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1、专题0 3平方根、立方根和实数【考点串讲】【思维导图】考点1算术平方根和平方根的概念和性质1、算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a,即x二=a,那么这个正数x叫 做a的算术平方根。2、算术平方根的表示方法：非负数a的 算 术 平 方 根 记 作 读作根号a,其 中a是被开方数。例.（2022,河北邯郸七年级期中）的算术平方根是（）A.1.414 B.72 C.72 D.2【答案】C【解析】【分析】先计算4=2,再计算它的算术平方根即可.【详解】解：4=2,2的算术平方根是血.故选：C.【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义.注意本题是求的4=2 的算术平方根，不要计算成4的算术平方
2、根.专练1.（2021广东东莞市厚街圣贤学校七年级期中）如果J3-3 X +历 =0,则冲的值是（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根的非负性，计算求值即可；【详解】解：由题意得：3-31-0,y+2=0,Elx=l,y=-2,xy=-2,故选：A.【点睛】本题考查了非负代数式的和：如果几个非负代数式的和为零，那么每个代数式都等于零；掌握算术平方根的非负性是解题关键.专练2.（2021安徽合肥七年级期中）与近最接近的整数是（）A.3 B.4 C.5 D.7【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根的意义得出 而 不 才 囱 即 可求出答案.【详解】解：06
3、.25 7 9,0瓜芯出 也,回 2.5不 3,回四个选项中 与 近 最接近的整数为3,故选：A.【点睛】本题考查了算术平方根的意义及实数的比较大小等知识点，关键是能否知道 正 在2和3之间，题目比较典型.专练3.(2021湖北恩施七年级期末)若6的整数部分为x,小数部分为y,则四-y的值是()A.3/3-3 B.G C.1 D.3【答案】C【解析】【详解】解：因为1百 0),=-a(a 03-x 0解得：x=3 J 3-3+J 3-3+44,4x=4-12=-8,与一叙的立方根为-2.故选：B.【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质和立方根的定义，解题的关键是根据算术平方根的被开方数是非负数
4、，求得的值.专练2.（2022四川绵阳七年级期中）若 取+6=0,则x与V的关系一定是（）A.x-y =0 B.xy=0 C.x+y =（）D.xy=-【答案】c【解析】【分析】根据立.方根的性质求解即可得.【详解】解：回 取+/=0,跖=一6&x=-y,即 x+y =O,故选：C.【点睛】本题主要考查了立方根的性质，理解立方根的相关性质是解题关键.专练3 （2021全丹.七年学课时练习）利用计算器计算时，依次按键下：E H H,则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A.2.5 B.2.6 C.2.8 D.2.9【答案】B【解析】【分析】利用计算器得到后 的 近 似值即可作出判断.【
5、详解】077 2.646,团与 最 接 近的是2.6,故选B.【点睛】本题主要考查了计算器，属于基础知识，解题的关键是掌握计算器上常用按键的功能和使用顺序.考 点3实数的分类1、实数概念：有理数和无理数统称为实数2、实数的分类：1.按属性分类：2.按符号分类峦 整 数单 数-01有 理 好 负整数实数 分 数I正分数1负分数%理 数jiE无理数负无理数J正按数作有理数!正分数正实蛆正无理数实数彳0/整 数佻有理数 负分数I负实数 负无理数例.（2 0 2 2重庆渝北七年级阶段练习）下列各数：3.14、隹、0.2、,、近、当、河、V1 0 0 71 1 1女 中 无 理 数 有（）A.2个 B.
6、3个 C.4个 D.5个【答 案】B【解 析】【分 析】根据无理数定义以及常见的无理数的形式即可判定.【详 解】=看是有理数，归=3是有理数.而,近，我这三个是无理数.71故选：B【点 睛】此题考察了无理数的定义，解题要注意带根号的开不尽方才是无理数，无限不循环小数称为无理数.专 练L （2 02 1北京师范大学附属实验中学分校七年级期中）实 数A,1.4 14,72-我，H,#（-2）3 ,1.2,1.2 02 12 002 12 0002 1中 无 理 数 的 个 数 为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答 案】C【解 析】【分 析】无理数是无限不循环小数，据此定义解题.【详 解
7、】7解：（是 分数,不是无理数；1.414,1.2,是有限小数，不是无理数；五,n,1.202120021200021.是无理数；-囱=-3,限万2 是整数，不是无理数：即无理数的个数是3 个，故选：C.【点睛】本题考查有理数与无理数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.专练2.（2021上海浦东新七年级期中）在-|,y,-括，3.14,72-1.4,I-1|中，有理数有（）个.A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由题意直接根据有理数的定义、无理数的定义进行判断即可.【详解】解：-1是分数，-由=-；是分数，3/4 是循环小数，I -1|=1 是整数，,-括，3 4,-1|
8、是有理数，.有理数有4 个.故 选:B.【点睛】本题考查实数，主要利用了有理数和无理数定义，熟记相关概念是解题的关键.专练3.（2021浙江杭州绿城育华学校七年级阶段练习）关于血的叙述，错误的是（）A,血是无理数B.面积为8 的正方形边长是&C.我的立方根是2D.在数轴上可以找到表示及的点【答案】C【解析】【分析】根据实数的分类，平方根和立方根的性质，实数与数轴的关系逐项判断即可求解.【详解】解：A、布是无理数，该说法正确，故本选项不符合题意；B、团（而 丫=8,所以面积为8 的正方形边长是 网，该说法正确，故本选项不符合题意；C、8的立方根是2,该说法错误，故本选项符合题意；D,因为数轴上的
9、点与实数是一一对应的，所以在数轴上可以找到表 示 我 的点，该说法正确，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了实数的分类，平方根和立方根的性质，实数与数轴的关系，熟练掌握实数的分类，平方根和立方根的性质，实数与数轴的关系是解题的关键.考点4实数的性质和与数轴的关系（重点）1、实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示一个实数.2、，2 的画法：画边长为1 的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：尺规可作的无理数，如 逝尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如兀，1.010010001例.（2021湖北十堰七年级期末）将点A（
10、x4+y）向下平移6个单位长度得到点3（l-y,x）,则 历 面 的算术平方根是（）A.2 B.4 C.2 D.+4【答案】A【解析】【分析】让点A的纵坐标减5等于点B的纵坐标，点A的横坐标等于B的横坐标列式求出x,y,即可求解.【详解】解：由题意得x=l-y,l+y-6=x,解得 x=-2,y=3,0 yx+6y=V-2+18=V16=44的算术平方根为2,故选：A.【点睛】考查坐标的平移的规律；若为坐标轴平移，那么平移中点的变化规律是：横坐标右移减，左移加；纵坐标上移减，下移加，也考查了实数的性质.专 练1.（2021贵州黔南七年级期末）设。是不为零的实数，那么冗=言的不同取值共有（）A.
11、1 种 B.2 种 C.3 利 D.4 种【答案】B【解析】【分析】由题意知：|*0,即 0.在根据。0及“0 时，|a|=a,则x=R =?=l，当4 V o时，同=-“，则=告=幺=-1,PI-a鸵=5 1的取值有2种.故选：B.【点睛】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝时值是0,解题关键是根据。的正负情况讨论计算即可.专练2.（2021甘肃庆阳七年级期中）图，表示一日的点落在（)，一 、,*-、/、/、/，V V V、5 1 4 _=3 3=1 0A.段 B.段 C.段 D.段【答案】B【解析】【分析】判断-血 的大小即可求出答案.【详
12、解】解：0 9 1 1 1 6,0 3 V 1 T 4,0-4-VH -3.故选：B.【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是正确判断-而 的 大小，本题属于基础题型.专练3.(2 0 2 2 福建省福州格致中学七年级期中)已知数轴上的A点到原点的距离是2,那么在数轴上到A点的距离是6 的点所表示的数有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1 个【答案】A【解析】【分析】根据题意易得点4在数轴上所表示的数为2 或-2,然后根据数轴上的两点距离可进行求解.【详解】解：由题意得：点 A在数轴上所表示的数为2或-2,当点4在数轴上所表示的数为2时，则与之距离是6 的点所表示的数为6+2 或2-6：当
13、点A在数轴上所表示的数为-2 时，则与之距离是6 的点所表示的数为6 -2或-2 -6；综上所述：数轴上总共有4个点到A点的距离是指；故选A.【点睛】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上的两点距离是解题的关键.考点5实数的大小比较1、实数大小比较的方法(常用)：D 平方法2)根号法3)求差法2、实数的三个非负性及性质：(1)、在实数范围内，正数和零统称为非负数。(2)、非负数有三种形式任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a|K)；任何一个实数a 的平方是非负数，即视；任何非负数的算术平方根是非负数，即恒 K)(3)、非负数具有以下性质非负数有最小值零；非负数之和仍是非负数；几个非负数之和等
14、于0,则每个非负数都等于0例.(2022江苏苏州七年级期中)已知(-0.3)。，c=(-1 r2,比较a,b,c 的大小()A.a h c B.h c a C.a c h D.h a=-34=-1,C=(-；2=9,Sb a 3,然后找出满足条件的整数可判断A,根据算术平方根性质可判断B,根据立方根性质可判断C,根据估值可判断D.【详解】A.大于。小于乃的整数是1、2和3,故选项A不正确；B.算术平方根等于它本身的数有0,1,故选项B不正确；C.立方根等于它本身的数有1或0或1,故选项C不正确；D.091O16,03V1O -2 B.b h D.a -3【答案】B【解析】【分析】结合数轴上实数
15、。，人在数轴上的对应点的位置可直接写出答案.【详解】解：由数轴可得，-3 a V-2,a+b0,S b-a,a -3,a/6 B.2 73 C.3 及 D.2兀【答 案】D【解 析】【分 析】根据实数比较大小的方法求解即可.【详 解】解：02x/3=V12,3/2=718,76 712 V18 6,瓜 垄3应62兀，团最大的数为2万，故 选D.【点 睛】本题主要考查了实数比较大小，熟知实数比较大小的方法是解题的关键.考点6实数的运算1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除 数 不 为0）、乘方运算,又增加了非负数的开平方运算,任意实数可以进行开立方运算.进行实数运
16、算时，有理数的运算法则及性质等同样适用。2、实数的运算顺序：（1）先算乘方和开方;（2）再 算 乘除，最后算加;（3）如果遇到括号，则先进行括号里的运算.例.（2022浙江丽水七年级期末）若 等 式-3（-3）=1成立，则 ”内的 运 算 符 号 是（）A.+B.-C.x D.4-【答案】C【解 析】【分析】通过计算-!和(-3)的加减乘除即可.【详解】解：A、-；+(-3)=-与，选项不符合题意；B,V-1-(-3)=1 ,选项不符合题意；C、.-g x(_ 3)=l,选项符合题意；D、：-3(-3)选项不符合题意；故选：C.【点睛】本题考查了有理数运算，解题的关键是通过计算两数的加减乘除即
17、可作出判断.专 练 1.(2 0 2 1 广东珠海市紫荆中学七年级期中)质的整数部分是，小数部分是6,则 7(a+b)一4 的 值 为()A.-4 9 B.4 9 C.1 4 屈 D.1 4【答案】B【解析】【分析】先估算出7 相 8，可求出整数部分，然后可得小数部分，最后代入即可求解.【详解】解：0 4 9 6 1 6 4.回 7 而 8，便 标 的整数部分是。=7 ,回小数部分是。=而-7，0 7 Ca+b)ab=7 x(7 +A/61-7)-7 X-7)=4 9 ,故 选:B.【点睛】本题上要考查了无理数的估算，实数的运算，估算出7质 8 是解题的关键.专练2.（2020吉林德惠市第三中
18、学七年级阶段练习）如下图是一个数值运算程序，当输入值 为-2 时，则输出的数值为1,_,I,_,_,_n_0,Yes输 入 千 计 算x的平方小尸正 庆 于 同 一输出结果A.3 B.8 C.64 D.63【答案】D【解析】【分析】观察图形我们可以得出x 和y 的关系式为:y=x 2-l,因此将x 的值代入就可以计算出y 的值.如果计算的结果 5 0 为止，即可得出y 的值.【详解】解：当 x=-2 时，y=（-2）2-1=3,再把x=3代入y 中，y=32-1=8,再把x=8代入y 中，y=82-1=63,063 50,回输出的数就是63,故选D.【点睛】本题考查了程序流程图及运算，由于代入
19、-2 计算出y 的值是3,但 3 5 0 不是要输出y 的值，这是本题易出错的地方，还应将x=3再代入y=x 2-l继续计算，循环计算，宜到结果大于 50.专练3.（2021云南曲靖市民族中学七年级阶段练习）如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为9 6.我们发现第一次输出的结果为4 8.第二次输出的结果为2 4.则第2019输出的结果为（）A.6B.3C.12D.2,008【答案】B【解析】【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算.【详解】由设计的程序，知依次输出的结果是48,24,12,6,3,6,3.,发现从6 开始循环.则 2019-3=2016,2016是
20、2 的倍数，故第2019次输出的结果是3.故选：B.【点睛】此类题主要是能够正确发现循环的规律，根据循环的规律进行推广.该题中除前三次不循环外，后边是2 个一循环.考 点 7 无理数的估算例.（2019北京一七一中七年级期中）关于店的叙述正确的是（）A.在数轴上不存在表示血的点 B.册=6.+限C.与我最接近的整数是3 D.78=2【答案】C【解析】【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的运算法则，二次根式的性质化简计算即可.【详解】解：A、数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上存在表示抵的点，故选项错误；B、瓜=2丘 丰 五+&,故选项错误；C、与 我 最 接
21、近的整数是3,故选项正确；D、应=2 近，故选项错误.故选C.【点睛】本题涉及了数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的运算法则，二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握每一个知识点是正确解题的关键.专练1.（2021上海上外浦东附中七年级期末）已知面积为12的正方形的边长为X,那么x的范围是（）.A.l x 2 B.2 c x 3 C.3x4 D.4x 0）,再由9 12 16,得到9 V 16，则3V x0）,091216,09X216,123Vx0）是解题的关键.专练2.（2022湖北孝感七年级期中）估 计 届-2 的 值 在（）A.4 和 5 之间 B.5 和 6 之间 C.6 和 7 之
22、间 D.7 和 8 之间【答案】C【解析】【分析】首先对而 进 行 估算，再根据不等式的性质 对 病-2 进行估算，即可判定.【详解】解：.厢 而城，8/659，.8-2/65-29-2,即6c病-27,故 病-2 在 6 和 7 之间，故选：C.【点 睛】本题考查了无理数的估算及不等式的性质，熟练掌握和运用无理数的估算方法是解决本题的关键.专 练 3.（2020浙江省余姚市实验学校七年级期中）设为正整数，（同/27 D.6【答 案】B【解 析】【分 析】根据算术平方根的意义估 算 而 的大小即可.【详 解】解：,后回廊，5/30 6,n A/30 +1,且 为 正 整 数，.7 1 5 故选：B.【点 睛】本题考查估算无理数的大小，解题的关键是掌握算术平方根的意义.