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1、 第一章第一章 二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节第五节极限运算法则1时,有一、一、无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和.设设当当时时,有有当当时时,有有取则当因此这说明当时,为无穷小量.2说明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!例如，例如，类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.3证证:设设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积
2、是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小4解解:利用定理 2 可知例.求求5定理定理3证证(1)无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则极限运算法则极限运算法则6即常数因子可以提到极限符号外面即常数因子可以提到极限符号外面.由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得(2)极限运算法则极限运算法则的特例是的特例是7定理定理4 4那么那么如果如果极限运算法则极限运算法则8 注意注意应用四则运算法则时应用四则运算法则时,要
3、注意条件要注意条件:参加运算的是参加运算的是有限有限个函数个函数,它们的极限都它们的极限都商的商的极限要求分母的极限不为极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算不要随便参加运算,因为因为不是数不是数,它是它是表示函数的一种性态表示函数的一种性态.存在存在,极限运算法则极限运算法则10解解例例1 1求极限方法举例求极限方法举例极限运算法则极限运算法则11 小小 结结则有则有则有则有极限运算法则极限运算法则12解解商的法则不能用商的法则不能用由由无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系,例例2 2极限运算法则极限运算法则得得13解解例例3 3 消去零因子法消去零因子法再求极限再求极限.方方 法法
4、极限运算法则极限运算法则分子分子,分母的极限都是零分母的极限都是零.先约去不为零的无穷小因子先约去不为零的无穷小因子14例例4 4解解无穷小因子分出法无穷小因子分出法分子分子,分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大.方方 法法先用先用去除去除分子分母分子分母,分出无穷小分出无穷小,再求极限再求极限.先将分子、分母同除以先将分子、分母同除以x 的最高次幂的最高次幂,无穷小分出法无穷小分出法以分出以分出再求极限再求极限.求有理函数当求有理函数当的极限时的极限时,无穷小无穷小,极限运算法则极限运算法则15 小小 结结例例5 5解解极限运算法则极限运算法则16例例6 6解解先作恒等变形先作恒等变形,
5、和式的和式的项数随着项数随着n在在变化变化,再求极限再求极限.使和使和式的式的项数固定项数固定,原原式式=不能用运算法则不能用运算法则.方方 法法极限运算法则极限运算法则17例例7 7解解“根式转移根式转移”法法化为化为 型型不满足每一项极限都存在的条件不满足每一项极限都存在的条件,不能直接不能直接应用四则运算法则应用四则运算法则.分子有理化分子有理化极限运算法则极限运算法则18解解 原原式式=极限运算法则极限运算法则(2)求求19极限运算法则极限运算法则设函数设函数是由函数是由函数与函数与函数复合而成复合而成,有定义有定义,若若且存在且存在有有则则定理定理5(复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)例例8求极限求极限:解解可看作可看作与与复合而成复合而成.并且并且因而因而201.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为 0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量内容小结内容小结25思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问26解解原式=3.求求27