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1、福建省厦门市同安区2021-2022学年九年级上学期期中数学试 题（改）学校:姓名：班级：考号：一、单选题（共 40分）1.（本题4 分）已知2 是关于x 的方程3 =0 的根，则。的 值 为（）4A.-4 B.4 C.2 D.-52.（本题4 分汜知关于x 的一元二次方程d-2 x-a =0 的两根分别记为“马，若为=-1,则的值为（）A.7 B.7 C.6 D.63.体 题 4 分）已知A（-1，W，B（0,n）,C（2,+l）,。（3,%）四个点中只有一个点不在二次函数y=ar2-2ar+c的图象上.下列关于这个点的说法中，正确的是（）A.这个点一定是点AB.这个点一定是点8C.这个点一
2、定是A,。中某一点D.这个点一定是5,C 中的某一点4.（本题4 分）某药厂2013年生产11甲种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，2015年生产I t 甲种药品的成本是3600元.设生产I t 甲种药品成本的年平均下降率为 x,则 x 的值是（）A 5-V15 R 5+V15 屈 n 25 5 5 55.（本题4 分）二次函数），=f-2 x +4 化为y=+Z 的形式，下列正确的是()A.y=(x-l)2+2 B.y=(x-I)2+3C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+46.(本题4 分)下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是()A.x2+6x+9=0 B.x2=x
3、 C.x2+3=2x D.(x 1)+1=07.(本题4 分)抛物线丫=(2-犬)2+3的对称轴是()A.直线x=-2 B.直线x=2 C.直线x=-3 D.直线x=38.（本题4 分）用公式法解方程3/-2 x+3 =0 时，需要先判断层-4 a 是否为非负数,其中c 分 别 是（）A.a=3,b=2 f c=3 B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=3 D.a=3,b=2,c=39.（本题4 分）下表中列出的是一个二次函致的自变量x 与函数y 的几组对应值：下列各选项中，正确的是（）X-2013y-6464A.函数的图象开口向上 B.函数的图象与x 轴无交点C.函数的最大值大
4、于6 D.当-时，对应函数y 的取值范围是3 4”61 0.（本题4 分）对于题目“一段抛物线L：y=-x（x-3）+c（0 x 0）第一象限的图象上，A B L x轴，A C L y轴，垂足分别为B、C,连接B C,交函数图象于点D,DE_Ly轴于点E,则段DE的值为.三、解答题（共 8 6 分）1 7 .体 题 8 分）解方程：X2+4X-2 =0.1 8 .（本题8 分）已知关于x的一元二次方程9 2 x+i _ 2 =0 有两个不相等的实数根.（1）求女的取值范围；（2）请你给出一个Z的值，并求出此时方程的根.1 9 .（本题8分）已知二次函数的图象经过点（0,3）,且顶点坐标为（-1
5、,4）.（1）求这个函数解析式；（2）在直角坐标系，画出它的图象.2 0.（本题8 分）如图，某校准备为投资1 万元围一个矩形的运动场地，其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造且三边的总长为5 0 m,墙长2 6 m,平行于墙的边的费用为2 0 0 元/m,垂直于墙的边的费用1 5 0 元/m,设平行于墙的边长为足.运动场（1）若运动场地面积为30 0 m 2,求x的值；（2）当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？2 1 .（本题8分）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价1 6（万元）.当每辆售价为2 2 （万元）时，每月可销售4辆汽车.根据市场行情，现在决定进行降价销售.通过
6、市场调查得到了每辆降价的费用%（万元）与月销售量x （辆）（x 4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表:X4 56780 0.51 1.5 2（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出与x的关系式M ;（2）每辆原售价为2 2 万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润 =（每辆原售价-X-进价）x,请你根据上述条件，求出月销售量x（x/4）为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？2 2.（本 题 1 0 分）如图，已知二次函数2=-彳 2+（4 +1 印-。与x 轴交于A、B两 点（点A位于点B的左侧），与 轴交于点C,已知A B A C 的面积是6.（2）在抛物线上是否存在一点P,使
7、4 4 州=5.叱.存在请求出尸坐标，若不存在请说明理由.2 3.（本 题 1 0 分）已知关于x的一元二次方程x 2 -（2 k-1）x+k 2+k-1=0 有实数根.（1）求 k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x l,x 2 满足x l 2+x 2 2=l l,求 k的值.2 4 .（本 题 1 2 分）若实数。,b,满足a+b =l 时，就称点尸（。g）为“平衡点”（1）判断点A（2,-3）,矶3,-2）是不是“平衡点”；（2）已知抛物线y=；x 2+（p _ f _ 1）x+q +f-3（f 3）上有且只有一个的“平衡点”，且当-2 4。4 3 时，q的最小值为r,求r 的值.2
8、5 .（本 题 1 4 分）抛物线丫=加+以+c 过 A（l,0）、6（2,5）两点，且对称轴x =-l.（1）求抛物线的解析式；（2）直线/：y=去一左（0&4 3）与 抛 物 线 交 于 几）、”（4，,八），xM _ 2X X,)=3 (X +x,+2,xtx=3 4 6=1 ,故选：B.h c【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌 握 入+=-2，司-*2=是解题的关键.a a3.D【分析】将二次函数变形为顶点式，找出二次函数图象的对称轴，结合题意，即可判断【详解】解：y=a)C-2ax+c =a(x-l)-+c-a,可知抛物线的对称轴为直线x=l.因 为%=%，XA+XD=2,所以A,
9、。两点要么同在抛物线上，要么都不在抛物线上；且因为；+%=2,但二无，所以B,C两点中必至少有一点不在抛物线上.因为A,B,C,。四个点中只有一个点不在抛物线上，所以A,。两点同在抛物线上，B,C两点中必有一点不在抛物线上.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，解题的关键答案第1页，共1 5页是找出二次函数图象的对称轴.4.A【分析】设生产I t 甲种药品成本的年平均下降率为X,根据201 3年生产1 吨某药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，201 5年生产1 吨药品的成本是3600元可列方程解答即可.【详解】设生产I t 甲种药品成本的年平均下
10、降率为x,由题意得：6000(1 -X)2=3600解得：xi=H,X 2=，5(不合题意，舍去)，生 产 it 甲种药品成本的年平均下降率为*M l.5故选：A.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.5.B【分析】利用配方法整理即可得解.【详解】解：产N-Z r+4=(x-l)2+3故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键.6.A【分析】计算出各选项中方程根的判别式的值，找出等于0 的选项即可.【详解】A.d+6 x +9=0,=62-4x9=0,故方程有2 个相等的实数根，符合题意B.f=x，即d-x =0,A =l 0
11、,故此方程2 个不相等的实数根，不符合题意；C.X2+3=2X,即/-2 +3=0,A=4-1 2 0,故此方程无实数根，不符合题意；D.(X 1)+1 =0,B P x2-2x+2=0,A =4 8 0 时，方程有两个不相等的实数根；当=()时，方程有两个相等的实数根，当+3的对称轴是:直线x=2,故选：B.【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答案第2 页，共 1 5页答.8.D【分析】利用一元二次方程的定义进行判断.【详解】解：3/-2X+3=0,a=3,b=-2,c=3.故选：D.【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程
12、的方法是公式法.9.C【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断.【详解】解：设二次函数的解析式为产ax2+bx+c,-6=a x(-2)2+bx(-2)+c由题意知，4=c ,6=a+b+ca=-1解得，b=3,c=43 25.二次函数的解析式为y=-N+3x+4=-(x-4)(x+l)=-(x-)2+,A、a=-l 6,故本选项符合题意；3D、函数对称轴为直线4 彳，当户|3 时，函数有最大值为25?，当:r=-l 时，y=-/+3x+4=0,25当-1 4 x 4 2 时，对应函数y的取值范围是0 4 y 4?,故本选项不符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查了待
13、定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，配方法求抛物线的顶点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.1 0.D【分析】分两种情况进行讨论，当抛物线与直线相切，=()求得c=l,当抛物线与直线不相切，但在0W X W 3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3,4,5,故 c=3,4,5答案第3页，共 1 5 页【详解】解：抛物线L：y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线1：y=x+2有唯一公共点:如图1,抛物线与直线相切，图1y=-x(x-3)+c；y=x+2得 x2-2x+2-c=0=(-2)2-4(2-c)=0解得：c=l,当 c=l时，相切时只有一个交点，和题目相符所以不用舍
14、去;如图2,抛物线与直线不相切，但在0SXS3上只有一个交点此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5)在抛物线上.，c的最小值=2,但取不到，c 的最大值=5,能取到*.2c-!且【分析】根 据 题 意 可 得 且 判 别 式 A 0,求解不等式即可.4【详解】解：二次函数丫 =皿 2+_1的图象与X轴有两个交点二加工0,且判另U 式 =b2-4ac0A=1 4xnix(-1)0,相20解得相 -!且加片 0故答案为：1 且 加工0【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与*轴交点问题，掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键.13.(5,-2)【分析】画出坐标系，然后找到旋转后得到的。点，
15、根据三角形全等找到对应线段，从而求出坐标.【详解】解：如图所示，。为仞绕点。顺时针旋转90度后的对应点，分别过M 作 MPLx轴于P,QELx轴于E,，ZMPO=ZOG=90由旋转的性质可得。例=。，NMOQ=90。，ZMOP+Z QOE=ZMOP+ZOMP=90,：.ZOMP=ZQOE,.OMP丝0OE(A4S),：.OE=MP,QE=OP,：M(2,5),答案第5 页，共 15页：0E=MP=5,QE=OP=2,：.Q(5,-2),故答案为：(5,-2).A；ML-L 一 一 L 一1一 一 L 一 j-i-i一 一 一，一-j【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，绕原点旋转9 0
16、度后的点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件.1 4 .(2,-2)【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答.【详解】解：由二次函数y =3的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到新的函数的解析式为y =(x-2)2-3 +l,即y =(x-2-2顶点坐标为(2,-2)；故答案为(2,-2)【点睛】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关 系.关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，运用顶点式求抛物线的解析式.1 5 .6【分析】求小球距离地面的最大高度即为求的最大值，把二次函数的解析式化成顶点式，即可得出答案.【详解】解：h=-5 P+1 0 f+l=-5(2
17、 2。+1=-5(凡 2 f+l)+l+5=-5(f-1尸+6,-5 0,则抛物线的开口向下，有最大值，当 仁1时，/I有最大值是6,即小球距离地面的最大高度为6 m.答案第6页，共1 5页故答案为6.【点睛】本题考查了二次函数的最值，关键是把函数式化成顶点式.1 6铝【分析】设 A M a m,则 B(m,。)，C 0 a m,根据待定系数法求得直线r)EBC的解析式，然后联立方程求得D 的横坐标即可求得处的值.BO【详解】设 A(m,am2),则 B(m,0),C(0,am2),设直线y=kx+b,ink+b=0入 2 ，解得b-amk=-amb=am2/.y=-amx+am2,解y=-/
18、5 1得 xi=-m,2*2=哼1m(舍去),DE_Ly 轴于点 E,DE _ -m _ 6一 1 9-OB 2m故答案为屿二L2【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.1 7.%=-2+遥，马=-2-卡 【分析】找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出 =2 4 0,再将a,b,c 分别代入公式即可解出.【详解】；a=1,b=4,c=-2,b2-4ac=42-4 x lx(-2)=24.-4V24-42/6-r2x1 2x,=2+5/6,x2=2 6.【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次
19、项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于。时，将 a,b 及 c 的值代入求根公式即可求出原方程的解.18.(1)k0；(2)k=l：xi=0,X2=2【分析】(1)根据判别式的意义得到 =(-2)2-答案第7 页，共 15页4 x lx(l/)0,然后解不等式即可；(2)根 据(1)中大的取值范围，任取一符合条件的左值，然后解方程即可.【详解】解：(1)关于x的一元二次方程/-2 x+l-&=0有两个不相等的实数根.,.=(-2)2-4 x lx(l-j t)0,解得k。；(2)由(1)知，实数&的取值范围为火 0,故取火=1,则 x2-2x=0,即无(片2)=0,解得，x/=
20、0,*2=2.【点睛】本题考查了一元二次方程以2+版+片0 (f l/0)根的判别式=济-4：当 0,方程有两个不相等的实数根；当仆=0,方程有两个相等的实数根；当4 0,方程没有实数根.1 9.(1)y =-(x+l)2+4 =-x2-2 x+3；(2)见解析【分析】(1)把函数解析式设为顶点式，然后代入(0,3)求解即可；(2)先列表，然后描点，最后连线即可.【详解】解：(1)二次函数的顶点坐标为(-1,4),可设二次函数解析式为y =a(x+l)2+4,又.点(0,3)在二次函数图像上，/.a(0+l)2+4=3,*.6 Z =-1 ,；二次函数解析式为y =-(x+l)2 +4 =-x
21、2-2 x +3 ；(2)列表如下：X-3-2-101y=-x2-2x+303430函数图像如下所示:答案第8页，共1 5页【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法.2 0.(1)2 0(2)没有超过预算【分析】(1)根据矩形的面积公式列方程求解可得；(2)根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得.(1)根据题意，得：(失 土 卜=3 0 0,解得：x=2 0 或 x=3 0,墙的长度为2 4 m,/.x=2 0；(2)设运动场地的面积是S,R(5 0-XA 1 2 r u 1 /x
22、 2 6 2 5贝 =+2 5 x =-(x-2 5)+)V-0,2.当x 2 5 时，S 随 x的增大而增大，V x26,当 x=2 5 时，S 取得最大值，答案第9页，共 1 5 页，总费用=25X200+25X150=875010000,没有超过预算.【点睛】本题考查了二次函数的应用、长方形的周长公式的运用、长方形的面积公式的运用、一元二次方程的解法的运用，解答时根据长方形的面积公式建立方程和函数解析式是关键.2 1.(l)y=；x-2；(2)月销售量为8 辆时，销售利润最大，最大利润是3 2 万 元【分析】(1)观察表格中数据可知，与x的关系式为一次函数的关系，设解析式为=依+3 再代
23、入数据求解即可；(2)根据已知条件“每月销售利润)=(每辆原售价-%-进价)x”，求出y的表达式，然后再借助二次函数求出其最大利润即可.【详解】解：(1)由表中数据可知，与x的关系式为一次函数的关系，设解析式为y=kx+b,代入点(4,0)和点(5,0.5),得到0=4k+h0.5 =5 4 +6,解得,”一5,b=-2故M与x的关系式为X =g x-2；(2)由题意可知：降价后每月销售利润)=(每辆原售价-)1-进价)x,即：y =(2 2-g x+2-1 6)x =-g x?+8 x ,其中 x 2 4,.y 是x的二次函数，且开口向下，其对称轴为彳=-3=8,2a.当x =8 时，y有最
24、大值为-1？8 2 8?8 3 2 万元，2答：月销售量为8 辆时，销售利润最大，最大利润是3 2 万元.【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，读懂题意，根据题中已知条件列出表达式是解决本题的关键.2 2.(1)。=一 3；(2)存在，P 点的坐标为(-2,3)或(_+疗,-3)或【分析】(1)根据求出A,B,C 的坐标，再由M4C的面积是6 得到关于a 的方程即可求解;(2)根 据 即=5 凶死得到户点的纵坐标为3,分别代入解析式即可求解.答案第1 0 页，共 1 5 页【详解】(1):+(a +l)x-a ,令 x=o,则 y=-。，C(O,-a),令 y =0,g
25、p-x2+(a +l)x -a =0解得士=。，X j =1由图象知：解得 x =-l+近 或 x =-l-/7,二尸点的坐标为(-2,3)或(_ 1 +J 7,-3)或(-1 -J 7,-3).【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用.2 3.(1)k 0,解之可得；(2)利用根与系数的关系可用k 表示出X I+X 2 和 X I X 2 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍.【详解】(1);关 于 X的一元二次方程X 2 -(2 k-1)X+k2+k-1=0 有实数根，A A0,即 -(2 k-1)2-4 x l
26、x (k2+k-1)=-8 k+5 0,答案第I I 页，共 1 5 页解得k|；o(2)由根与系数的关系可得x i+x 2=2 k-1,x i X 2=k2+k-1,/.XI2+X22=(X 1+X 2)2-2 x i X 2=(2 k-1)2-2 (k2+k-1)=2 k2-6 k+3,VXI2+X22=1 1,A 2 k2-6 k+3=l l,解得 k=4,或 k=-l,k,o/.k=4 (舍去)，k=-1.【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.2 4.(1)A不是“平衡点”，8 是“平衡点”；(2)f =
27、4 +6【分析】(1)只需将横纵坐标相加后是否等于即可判断；(2)由题意可设该平衡点为(。，1-)，代入抛物线中，由于有且只有一个平衡点，所以A=0,再利用题目的条件即可求出f 的值.【详解】解：(1).%的坐标是(2,-3)2+(-3)=-1,不满足“平衡点”的定义，.A 不是平衡点；又；2的坐标是(3,2)3-2=1,满足“平衡点”的定义，是平衡点；(2)设抛物线的平衡点为(。，1-。)，把(a,1 -a)代入 丫=1/+(n-t-1)x+q+t-3；4.化简后可得：a2+(p-?)a+q+t-4=0,由于有且只有一个平衡点，二关于”的一元二次方程，A=0,，化简后为 4=(p-f)2+4
28、-/,是p 的二次函数，对称轴为0=，开口向上，答案第1 2 页，共 1 5 页v-2p3 q 随 p 的增大而减小，当=3 时，q 可取得最小值，:.(3-t)2+4-t=3J 解得=4石，Vr3,A/=4+73.【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，关键是要理解只有一个平衡点即 二().25.(1)y=/+2 x-3；(2)-4yM 0;心=9-2八4【分析】(1)根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴交于另一点C 的坐标，进而设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1),将点8(2,5)代入，待定系数法求解析式即可；(2)由一次函数可得过定点(1,0),进而联立一次函数与二次函数解析式，
29、根据一元二次方程根与系数的关系求得点M的横坐标，进而求得点M的纵坐标，根据二次函数的性质即可求得当OMk 0 开口向上，当=2 时，加取得最小值-4.Qk3,当=0 时，取得最大值0,-4 4 加 4 由题意知：？Q y 轴，设点P 的坐标为(x,Y+2x-3),则点Q(x,k x-k),贝 ij PQ=k x-k x2 2x+k=x2+(4 2)x+3-Zv-l 0 PQ有最大值,答案第14页，共 15页当X=2 =匕 时，PQ的最大值为4C.=_4-幻 _J_ 2)2 =)._ 2 k +42a 2 4a-4 4即 心=$2-2%+4【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，根据二次函数的性质求最值，掌握二次函数的性质是解题的关键.答案第15页，共 15页