《高中数学课件 第二章 第10节 《函数模型及其应用》.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学课件 第二章 第10节 《函数模型及其应用》.ppt（56页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义类型增长的含义.2.了解函数模型了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用的广泛应用.三种函数模型的性质三种函数模型的性质 函数函数 性性质质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在在(0，)上的增减性上的增减性增增长长速度速度越来越快越来越快越来越慢越来越慢相相对对平平稳稳
2、单调递单调递增增单调递单调递增增单调递单调递增增 函数函数 性性质质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)图象的变化图象的变化随随x增大逐渐增大逐渐表现为与表现为与y轴轴随随x增大逐渐表增大逐渐表现为与现为与x轴轴随随n值变化值变化而不同而不同值的比较值的比较存在一个存在一个x0，当，当xx0时，有时，有logaxxnax平行一样平行一样平行一样平行一样思考探究思考探究以上三种函数都是单调增函数，它们的增长速度相同以上三种函数都是单调增函数，它们的增长速度相同吗？在吗？在(0，)上随着上随着x的增大，三种函数的函数值间有的增大，三种函数的函数值间有什么关系？什么关系？提示：提示：三种
3、增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总上，总会存在一个会存在一个x0，使，使xx0时有时有axxnlogax.1.下列函数中随下列函数中随x的增大而增大速度最快的是的增大而增大速度最快的是()A.yB.y100lnxC.yx100D.y1002x解析：解析：因为指数函数的增大速度较快，故可排除因为指数函数的增大速度较快，故可排除B、C.又又e21，y的增大速度要比的增大速度要比y1002x的的增大速度要快增大速度要快.答案：答案：A2.在一定范围中，某种产品的购买
4、量在一定范围中，某种产品的购买量y吨与单价吨与单价x元之间满元之间满足足一次函数关系，如果购买一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为吨，每吨为800元，元，如果购买如果购买2000吨，每吨为吨，每吨为700元，一客户购买元，一客户购买400吨，吨，单价应该是单价应该是()A.820元元B.840元元 C.860元元D.880元元解析：解析：设设yaxb，则，则解得解得y10 x9000，由，由40010 x9000得得x860(元元).答案：答案：C3.2006年年7月月1日某人到银行存入一年期款日某人到银行存入一年期款a元，若年利率为元，若年利率为x，按复利计算，则到，按复利计算，则到20
5、11年年7月月1日可取款日可取款()A.a(1x)5元元B.a(1x)6元元 C.a(1x)5元元D.a(1x5)元元解析：解析：因为年利率按复利计算，所以到因为年利率按复利计算，所以到2011年年7月月1日可取日可取款款a(1x)5.答案：答案：A4.某出租车公司规定某出租车公司规定“打的打的”收费标准如下：收费标准如下：3公里以内为起公里以内为起步价步价8元元(即行程不超过即行程不超过3公里，一律收费公里，一律收费8元元)，若超过，若超过3公公里除起步价外，超过部分再按里除起步价外，超过部分再按1.5元元/公里收费计价，若某公里收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘
6、客乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为下车时乘车里程数为7.4公里，则乘客应付的车费是公里，则乘客应付的车费是.解析：解析：乘车里程数为乘车里程数为7.4，则付费应为，则付费应为81.54.414.6，四舍五入后乘客应付的车费为四舍五入后乘客应付的车费为15元元.答案：答案：15元元5.有一批材料可以建成有一批材料可以建成200m的围墙，的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形材料隔成三个面积相等的矩形(如图如图所示所示)，求围成的矩形最大面积，求围成的
7、矩形最大面积(围围墙厚度不计墙厚度不计).解：解：设矩形的长为设矩形的长为xm，宽为，宽为，则则S当当x100时，时，Smax2500m2.答：答：围成矩形最大面积为围成矩形最大面积为2500m2.1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于自变量的系数大于0)或直线下降或直线下降(自变量的系数小于自变量的系数小于0).2.很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数出，而
8、是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数价与路程之间的关系，就是分段函数.特别警示特别警示分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当几个问题，将各段的变化规律分别律不同，可以先将其当几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起找出来，再将其合到一起.要注意各段变量的范围，特别是要注意各段变量的范围，特别是端点值端点值.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过过4吨时每吨为吨时每吨为1.80元，当用水超过元，当用水超过4吨时，超过部分每
9、吨吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该元，已知甲、乙两户该月用水量分别为月用水量分别为5x,3x(吨吨).(1)求求y关于关于x的函数；的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费户该月的用水量和水费.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)当甲的用水量不超过当甲的用水量不超过4吨时，即吨时，即5x4，乙的用水量也不超过乙的用水量也不超过4吨，吨，y1.8(5x3x)14.4x；当甲的用水量超过当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过吨，乙的用水量不
10、超过4吨，吨，即即3x4且且5x4时，时，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过当乙的用水量超过4吨，即吨，即3x4时，时，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以所以y(2)由于由于yf(x)在各段区间上均单调递增在各段区间上均单调递增.当当x0，时，时，yf()11.52；当当x(，时，时，yf()22.4；当当x(，)时，令时，令24x9.626.4，解得，解得x1.5.所以甲户用水量为所以甲户用水量为5x7.5吨，吨，付费付费S141.83.5317.70(元元)；乙户用水量为乙户用水量为3x4.5吨，吨，付费付费S241.80.538.70(元
11、元).保持两户用水比例不变，若两户用水均不超过保持两户用水比例不变，若两户用水均不超过4吨，吨，则两户共交水费的最大值是多少？则两户共交水费的最大值是多少？解：解：只要甲户不超过只要甲户不超过4吨，则乙户一定不超过吨，则乙户一定不超过4吨，吨，5x4，即，即x，ymax1.8(43)11.52(元元).有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等利润问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向和对一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则
12、极易出错易出错.某人要做一批地砖，每块地砖某人要做一批地砖，每块地砖(如图如图1所示所示)是边长是边长为为0.4米的正方形米的正方形ABCD，点，点E、F分别在边分别在边BC和和CD上，且上，且CECF，CFE、ABE和四边形和四边形AEFD均由单一材料制成，均由单一材料制成，制成制成CFE、ABE和四边形和四边形AEFD的三种材料的每平方米的三种材料的每平方米价格之比依次为价格之比依次为3 2 1.若将此种地砖按图若将此种地砖按图2所示的形式铺设，所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形求证：四边形EFGH是正方形；是正方形；(
13、2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)图图2是由四块图是由四块图1所示地砖组成，由图所示地砖组成，由图1依依次逆时针旋转次逆时针旋转90，180，270后得到，后得到，EFFGGHHE，CFE为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，四边形四边形EFGH是正方形是正方形.(2)设设CEx，则，则BE0.4x，每块地砖的费用为每块地砖的费用为W，制成制成CFE、ABE和四边形和四边形AEFD三种材料的每平方米价三种材料的每平方米价格依次为格依次为3a、2a、a(元元)，W3a(0.4x)0.42a0.16
14、0.4(0.4x)aa(x20.2x0.24)a(x0.1)20.23(0 x0.4)，由由a0，当，当x0.1时，时，W有最小值，即总费用最省有最小值，即总费用最省.答：答：当当CECF0.1米时，总费用最省米时，总费用最省.指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查长率相结合进行考查.在实际问题中有人口增长、银行利率、在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示.通常可表通常可表示为示为ya(1p)x(其中其中a为原来的基础数，为原来的基础数，p为增
15、长率，为增长率，x为为时间时间)的形式的形式.某城市现有人口总数为某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增万人，如果年自然增长率为长率为1.2%，试解答以下问题：，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数写出该城市人口总数y(万人万人)与年份与年份x(年年)的函数关系式；的函数关系式；(2)计算计算10年以后该城市人口总数年以后该城市人口总数(精确到精确到0.1万人万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人万人(精精确到确到1年年)；(4)如果如果20年后该城市人口总数不超过年后该城市人口总数不超过120万人，年自然万人，年自然增长率应
16、该控制在多少？增长率应该控制在多少？(参考数据：参考数据：1.01291.113,1.012101.127，lg1.20.079，lg20.3010，lg1.0120.005，lg1.0090.0039)思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)1年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%).2年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3年后该城市人口总数为年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3.x年后该城市人口总数为：年后该城市人
17、口总数为：y100(11.2%)x.(2)10年后人口总数为年后人口总数为100(11.2%)10112.7(万人万人).(3)设设x年后该城市人口将达到年后该城市人口将达到120万人，万人，即即100(11.2%)x120，xlog1.012log1.0121.2016(年年).(4)由由100(1x%)20120，得，得(1x%)201.2，两边取对数得两边取对数得20lg(1x%)lg1.20.079，所以所以lg(1x%)0.00395，所以所以1x%1.009，得，得x0.9%，即年自然增长率应该控制在即年自然增长率应该控制在0.9%.高考数学应用题的命题背景常常关注一些与现实生高考
18、数学应用题的命题背景常常关注一些与现实生活中密切相关的人文性问题，人口现状、失学儿童的求活中密切相关的人文性问题，人口现状、失学儿童的求助、世界环保、人文与社会，这些源于生活而应用于生助、世界环保、人文与社会，这些源于生活而应用于生活的命题形式，是高考命题的首选活的命题形式，是高考命题的首选.09年浙江高考以与居年浙江高考以与居民生活密切相关的生活用电问题为背景考查了函数在实民生活密切相关的生活用电问题为背景考查了函数在实际问题中的应用，是高考的一个新的考查方向际问题中的应用，是高考的一个新的考查方向.考题印证考题印证(2009浙江高考浙江高考)某地区居民生活用电分为高峰和低谷某地区居民生活用
19、电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下：该地区的电网销售电价表如下：高峰高峰时间时间段用段用电电价格表价格表高峰月用高峰月用电电量量(单单位：千瓦位：千瓦时时)高峰高峰电电价价(单单位：元位：元/千瓦千瓦时时)50及以下的部分及以下的部分0.568超超过过50至至200的部分的部分0.598超超过过200的部分的部分0.668低谷低谷时间时间段用段用电电价格表价格表低谷月用低谷月用电电量量(单单位：千瓦位：千瓦时时)低谷低谷电电价价(单单位：元位：元/千瓦千瓦时时)50及以下的部分及以下的部分0.288超超过过50至至200的部分的部分0.31
20、8超超过过200的部分的部分0.388若某家庭若某家庭5月份的高峰时间段用电量为月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低千瓦时，低谷时间段用电量为谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为月应付的电费为元元(用数字作答用数字作答).【解析解析】高峰时段电费高峰时段电费a500.568(20050)0.598118.1(元元).低谷时段电费低谷时段电费b500.288(10050)0.31830.3(元元).故该家庭本月用电量为故该家庭本月用电量为ab148.4(元元).【答案答案】148.4自主体验自主体验据调查，某地区据调查，某地区1
21、00万从事传统农业的农民人均年收万从事传统农业的农民人均年收入为入为3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作吸收当地部分农民进入加工企业工作.据估计，如果有据估计，如果有x(x0)万农民进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的万农民进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均，而进入企业工作的农民的人均年收入为年收入为3000a元元(a1).(1)
22、在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的的取值范围；取值范围；(2)在在(1)的条件下，当地政府应该如何引导农民的条件下，当地政府应该如何引导农民(即即x多多大时大时)，能使这，能使这100万农民的人均年收入达到最大万农民的人均年收入达到最大.解：解：(1)由题意得由题意得(100 x)3000(12x%)1003000，即，即x250 x0，解得，解得0 x50，又又x0，0 x50.(2)设这设这100万农民的人均年收入为万农民的人均年收入为y
23、元，元，则则yx25(a1)23000375(a1)2(0 x50).又又a1，25(a1)50，又函数又函数y在在(0,50上单调递增，上单调递增，当当x50时，时，y最大最大.答：答：安排安排50万人进入企业工作，才能使这万人进入企业工作，才能使这100万人的万人的人均年收入最大人均年收入最大.1.某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分单位：分)与细与细胞数胞数n(单位：个单位：个)的部分数据如下：的部分数据如下：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻个细胞时的时刻t最接近最接近于
24、于()A.200B.220C.240D.260解析：解析：由表格中所给数据可以得出由表格中所给数据可以得出n与与t的函数关系为的函数关系为n，令，令n1000，得，得1000，又，又2101024，所以，所以时刻时刻t最接近最接近200分分.答案：答案：A2.某企业去年销售收入某企业去年销售收入1000万元，年成本分为年生产成万元，年成本分为年生产成本本500万元与年广告费成本万元与年广告费成本200万元两部分万元两部分.若利润的若利润的P%为国税且年广告费超出年销售收入为国税且年广告费超出年销售收入2%的部分也必的部分也必须按须按P%征国税，征国税，其他不纳税，已知该企业去年共纳其他不纳税，
25、已知该企业去年共纳税税120万元，则税率万元，则税率P%为为()A.10%B.12%C.25%D.40%解析：解析：(1000500200)P%(20010002%)P%120，所以所以P%25%.答案：答案：C3.某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对某公司招聘员工，经过笔试确定面试对象人数，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：其中其中x代表拟录用人数，代表拟录用人数，y代表代表面试对象人数面试对象人数.若应聘的面试对象人数为若应聘的面试对象人数为60人，则该公人，则该公司拟录用人数为司拟录用人数为()A.15B.40C.25D.3
26、0解析：解析：根据分段函数关系，面试对象人数为根据分段函数关系，面试对象人数为60即即y60，则应用，则应用y2x1060，可得，可得x25，即，即该公司拟录用人数为该公司拟录用人数为25.答案：答案：C4.某超市销售一种奥运纪念品，每件售价某超市销售一种奥运纪念品，每件售价11.7元，后来，此元，后来，此纪念品的进价降低了纪念品的进价降低了6.4%，售价不变，从而超市销售这种，售价不变，从而超市销售这种纪念品的利润提高了纪念品的利润提高了8%.则这种纪念品的原进价是则这种纪念品的原进价是元元.解析：解析：设原进价为设原进价为x元，则依题意有元，则依题意有(11.7x)(18%)11.7(16
27、.4%)x，解得，解得x6.5.答案：答案：6.55.一辆汽车在某段路程中的行驶一辆汽车在某段路程中的行驶速度速度v与时间与时间t的关系如图所的关系如图所示，则该汽车在前示，则该汽车在前3小时内行驶小时内行驶的路程为的路程为km，假设这辆，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为路程前的读数为2008km，那么，那么在在t1,2时，汽车里程表读数时，汽车里程表读数 S与时间与时间t的函数解析式为的函数解析式为.解析：解析：汽车在前汽车在前3小时内行驶的路程为三个矩形的面积小时内行驶的路程为三个矩形的面积501801901220；当当t1时，汽车的里程表读数为时
28、，汽车的里程表读数为2008502058，则则t1,2时，汽车的里程表读数为时，汽车的里程表读数为S205880(t1)80t1978，故故t1,2时，汽车的里程表读数时，汽车的里程表读数S与时间与时间t的函数解析的函数解析式为式为S80t1978.答案：答案：220S80t19786.(2010淄博模拟淄博模拟)甲乙两人连续甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的年对某县农村鳗鱼养殖业的规模规模(总产量总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：到甲、乙两图：甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从
29、第1年年1万条万条鳗鱼上升到第鳗鱼上升到第6年年2万条万条.乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年年30个减少个减少到第到第6年年10个个.请你根据提供的信息说明：请你根据提供的信息说明：(1)第第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.(2)到第到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是年扩大了还是缩小了？说明理由缩小了？说明理由.(3)哪一年的规模哪一年的规模(即总产量即总产量)最大？说明理由最大？说明理由.解：解：由题意可知，图甲图象经过由题意可知，图甲图象经过(1,1
30、)和和(6,2)两点，两点，从而求得其解析式为从而求得其解析式为y甲甲0.2x0.8，图乙图象经过图乙图象经过(1,30)和和(6,10)两点两点.从而求得其解析式为从而求得其解析式为y乙乙4x34.(1)当当x2时，时，y甲甲0.220.81.2，y乙乙423426，y甲甲y乙乙1.22631.2所以第所以第2年鱼池有年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条万条.(2)第第1年出产鱼年出产鱼13030(万条万条)，第，第6年出产鱼年出产鱼21020(万万条条)，可见第，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年年缩小了缩小了.(3)设当第设当第m年时的规模，即总出产是量为年时的规模，即总出产是量为n，那么那么ny甲甲y乙乙(0.2m0.8)(4m34)0.8m236m27.20.8(m24.5m34)0.8(m2.25)231.25因此，当因此，当m2时，时，n最大值为最大值为31.2.即当第即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为量为31.2万条万条.