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1、2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标m）一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知集合 A=（x,y）|x2+y2=l,B=（x,y）|y=x,则 AAB 中元素的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.02.（5 分）设复数 z 满 足（1+i）z=2 i,则|z|=（）A.L B.返 C.如 D.22 23.（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014年 1 月至2016年 12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制根据该折线图，下列结论错误的是（）A.月接
2、待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月D.各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12月，波动性更小，变化比较平稳4.（5 分）（x+y）（2x-y）5的展开式中的x3y3系 数 为（）A.-80 B.-40 C.40 D.805.（5 分）已知双曲线（a0,b 0）的一条渐近线方程为y=1,a D 22 2且与椭圆+二=1有公共焦点，则C 的方程为（）12 3A.8 10 4 5 5 42 2D.口-建 14 36.（5 分）设函数f（x）=cos（x+工），则下列结论错误的是（）3A.f（x）的一个周期为-2nB.y=f（x）的图象关于直
3、线x=L 对称3C.f（x+n）的一个零点为x=6D.f（x）在（2L,R）单调递减27.（5 分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于9 1,则输入的正整数N的最小值为（）./输入N/r=W=100f=0A.5 B.4 C.3 D.28.（5 分）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.n B.12Lc.2L D.2L4 2 49.（5 分）等差数列a#的首项为1，公差不为0.若 a2,a3,a6成等比数列，则a j前 6 项的和为（)A.-24 B.-3 C.3D.82 210.（5 分）已知椭圆C：二+口 1（a b 0）的左、右顶
4、点分别为Ai，A2,且2,2a b以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则 C 的离心率为（）A.返B.返C.返D.工3 3 3 311.（5 分）已知函数 f（x）=x2-2x+a（ex-1+e x+1）有唯一零点，则 a=（）A.-J-B.1.C.L D.12 3 212.（5 分）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上.若屈=入标+|115，则入+目的最大值为（）A.3 B.2&C.遍 D.2二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。x-y）013.（5 分）若 x,y 满足约束条件 x+y-240，则z=3x-4
5、y的 最 小 值 为.14.（5 分）设等比数列 a j 满足 ai+a2=-1，ai-a3=-3,则 a4=.x+X 1 的x 的取2X,x0 2值范围是.16.（5 分）a,b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b 都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与 a 成 60。角时，AB与 b 成 30。角；当直线AB与 a 成 60。角时，AB与 b 成 60。角；直线AB与 a 所成角的最小值为45；直线AB与 a 所成角的最小值为60；其 中 正 确 的 是.（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17.（12分）ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2、/7，b=2.（1）求 c；（2）设 D 为 BC边上一点，且 AD_LAC,求A BD 的面积.18.（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于2 5,需求量为500瓶；如果最高气温位于区
7、间20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于2 0,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最 高 气 温 10,15）15,20）20,25）25,30）30,35）35,40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19.（12分）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ZACD是直角
8、三角形，ZABD=ZCBD,AB=BD.（1）证明：平面ACD_L平面ABC；（2）过 AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-A E-C 的余弦值.20.（12分）已知抛物线C：y2=2x,过 点（2,0）的直线I 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点。在圆M 上；(2)设圆M过点P (4,-2),求直线I与圆M的方程.21.(12 分)已知函数 f(x)=x-1-alnx.(1)若f(x)2 0,求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n,(1+!)(1+L).(1+A_)Vm,求2 22 2nm的
9、最小值.(二)选考题：共1 0分。请考生在第22、2 3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中，直线h的参数方程为”=2+t,4为参数)，ly=ktx=-2+in直线L的参数方程为 m,(m为参数).设li与L的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设b：p(cosB+sinB)-a=0,M为I3与C的交点，求M的极径.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数 f(x)=x+l|-x-2.(1)求不等式f(x)2 1的解集；(2)若不等式f(
10、x)2x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标m）参考答案与试题解析一、选择题：本 题 共12小题，每 小 题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知集合 A=（x,y）Ix2+y2=l,B=（x,y）|y=x,则 AC B 中元素的 个 数 为（）A.3 B.2 C.1 D.0【分析】解不等式组求出元素的个数即可.f V2 r V2（9 2-x=-【解答】解：由X+y=1,解得：;或 3.,.A P B的元素的个数是2个，故 选:B.【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题.2.（5 分）设复数 z
11、 满 足（1+i）z=2 i,则|z|=（）A.1 B.返C.料D.22 2【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:V（i+i）z=2i,:.（1-i）（1+i）z=2i（1-i）,z=i+l.则|z=V2.故选：C.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰
12、期大致在7,8 月D.各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12月，波动性更小，变化比较平稳【分析】根据已知中2014年 1 月至2016年 12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案.【解答】解：由已有中2014年 1 月至2016年 12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故 A 错误；年接待游客量逐年增加，故 B 正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月，故 C 正确；各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确；故选：A.【点评】本题考查的知识点是数据的
13、分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题.4.(5 分)(x+y)(2x-y)5的展开式中的x3y3系 数 为()A.-80 B.-40 C.40 D.80【分析】(2 x-y)5的展开式的通项公式:Tr,i=r(2x)5 r(-y)r=25 r(-1)5rx5 ryr.令 5-r=2,r=3,解得 r=3.令 5-r=3,r=2,解得 r=2.即可得出.【解答】解：(2x-y)5的展开式的通项公式：口 =广(2x)5-r(-y)r=25-r(-51)rrx5-ryr.令 5-r=2,r=3,解得 r=3.令 5-r=3,r=2,解得 r=2.(x+y)(2x-y)5 的展开式中的 x
14、3y3 系数=2?X(-1)3+23X 1 X 2=40.5 5故选：c.【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.5.(5分)已知双曲线(a0,b 0)的一条渐近线方程为y=近x,a b且与椭圆有公共焦点，则C的方程为(12 3x _-4 3【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程.2 2【解答】解：椭圆上_+心1的焦点坐标(3,0),12 3则双曲线的焦点坐标为(3,0),可得c=3,双曲线C：l i-y Li (ao,b 0)的一条渐近线方程为y=Y,2,2 9a b乙可 得
15、 且 必，即/二 号2=旦,可得=3,解得a=2,b=收，a-2 a2 4 a 22 2所求的双曲线方程为：-“L4 5故 选:B.【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力.6.(5 分)设 函 数 f(x)=cos(x+2 L),则下列结论错误的是()3A.f(x)的一个周期为-2nB.y=f(x)的图象关于直线x=g2L对称3C.f(x+n)的一个零点为x=2L6D.f(x)在(2L,n)单调递减2【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可.【解答】解：A.函数的周期为2 k n,当 k=-l时，周 期 T=-2TI,故 A 正确，B.当 x=三
16、时,cos(x+2I_)=cos(-2L+)=cos-il2Icos3n=-1 为最小值，3 3 3 3 3此时y=f(x)的图象关于直线x=22L对称，故 B 正确，3C 当 x=2L时，f(3_+兀)=cos(_ L+n+2L)=cos2JL=0,贝 U f(x+n)的一个零点6 6 6 3 2为 x=2 L,故 c 正确，6D.当J LV XVA时，1 2 L x+2 L b 0)的左、右顶点分别为Ai，A2,且2,2a b以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则 C的离心率为()A.返B.返C.返D.L3 3 3 3【分析】以线段A 1 A 2 为直径的圆与直线b
17、x-a y+2 a b=0 相切，可得原点到直线的距 离/2 a b _ a,化简即可得出.【解答】解：以线段A 1 A 2 为直径的圆与直线b x-a y+2 a b=0 相切，.原点到直线的距离-2 或=a,化为：a2=3 b2.椭圆C的离心率e=、1 9=返M a2 3故选：A.【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1 1.(5 分)已知函数 f (x)=x2-2 x+a (ex1+e-x*1)有唯一零点，则 a=()A.-LB.1 C.2 D.12 3 2【分析】通过转化可知问题等价于函数y=l-(x -
18、1)2 的图象与y=a (ex i+_ J _ _)x-1e的图象只有一个交点求a 的值.分a=0、a V O、a 0 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论.【解答】解：因为 f (x)=x2-2 x+a (exl+e x+1)=-1+(x-1)2+a (exl+-)X-1e=0,所以函数f (x)有唯一零点等价于方程1-(X-1)2=a (exl+-)有唯一解,X-1e等价于函数y=l-(x-1)2 的图象与y=a (e x I+二 _)的图象只有一个交点.X-1e当a=0 时，f (x)=x 2-2 x 2-1,此时有两个零点，矛盾；当 aVO时，由于y=l-(x-1)2 在(一 8,1
19、)上递增、在(1,+oo)上递减，且y=a (ex-T+)在(-8,i)上递增、在(1,+8)上递减，X-1e所以函数y=l-(x-1)2 的图象的最高点为A(1,1),y=a 的图x-1象的最高点为B(1,2a),由于2 a V 0 V l,此时函数y=l-(x-1)2的图象与y=a 的图象有X-1e两个交点，矛盾；当 a 0 时，由于y=l-(x-1)2在(一 8,1)上递增、在(1,+oo)上递减，且 y=a(ex l+i)在(-8,1)上递减、在(1,+8)上递增，X-1e所以函数y=l-(x-1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a 1 乂-1+一)的图X-1e象的最低点为B(1,
20、2a),由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1,即2=工，符合条件；2综上所述，a=l,2故选：C.【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力,考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题.12.(5 分)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心旦与BD相切的圆上.若尾入标+|1菽，则入+日的最大值为()A.3 B.2&C.遥 D.2【分析】如图：以A 为原点，以AB,AD所在的直线为x,y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为(m 5 co s0+l,马 叵 in0
21、+2),5 5根据正乂而+|1而，求出入，山 根据三角函数的性质即可求出最值.【解答】解：如图：以A 为原点，以AB,AD所在的直线为x,y 轴建立如图所示的坐标系，贝 UA(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),.动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为3VBC=2,CD=1,.*.B D=2 2=V5.J-BCCD=J-BDr,2 2 r-27 T.圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=,5设点 P 的坐标为(f匹cosB+1,-Zsin0+2),5 5 忍 入 场 屈，.(2怎os8+l,_ /L in 0+2)=入(1,0)+口 (0,2)=(入，2日),
22、5 5，久5cos8+1=入，2/Esine+2=2|i,5 5.C+|-i=i2Zlxose+2/sine+2=sin(0+4)+2,其中 tan6=2,5 5-lW sin(0+4)W l,，1 G+HW3,故人+口的最大值为3,故选:A.【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。x-y 013.（5分）若x,y满足约束条件 1的x的取2X,x 0 2值范围是(.X,+8)._4【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可.【解答】解：若x
23、 W O,则x-L W-L2 2贝f(x)+f(x-L)1 等价为 x+l+x-上+1 1,即 2x-A,贝|J X.X,2 2 2 4此时VxW 0,4当 x 0 时，f(x)=2X 1,x-,2 2当x-L 0即*时，满足f(x)+f(x-1)1恒成立，2 2 2当 0 2 x -,即_L2X 0 时，f(x-)=x-+l=x+2.,2 2 2 2 2 2 2此时f(x)+f(x-1)1恒成立，2综上x ，4故答案为：(，+8).4【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键.16.(5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角
24、三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直，斜边A B以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60。角时，AB与b成30。角；当直线AB与a成60。角时，AB与b成60。角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60；其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号)【分析】由题意知，a、b、A C三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1,|A B|=&,斜边A B以直线AC为旋转轴，则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果.【
25、解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1,故|AC|=I,AB|=&,斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的 方 向 单 位 向 量(0,1,0),|=1，直线b的方向单位向量i(1,0,0),后|=1,设B点在运动过程中的坐标中的坐标夕(cos。，sinQ,0),其中0为B，C与CD的夹角，ee 0,2R),.AB，在运动过程中的向量，=(cos。，sin0,-1)，I A
26、B=、反设蓝L 与加成夹角为a0,A ,贝UcosaJC co s9,一s in Q/.S,1包匹卜 所 川 G 0,返,|a|.|A BZ|2 2.,.a e 2 L,2 L,.正确，错误.4 2设 丁 与E所成夹角为BGo,2 L,C O S(n3=A=B-7Z*b I=-I-(-c-o-s-6-,-s-i-n-9-,1).-(-1-,-0-,-0-)-|=X-C O SQ0 iI,|AB?|-|b|b|-|A BZ|当AB 与 款 角 为60时,即a=3，sin=A/2COSO.=COS:cos20+sin20=l,cosB=2|cos。|=,2 2v p e o,2L,.,.p=2 L
27、,此时 AB,与己的夹角为 60，2 3.正确，错误.故答案为：.【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17.(1 2分)4A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2 j7，b=2.(1)求 c；(2)设D为BC边上一点，且AD_LAC,求a A B
28、 D的面积.【分析】(1)先根据同角的三角函数的关系求出A,再根据余弦定理即可求出，(2)先根据夹角求出cosC,求出CD的长，得到SAABD=L SAABC.2【解答】解:(1),.,sinA+J5cosA=0,/.tanA=-/3，V0 A n,.-.A=22L,3由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即 28=4+c2-2X 2cX (-L),2即 c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,故 c=4.(2)Vc2=b2+a2-2abcosC,，16=28+4-2 X 2诉X 2 X cosC,.-.CD=_ L=-V7cosC 乙V?/.CDJBC2_SMBC=XA
29、B ACsin Z BAC=Lx 4 X 2 X叵2a,2 2 2AABC=A/3【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题18.（1 2分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于2 5,需求量为5 0 0瓶；如果最高气温位于区间20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于2 0,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最 高 气
30、 温10,15）15,20）20,25）25,30）30,35）35,40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【分析】（1）由题意知X的可能取值为200,300,5 0 0,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列.（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200WnW500,根据300(1500和 200WnW300分类
31、讨论经,能得到当n=300时，EY最大值为520元.【解答】解:(1)由题意知X 的可能取值为200,300,500,P(X=200)=2+16=0 2,90P(X=300)=券 0.4，P(X=500)=25+7+4=0 4,90A X 的分布列为：X200300500P0.20.40.4(2)由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，.只需考虑 200WnW500,当 300WnW500 时，若最高气温不低于2 5,则Y=6n-4n=2n；若最高气温位于区间 20,2 5),则 Y=6X300+2(n-300)-4n=1200-2n；若最高气温低于 2 0,则 Y=6X2
32、00+2(n-200)-4n=800-2n,/.EY=2nX0.4+(1200-2n)X0.4+(800-2n)X 0.2=640-0.4n,当 200nW300 时,若最高气温不低于2 0,则Y=6n-4n=2n,若最高气温低于 2 0,则 Y=6X200+2(n-200)-4n=800-2n,/.EY=2nX(0.4+0.4)+(800-2n)X0.2=160+1.2n.n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分
33、类与整合思想、化归与转化思想，是中档题.19.(12分)如图，四面体ABCD中，AABC是正三角形，4ACD 是直角三角形,ZABD=ZCBD,AB=BD.(1)证明：平面ACD_L平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-A E-C的余弦值.【分析】（1）如图所示，取AC的中点。，连接BO,OD.aA B C是等边三角形,可得OB_LAC.由已知可得：AABD ACBD,AD=CD.ZACD是直角三角形，可得 AC 是斜边，ZA D C=90.可得 D0=17XC.DO2+BO2=AB2=BD2.可得 O B,20 D.利用线面
34、面面垂直的判定与性质定理即可证明.（2）设点D,B到平面ACE的距离分别为hD，hE.则 虬 理.根 据 平 面AEC把hE BE四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得 勺=皿 里J,即点是j SA A CE hE BEBD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取A B=2.利用法向量的夹角公式即可得出.【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点0,连接BO,0D.ABC是等边三角形，/.O BAC.ABD 与4CBD 中，AB=BD=BC,NABD=NCBD,.,.ABD ACBD,，AD=CD.VA A C D是直角三角形，AC 是斜边，ZADC=90./.DO=XAC.2.,.DO
35、2+BO2=AB2=BD2.，NBOD=90./.O BO D.又 DOnAC=O,.OB，平面 ACD.又O B c平面ABC,二平面A C D,平面ABC.(2)解：设点D,B到平面ACE的距离分别为hD，hE.则 星 班.hE BE.平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，i sA A C E-hE hE BE.点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取AB=2.则。(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),B(0,遥，0),E S，李，1)AD=3).同理可得：平面ACE的法向量为(0,1,-V3).c o s/_ mn _-2炳 _
36、_ 近.由 yiy2V0,贝 U yiy2=-4,由 OA*0B=xiX2+yiy2=0,则而，而，则坐标原点。在圆M 上，综上可知：坐标原点。在圆M 上；方法二：设直线I 的方程x=my+2,x y+2,整理得：丫2-2my-4=0,A(x i，y i),B(X2,y2)，=2x则 yiy2=-4,则(丫1丫2)2=4X1X2，则 X1X2=4,贝I 赢65=XiX2+yiy2=O，则赢，而，则坐标原点。在圆M上,.坐标原点。在圆M上;2(2)由(1)可知：XIX2=4,xi+x2=4k+2yi+y92=-,yiy2=-4,圆 M 过点 P(4,-2),则 AP=(4-Xi,-2-y i),
37、BP=(4-X2,-2-y2),由 APe B P=0,则(4-Xi)(4-X2)+(-2-y i)(-2-72)=0,整理得：k2+k-2=0,解得：k=-2,k=l,当k=-2时，直线I的方程为y=-2x+4,则 XI+X2=3,yi+y2=-1,2 _则M(I,-1),半径为r=l M P勺(4卷2+(_2+/泠 隼,.圆 M 的方程(x-2)2+(y+1)2=适.4 2 16当直线斜率k=l时，直线I的方程为y=x-2,同理求得M(3,1),则半径为r=|MP I=V 10,.圆 M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10,综上可知：直线I的方程为y=-2 x+4,圆M的方程(x-2
38、)2+(y+1)2=适，4 2 16或直线I的方程为y=x-2,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.21.(12 分)已知函数 f(x)=x-1-alnx.(1)若f(x)N O,求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n,(1+1)(1+-L).(1+-L)V m,求2 22 2nm的最小值.【分析】(1)通过对函数f (x)=x -1 -a l n x (x 0)求导，分 a W O、a 0 两种情况考虑导函数f (x)与 0的大小关系可得结论；(2)通过(1)可知I n x
39、 W x -1,进而取特殊值可知I n (1+一)k N*.一2k 2k方面利用等比数列的求和公式放缩可知(1+工)(1+A-).(1+1-)2,从而当n 2 3 时，(1+上)(1+).2 2 2 2 n 2 22e (2,e),比较可得结论.2n【解答】解：(1)因为函数f (x)=x -1 -a l n x,x 0,所以 f (x)=1-耳江3 且 f (1)=0.X X所以当a W O 时(x)0恒成立，此时y=f (x)在(0,+)上单调递增，这与f (x)0矛盾；当a 0 时令f (x)=0,解得x=a,所以y=f (x)在(0,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增，即f (x)
40、mjn=f(a),若 a#l,则 f (a)f (1)=0,从而与 f (x)2 0 矛盾；所以a=l；(2)由(1)可知当 a=l 时 f (x)=x -1 -l n x O,即 I n x W x -1,所以I n (x+1)Wx当且仅当x=0 时取等号，所以 I n (1+-A-)A _,k W N*.2k 2k 方面，I n (1+)+l n (1+-1 )+.+l n (1+-1-)+-A _+.+_l _i -2 22 2n 2 22 2n 2n即(1+1)(1+L).(1+_L)(i+)(i+L)(i+L)=1 2 L 2；2 2 2 n 2 2 2?6 4从而当 n 3 时，(
41、l+L)(1+-1-).(1+-1-)e (2,e),2 22 2n因为m为整数，且对于任意正整数n,(1+1)(1+1-).(1+-1 _)22 1可 分-1 4 W 2与x 2两类讨论即可解得不等式f(x)2 1的解集；(2)依题意可得 mW f(x)-x2+xmax 设 g(x)=f(x)-x2+x,分 xW l、-1VxV2、x 2 2三类讨论，可求得g(x)max=l,从而可得m的取值范围.4-3,x 2.当-1&W 2 时,2 x-1 2 1,解得 1WXW2；当x 2时，3 2 1恒成立，故x2；综上，不等式f(x)2 1的解集为x|x21.(2)原式等价于存在xGR使得f(x)-x2+xem成立，即 m W f(X)-X2+xmax,设 g(X)=f(X)-X2+X.-X2+X_3,XT由(1)知，g(x)=-X2+3X-1,-1X-X2+X+3,X2当x W-1时，g(x)=-x2+x-3,其开口向下，对称轴方程为x=L-1,2Ag(x)Wg(-1)=-1-1-3=-5；当-14；.m 的取值范围为(-8,5.4【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题.