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1、专题0 3尺规作图综合题1.（2021福建）如图，已知线段MN=，A R L A K,垂足为A.（1）求作四边形A8CQ，使得点B,。分别在射线4右 4?上,且48=3。=，ZABC=60,CD/AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设尸，。分别 为（1）中四边形A3CO的边AB,C。的中点，求证：直线AO,BC,PQ相交于同一点.AK【答案】见解析【详解】（1）解：如图，四边形A6CQ为所作;(2)证明：设 PQ交4)于G,BC交4 0 于 G DQ/AP,GD _ DQGA-?,:DC/IAB,GD _ DC G4?P，。分别为边A 3,CQ的中点，DC=2DQ,AB=2A
2、P,GD DC _ 2DQ _ DQ,G4 _ 2APGD _ G DG74 -GA，.,.点G与点G，币.合，.直线4 Z）,BC,P Q 相交于同一点.2.（2 0 2 0 福建）如图，C为线段48外一点.（1）求作四边形A 8 C。，使得C O/A 8,且C L =2 A 8;（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形A B C O 中，A C,8。相交于点尸，A B,CO的中点分别为M,N,求证：M,P,N三点在同一条直线上.CI-lB【答案】见解析N A BP=N C D P ,N B A 尸=Z D C P ,A BPsbCDP,A B _ A P C D -
3、C P?：A B,CO的 中 点 分 别 为N ,.AB=2AM,CD=2CN,AM AP/.-=-CN PC连接MP,NP,;/BAP=/DCP,:4APMsbCPN,:APM =/CPN,.点P在AC上，:.ZAPM+Z.CPM=ISO,:.ZCPN+ZCPM=lm0,:.M,P,N三点在同一条直线上.3.（2019福建）已知AABC和点A,如图.（I）以点A为一个顶点作A B C,使A BCs&4BC,且 A 8C 的面积等于AABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设。、E、尸分别是AABC三边4 8、BC、A C的中点，。、F 分别是你所作的 A B C三边
4、 AB、BC、CA 的中点，求证：DEF DEF.C【答案】见解析【详解】（1）作线段AC=2AC、AB=2AB,BC=2BC,得 A 8C 即可所求.证明：AC=2AC AB=2AB BC=2BC,:.ABC ABC,5A AB.=(-)2=4S ABSBC(2)证明：B 图2。、E、/分别是A A 8 C 三边AB、B C、AC的中点,.DE=-B C 是 A 3 证明：.,。是A 8 的中点，。是A 8 的中点,AD=-A B,AD=-AB,2 2AD _ 2A 8 _ A，B 4。-LAB AB 2二 竺=始，4 =4,AB ACV Z Ar=Z A,AD AC ACDACD,CD A
5、 C,-=-=k CD AC5.（2 0 2 1 泉州模拟）如图，等腰&4 8 C,AC（1）在射线A。上求作一点E,使得N C A E =不写作法）（2）在（1）的条件下，若CD=2BD,A C =A.4B【答案】（1）见解析；（2）6【详解】（1）如图，点E即为所求作.4 B（2）-/Z C =Z C B E,:.AC 1/BE,BE _ BD 7E一 而：=BC AB,射线AD与BC交于点D.Z E B；（要求：尺规作图，保留作图痕迹,=1 2 ,求8 E 的值.BE 11 2 2.BE=6 .6.（2 0 2 1 厦门模拟）如图，在 A 4 B C 中，点。，E分别在边B C,AC上，
6、点 P 与点C关于直线D E成轴对称.（1）求作点P;（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）连接EP,若 好=竺=工，判断点P 是否在直线A3上，并说明理由CD A E 2S.C D =CE,【答案】见解析【详解】解：（1）如图,点 P 即为所求.（2）点P 在 直 线 上，理由如下：如图，连接。P,设线段E P 与 交 于 点 Q,E,1点p与点、c关于直线DE成轴对称，.石。垂直平分CP.EP=CE,DP=CD.,CD=CE,，EP=CE=CD=DP.四边形EPOC是菱形.:.EP/CD./.ZA0=ZB,ZAEQ=ZC.:.A Q E B C.AE _QEAC BC.*-B-D
7、-E-P-_-1，CD AE 2设 80=4,则 CQ=2a.CE=EP=2a,BC=3a.AE=4a.AC=6a.QE _ AE，=-，BC ACQE _ 4a3a 6aQE=2a.QE=EP.又.,点。在EP上，.点。与点P重合.点尸在直线4 8上.7.（2021宁德模拟）如图,已知矩形4 8 8.（1）尺规作图：在B C上方求作A F B C,使得尸8 =F C,且点尸与点A关于过点8的直线对称：（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若A 8 =3,BC=5,求s i n N A B尸的值.【答案】（1）见解析；（2）A6【详解】解：（1）如图，A B FC即为所求作.垂直平
8、分线段B C ,AB1BC,：.MN/AB,:.ZABF=ZBFT,5-6=5-2-38.（2 0 1 9孝感）如图，Rt A B C中，Z A C B =9 0 ,一同学利用直尺和圆规完成如下操作:以点C为圆心，以C 8为半径画弧，交A B于点G;分别以点G、8为圆心，以大于2的长为半径画弧，两弧交点K,作射线CK；以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交8 c于点交4 8的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以 大 于 的 长 为 半 径 画 弧，两弧交于点P,作直线B P交AC的延2长线于点。，交射线C K于点E.（1）线段CD与 C E 的大小关系是；（2）过点。作。F_L AB交 4
9、8 的延长线于点尸，若 AC=12,BC=5,求 tanNQBF的值.【答案】（1）CD=CE;（2）-2【详解】解：（1）CD=CE,:NCEB+N3=N2+NCDE=90.:.NCEB=NCDE,CD=CE,故答案为：CD=CE；(2)8。平分/C 3 F,BC.LCD f BF ID F,BC=BF,NCBD=NFBD,在 ABC。和 ASED中，NDCB=NDFBV ZCBD=NFBD,BD=BD：.BCD=BFDAAS),：.CD=DF,设CO=。尸=1，在 Rt A A C B 中，AB=VA C 2+B C 2 =1 3,.s i n 的尸=空=.，即 上=之,AD AB 1 2
10、 +x 1 3解得尢二，2-：BC=BF=5,厂 DF 5 3t an /D BF=x=一BF 2 5 29.（2 0 2 1 泉州模拟）如图三角形纸片A B C 中，Z A =3 0 ,A C =6，点P 为 AB边上的一点（点尸不与点4、8重合），连接CP,将 A 4 C P 沿着C P 折叠得到（1）求作 A C P;（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若N 8 P A =3 0。，求点P 到直线AC的距离.B【详解】（1）如图，A C P 即为所求作.（2）如图，过点P 作于:.ZAPC=N C F4=g （1 8（F 3 0。）=7 5。，ZACP=75 9:.ZAPC=
11、ZACP,AC=AP=13，1 百:.PH=-P A =f2 2.点P 到直线AC的距离为 立.21 0.（2 0 2 1 龙岩模拟）如图，已知 A 4 8 C 中，ZA CB=6 0 ,BC A B =NA B C,:M D B s AC B；(2)在 R t A A B C 中，Z A C B =90 ,BC=5 ,A C =12,A B=,80+2 =#2 +1 2 2 =1 3,由(1)可知 A C D B s A 4 c B ,BC _ BDBABC1 7.（2 0 2 0 同安区模拟）如图，在A A B C 中，Z C =90 .（1）尺规作图：在A8上求作点。使得=.（2）设E为
12、 BC的中点，连接O C和 DE,求证AOCES A4 8 c.【答案】见解析【详解】（1）作 8c的垂直平分线交A8于。,则点。即为所求；（2）-.-CD=BD,E为 B C 的中点，:.NDCE=NB,DE Y BC,:.ZDEC=ZACB=90,:.ADCEM BC.1 8.（2 0 2 1 闽侯县模拟）如图，已知A A 8 C,求作A B C 的角平分线力。，及作AD的垂直平分线分别交A。，BC的延长线于E,尸两点；并证明尸。2 =FZ T FC.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）A-fC【答案】见解析【详解】山题意画出图形，如图所示：连接E4,AZ）平分N8AC，:.ZBAD
13、=ZC AD，F 垂直平分A。，AF=DF,:,ZFAD=ZFDA,:.N B+NBAD=NCAD+NCAF,:./B =NCAF,又 NBE4=NCE4,AF _ CF诉-7 F FA?=FB FC,又.,DF=A万,:.FD2=FB FC.19.（2021南平模拟）如图，A48C为等边三角形.（1）求作：AABC外接圆。；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，若A 48c的边长为小，求 A B 的长.【答案】（1）见解析；（2）4n【详解】（1）如图，。即为所求作.(2)作。1 A B 于点 Q,T AB=6。，BD=A D =/,等边 A A B C 中，Z C =60
14、.408=1 2 0 ,又.0 4 =0 8 ,Z B O D =-O B =6Q ,2在 R t A B OD 中，s i n Z B 0 D =,BOe g /1 2 0 7 1 X 6/.AB 的长:=-=4 几.1 8 02 0.（2 0 2 1 上杭县模拟）如图，A A 8 C 中，AB A C ,。是8c的中点，点E在 3。上，且Z EAD=N C A D .（1）过点B作A C的平行线B F交射线AE于点F：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：A C =AF+BF.【答案】见解析【详解】（1）解：如图，8尸为所作;%/BF/AC，：FBD=NC,NM=ZCAD,
15、.ZEAD=ZCAD,：.ZEAD=ZM,：,FA=FM,O 是 8。的中点，/.BD=CD，在 凶0 M和ACDA中,NDBM=ZCDB=DC,NM=ZCAD：.BD M =CDAASA),.BM=AC即 BF+FM=AC,AC=AF+BF.2 1.(2021诏安县一模)如图，在 RtAABC 中，/ACB=90。,AC=4,的三个顶点O,E,尸分别落在边4 3,AC,8 C上.(1)用尺规作出正方形0ECF;(2)求正方形O EC F的边长.=3,正方形0EC户(2)设正方形OEC/的 边长为x,则有=CF=x,BF=3-x,V正方形DECF,.D F/A C ,DF _ BF-=-，AC
16、 BC即土=,4 3解得x=U，7.正方形。EC F的边长为工.722.（2021 龙岩模拟）如图，证明：三角形一内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（要求：在给出的AA8C中用尺规作出N 4 的角平分线AO交 BC于。，保留作图痕迹，不要求写出作法，并根据图形写出已知、求证和证明.）【详解】如图所示，AO即为所求,已知：A48C中，N8AC的 平 分 线 交 3 c 于点O,求证：任=处AC DC证明：过 C 作 C E/Z M,交A 4的延长线于E./.Z1=Z E,Z2=Z3.4。是角平分线,.-.Z1=Z2.Z3=Z E,.AC=AE，又,：AD I ICEAB B
17、DAEDCAB BDAC-PC23.（2021永定区模拟）如图顶角为36。的等腰三角形AA8C中，请用尺规作图法在AC边上找一点尸，A B C 尸与A A 8 C 相 似.（保留作图痕迹，不写作法）【详解】如图，点P即为所求.Z A B C=z c =（1 8 0 P -3 6）=7 2 ,B P 平分 N 4BC，.-.ZPBC=-Z A B C =36 ,2,;NPBC=NA =3 6 ,Z C =Z C ,:.PBCBA C.2 4.（2 0 2 1 福州模拟）如图，在A A 5 C 中,A B=A C .（1）在 8A的延长线上确定一点。，使得点。到 A ,C两点的距离相等；（尺规作图
18、，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的情况下，AC的垂直平分线与N B A C 的平分线交于点E,连接E 4,EC,DC,求Z A E C和4O C之间的数量关系.【答案】（1）见解析；（2）1 8 0【详解】（1）如图所示点。为所求作的点;(2)结论：2ZAEC+ZBDC=180.理由：连接CD.-.AB=AC,./ACB=N 8，:.ZDAC=ZACB+ABC=2ZB,NBAC=180 2NB,平分/ABC,:.ZBAE=ZCAE=-Z.BAC=90-ZB,2 .点E 在A C的垂直平分线上，/.EA=E C，.ZACE=ZEAC=90-ZB,:.ZAEC=180-ZCAE-ZACE=
19、2ZB，D4=OC,:.ZDCA=ZDAC=2ZB,:.ZADC=180O-ADAC-ZDCA=180-4ZB，/.2ZAC+ZADC=180,即 2N4EC+ZBDC=180.25.(2021福建模拟)如图，在RtAABC 中，ZACB=90.(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图(不写作法，保留作图痕迹)：作ZAC B的平分线，交斜边A B 于点D；过点。作 A C的垂线，垂足为点E.(2)在(1)作出的图形中，若CB=4,CA=6,求 D E的长.A【答案】（1）见解析；（2）5【详解】（1）如图，CO 为所求作的N A C 8 的平分线,如图，O E为所求作的AC的垂线；（2）TO C是
20、N A C B 的平分线,:.ZBCD=ZACD，：D ELAC ,BC1 AC,DEI IBC,：.ZEDC=ZBCD,:E C D =NEDC,/.DE=CE,;DEI/BC,A D E sb A B C、DE _ AE,BC AC设0 E =C E =x,贝 l j A E =6 x,x _ 6-x4 6解得：x=.5答：O E的长为”.52 6.（2 0 1 9宿迁）在 R t A A B C 中,Z C =90 .（1）如图，点。在斜边A3上，以点。为圆心，08长为半径的圆交A8于点。，交BC于 点E,与 边A C相 切 于 点F.求 证：Z 1=Z 2 ；(2)在 图 中 作，使它
21、满足以下条件：圆 心 在 边A B上；经 过 点B；与 边A C相切.(尺规 作 图，只保留作图痕迹，不要求写出作法)如图，连 接。尸，4 M o图A C是。的切线，OF 1 AC,V Z C =9 0 ,OF I IBC,:.Nl=NOFB,：OF=OB,:OFB=N2,.-.Z 1=Z 2.(2)如 图 所 示0M为所求.图作NA8C平分线交A C于F点，作8下的垂直平分线交A 3于M,以M B为半径作圆，即0 M为所求.证明：在B F的垂直平分线上，；.MF=M B ,:.ZMBF=ZMFB,又.以 平分4 B C ,:.NMBF=N CBF,:C B F =N M F B ,:.MF/
22、BC,.=90。，F M Y A C ,:.Q M与边A C相切.27.（2020鼓楼区一模）已知：如图，在AABC中，ZC=9 0 .请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段A B上找一点尸，使得点尸到边A C的 距 离 等 于 以（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）.28.（2015润州区二模）如图，AABC中,8。是&4 8 c的角平分线，（1）尺规作：作8。的垂直平分线分别交4 8、8 C于 仞、N（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接M。、N D,判断四边形8M D V的形状，并说明理由.B【详解】解：（1）如图，M N为所作;(2)四边形BM QN为菱形.理由如下
23、:.,A/N 垂直平分8 0,:.MB=MD,NB=ND,BD 平分 NMBN,BDLMN,.B MN 为等腰三角形，BM=BN,BM=MD=DN=NB,四 边 形 为 菱 形.2 9.（2 0 2 0 晋安区一模）如图，在正方形A 8 C 中，点E是C B 上一点.（1）请用尺规作图法，在线段AE上确定点H,使（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）利用你的作图法，证明A A H O s A E 氏4.【答案】见解析【详解】（1）如图所示，点”即为所求;D(2)-DH LAE,ZBAD=90,:.ZBAE+NDAH=ADH+NDAH=90,;BAE=ZDAH,又 NAHQ=N8=90。，30.（2019阜宁县一模）如图，AA3c 中，AB=BC.（1）用直尺和圆规在NA8C的内部作射线身M,ZABM=ZACB,且5M交AC于点O；（不要求写作法，保留作图痕迹）;若3C=6,BD=4,求线段AC的长.【答案】（1）见解析；（2）9【详解】解：（1）如图，8M为所作;-ZABD=ZACB,而 ABAD=NC48,AB BD 日 口 6 4AC BCAC 6.AC=9.