江苏省2022中考数学冲刺复习-26填空题压轴必刷45题②.pdf

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1、26填空题压轴必刷45题一十 四.一元一次不等式的应用（共1小题）16.（2009黑河）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额 为 10万元，今年销售额只有8 万元.（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，己知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5 万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙

2、种电脑，返还顾客现金。元，要 使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？一十五.一元一次不等式组的应用（共1小题）17.（2019汶上县二模）为落实优秀传统文化进校园，某校计划购进“四书”、“五经”两套图书供学生借阅，已知这两套图书单价和为660元，一 套“四书”比一套“五经”的 2倍少60元.（1）分别求出这两套图书的单价；（2）该校购买这两套图书不超过30600元，且购进“四书”至少33套，“五经”的套数是“四书”套数的2 倍，该校共有哪几种购买方案？一十六.一次函数的应用（共1小题）18.（2022惠山区一模）据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下

3、游方向移动，其移动速度v（千米/小时）与时间f（小时）的函数图象如图所示，过线段OC上一点 7 G,0）作横轴的垂线/,根据物理知识：梯 形 OA8C在直线/左侧部分的面积表示的实际意义为f（小时）内污染所经过的路程S（千米），其中0W/W30.（1）当 f=3 时，则 S 的值为；（2）求 S 与 r的函数表达式；（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地1km,试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？1/47若会，求河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由.19.(2021春柳南区校级期末)如图，直线与x 轴、y 轴分别交于点A(4,0)、B(0,4),点 P 在 x 轴上运动，连接将

4、OBP沿直线8尸折叠，点 O 的对应点记为0.(1)求 公 6 的值；(2)若点0 恰好落在直线AB上，求08P 的面积；(3)将线段PB绕点P 顺时针旋转4 5 得到线段尸C,直线PC与直线A 3 的交点为Q,在点P 的运动过程中，是否存在某一位置，使得PBQ为等腰三角形？若存在，求出点一十八.反比例函数与一次函数的交点问题(共1 小题)20.(2022常州一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数)，=K (x 0)的图象上有X一点、D(m,A),过点。作 COJ_x轴于点C,将 点 C 向左平移2 个单位长度得到点8,3过点B 作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点A,AB=4.(1)

5、点 A 的坐标为(用含，的式子表示)；(2)求反比例函数的解析式；(3)设直线AO的解析式为y=ox+b(小为常数且a#0).则不等式K -(办+人)0X的解集是.2/47一十九.反比例函数综合题(共2小题)2 1.(2 0 2 2锦江区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y=3 x+8经过点A(-1,0),与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y=K (x 0)交于点C,且4 c=3 A B,B D/xX轴交反比例函数y=K (x 0)于点Dx(1)求 反 人的值；(2)如 图1,若点E为线段B C上一点，设E的横坐标为相，过点E作E尸 B D,交反比例函数y=K (x 0)于点F.若后尸=

6、5 8。，求1的值.(3)如图2,在(2)的条件下，连接F Q并延长，交x轴于点G,连接。，在直线。上方是否存在点H，使得 O D 4与 O O G相 似(不 含 全 等)？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.图1图2 备用图2 2.(2 0 2 2成都模拟)如图，直线A 8经过点3(0,-2),并 与 反 比 例 函 数 交 于 点Ax(3,-1).(1)求直线A B和反比例函数的表达式；(2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线A B的距离为4当4最小时，求出此时点例的坐标；(3)点C是 点B关于原点的对称点，。为线段A C(不含端点)上一动点，过 点Q作3/47Q

7、 P y轴交反比例函数于点P,点。为线段QP的中点，点 E为 x 轴上一点，点 F 为平面内一点，当。，C,E,尸四点构成的四边形为正方形时，求点。的坐标.二 十.抛物线与x 轴的交点（共 1 小题）2 3.（2 0 2 2 邛江区一模）己知抛物线y=-/+2 x+a 与 x 轴交于A、B两点，与 y 轴交于点C,点B的坐标是（3,0）,点D是抛物线的顶点，点P是抛物线对称轴上的一个动点.（1）求 a的值和顶点。的坐标；（2）是否存在点P,使得以P、D、8为顶点的三角形中有两个内角的和等于6 0?若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.二十 一.二次函数综合题（共 3小题）2 4.（2 0

8、 2 2 邳州市一模）抛物线 经过点 C （0,-4）,且。B=W o C.3 4（1）求抛物线的函数表达式；（2）如 图 1,点。、E是抛物线对称轴上的两个动点，且 =1,点。在 点 E的下方,求四边形A C D E的周长的最小值；（3）如图2,点 N为抛物线上一点，连 接 CN,直线CN把四边形C B M 4 的面积分为3：1 两部分，直接写出点N的坐标.4/472 5.（2 0 2 2高邮市模拟）在平面直角坐标系xO y中，若一个函数图象上存在P、P 两点,使得/P O P =9 0 ,则称该函数为“垂动点函数”，其中一个点叫做另一个点的“垂动点”.（1）正比例函数“垂动点函数”；（填“

9、是”或“不是”）反比例函数“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）（2）如 图1,已知第三象限的一点P在一次函数y=x+l图象上，点 尸 的“垂动点”是点P,以 与 轴 于 点A、产轴于点B,若以。的面积为慨，求 P B O的面积；（3）如图2,已知第三象限的一点P在二次函数y=/图 象 上，点P的“垂动点”是点Q,连接P Q交y轴于点M,过 点O作O N L P Q于点N.求点M的坐标和点N的横坐标的最大值.2 6.（2 0 2 2春荷塘区校级期中）如 图1,若关于x的二次函数y=G T+f c r+c （a,b,c为常数且。0）与x轴交于两个不同的点A （xi,0）,B（X2,0）（xi O

10、 x2）,与y轴交于5/47点C,抛物线的顶点为M,。是坐标原点.求此二次函数图象的顶点M的坐标；定义：若点G在某一个函数的图象上，且点G的横纵坐标相等，则称点G为这个函数的“好点”.求 证：二次函数丫=苏+加+。有两个不同的“好点”.(2)如 图2,连 接MC,直 线MC与x轴 交 于 点P,满 足N P C 4 =/P B C,且t an/P B C，Z P B C的面积为工，求二次函数的表达式.2 3二十二.三角形综合题(共2小题)2 7.(2 0 2 2东海县一模)【问题情境】如 图1,在中，N B C 4=90 ,Z B=3 0 ,A C=4,A B的垂直平分线交A 8于点。，交 B

11、C 于点E,作射线AE.(1)则C E的长为；【变式思考】(2)在“问题情境”的基础上，如图2,点P是射线A E上的动点，过 点P分别作PF所在直线于点F,作P 4 L B C所在直线于点，.求与布 面积之和的最小值；连接FH,求尸的最小值是多少？【拓展探究】(3)在“问题情境”的基础上，如 图3,/X A B C内有点Q,且/A Q C=60 ,AB、B C上分别有一点、N,连接Q M、Q N、MN,直接写出 QM N周长的最小值.6/47图1图2图32 8.（2 0 2 2秦淮区校级模拟）（1）如图，。为等边三角形A B C内一点，。4=3,。8=4,O C=5.求/A O B的度数.（提

12、示：可将 AO B绕点4旋转到AP C）（2）在图中，用尺规作等边三角形AB C,使点A,B,C分别落在三个圆上.（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）（3）如图，直线a6c.怎样找到等边三角形AB C,使点A,B,C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形.（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）b二十三.四边形综合题（共2小题）7/472 9.(2 0 2 2惠山区一模)(1)【操作发现】如 图1,四边形A8C Q、C E G F都是矩形，竺，AG 2AB=9,A O=1 2,小明将矩形C E G F绕点C顺时针转a (0：E G的值；(3)如图3,点E在矩形AB C。内，且在对角线A C右侧

13、，连接AE,CE,E F L A E,以E F,E C为邻边作平行四边形E C G F,连接E D,E G.若A=3 5,CD=2 5,”=回，AE 7且G,D,F三点共 线.若 些=工，求空的值.EC 13 DF8/47【参考答案】一十四.一元一次不等式的应用（共 1小题）1 6.（2 0 0 9黑河）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 0 0 0 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额 为 1 0 万元，今年销售额只有8万元.（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲

14、种电脑每台进价为3 5 0 0元，乙种电脑每台进价为3 0 0 0 元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8 万元的资金购进这两种电脑共1 5 台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3 8 0 0 元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要 使（2）中所有方案获利相同，。值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？【解析】解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价，元.贝U：100000=80000m+1000 m解得：w=40 0 0.经检验，机=40 0 0 是原方程的根且符合题意.所以甲种电脑今年每台售价40 0 0 元；9/47(2)设购进甲种电脑x 台

15、.则：480003500X+3000(15-x)W50000.解得：60W 10.因为x 的正整数解为6,7,8,9,1 0,所以共有5 种进货方案；(3)设总获利为W元.则：卬=(4000-3500)x+(3800-3000-a)(15-x)=(a-300)x+12000-15a.当“=300时，(2)中所有方案获利相同.此时，购买甲种电脑6 台，乙种电脑9 台时对公司更有利.一十五.一元一次不等式组的应用(共1 小题)17.(2019汶上县二模)为落实优秀传统文化进校园，某校计划购进“四书”、“五经”两套图书供学生借阅，已知这两套图书单价和为660元，一 套“四书”比一套“五经”的 2倍少

16、60元.(I)分别求出这两套图书的单价；(2)该校购买这两套图书不超过30600元，且购进“四书”至少33套，“五经”的套数是“四书”套数的2 倍，该校共有哪几种购买方案？【解析】解：(1)设五经的单价为x 元，则四书的单价为(2%-6 0)元，依题意得x+2x-60=660,解得x=240,2x-60=420,五经的单价为240元，则四书的单价为420元；(2)设购买四书。套，五经套，依题意得，42 0 a+2 40 b 3 0 6 0 0 3 3 ,b=2 a解得 33W.W34,为正整数，.=3 3 或 34,，当“=33 时，6=66；当=34 时，6=68；该校共有2 种购买方案：四

17、书33套，五经66套；四书34套，五经68套.10/47一十六.一次函数的应用（共 1 小题）1 8.（2 0 2 2惠山区一模）据环保中心观察和预测：发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动，其移动速度V（千米J、时）与时间f （小时）的函数图象如图所示，过线段O C上一点T ,0）作横轴的垂线/,根据物理知识：梯 形O A B C在直线/左侧部分的面积表示的 实 际 意 义 为 小 时）内污染所经过的路程S （千米），其中0W/W 30.（1）当f=3时，则S的值为 9 ；（2）求S与/的函数表达式；（3）若乙城位于甲地的下游，且距甲地1 7 1公 ，试判断这河流污染是否会侵袭到乙城？若会，

18、求河流污染发生后多长时间它将侵袭到乙城；若不会，请说明理由.【解析】解：(1)由图象可知：直 线 的 解 析 式 为y=2 f,当 f=3 时，-=2 X 3=6,.S=AX3X6=9；2(2)当0 WK5时,5=工”2/=仍；2当 5 f W 1 0 时，S=A x 5 X 1 0+1 0 Ct-5)=1 0r-2 5：2当 1 0V/W 30 时，S=JLX 5X 1 0+1 0X 5+(f-1 0)X 1 0-A x (r-1 0)xA(f-1 0)=2 2 2-J L?+I 5r-5O.4t2(0 t 5)综上所述，s=1 2 5(5 t 1 0)；-jt2+1 5t-50(1 0 t

19、 30)（3）河流污染发生后将侵袭到乙城，理由如下:当 0W/W 5 时，S版 大 值=52=2 5 1 7 1,当 5 f 1 0 时，5 l=1 0X 1 0-2 5=7 5 1 7 1,11/47当 1 0 0)的图象上有X一点 (?,A),过点。作 C DLx轴于点C,将 点 C向左平移2个单位长度得到点8,3过点8作 y 轴的平行线交反比例函数的图象于点A,AB=4.(1)点A 的坐标为 4)(用含m的式子表示)；(2)求反比例函数的解析式；(3)设直线A D的解析式为)，=o x+b (“，6为常数且“#0).则不等式K-Cax+b)0O B=m -2,又：AB=4,A B VOC

20、,A(L 2,4),故答案为：(加-2,4)；(2)反比例函数y=K(x 0)的图象上有A,D 两点,.k=4X(m-2)=m,3解得7=3,，Z=4,.反比例函数的解析式为 y=4；X(3)V A (1,4),D(3,A),3不等式K-(a x+6)0的解集为0 c x 3.X16/47故答案为：0 x 3.一 十 九.反比例函数综合题(共2 小题)2 1.(2 0 2 2锦江区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y=3 x+6经过点A(-1,0),与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y=K (x0)交于点C,K A C=3A B,B D/xX轴交反比例函数_ y=K (x0)于点).x(

21、1)求从人的值；(2)如 图1,若点E为线段B C上一点，设E的横坐标为相，过点E作交反比例函数y=K (x0)于点F.若E F=B D,求，的值.x3(3)如图2,在(2)的条件下，连接FZ)并延长，交x轴于点G,连接0。，在直线上方是否存在点H,使得 O D H与 O O G相 似(不 含 全 等)？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.图1图2 备用图【解析】解：(1)作C M L x轴于M,如 图1：17/47图1,：ZBOA=ZCMA,/BAO=NCAM,.BO AS/XCMA,直线y=3x+6经过点A(-1,0),-3+b=0,解得b=3,直线解析式为：y=3x+3,：.

22、B(0,3),9：AC=3ABf CM=35O=9,AM=3OA=3,C 点坐标为(2,9),.将C 点坐标代入y=K,x得&=18.(2)：B D/x ,O点的纵坐标为3,代入)，=2&,X得 x=6,。点坐标为(6,3),将 E 点横坐标代入y=3x+3,得 y=3m+3,VEFBD,尸 点纵坐标为3m+3,代入了=殁，x18/47得 X=_m+1，F 点坐标为3?+3),m+1；EF=LBD,3-W=AX6,m+1 3解方程得根=1或-4(舍)，7 Z Z 1 .(3)存在，理由如下：如图2,过点。作。Q_Lx轴于点Q,由(2)知。(3,6),F(6,3),直线FD的解析式为：y=-x+

23、9,0Q=6,0=3,OG=9,：.DQ：GQ=3,：.ZQGD=ZQDG=45.：0D=3 疾,DG=3 近.I、当NHOD=NQOG时，如图2所示，设BD与OH交于点P,：.ZBDO=ZDOGf：.ZBDO=ZHODf：.OP=PD,19/47设0 P=机，则8尸=6-机，在R t a O BP中，由勾股定理可得，3 2+，=(6 -m)2,解得m=立；4.8 P=a；4：.P(旦,3),4直线O P的解析式为：3若ODGS O D H,则。：O D=O G：0 H=,不符合题意，舍去;若ODGSOHD,：.O D：O H=O G：0 D,即 3&：0/7=9：3娓,解得。=5,设”，4

24、r),(3 f)2+(4 f)2=52,解得f=l，负值舍去，：.H(3,4)；图3若 O O GS/WO,如图 4,:.N D 0 G=N 0 D H,D G：0 H=0 G-DO,.,.DH/0G,即点 H 在 BO 上，3 72：0 H=9：3匹,；.0 H=VI 5，20/47：.H(1,3),直线。，的解析式为：y=3 x；若O D Gs/HZ)O,：.DG：O D=O G：O H,即 3加：3代=9：OH,解 得0 H=空 回，2设 H(6 3 f),./+)2=(2匝)2,2解得r=9,负值舍去，2H；直线0的解析式为：y=-X；若A O D G s A D O H,贝1。力：O

25、 D=O G：D H=,不符合题意，舍去;若 O D G s H O D,如图5,A 0 D：0 H=D G：0 D,即 3粕：0 H=3 近:3遥，解 得o”=延 返，2设 H 7),；/+()2=(扈1)2,22 1/4 7解得正值舍去,2：.H(-西，生)；2 2.(2 0 2 2成都模拟)如图，直线A 8经过点8(0,-2),并与反比例函数y上 交 于 点Ax(3,-1).(1)求直线A B和反比例函数的表达式；(2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线A 2的距离为4当d最小时，求出此时点M的坐标；(3)点C是 点B关于原点的对称点，。为线段A C(不含端点)上一动点，过

26、 点Q作Q P y轴交反比例函数于点P,点。为线段Q P的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当O,C,E,尸四点构成的四边形为正方形时，求点。的坐标.22/47：.k=-3,反比例函数的表达式为y=一 旦，X设 直 线 的 解 析 式 为y=H+(&W0),将A(3,-1)与3(0,-2)代入得，fb=-213k+b=_lb=-2 4 1,作 节/.直线A B的解析式为y=lx_2：3(2)将直线A 3向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小,设直线/的解析式为y=L x+b，3方程工x+b=-3有两个相等的实数根，3 x整理得7+3芯+9=0,；.=(3b)2-4

27、X l X 9=0,解得b=2或-2,.直线/与轴交于正半轴，:.b=-2 舍去，解方程上什公一之，得x=-3,：.M(-3,1)；(3)分两种情况讨论:当C E V C D时，如图，作CN/X轴交P Q于点N,23/47.。)，轴，NEOC=NOCN=NCND=90,.四边形。CEF为正方形，:.EC=DC,ZECD=90=ZOCN,：.ZECO=ZD CN,在EC。与OCN中，ZE0C=ZDNC_LOE时，如图，过点。作 x 轴的平行线M N,交 AC于点”，过 E 作 y 轴的平24/47行线交MN于点N,则四边形OMNE是矩形，：OM=NE,：.ZCMD=ZDNE=90,四边形OCE/

28、为正方形，:CD=DE,ZCDE=90,/CDMMEDN=NCDM+/DCM=90,工 4EDN=NDCM,在4CDM与ADEN中,H=理 工 返，D H 4 2 3A ZBDH P 2 二处:*：.P2（1,6 0+1 0 V 3）1 127/47综上所述，点尸的坐标为(1,当 应)或(1,-60+10炳).3 11二十一.二次函数综合题(共3 小题)24.(20 22邳州市一模)抛物线=9，+法+。经过点C (0,-4),且 OB=$OC3 4(1)求抛物线的函数表达式；(2)如 图 1,点。、E 是抛物线对称轴上的两个动点，且 E=1,点。在点E 的下方,求四边形A C Z J E的周长

29、的最小值；(3)如图2,点 N为抛物线上一点，连 接 CN,直 线 CN把四边形C B N A 的面积分为3：1 两部分，直接写出点N的坐标.图1图228/47【解析 1 解：(1)点 C(0,-4),OC=4,：O B=-O C4/.OB=3,.点 B(3,0),抛物线y=?/+x+c 经过点 C (0,-4),点 B(3,0),(8,(1 2+3 b+c=0,解得 b/,J|c=-4抛物线的表达式为：=g-3 厂 4；3 3(2)把 C向上移1 个单位得点C,再作C关于抛物线的对称轴的对称点C ,连接A C ,与对称轴交于点E,再在对称轴上E 点上下方取点。，使 得 QE=1,连 接 C

30、,则 C Z)=C E=C E,此时四边形A C E的周长最小，8.)，=匡/一昆工-4 的对称轴是直线=J =l,3 3 2 x|：.C,f(2,-3),A (-1,0),：A C=2+42=4 17,29/47AC =V (2+l)2+32=3 V 2,/.A E+DE+CD+A C=A E+1+Cz,+V 1 7 =1+V T 7+A+C,z E=1+V 1 7+A CH=1+A/17+3料 的 值 最 小，四边形A C E的周长的最小值为1+J万+3加；(3)如图，设直线C N交x轴于点E,直线C N把四边形CB N A的面积分为3：1两部分，又,：S&N CB：SANCA=、EBX（

31、y/v-y c）：A EX （训-y c）B E：A E,2 2则 B E：A E=：3 或 3：1,：A （-1,0）,B（3,0）,：.A B=4,则A E=3或1,即：点E的坐标为（2,0）或（0,0）,.当点E的坐标为（0,0）时，直线C E与抛物线不可能交于点M故不合题意，舍去，当点E的坐标为（2,0）时，设直线C N的表达式：y=kx-4,A 2A:-4=0,解得 A=2,直线C N的表达式：y=2x-4,联立）二 匹/-&-4并解得：x=Z或0 （不合题意，舍去），3 3 2故点N的坐标为（，3）.225.（20 22高邮市模拟）在平面直角坐标系x 0 y中，若一个函数图象上存在

32、P、P 两点,30/47使得/P O P =9 0 ,则称该函数为“垂动点函数”，其中一个点叫做另一个点的“垂动点”.（1）正比例函数 不是“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）反比例函数 不是“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）（2）如 图1,已知第三象限的一点P在一次函数y=x+l图象上，点 尸 的“垂动点”是点P,用，y轴于点A、P B L y轴于点B,若BA O的面积为3,求 P BO的面积：8（3）如图2,已知第三象限的一点P在二次函数），=-/图象上，点 尸 的“垂动点”4是点Q,连接尸。交y轴于点M,过 点。作O N_ L P Q于点N.求点M的坐标和点N的横坐标的最大值.图I

33、图2【解析】解：（1）根 据“垂动点函数”的定义，在正比例函数的图象和反比例函数图象上不存在在P、P 两点，使得NP O P=9 0 ,.正比例函数不是“垂动点函数”，反比例函数也不是“垂动点函数”，故答案为：不是，不是；（2）设 P（z,m+）,;以。的面积为3,8.PA*OA=（-w）*（-1）=,2 2 8解 得 机=工（此时p不在第三象限，舍去）或,=-,2 2:.p（-3.,-工），2 20 4=工，2 2设 P （，n+1）,则 P 8=-N,OB=n+,31/47V Z P O P =9 0o,：.ZP0A=9 Q-N POB=/OPB,又NB4O=NP 8 O=9 0 ,以 O

34、S/X O B P，3 _ 工.里=A ,即2=2,O B P B n+1 -n解得n-,4：.p(-A,3),4 4“B”，0 8=旦，4 4的面积为上x _ l x 3=旦；2 4 4 3 2(3)设 P C t,-r2),Q(s,-A s2),则。4=-r,A P,OB s,B Q s2,4 4 4 4同 可 证A 0 P s/8 Q。，t2 *O A-A P ，n4nI J v-t _-4-，BQ O B ls2 st：.Q(-J A,-旦),t t2设直线P。解析式为y=f cc+6,将P (r,-L f2),。(-西，-箜)代 入 得:4 t +2kt+b=7t24 1 6-t2解

35、 留,b=-42 直线PQ解析式为尸U一工犬-4,4t32/47令 x=0 得 y=-4,：.M(0,-4),过 N 作 CZ)y 轴交x 轴于。，过 M 作 MC_LC于 C,如图,JONVPQ,：.NMNC=90-NOND=NNOD,又NODN=NMCN=90,:.丛 M CNs 丛 NDO,.MC =C N 即 p=4-qDN 0 D q D-,-p2=q(4-q),要使p 最大，需 q(4-g)最大，而夕(4-q)在q=4-q,即 g=2 时，取得最大值4,；/最大值为4,：.p 最大值为2,.点N 的横坐标的最大值是2.26.(2022春荷塘区校级期中)如图1,若关于x 的二次函数y

36、=o?+bx+c(a,b,c 为常数且a 0)与 x 轴交于两个不同的点A(xi,0),B(X2,0)(xi0 b=2,c=3,，二次函数的解析式为：,=-X2+2X+3-(x-1)2+4,，顶点M的坐标为(1,4)；(2)当=时，-X2+2X+3X,.,.?-x-3=0,A =(-I)2-4X lX (-3)=1 3 0,二次函数y=-f+2 x+3有两个不同的“好点”；(3)V t anZ P B C=A,点 C的坐标为(0,c),2则8 O=2 c,点8坐 标 为(2 c,0),由一元二次方程根与系数的关系：川 m=9可得X2C=,a a 口一 12 a 点A坐 标 为(，0),2 a3

37、4/472.顶 点 坐 标 （-旦，4ac-b）,c（0,c2a 4a设直线MC的函数关系式为：y=jnxn,_ b _ 4ac-b2根据题意得：可 两=一/一,n=c解得：m=7,n=c直线MC的解析式为：yx+c,2.点尸坐标为（-工,0）,b由此可 得 以=。+区，P8=2C+22,2 a b b：ZPCA=ZPBC,ZCPA=ZBPC,：./PCA/PBC,PC=PBPA PC,：.PC2=PAPB,2VPC2=OP2+OC2=（-区）+C2bb22：.-+c2=（_1_+辿）（2c+区），b2 2a b ba ab b,0=工+工+至这，a ab b ab把点B（2c,0）代入二次函

38、数解析式,得：4。2+2秘+仁=0,.*.4tzc+2/?+I=0,.4ac+h+=-b,将式代入式得，c=-且=-2，ab a35/47将 c=-工代入 4ac+2/?+l=0,a得，-4+26+1=0,解得：匕=3,2；.尸的坐标为（-生，0）,3又,S#BC=P8 CO=1（2C+-）C=A,2 2 3 3.r5-c 2 11 ,3 3解得，c=土 遮（-遮 舍 去），5 5又-工=-V5,a.二次函数的表达式为：），=-遥f+3x+返.2 5二十二.三角形综 合 题（共2小题）27.（2022东海县一模）【问题情境】如 图1,在Rt/LABC中，ZB CA=9 0 ,ZB=30,AC=

39、4,A 8的垂直平分线交AB于点。，交8 c于点E,作射线AE.（1）则C E的 长 为 生 巨；3 -【变式思考】（2）在“问题情境”的基础上，如 图2,点P是射线AE上的动点，过 点P分别作PF所在直线于点尸，作P/7LBC所在直线于点从 求 与 尸 放 面 积 之 和 的 最 小 值；连接求 7的最小值是多少？【拓展探究】（3）在“问题情境”的基础上，如 图3,ABC内有点Q,且/4QC=60,A B.B C上分别有一点M、N,连接QM、Q N、MN,直接写出QMN周长的最小值.36/47图1图2图3【解析】解：(1)是AB的垂直平分线，:.EA=EB,./E4B=N8=30,/.ZAE

40、C=60,tanZ A C=-,CE V.AC _ 473 C-ZJ.-,V3 3故答案为：生 应；3(2)过点尸作PGLAC于点G.TDE垂直平分A5,：.AE=BE.NE4B=NB=30.：.ZEAC=ZEAB=30.AE=AE,：.Rt/EACRt/EAD(HL).设尸G=x,则 AG=Vx,CG=PH=4-MX,H E=(4X),3*XPHE 与 尸 面积之和为g x(4/3 x)v；(4-A/s x)乙 乙 o=M (X-|V3)24-37/47最小值为生应；3连接B P,取 8 P 的中点。，连 接 OH,O F,过点8 作于点M.：PFAB,P H Y B C,点。为 PB 中点

41、，/.OP=OF=OB=OH.点尸、F、B、”四点在以。为圆心，P 8 为直径的同一个圆上，又；NEBF=3Q,./H O 尸=60.4。尸为等边三角形.:.HF=LBP.2VAC=4,：.AB=S.的最小值为BM=4.的最小值为2；（3）以 AC为底边作等腰三角形A O C,使NAOC=120,连 接。8,作 点。关 于 BC、4 8 的对称点。、Q ,连接Q。”，由轴对称的性质得，QMN周长为QQ，BQ=BQ”=BQ,NQ5Q”=60,.8。”是等边三角形，V ZAQC=60,.点。在以。为圆心，0 4 为半径的圆上运动,当点0、。、B 共线时，QB最小，38/47延 长C。交A B于H,

42、V Z A C/=3 0 ,Z C A B=6 0 ,：.ZA H C9 Q ,；.A H=2,CO=,M=A8-A H=8-2=6,30H=JL0 A=3 ,2 3由勾股定理得，O B=2-1V 73:.B Q的最小值为名工-性%,o o.Q M N周长的最小值为生2-生巨.3 32 8.（2 0 2 2秦淮区校级模拟）（1）如图，O为等边三角形A B C内一点，0 4=3,0 8=4,0 C=5.求N 4 O B的度数.（提示：可将A A O B绕点A旋转到4 P C）（2）在图中，用尺规作等边三角形A B C,使点A,B,C分别落在三个圆上.（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）（3）如

43、图，直线a b c.怎样找到等边三角形A B C,使点A,B,C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形.（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）b-39/47A【解析】解：（1）如图，将ABO绕点A 逆时针旋转60,此时AB正好与AC重合,得到A C P,连接0尸，根据旋转的性质可知，AO=AP,NOAP=60,CP=OB=4,.AOP为等边三角形，；.OP=OA=3,/APO=60,OF+PC2=32+42=52=OC2,.OPC为直角三角形，；.NOPC=90 ,.NAPC=N4PO+/OPC=60+90=150,.NAOB=N4PC=150；（2）在最小的圆上取一点A,然后以点A 为圆心，

44、OA为半径画弧，与小圆交于点P,再以P 为圆心，中间的圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B,连接A 8,以 8为圆心，A 8长为半径画弧，与中间的圆交于一点C,连接BC,A C,则4ABC为所求三角形，如图所示，40/47(3)在直线。上任意取一点A,过点4作A O L b于点。，以点A为圆心，A。的长为半径画圆，以。为圆心，AO为半径画弧，交0A于一点P,过 点P作P 8 J_ C 8,交直线c于点8,连接A 8,以点8为圆心，A B的长为半径画弧，交直线人于点C,连接A C,B C,5 W A A B C即为所求.二十三.四边形综合题(共2小题)2 9.(2 0 2 2惠山区一模)(

45、1)【操作发现】如 图1,四边形A B C。、C E G F都是矩形，竺，AG 2A B=9,A O=1 2,小明将矩形C E G F绕 点C顺时针转a (0 1X8 X2+16=24.2故答案为：24.30.（2022沈河区校级模拟）（I）如 图1,点E在正方形A B C。内，且在对角线A C右侧，连接A E,CE,E F L A E,以E F,E C为邻边作平行四边形ECG F,连接ED,E G.当A E=即 时，E D与E G之间的数量关系为 EG=MDE;（2）如图2,点E在矩形A B C O内,E F,E C为邻边作平行四边形E CG F,且在对角线A C右侧，连接A E,CE,E

46、F 1 A E,以连接 EQ,E G,当 A E=$K 且 A Z）：D C=5：4,4求E D E G的值;（3）如图3,点E在矩形A B C D内,且在对角线A C右侧，连接A E,CE,E F L A E,以E F,E C为邻边作平行四边形ECG F,连 接ED,E G.若A O=35,CD=2 5,竺=2,A E 7且G,D,尸三点共线.若 些=工，求空的值.设A”交C D于点。，连接。G.四边形A 8 C。是正方形,：.A D=DC,/A OC=9 0,45/47.四边形ECGF是平行四边形,:.EF=CG,EF/CG,AE=EF,AELEF,：.AE=CG,AH ICG,：.AAD

47、O=AOHC=,ZAOD=ZCOH,：.ZDAOZDCG,在4D E和COG中，A D=CD Z DA E=Z DCG-A E=CG/.DAEAECG(SAS),:.DE=DG,NADE=NCDG,；.NEDG=NADC=90,:.EG=DE,故答案为：EG=&E；(2)如图2中，连接OG.图2同法可证ND4E=ZDCG,A D=A E=5,CD EF T,:EC=CG,.A D=A E CD CG/.ACEs COG,ADE=A D=5 ；NADE=NCDG,DG CD 446/47：.ZE DG=ZA DC=9 0,设.DE=5k,DG=4k,；EG=(5 k)2+(4 k)2=V HA，.ED_ 5 k _5 V 4 i.EG A/4 1 k 4 1(3)如图3中,图3同法可证N D4 E=ZDCG,.A D A E _ 7CD CG y)A A DE A CDG,.DE=A D=2,ZA DE=ZCDG,DG CD 5:.N E DG=N A DC=9 0,.而 Is.可以假设 OE=7 f,E C=13t,：.DG=5t,.四边形ECG尸是平行四边形，:.E C=F G=13t,CG=E F,：.DE=F G-DG=13t-5t=St,*E F=VDE2+DF2=V(7 t)2+(8 t)2=7113f,.CG=EF _ t _DF DF 8 t 847/47