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1、2021-2022学年江苏省南通市如皋市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）11.反比例函数y=-x 图象位于（）A第一、三象限C.第二、三象限2 .将三个相同的正方体搭成如图所示的几何体,B.第一、四象限D.第二、四象限则该几何体的主视图是（3 .已知a为锐角，且si ne=,，则a的 值 是（2A.3 0 B.4 5 4 .抛物线y=-x+2x的对称轴为（）A.x=I B.x=-15 .如图，点 A,B,C,D,E在。上，AB=C DC.6 0 D.7
2、5 C.x=2 D.y 轴,/AO B=3 6。，则/C E O 的度数为（）B.3 6 C.1 8 D.1 6 则8 c的 长 为（）B.5米 C.1 0米 D.5逐 米7.如图，网格中的每个小正方形边长为1,点4,8都在小正方形的顶点上，线段4 8与网格线例N交于点C,则A C的 长 为（）.BA N8 .如图所示，点。、E、F分别位于A A B C 的三边上，R D E/B C,E F/A B.如果AAOE的面积为2,C E F的面积为8,则四边形B F E D的面积是（）C.6 D.4B F C9 .点 A（m9 y i）,B（，力）均在抛物线y=（x -h）2+7 ,若|加-川 川，
3、则下列说法正确的是（）A.y i+y2=0B.y j -j 2=0C.y-y 2 V oD.y-y 2 01 0 .在平面直角坐标系x O y 中，以 P 0)的图象交矩形O A B C 的边A B 于点M(1,X2),交边B C于点、N,若点B 关于直线MN的对称点方恰好在x 轴上，则 0 C的长为三、解答题(本大题共8 小题，共 90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19 .(1)计算：t a n 600-2c o s 30+夜 s i n 45；(2)已知中，Z C=9 0,N A =30。，B C=E，解这个直角三角形.20.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+5 与反
4、比例函数y=&(x 0)的图像交于A(1,w)和点X8.(1)求反比例函数的解析式;(2)写出当x 0 时，关于x的不等式一 0,位于一、三象限；上 V 0,位于二、四象限.【详解】解：；y=-k-1 0,图象位于一、三x象限；上=C x-h)2+7 上，若山-川|-川，则下列说法正确的是()A.8+/2=0 B.y,-j 2=0 C.y i -j 2 0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的对称性确定出方与”的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解.【详解】解：y=(X -h)2+7，抛物线的开口向上，对称轴为4，m-h n-h,点A与对称轴的距离大于点B与对称轴的距离，y i yi,-y
5、i yz,1-yi-y 2 0.故选：D.【点 睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于二次函数图像上的点与对称轴的距离大小关系确定确定函数值的大小关系.1 0 .在平面直角坐标系X。），中，以 P（0,-1）为圆心，P。为半径作圆，M为0P上一点，若 点N的坐标为（3a,4a+4）,则 线 段 的 最 小 值 为（）A.2 B.C.4 D.2 6【答 案】A【解 析】【分 析】首 先 我们先判断MN最 短 时，M的位置，线 段P N与圆 的 交 点 为M,此 时MN值 最 小.利 用 勾 股定 理 列 出 线 段P N的长度函数表达式，求 出该函数的最小
6、值，减去半径即为所求.【详 解】P N?=（3。）2+（-1-4。-4）2 =2 5/+2 5 +40 a =2 5（a +1）2+9设 函 数y =2 5（a +g）2+9,开口向上，当。=-不 时，函数取得最小值，y =9,所 以P N长度的最小值为3,且大于半径，故和圆不相交，圆 的 半 径 为1,所 以 M N=PN-PM=2.故答案为：A.【点 睛】本题考察了点到圆的距离问题，利用勾股定理列出二次函数求解是解决本题的要点.点到圆的距离我们可以记住规律，最大值是点到圆心的距离加半径，最小值为点到圆心的距离减半径.二、填空题（本大题共8 小 题.11 12每小题3 分.13 18每小题3
7、 分，共 30分.不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位上）1 1 .如 图，A O B与C。是位似图形，且O 4=A C,则AAQB与 C O D的 相 似 比 为.【答 案】【解 析】【分 析】根据位似图形的性质，即可求解.【详 解】解：OA _ 1OC2A 08与C。是位似图形,，XAOBsCOD,：.A O B与COD的相似比为g .故答案为：g【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.1 2.若一个扇形的圆心角为90。，半径为6,则 该 扇 形 的 弧 长 为 （结果保留兀）.【答案】3n【解析】【分析】利用弧长公式计算即可.详解】解：该
8、扇形的弧长故答案为：3n.【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式/=覆.1801 3.如图，在半径为5 的。中，M为弦4 B 的 中 点.若 O例=1,则 A 8的长为【答案】4娓.【解析】【分析】连接O A,根据垂径定理的推论得到OM_LA8,根据勾股定理求出A M,得到答案.【详解】解：连接OM,OA,TM 为 A 8的中点，OM过圆心O,A OM.LAB,NOMA=90,由勾股定理得：B M=A M=y/oA2-O M2=752-12=2 a,:,AB=AM+BM=2 瓜+2 瓜=4 戈,故答案为：4/6.【点 睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能 熟 记 平 分 弦（弦不是
9、直径）的直径垂直于弦是解此题的关键.14.已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5,底 边 长 为4的等腰三角形，则该几何 体 的 侧 面 展 开 图 的 面 积 是 一.（结 果 保 留n）【答 案】10乃【解 析】【分 析】由三视图可知，该几何体是圆锥，根据圆锥是侧面积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥,二侧面展开图的面积=兀 2-5=1071,故 答 案 为10兀.【点 睛】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式.15.九章算术是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股 十 二 步.问 句 中容 方 几 何.”其大
10、意是：如 图，RtAABC的两条直角边的长分别为5和1 2,则它的内接正方形CDEF的边长为,【解 析】EF BF【分 析】由题意可判断A E8ESA 4B C ,利用三角形相似的性质可得=，又BC=12,AC=5,AC BCBF=BC-CF=12-EF,代 入 可 求E F,即 得 正 方 形CDEF的边长【详 解】解：四 边 形CDEF为正方形，/E F B =ZAC B=90 又 NEBF=ZA B CEF BF：.E B F/SA B C ：.=又 BC=12,AC=5,BF=BC-CF=12-EFAC BCEF12-EF12-解得:6017故答案为：17【点睛】本题考查了相似三角形的
11、判定和性质，熟记三角形相似的判定定理及性质是解本题的关键16.如图，将等腰直角三角形A8C沿 底 边 所 在 直 线 平 移，当点5移到点。处时，连接3 0,则tan Z DBC【答案】-3【解析】【分析】作。凡LBE于F,设A B=a.根据平移的性质以及等腰直角三角形的性质得出=CF=BE=gCE a,BFBC+CF=a,再根据正切函数定义即可求解.2 2【详解】解：如图，作。于F,设AB=a.将等腰直角三角形ABC沿底边BC所在直线平移，当点8移到点C处时，记平移所得三角形为1,:.ABSXD C E,AB=AC=DC=DE=a,BC=CE=42a,/A=/C )E=90,：.DF=CF=
12、FE=-CE=22a,BF=BC+CF=J2a+=a,2 2V2C l：.tan ZDBC=DF=乙2LBF 3V2-a2J_3故答案为：3【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，等腰直角三角形的性质，准确作出辅助线构造以N O B C为一个内角的直角三角形是解题的关键.1 7 .二次函数y=f -2,x+2?+3的顶点纵坐标为p,当m 2时，p的 最 大 值 为.【答案】3【解析】【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，从而可得其顶点纵坐标P的值，再利用二次函数的性质求最值即可得.【详解】解：二次函数y =f-2优+2,“+3 =(x加了一/疗+2/X +3,其顶点纵坐标 p-rrr+2
13、 m +3-(m-I)2+4 ,由二次函数的性质可知，当根2 2时，随机的增大而减小，则当加=2时，取得最大值，最大值为一(2-1 +4 =3,故答案为：3.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.k1 8 .如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =(x 0)的图象交矩形0 A 8 C的边A 8于点M(1,X2),交边B C于点、N,若点B关于直线MN的对称点夕恰好在x轴上，则0 C的长为【答案】V 5 +l#l +V 5【解析】【分析】过点胡作M Q L O C,垂足为。，连接M B，N B,由于四边形O A B C是矩形，且点8和 点 关 于直 线 对
14、称.且 点 方正好落在边0 C上，可得 M Q Q s B W C,然后M、N两点的坐标用含。的代数式表示出来，再由相似三角形对应边成比例求出夕C和 的 长，然后利用勾股定理求出M B，的长，进而求出0 C的长.【详解】解：过点M作M QJ _O C,垂足为Q,连接M B，N B,如图所示:k.反比例函数y =-(x 0)的图象过点MQ,2),x，&=1 X 2=2,2.=一,x2设 N (m-),则 3 (，2),a又 点 8和点方关于直线MN对称，:MB=MB/B=N M B，N=90,V ZMQBf=ZB,CN=90,N M 8 Q+N N B C=9(r又；N N B G N B，NC
15、=9U。,NMB，Q=N B，NC,:A M B QSABWC,ci 0B.些=3=即:=2=NB B C NC 2 B Ca a4解得：BC=,QB=1,aM B=IMQ。+QB，2=V 22+l2=也，MB=MB=CQ=y5,：OQ=,:.a-1 =非,：.OC=a=4 s+故答案为：7 5 +1 .【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数表达式，勾股定理，相似三角形的性质与判定等知识，作出辅助线构造相似是解题关键.三、解答题(本大题共8 小题，共 90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1 9.(1)计算：tan 6 0 0 -2 c os3 0 0+0 s
16、in 4 5 ；(2)已知R tZ V I B C 中，ZC=9 0 ,Z A =3 0 ,BC=也,解这个直角三角形.【答案】(1)1；(2)Z B=6 0 ,A C=3,AB=2+【解析】【分析】(1)将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算法则计算即可；(2)根据直角三角 形 的 边 角 关 系 求 出 A C、AB即可.【详解】解：(1)t a n 60 -2c o s 30+J s i n 45=G-2 X 立 +瓜豆2 2=有-G +l=1：(2)在 R t Z A 8C 中，/C=90,Z A =30 ,BC=,：.Z B=90-Z A=90-30 =60,A B=2 B
17、C=2拒,.BC t a n A-,AC.V3 _ V3 ,3 A C；.A C=3,Z.Z B=60,A C=3,A B=2上.【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键.20.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+5与反比例函数y=&(x 0)的图像交于4(1,团)和点XB.(1)求反比例函数的解析式;(2)写出当x 0 时，关于x的不等式-x+5的解集.X4【答案】(1)y=x(2)lx 0)的图象上,x Z=1X 4=4,4反比例函数的解析式为y=-；x【小问2 详解】解：把两个函数解析式联立得,y=-x+54 解得:丁 =一xX=1x
18、=4或 0 时，在 A、5 两点之间时，反比例函数值比一次函数值小，故关于x 的不等式一x-x+5的解集是l x 4.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象的位置关系解不等式.2 1.如图，某施工队要测量索道8 c 的 长 度.已知索道8C 在直线AC上，DE/AC,AD.LAC,AZ）=60m,O E=40m.施工队从点。处看向氏测得仰角为45。，再从点七处看向C,测得仰角为53。，求索道8C 的4 3 4长(参考数据：sin53-,cos53-,tan5
19、30-)5 5 3C BA【答案】隧道BC长约为25m.【解析】【分析】过 C作 C M _ L Q E 于 M,先证A 8=A O=6 0 m,再由锐角三角函数定义得E M 心45(m),则 A C=D M=E M+D E七85(m),即可得出答案.【详解】解：过 C作 CM L OE于 ，如图所示：则 C M=A O=6 0 m,A C=D M,在 R t Z W B D 中，ZADB=9 0 -45=45,.A B O 是等腰直角三角形，.AB=AD=6 0 m,，A.CM。4在 R t A C E M 中，t a n N C E M=t a n 53 g 一，EM 33：.E M -C
20、 M=4 5(m),4：.A C=D M=E M+D E 4 5+4 0=S 5(m),AB C=A C -A B=85-60=25(m),答：隧道3 c 长约为25m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.22.某疫苗生产企业于2021年 1月份开始技术改造，其月生产数量y (万支)与月份x 之间的变化如图所示，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：(1)该企业4月份的生产数量为多少万支？(2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？【答案】(1)45万支(2)该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万
21、支【解析】【分析】(1)根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x=4代入求出相应的y的值即可；(2)根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数.【小 问1详解】解：当1WXW4时，设y与x的函数关系式为y=(,X 点(1,1 8 0)在该函数图象上，/.1 8 0=1 ,得人=1 8 0,1 8 0-y-,x,二 1 8 0当 x=4 时，y=4 5,4即该疫苗生产企业4月份的生产数量为4 5万支；【小问2详解】解：设技术改造完成后对应的函数解析式为.点(4,4 5),(5,6 0)在该函
22、数图象上,4。+8=4 55a+b-60解得。=1 5b=-15技术改造完成后对应的函数解析式为y=1 5 x-1 5,国 9。x15x-1590解得2WxW7x为正整数,.x=2,3,4,5,6,7,答：该疫苗生产企业有6 个月的月生产数量不超过90万支.【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，求出一次函数和反比例函数解析式是解答本题的关键.2 3.如图，AB为。的直径，P。切。于 E,A C,尸。于点C,交。于(1)求证AE平分NBAC；(2)若 OA=5,E C=4,求 的长.【答案】(1)见解析(2)6【解析】【分析】(1)连接O E,根据切线的性质得
23、到O E 1.PQ,根据平行线的性质得到N O E A=/E A C,根据等腰三角形的性质得到ZOEA=ZOAE,等量代换证明结论；(2)过点O 作 OFLAC于 F,根据勾股定理求出A F,根据垂径定理解答即可.【小 问 1 详解】如 图 1,连接O E,由题意知OA=OEZOEA=ZOAEAC PQ：.OE/ACZCAEZOEAN C A E =N O A E.AE平分/B A C.【小问2详解】Z A D B 9 0,图2A B =2M =1 0Z C A E Z O A EBE =E D，OE垂直平分8 0，ND ME=9 0。Z O E Q =Z D ME=Z D C E=9 0，四
24、边形ME CD是矩形，MD =E C =4：.B D =2 M D =3在R t Z XAB D中，由勾股定理得AO=AB?-BD?=6：.A D长为6.【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.24.已知抛物线y=G?-4 a x+3 a与x轴交于A,8两 点（点A在点B左侧），与y轴交于点C （0,3）.（1）求抛物线的顶点坐标：（2）点P是抛物线上一点，过点P作尸Q，x轴交直线、=*+/于 点Q.若点尸在第二象限内，f=3,P Q=6,求点P的坐标；9若恰好存在三个点尸，使得P Q=：，求/的值.4【答案】（1）抛物线顶点坐标
25、为（2,-1）；（2）点尸坐标为（-1,8）；t=-l.【解析】【分析】（1）把（0,3）代 入 丫=加-4依+3。求出。的值，把a的值代入原抛物线，利用配方法求出顶点坐标即可；（2）设点尸坐标为（加，/序.4 m+3）,根据点尸在第二象限求出点的取值范围，利用，=3求出直线的9表达式，从而利用P Q=6求出答案；由恰好有3个点P,使得夕。二一，得到。的位置，从而构造方程49x+卜（f-4 x+3）=一时，方程有2个相等实数解求出/的值，4【小 问1详解】解：把（0,3）代入 y=o x2-4 o r+3 得 3=3 m/.a=l,，y=x1-4x+3=（x-2）2-l,.抛物线顶点坐标为（2
26、,-1）；【小问2详解】设点P坐 标 为（加，机2_ 4形+3）,点P在第二象限，m 0,解得加 0,当/=3时，直线y=x+3,，点Q坐 标 为（/n,m +3）,尸。=6,PQ=|/?/2-4/n+3-（m+3）|=6,/.当帆2 4团+3-（7 +3）=6 时,解得 7 w=-1 或 m-6 （舍），当渥4 n+3-O+3）=-6时、解得机=2（舍）或用=3 （舍）.点尸坐标（-1,8）.当有3个点尸，使得P Q =9时，点Q在点尸上方时只有1个符合题意，49x+卜（f-4 x+3）=一时，方程有2个相等实数解，421即方程炉-5 1+丁中=（）49 1,-=（-5）2-4（-t）=0,
27、4解得/=.【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式和定点以及二次函数与一次函数的综合应用，学会利用数形结合的思想是解题的关键.2 5.数学兴趣小组开展实践探究活动，将三角形ABC纸片沿某条直线折叠，使其中一个角的顶点落在一边上.在ABC 中，AB=9,BC=6.（1）如图 1,若图1 图2 （备用图）9 0,将ABC沿 C用折叠，使点8 与边AB上的点N 重合，求 B例的长（2）如图2,若/A C B=2/A,将ABC沿 CM折叠，使点B 与边AC上的点N 重合，求AC的长；若。是 AC的中点，P为线段ON上的一个动点，将APM沿 PM折叠得到A M 与A C 相交于点F,则 空 的 取值范
28、围为.F M【答案】（1）B M =4；AC*；宗嗡弓【解析】【分析】（1）由题意得CM _L A 3,从而可得N C M B=N A C B ,然后证明。期 坊”!8,利用相似三角形的对应边成比例即可以求出答案，（2）由NACB=2NA及将AABC沿 CM折叠，使点8 与边AC上的点N 重合，得 NBCM=N A,从而论证 C MSAA C B,利用相似三角形三边对应成比例求出答案；利用折叠得到P F PAZ A =ZA=Z M C F,P A =PA,从而得到P E A SAM F。，利用相似三角形的性质得到=F M C M再根据P 4 最长为OA的长，最短为AN的长，从而求出答案.【小
29、问 1详解】解：如 图 1,.将ABC沿 CM折叠，使点8 与边AB上的点N 重合，C M 1 A B,ZCMB=90,ZACB=90,Z C M B Z A C B ,Z B=Z B，:,ACMBSACB,BM BC-=,BC AB：AB=9,BC=6,.BM 6-=一,6 91 BM=4；【小问2 详解】解：如图如将 ZABC沿 CM折叠，使点8 与边4C 上的点N 重合，8 c=6,.CB=CN=6,/BCM =ZACM,：N A C 8=2/A,ZBCM=ZA=ZACM,.ZB=ZB，CMBsACB,.BM BC CM.AB=9,BC=6,BM 6-=，6 9.BM=4；.ZA=ZAC
30、M,AB=9,.O/=/lM=9 4=5；BC CMAB AC.6 5 -f9 ACAC=；2,4 8=9,BC=6,A图4 将AAPM沿PM折叠得到AAFM,NA=NA=NMCF,PA=PA,NPFA=/M FC,P F N s.F C,PF PA CM=5,PF PAFMT P 为线段ON上的一个动点，Q4=OC=!AC=,2 4PA最 长=OA ,PA 4SH-A N，41 5 3 3 1 5 AN=AC CN=AC BC=一一6=：.-PA!=一 的图象为图形Q,直线/的函数解析式为y=-X +。,若 4(1,Q)=x6,求人的值;(3)如图2,ABC的顶点坐标分别为A(-4,0),B
31、(0,4),C(3,-2),O T 的圆心 为(t,0),半径为2,若d（0T,AABC）=m,当0 相 2 时，求 f 的取值范围.【答案】（1）2（2）匕=2（3）2+有 f 2 +2行 或-8 /=C设直线/的解析式为y=-x+a,求出a=4,再由d（/,Q）=叵,求出AC=J AD?+CD?=2,即可求出人=2,同理向下平移时可以求出6=-2；（3）分两种情况：当点T（f,0）在 8 c 右侧时：当点T在 A 左侧时.分别求出f 的取值范围即可.【小 问 1详解】解：二次函数解析式为y=/-2x+3=（x-+2,抛物线的顶点坐标为（1,2）,（%轴,P）=2,故答案为：2；【小问2 详
32、解】解：向上平移直线/,与双曲线相切于点 得 直 线 设 直 线/与），轴交点为A,与 x 轴交点为8,直线，与 y 轴交点为C过点A 作于。，点4 的坐标为（0,），点 3 的坐标为（A 0）,：.OA=OBf：.ZOAB=ZOBA=45f：AB/CDf：.ZBAD=ZADC=90f：.ZCAD=45,AD=CD设直线/的解析式为y=x+m人4令一=-x +。,XY (ix+4=0,由题意得，=(),即 6 r2-16=0,.,.a=4(负值已经舍去),:d(/,。)=正,AD=CD=亚,AC=ylAD2+CD2=2a-b=2,图2由B(0,4)、C(3,-2)知 BC所在直线解析式为y=-
33、2r+4,当 y=0 时 x=2,则 E(2,0),OE=2,TE=t 2,QNTEG=NBEO,:N E G g E O,.TE _TGBEBO若d(e T,A46C)=0,当圆T刚好与BC相切时，T G=2,此时t-2 2=解得=2+逐；若 d(OT,A43C)=2，则 TG=4,此时t-2 4=解得f=2+26；2+V5 /2 +2A/5;当点T在A左侧时，若d(OT,AABC)=0,则TA=2，此时f=-6；若 或OT,AABC)=2,则TA=4，此时l=-8；-8 f 6；综上可得，/的取值范围是2+际 2+2石或一 8f 6.【点睛】此题考查了新定义下的运算问题，解题的关键是掌握二次函数、反比例函数、一次函数的解析式以及性质、新定义下的运算规则、相似三角形的性质以及判定定理、圆的性质、解绝对值方程和一元一次方程.