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1、HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY第四章第四章 动态电磁场动态电磁场1-1-基本理论与基本理论与准静态电磁场准静态电磁场4.1 动态电磁场的基本方程与边界条件动态电磁场的基本方程与边界条件4.2 时谐电磁场时谐电磁场4.3 电磁场能量电磁场能量-坡印廷定理坡印廷定理4.4 电磁位电磁位4.5 准静态电磁场准静态电磁场HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4.14.1动态电磁场的基本方程与边界条件动态电磁场的基本方程与边界条件 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY图图 时变场知识结构框图时变场知识结构框图电磁感应定律电磁感应定律全
2、电流定律全电流定律MaxwellMaxwell方程组方程组分界面上边界条件分界面上边界条件动态电磁位动态电磁位A A,非齐次波动方程非齐次波动方程（达朗贝尔方程）（达朗贝尔方程）正弦电磁场正弦电磁场（亥姆霍兹方程）（亥姆霍兹方程）坡印亭定理与坡印坡印亭定理与坡印亭矢量亭矢量电磁幅射电磁幅射(应用应用 )4.1.1 4.1.1 动态电磁场的基本方程动态电磁场的基本方程HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4.1.2 4.1.2 动态电磁场的边界条件动态电磁场的边界条件一 回顾静态电磁场边界条件：1.分界面上电场强度的边界条件:1）电场强度的旋度方程：2）电位移矢量的散度方程：
3、图2-14 E的旋度方程对应的边界条件图2-15 D的散度方程对应的边界条件HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY2.分界面上磁场强度的边界条件:1）磁感应强度的散度方程：2）磁场强度的旋度方程：图3-30 H的旋度方程对应的边界条件HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二 动态电磁场边界条件求取：1.对比动态电磁场和静态电磁场的基本方程:可知：仅旋度方程有异，所以仅需推导场量的切向分量之间的关系。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY2.动态电磁场边界条件求取:1）电场强度的旋度方程：结论：只要 不是无限大，电场强度的切向分量依然是
4、连续的，即图2-14 E的旋度方程对应的边界条件HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY2）磁场强度的旋度方程:结论：只要在分界面上是有限量，两种介质分界面上的磁场强度的切向分量依然是连续的。图3-30 H的旋度方程对应的边界条件HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY3）动态电磁场分界面上的边界条件:动态电磁场的边界条件为：结论：在不同媒质分界面上：E切向分量和B法向分量总是连续的；H切向分量和D法向分量只有在媒质分界面上不存在传导电流和自由电荷时才是连续的；边界条件与媒质无关，类似于电路中的网络拓扑结构的约束。HARBIN ENGINEERING UNI
5、VERSITY4）在理想导体与介质交界面上的边界条件:在理想导体（媒质1）与介质（媒质2）交界面上的边界条件为：结论：理想导体与介质在不同媒质分界面上:电力线垂直于理想导体表面 磁力线沿理想导体表面分布。实际上理想导体不存在，但当场源激励频率很高时，对于高导电率的良导体，由于集肤效应，时变电磁场分布趋于表面，工程上可将该导体近似看做理想导体。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4.2 4.2 时谐电磁场时谐电磁场HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一 时谐电磁场的定义：4.2.1 4.2.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示二 时谐电磁场的复
6、数表示：1.时谐电磁场的三要素：振幅、频率、相位在电路中，正弦量有三个要素：振幅、频率、相位时谐电磁场的三要素：振幅、频率、相位：以电场强度为例，推导其复数表示。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY角频率；电场强度三个分量的振幅（最大值）；电场强度在直角坐标系下三个分量的初相位；2.电场强度在直角坐标系下的表示方法：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY3.电场强度的相量表示方法：电场强度的瞬时矢量和复矢量的关系：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4.时谐电磁场麦克斯韦方程组的复数表示：结论：频率形式的麦克斯韦方程组不含场量对时
7、间的偏导，分析更加简单。5.请同学们自己学习时谐电磁场有损媒质中的复数表示！HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY例：例：4-24-2写出下列与时谐电磁场对应的复矢量或瞬时矢量：1）2）HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4.3 4.3 电磁场能量电磁场能量-坡印廷定理坡印廷定理HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一般形式为：一 静态电磁场中电磁能量：4.3 4.3 电磁场能量电磁场能量-坡印廷定理坡印廷定理1.在恒定电流场中，电功率体密度为：上面两式被称为焦耳-楞次定律的微分形式。在恒定电场中，导电媒质吸收的电功率以焦耳热形式体
8、现。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY静电能量分布密度为：2.静电场中，静电能量的分布密度为：静电能量：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY3.恒定电流引起的磁场中，磁场能量的分布密度为：磁场能量分布密度为：磁场能量：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二 动态电磁场的电磁能量：1.坡印廷定理2.坡印廷矢量坡印廷定理的物理意义：动态电磁场中，单位时间内穿过闭合曲面S流入体积V的电磁能量等于该体积内电磁场能量W的增加率和电磁场能量的消耗率。反映了动态电磁场能量守恒和功率平衡关系。表征：单位时间内穿过单位面积的电磁能量，还描述了该
9、电磁功率流的空间流动方向，可以对动态电磁场的功率和能量传播进行计算和分析。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三 时谐电磁场的电磁能量：1.时谐电磁场中，导电媒质吸收的复功率体密度：2.时谐电磁场的坡印廷定理微分形式 积分形式 在有损媒质中的坡印廷定理积分形式：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY结论：上式右端实部表明：体积V内有损媒质吸收的有功功率不仅包含传导电流产生的欧姆损耗，也包含媒质的极化和磁化损耗。上式右端虚部表明：体积V内有损媒质吸收的无功功率不仅包含磁场（感性）无功功率，也包含电场（容性）无功功率。HARBIN ENGINEERING
10、UNIVERSITY3.时谐电磁场的复坡印廷矢量结论：1）复坡印廷矢量的实部（媒质吸收的有功功率密度）等于电磁功率流面密度矢量的平均值：2）时谐电磁场能量、功率分析：可以建立与正弦交流电路功率平衡之间的对应关系，可用于场的分析等。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY例：例：4-34-3用坡印亭矢量分析直流电源U0沿同轴电缆向负载R传送能量的过程。设电缆为理想导体，内导体半径为a，外导体的内外半径分别为b和c。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY图图 同轴电缆实物和结构图同轴电缆实物和结构图HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4.
11、4 4.4 电磁位电磁位HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4.4.1 4.4.1 电磁位电磁位-洛伦兹规范洛伦兹规范一 电磁场分析中引入位函数的作用：在恒定磁场的分析中，基于恒定磁场的无散性，定义了矢量磁位函数，由求得的矢量磁位，最终可以算的待求场点处的磁感应强度。矢量磁位的引入没有任何具体的物理意义，是一个纯粹的计算辅助量，但在磁场问题的分析计算中，基于矢量磁位的分析计算更为方便。同样在动态电磁场中，定义辅助位函数可以简化麦克斯韦方程组的求解。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二 动态电磁场的电磁位-洛伦兹规范：定义动态矢量位（单位：韦/米）的
12、辅助矢量函数：定义一个动态标量位（单位：伏）的辅助矢量函数：位函数组被称为动态电磁场的电磁位。1.动态电磁场的电磁位 HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY2.洛伦兹规范 与恒定磁场取库伦规范不同，在动态电磁场中，我们将定义洛伦兹规范。上述两个二阶偏微分方程，对 的散度规范不同，方程组形式也不同。如果取库伦规范 ，式（2）可简化为泊松方程，但（1）中 与 仍然耦合。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY取（1）式中梯度项为零，得到 的散度规范（也称洛伦兹规范）：洛伦兹规范的重要意义：1）确定了 的值，与 共同唯一确定 ；2）简化了动态位与场源之间的关系，
13、使得A 单独由J 决定，j单独由r 决定，给解题带来了方便；3）洛仑兹规范是电流连续性原理的体现。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4.4.2 4.4.2 非齐次波动方程非齐次波动方程一 动态电磁场电磁位的非齐次波动方程（达朗贝尔方程）洛仑兹规范定义后，上面两式可转化为：若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二 时谐电磁场电磁位的非齐次波动方程（非齐次亥姆霍兹方程）对于时谐电磁场，需给出非齐次波动方程的复数形式：式中，称为波数（单位：弧度/米），物理含义后面讨论。注意：非齐次波动方程在动态电磁场的产生、传播和
14、接受分析中的重要意义。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY4.4.3 4.4.3 电磁位的积分解电磁位的积分解 直接求解非齐次波动方程较困难，采用类比法，由熟知的静电场结果，推出动态电磁场非齐次波动方程的积分解。以位于坐标原点时变元电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY一 回顾静态电磁场电磁位的积分解若场不随时间变化（静态电磁场），波动方程蜕变为泊松方程：解为：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY二 动态电磁场电磁位的积分解总体思路：以位于坐标原点时变元电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况
15、。1.标量位函数 的积分解 1）位于坐标原点的时变元电荷dq的位函数的积分解 通解的求取：式中，r是元体积dV至场点距离；f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY通解的物理意义：f1 在 时间内经过 距离后不变,说明它是以有限速度 v v 向 r r 方向传播，称之为入射波。有：有：它表明：f2 在 时间内,以速度v v 向(-r r)方向前进了 距离,故称之为反射波。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY所以在无限大媒质中，通解为：在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2=0。特解的求取：位于原点的时变元电荷dq
16、产生的标量位为：不在原点，位于点的时变元电荷dq产生的标量位为：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY2）连续分布电荷产生的标量位 结论：动态电磁场中，动态标量位的积分解与静电场电位的积分解的形式相似，但在时间上滞后。一个随时间变化的点电荷，在空间任意一点的标量位为：一个随时间变化的点电荷产生的电位是以点电荷为中心、幅值与传播距离成反比的球面波。在动态电磁场中，电荷在空间产生的电位，需要时间 的传播过程，传播速度为：在自由空间中，HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY2.动态电磁场的矢量位 的积分解 达朗贝尔方程解的形式表明：t 时刻的响应取决于 时刻激
17、励源的情况。故又称 、为滞后位（Retarded Potential）3.总结电磁波是以有限速度传播的，这个速度称为波速电磁波在真空中的波速与光速相等。光也是一种电磁波。HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY三 时谐电磁场电磁位的积分解对于时谐电磁场，时域上的时间延迟等同于频域上的相位滞后。时间延迟仍以坐标原点为基准点，记为 ，则有：得到时谐电磁场复数形式的电磁位积分解（非齐次亥姆霍兹方程的解）：HARBIN ENGINEERING UNIVERSITYHARBIN ENGINEERING UNIVERSITY知识基础知识基础动态电磁场的麦克斯韦方程组动态电磁场的麦克斯韦方
18、程组教教学学内内容容主要主要知识知识点点1.1.动态电磁场的麦克斯韦方程动态电磁场的麦克斯韦方程2.2.动态电磁场边界条件动态电磁场边界条件3.3.时谐电磁场的麦克斯韦方程形式时谐电磁场的麦克斯韦方程形式4.4.动态电磁场瞬时矢量和复矢量的关系动态电磁场瞬时矢量和复矢量的关系5.5.电磁场能量电磁场能量-坡印廷矢量的含义和计算坡印廷矢量的含义和计算6.6.电磁位的引入及洛伦兹规范电磁位的引入及洛伦兹规范7.7.非齐次波动方程非齐次波动方程-达朗贝尔方程和亥姆达朗贝尔方程和亥姆霍兹方程霍兹方程8.8.波动方程积分解的含义波动方程积分解的含义本章总结本章总结HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY