工人月产量的资料如下：名工人月产量的资料如下：月产量（件）月产量（件）工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数向上累计次数（人）（人）200以下以下20040040060060
44、0以上以上373283104250合计合计50计算该车间工人月产量的中位数。计算该车间工人月产量的中位数。计算该车间工人月产量的中位数。计算该车间工人月产量的中位数。第三节平均指标第三节平均指标一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用二、算术平均数二、算术平均数三、调和平均数三、调和平均数四、几何平均数四、几何平均数五、众数五、众数六、中位数六、中位数七、各种平均数之间的相互关系七、各种平均数之间的相互关系常用的几种平均数常用的几种平均数 概概 念念 计算公式计算公式 特特 点点优点：优点：容易理解，便于计容易理解，便于计算算灵敏度高灵敏度高稳定性好稳定性好 缺点：缺点：易受极值影响易
45、受极值影响在偏斜分布和在偏斜分布和U U形分形分布中，不具有代表性布中，不具有代表性1.1.算术平均数算术平均数一个变量一个变量的所有观的所有观察值相加，察值相加，再除以观再除以观察值的个察值的个数数 简单：简单：加权：加权：常用的几种平均数常用的几种平均数优点：优点：灵敏度高灵敏度高受受 极极 值值 影影 响响 小小 适适宜宜于于各各比比率率之之积积为为总总比比率率的的变变量量求平均求平均缺点缺点:有有“0”“0”或负值时或负值时不能计算不能计算偶数项数列只能偶数项数列只能用正根用正根2.2.几何平均数几何平均数（）几个变几个变量值连量值连乘积的乘积的n n次根次根简单：简单：加权：加权：概
46、概 念念 计算公式计算公式 特特 点点3.3.中位数中位数（M Me e）是一种位是一种位置平均数置平均数,数据按数据按大小顺序大小顺序排列，处排列，处于数据序于数据序列中间位列中间位置的数值置的数值就是中位就是中位数数 上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：优点：优点：容易理解，容易理解，不受极值影响不受极值影响适宜于开口组适宜于开口组资料和些不能用资料和些不能用数字测定的事物数字测定的事物缺点：缺点：灵敏度和计算灵敏度和计算功能差功能差间断数间断数MeMe常用的几种平均数常用的几种平均数 概概 念念 计算公式计算公式 特特 点点常用的几种平均数常用的几种平均数4.4.众数众数（M Mo
47、o）是一种位是一种位置平均数，置平均数，是一批数是一批数据中出现据中出现次数最多次数最多的那个数的那个数值值.通常通常只用于定只用于定性数据或性数据或离散型的离散型的定量数据。定量数据。上限公式：上限公式：下限公式：下限公式：优点：优点：容易理解，容易理解，不受极值影不受极值影响响 缺点：缺点：灵灵敏敏度度和和计计算功能差算功能差稳定性差稳定性差具具有有不不唯唯一一性性 概概 念念 计算公式计算公式 特特 点点1、算术平均数、几何平均数和调和平均数的关系、算术平均数、几何平均数和调和平均数的关系2、算术平均数、众数和中位数的关系、算术平均数、众数和中位数的关系当总体分布呈对称状态时，三者合而为
48、一。当总体分布呈对称状态时，三者合而为一。对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布 2、算术平均数、众数和中位数的关系、算术平均数、众数和中位数的关系当总体分布呈右偏时，则当总体分布呈右偏时，则 右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布众数众数众数众数众数众数 中位数中位数中位数中位数中位数中位数 均值均值均值均值均值均值2、算术平均数、众数和中位数的关系、算术平均数、众数和中位数的关系当总体分布呈左偏时，则当总体分布呈左偏时，则 左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布均值均值均值均值均值均值 中位数中位数中位数中位数中位数中位数 众数众数众数众数众数众数应用平均指标的原则应用平均指标的原则 1 1
49、必须是同质的量方可平均；必须是同质的量方可平均；2 2总平均数与组平均数结合分析；总平均数与组平均数结合分析；3 3集中趋势与离散趋势结合分析集中趋势与离散趋势结合分析第二节标志变动度第二节标志变动度一、标志变动度的意义和作用一、标志变动度的意义和作用二、全距二、全距三、四分位差三、四分位差四、平均差四、平均差五、标准差五、标准差六、离散系数六、离散系数集中趋势弱、集中趋势弱、离散趋势强离散趋势强集中趋势强、集中趋势强、离散趋势弱离散趋势弱总体中各单位标志值差别大小的程度，又称离散总体中各单位标志值差别大小的程度，又称离散程度或离中程度。程度或离中程度。变异指标是用来刻画总体分布的离散程度或变
50、异变异指标是用来刻画总体分布的离散程度或变异状况，变异指标越大，表明总体各单位标志值的变状况，变异指标越大，表明总体各单位标志值的变异程度越大，且衡量总体平均数的代表性越差；反异程度越大，且衡量总体平均数的代表性越差；反之亦然之亦然.变异指标的含义变异指标的含义标志变动度标志变动度2 2、反映社会经济活动的均衡性。、反映社会经济活动的均衡性。变异指标的作用变异指标的作用1 1、用于衡量平均指标的代表性。、用于衡量平均指标的代表性。3 3、研究总体标志值分布偏离正态的情况。、研究总体标志值分布偏离正态的情况。第四节标志变动度第四节标志变动度一、标志变动度的意义和作用一、标志变动度的意义和作用二、