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1、1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与结合二次函数的图象，了解函数的零点与 方程根的联系，判断一元二次方程根的存在方程根的联系，判断一元二次方程根的存在 性及根的个数性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相根据具体函数的图象，能够用二分法求相 应方程的近似解应方程的近似解.1.函数零点的定义函数零点的定义(1)对于函数对于函数yf(x)(xD)，把使，把使 成立的实数成立的实数x叫做叫做 函数函数yf(x)(xD)的零点的零点.(2)方程方程f(x)0有实根有实根函数函数yf(x)的图象与的图象与 有交点有交点 函数函数yf(x)有有 .f(x)0 x轴轴零点零点思考探究思考探
2、究1函数的零点是函数函数的零点是函数yf(x)的图象与的图象与x轴的交点吗？轴的交点吗？提示：提示：不是不是.函数的零点是一个实数，是函数函数的零点是一个实数，是函数yf(x)的的图象与图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标.2.函数零点的判定函数零点的判定 如果函数如果函数yf(x)在区间在区间a，b上的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一 条曲线，并且有条曲线，并且有 ，那么函数，那么函数yf(x)在区间在区间 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a，b)，使得，使得 ，这个，这个 也就是方也就是方 程程f(x)0的根的根.f(a)f(b)0(a，b)f(c)0 c思考探究思考探究2(1
3、)在上面条件下，在上面条件下，(a，b)内有几个零点？内有几个零点？提示：提示：不一定不一定.如函数如函数f(x)x21在在2,2内有两个零点，内有两个零点，但但f(2)f(2)0.提示：提示：不一定，可能有一个，也可有多个不一定，可能有一个，也可有多个.(2)若函数若函数f(x)在在a，b内有零点，一定有内有零点，一定有f(a)f(b)0吗？吗？3.二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系000二次函数二次函数yax2bxc(a0)的的图图象象与与x轴轴的的交点交点零点个数零点个数(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点无交点两个两个一个一个零个零个4.
4、用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤零点近似值的步骤 第一步，确定区间第一步，确定区间a，b，验证，验证 ，给定精确，给定精确；第二步，求区间第二步，求区间(a，b)的中点的中点x1；第三步，计算第三步，计算 ：若若 ，则，则x1就是函数的零点；就是函数的零点；若若 0，则令，则令bx1(此时零点此时零点x0(a，x1)；若若 ，则令，则令ax1(此时零点此时零点x0(x1，b)；第四步，判断是否达到精确度第四步，判断是否达到精确度：即若：即若|ab|，则得到，则得到 零点近似值零点近似值a(或或b)；否则重复第二、三、四步；否则重复第二、三、四步.f(a)f(b)0f(x1)
5、f(x1)0f(a)f(x1)f(b)f(x1)01.下图的函数图象与下图的函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交轴均有交点，但不宜用二分法求交 点横坐标的是点横坐标的是 ()解析：解析：因为因为B选项中，选项中，x0两侧的符号相同，所以无法用两侧的符号相同，所以无法用二分法求交点的横坐标二分法求交点的横坐标.答案：答案：B2.若函数若函数f(x)唯一的零点同时在区间唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题正确的是内，那么下列命题正确的是 ()A.函数函数f(x)在区间在区间(0,1)内有零点内有零点 B.函数函数f(x)在区间在区间(0,1)或
6、或(1,2)内有零点内有零点 C.函数函数f(x)在区间在区间2,16)上无零点上无零点 D.函数函数f(x)在区间在区间(1,16)内无零点内无零点 解析：解析：函数函数f(x)唯一零点同时在区间唯一零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，内，函数函数f(x)唯一零点必在区间唯一零点必在区间(0,2)内内.答案：答案：C3.函数函数f(x)xlog2x的零点所在的区间为的零点所在的区间为 ()A.0，B.，C.D.,1解析：解析：因为选项中只有因为选项中只有f()f()0，所以函数的零，所以函数的零点所在的区间为点所在的区间为 .答案：答案：C4.已知函数已知函数f
7、(x)4xm2x1有且只有一个零点，则实有且只有一个零点，则实 数数m的值为的值为.解析：解析：由题知：方程由题知：方程4xm2x10只有一个零点只有一个零点.令令2xt(t0)，方程方程t2mt10只有一个正根，只有一个正根，由图象可知由图象可知 m2.答案：答案：25.下列是函数下列是函数f(x)在区间在区间1,2上一些点的函数值上一些点的函数值.x11.251.3751.40651.438f(x)20.9840.2600.0520.165x1.51.6251.751.8752f(x)0.6251.9822.6454.356由此可判断：方程由此可判断：方程f(x)0的一个近似解为的一个近似
8、解为(精确精确度度0.1，且近似解保留两位有效数字，且近似解保留两位有效数字).解析：解析：f(1.438)f(1.4065)0，且，且|1.4381.4065|0.03150.1，f(x)0的一个近似解为的一个近似解为1.4.答案：答案：1.4 函数零点的存在性问题常用的方法有：函数零点的存在性问题常用的方法有：(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断.(2)用定理：零点存在性定理用定理：零点存在性定理.特别警示特别警示如果函数如果函数yf(x)在在a，b上的图象是连续不上的图象是连续不断的曲线，且断的曲线，且x0是函数在这个区间上的
9、一个零点，但是函数在这个区间上的一个零点，但f(a)f(b)0不一定成立不一定成立.(3)利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数yf(x)，yg(x)图象，其交点的横坐标是图象，其交点的横坐标是f(x)g(x)的零点的零点.判断下列函数在给定区间是否存在零点判断下列函数在给定区间是否存在零点.(1)f(x)x23x18，x1,8；(2)f(x)x3x1，x1,2；(3)f(x)log2(x2)x，x1,3；(4)f(x)x，x(0,1).思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)f(1)200，f(1)f(8)0，故故f(x)x23x18，x1,8存在
10、零点存在零点.(2)f(1)10，f(1)f(2)log2210，f(3)log2(32)3log2830，f(1)f(3)0)，则，则yf(x)()A.在区间在区间(,1)，(1，e)内均有零点内均有零点 B.在区间在区间(,1)，(1，e)内均无零点内均无零点 C.在区间在区间(,1)内有零点，在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点内无零点 D.在区间在区间(,1)内无零点，在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点内有零点解析：解析：f()10，f(1)00，f(e)10，f(x)，当当f(x)在在(0,3)上是减函数上是减函数.根据闭区间上根的存在性根据闭区间上根的存在性定理与函数的单
11、调性定理与函数的单调性.答案：答案：D3.设函数设函数yx3与与y()x2的图象的交点为的图象的交点为(x0，y0)，则则 x0所在的区间是所在的区间是 ()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析：解析：令令g(x)x322x，可求得：，可求得：g(0)0，g(1)0，g(3)0，g(4)0，g(x)3x24()xln20，易，易知函数知函数g(x)的零点所在区间为的零点所在区间为(1,2).答案：答案：B4.若函数若函数f(x)ax2x1仅有一个零点，求实数仅有一个零点，求实数a的取的取 值是值是.解析：解析：若若a0，则，则f(x)x1为一次函数，易知函数为一次函数，
12、易知函数仅有一个零点；若仅有一个零点；若a0，则函数，则函数f(x)为二次函数，若其为二次函数，若其中有一个零点，则方程中有一个零点，则方程ax2x10仅有一个实数根，仅有一个实数根，故故 判别式判别式14a0，得，得a .综上可知综上可知a0或或a .答案：答案：0或或5.(2010福建四地六校联考福建四地六校联考)若函数若函数f(x)axb有一有一 个零点是个零点是1，则，则g(x)bx2ax的零点是的零点是 .解析：解析：f(x)axb的零点是的零点是1，ab0，g(x)bx2bxbx(x1)，g(x)的零点是的零点是0，1.答案：答案：0，16.m为何值时，为何值时，f(x)x22mx3m4 (1)有且仅有一个零点；有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比有两个零点且均比1大大.解：解：(1)若函数若函数f(x)x22mx3m4有且仅有一个有且仅有一个 零点，零点，则等价于则等价于4m24(3m4)0，即即4m212m160，即，即m23m40，解得解得m4或或m1.(2)若若f(x)有两个零点且均比有两个零点且均比1大，大，设两零点分别为设两零点分别为x1，x2，则则x1x22m，x1x23m4，故只需故只需故故m的取值范围是的取值范围是m|5m1.