《2017年数学真题及解析_2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年数学真题及解析_2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）.pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）已知集合 A=x|xV l,B=x|3x l ,则（）A.AAB=x xl D.AAB=。2.（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.L B.2L c.L D.4 8 2 43.（5分）设有下面四个命题P1：若复数Z满足LGR,则Z d R；ZP2：若复数z满足Z2 R,则ZR;P3：若复数 Z
2、i，Z2 满足 Z 1Z2R,则 Zl=17；P4：若复数Z G R,则其中的真命题为（）A.Pl,P3 B.Pl，P4 C.P2，P3 D.P2，P44.（5分）记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+as=24,S6=4 8,则aS的公差为（）A.1 B.2 C.4 D.85.（5分）函数f（x）在（-8,+oo）单调递减，且为奇函数.若f（1）=-1,则满足-iW f（x-2）1 0 0 0的最小偶数n,那么在A.A1000 和 n=n+l B.A1000 和 n=n+2C.AW1000 和 n=n+l D.AIOOO 和 n=n+2可以分别填入（）9.（5分）已知曲线Ci：y=cosx
3、,C2：y=sin（2 x+C L）,则下面结论正确的是（）3A.把C i上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移2 L个单位长度，得到曲线C26B.把 C i上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2 L 个单位长度，得到曲线C212C.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右2平移2 L 个单位长度，得到曲线C26D.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的L 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左2平移2 L 个单位长度，得到曲线C21210.（5 分）已知F 为抛物线C：y2=4x的焦点，过 F 作两条互相垂直
4、的直线 12,直线11与C 交于A、B 两点，直线L 与 C 交于D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A.16 B.14 C.12 D.1011.（5 分）设 X、7、z 为正数，且 2*=3丫=5 2,则（）A.2x3y5z B.5z2x3y C.3y5z2x D.3y2x100且该数列的前N 项和为2 的整数累.那么该款软件的激活码是（）A.440 B.330 C.220 D.110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（5 分）已知向量W，己的夹角为60。，|a|=2,|b l=l.则弓+2讨=.x+2yl14.（5 分）设 x,y 满足约束条件.2x+y-l
5、，则 z=3x-2y的 最 小 值 为.x-y 02 215.（5 分）已知双曲线C：（a0,b 0）的右顶点为A,以A 为圆2,2a b心,b为半径作圆A,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、N两点.若NMAN=60。,则C的 离 心 率 为.16.（5分）如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5 c m,该纸片上的等边三角形ABC的中心为0.D、E、F为圆。上的点，ADBC,AECA,aF A B分别是以BC,CA,A B为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,A B为折痕折起 DBC,AECA,A F A B,使得D、E、F重合，得到三棱锥.当A B C的边长变化时，所得三棱锥体
6、积（单位：cm3）的 最 大 值 为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（1 2分）4A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A A B C的面积2为T .3 s in A（1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC=l,a=3,求aABC 的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，ABC D,且NBAP=NCDP=90.（1）证明：平面PAB_L平面PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC,ZA P D=90,求二面角 A-PB
7、-C 的余弦值.19.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取1 6个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（内。2）.(1)假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在-3o,H+3o)之外的零件数，求 P(X N 1)及 X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如 果 出 现 了 尺 寸 在 n+3o)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(i i)下面是检验员在一
8、天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得星看 X/9.97,$=展(X G 泠出(久2 T 6 r 心212,1 1 V il V i=l其中为为抽取的第i 个零件的尺寸，i=l,2,16.用样本平均数彳作为口的估计值四，用样本标准差s 作为。的估计值0,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔 除(-3 ,乩+3 0)之外的数据，用剩下的数据估计日和。(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N(山 a2),则 P(p-3aZ b 0),
9、四点 Pi(1,1),P2(0,1),2,2a bP3(-1,返)，P4(1,返)中恰有三点在椭圆C 上.2 2(1)求 C 的方程；(2)设直线I 不经过P2点且与C 相交于A,B 两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明：I 过定点.21.(12 分)已知函数 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.选修4-4,坐标系与参数方程22.(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为X=3CO S8,(为参数),y=sin6直线I 的参数方程为fx=a+4t,&为参数).ly=l-t(1)若 a=-1
10、,求 C 与 I 的交点坐标；(2)若 C 上的点到I 距离的最大值为何，求 a.选修4-5：不等式选讲J23.已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1+x-1.(1)当a=l时，求不等式f(x)2g(x)的解集；(2)若不等式f(x)2g(x)的解集包含-1,1,求 a 的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每 小 题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）已知集合 A=x|x V l,B=x|3x l ,则（）A.AA B=X X 1 D.AAB=0【分析】先
11、分别求出集合A和B,再求出A A B和A U B,由此能求出结果.【解答】解：集合A=x|x V l,B=x|3x l =x|x 0,.AA B=x|x 0,故 A 正确，D 错误；A U B=x|x 1000的最小偶数n,那么在可以分别填入（）A.人 1000和 11=11+1 B.A1000 和 n=n+2C.AW1000 和 n=n+l D.AW1000 和 n=n+2 内不能【分析】通过要求A1000时输出且框图中在 否 时输出确定“输入A1000,进而通过偶数的特征确定n=n+2.【解答】解：因为要求A1000时输出，且框图中在 否 时输出,所以“O”内不能输入A 1000”,又要求
12、n为偶数，且n的初始值为0,所以I-1”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D.【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分.9.(5分)已知曲线Ci：y=cosx,C2：y=sin(2X+AZ L),则下面结论正确的是()3A.把C i上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移生个单位长度，得到曲线C26B.把C i上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移二个单位长度，得到曲线C212C.把 J上各点的横坐标缩短到原来的工倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右2平移生个单位长度，得到曲线C26D.把C i上各点的横
13、坐标缩短到原来的1 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左2平移2 L个单位长度，得到曲线C212【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解：把 J上各点的横坐标缩短到原来的L倍，纵坐标不变，得到函数2y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移工个单位长度，得到函数y=cos2(x+2L)12 12=cos(2X+2L)=sin(2 x+2 2 L)的图象，即曲线 C2,6 3故选：D.【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力.10.(5分)已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线k，12,直线k与C交于A、B两点，直线b与C交于
14、D、E两点，则|ABl+|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10【分析】方法一：根据题意可判断当A与D,B,E关于X轴对称，即直线DE的斜率为1,|AB+DEi最小，根据弦长公式计算即可.方法二：设直线II的倾斜角为e,则12的倾斜角为工+e,利用焦点弦的弦长公2式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解：如图，h l h.直线11与C交于A、B两点，直线L与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小,则A与D,B,E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1,又直线12过 点（1，0）,则直线b的方程为y=x-l,2联立方程组,y=4 x,则y2-4y-4=0,y=
15、x-l*.yi+y2=4,yiy2=-4,y2l=V2XV32=8-|AB|+|DE|的最小值为 2|DE|=16,方法二：设直线k的倾斜角为e,则12的倾斜角为 工+e,2根据焦点弦长公式可得IAB|=2P =%-2 a -2 Qs i n s i n dI DE|=-=_=-is i n2（-y+e）cos2 0 cos2 0I AB I +1 DE I =+=-=虫s i n2 8 c o s2 8 s i n 2 8 c o s?8 s i n?2 8VO sin22 e l,.,.当8=45。时，AB|+|D E的最小，最小为16,故选：A.【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线
16、和抛物线的位置关系，弦长公式,对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题.11.（5 分）设 X、v、z 为正数，且 2x=3=5z,则（）A.2x3y5z B.5z2x3y C.3y5z2x D.3y2x l.lg k 0.可得 x二y=可lg2 lg3 lg5得”=己N5z=IZvF根 据 对=重 娠=&唬i轲 我.即可得出大小关系.另解：X、V、z 为正数，令 2x=3y=5z=k l.lg k 0.可得 x=-lsk,lg2 lg3z=区.匹Z x理匹位2 1，可得2 x 3 y,同理可得5z2x.Ig5 3y 3 lg2 lg8【解答】解：x、v、z为正数，令
17、2x=3y=5z=kl.lgk0.贝|J x=_l 支,y=1 支,z=lgk.Ig2 lg3 lg5.3y=.电一,2 x=,5z=5k-.lgV3*亚 1g 病我=重 行注，&=1痘 1晒=病 i g V p i g&i g V F o./.3y 2x l.l g k 0.贝I x=J L,y=-l L,z=A k.I g 2 l g 3 l g 5Z.212.x 1,可得 2x 3y,3y 3 l g 2 l g 85里$xllg2 L 可得 5Z2X.2x 2 l g 5 ig52综上可得：5 z 2x 3y.解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系.故选：D.【点评】本题考查了对数
18、函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12.（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,.其中第一项是2。，接下来的两项是2。，21,再接下来的三项是2。，21，22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N 1 0 0且该数列的前N项和为2的整数累.那么该款软件的激活码是（）A.440 B.330 C.220 D.110【分析】方法一：由数列的性质，求得数列 b n
19、的通项公式及前n项和，可知当N为n（n+l）时（n W N.）,数列 a j的前N项和为数列 6的前n项和，即为2日2-n-2,容易得到N 1 0 0时，n 2 1 4,分别判断，即可求得该款软件的激活码;方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和1=2恒-2-5及项数，由题意可知：2日为2的整数幕.只需将-2-n消去即可，分别即可求得N的值.【解答】解：设该数列为 a 3 设 格a卜 近 +*、（n+i）”-1，（n N-）,-2-+1-2n（n+l）n 2则 b/a”i=l i=l由题意可设数列 an的前N项和为SN，数列 bn的前n项和为Tn,则Tn=21-1+22-1+.+2恒-l=2
20、n+1-n-2,可知当N为n（n+l）时（nWN.）,数列匕力的前N项和为数列 b j的前n项和，2即为 2n 1-n-2,容易得到N 10 0时,n，14,A 项，由空X&4 3 5,440=435+5,可知 S44o=T29+bs=230-29-2+2-1=23,故 A2项符合题意.B 项，仿上可知25X 2 6=3 2 5,可知 S33o=T25+b5=226-25-2+2-1=226+4,显然不2为2的整数基，故B项不符合题意.C 项，仿上可知2。X 21=2 1 0,可知 S22o=T2o+bio=22i-20-2+21-1=221+210-23,2显然不为2的整数累，故C项不符合题
21、意.D 项，仿上可知 14X 1 5=1 0 5,可知 Siio=Ti4+b5=215-14-2+25-1=215+15,显然2不为2的整数幕，故D项不符合题意.故选A.方法二：由题意可知：2，或,客力 第二项乙Q 0，乙Q 1 ，乙Q 2 乙Q 0，乙Q 1 ，乙Q 2，.，乙Q n-1第 三 项 ,根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：2 1-1,22-1,23-1,，2n-1,每项含有的项数为：1，2,3,，n,总共的项数为 N=l+2+3+.+n=（l+n）n,2所有项数的和为 Sn：21-1+22-1+23-l+.+2n-l=（21+22+23+.+2n）-n=20二）.一1-
22、2-n=2 i-2-n,由题意可知：2也为2的整数基.只需将-2-n消去即可，则1+2+(-2-n)=0,解得：n=l,总共有旦旦1卫+2=3,不满足N 1 0 0,21+2+4+(-2-n)=0,解得：n=5,总 共 有 色 也 也+3=1 8,不满足N 1 0 0,21+2+4+8+(-2-n)=0,解得：n=1 3,总共有旦旦21+4=9 5,不满足N 21 0 0,1+2+4+8+1 6+(-2-n)=0,解得：n=29,总共有包型21型+5=4 4 0,满足 N2 1 0 0,该款软件的激活码4 4 0.故选：A.【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力
23、,属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.(5分)已知向量W，芯的夹角为6 0。，|a =2,后1=1，则工+2苫|=2亚.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解：【解法一】向量二芯的夹角为6 0。，且|=2,l b l=l，工(；+2芯)2=$+4；5+线2=22+4 X 2X 1 X c o s 6 0 +4 X I2=1 2,*.I a+2 b l =27 3-【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形比赢+而=力+2芯；在 O A C中，由余弦定理得ocl=V 22+22-2 X 2 X 2 X c o s l 20 0 =2B P I a+
24、2b l =2V 3.故答案为：2 M.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题.x+2y4l14.(5 分)设 x,y 满足约束条件,2x+yT，则 z=3x-2V的 最 小 值 为-5.x-yO【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案.x+2y4l【解答】解：由 x,y 满 足 约 束 条 件 2x+y-l 作出可行域如图，x-y 0,b 0)的右顶点为A,以A为圆2,2a b心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若NMAN=60。,则C的离心率为2叵.3【分析】利用已知条件，转化求解A
25、到渐近线的距离，推出a,c的关系，然后求解双曲线的离心率即可.2 2【解答】解：双曲线C：-“1(a 0,b 0)的右顶点为A(a,0),2,2a b以A为圆心，b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若N M A N=60,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30=1&2可得：一 近 即 且 也，可得离心率为：e=2区.2 b 2 3故答案为：3【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力.16.(5分)如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5 c m,该纸片上的等边三角形ABC的中心为0.D、E、F为圆。上的点
26、，ADBC,AECA,ZFAB分别是以BC,CA,A B为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,A B为折痕折起 DBC,AECA,A F A B,使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：c m 3)的最大值为.【分析】由题，连接0 D,交B C于点G,由题意得ODBC,OG=&BC,设OG=x,6则 BC=2/sx,DG=5-x,二棱锥的图 h=125-1 Ox,求出 S ABC=3 X 9v s瓯 X h=E 7 2 5 X，-10 x5,令，(x)=25x4-10 x5，x G(o,_1),fz(x)=100 x3-50 x3 f(x)Wf
27、(2)=8 0,由此能求出体积最大值.【解答】解：由题意，连接0 D,交B C于点G,由题意得。D_LBC,0G=2/1BC,6即0 G的长度与B C的长度成正比，设 O G=x,贝I BC=2后，DG=5-x,二棱锥的局 h=V D G2-O G O x+x2-x2 5-1 O x，S/kABC 4 号 X(2V x)2=3行 *2则 v SA A B C X h=V3x2 X V25-10 x=V3 V25X4-10X5,令 f(x)=25x0 x5,xe(0,f(x)=100 x3-50 x4,2令千(x)20,BP x4-2x3 0,解得 xW2,则 f(x)Wf(2)=80,aX a
28、XVTcnr?,.体积最大值为4 3反033.故答案为：4ji&m3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.（12分）4A B C 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知A B C 的面积为3s i n A（1）求 sinBsinC；（2）若 6cosBcosC=l,a=
29、3,求ABC 的周长.【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得COSA=L,即可求出A=?L，再根据正弦定理可得bc=8,2 3根据余弦定理即可求出b+c,问题得以解决.【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得SMBc=ZcsinB=_4i_,2 3s i n A.*.3csinBsinA=2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,sinAWO,.sin Bc sinC厂 二 三2;3(2)V6cosBcosC=l,cosBcosC=,6AcosBcosC-sinBsinC=-2 -6 3 2cos(B+C)=-2 cosA-2V0A-=
30、皿=22 R 2 R (2 6产 12 3bc=8,Va2=b2+c2-2bccosA,/.b2+c2-bc=9,，(b+c)2=9+3cb=9+24=33,b+c=/33二周长 a+b+c=3+PB=(&a,2a,-&a B C=(-2&a,0,0)-设平面PBC的一个法向量为U（x,y,z），由手。,得 住;+2a；限=0,取 g,得左（0,nBC=0-2V2ax=0 vAB，平面 PAD,ADu 平面 PAD,/.ABPD,X PD1PA,PACAB=A,，PD_L平面P A B,则而为平面PAB的一个法向量，而=（之&,0,-&a cosV有，n =_ _2a _V3|P D|n r
31、2 a X V 3=PD,n由图可知，二面角A-P B-C为钝角,二面角A-PB-C的余弦值为史.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题.19.（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取1 6个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (口，。2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在-3o,H+3o)之外的零件数，求P(X 2 1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如 果 出 现
32、了 尺 寸 在n+3 a)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95_ 1 16 n 16 n 16 经计算得 x=盍g X/9.97,S=/J _Z檐(x-16小)212,i 1 V i-1 V i-l其中Xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=l,2,.16.用样本平均数彳作为日的估计值1 V用样本标准差s作为
33、。的估计值o,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔 除(1-3 0 ,乩+3 0)之外的数据，用剩下的数据估计日和。(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N (1,a2),则P(n-3aZb0),四点 Pi(1,1),P2(0,1),2,2a bP3(-1,运)，P4(1,返)中恰有三点在椭圆C 上.2 2(1)求 C 的方程；（2）设直线I不经过P 2点且与C相交于A,B两点.若直线P 2 A与直线P 2 B的斜率的和为-1,证明：I过定点.【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P 2 （0,1）,P 3（-1，返），P 4 （1,返）2 2三点在椭圆C上.把P 2 （0
34、,1）,P3（-1,近）代入椭圆C,求出a2=4,b2=l,2由此能求出椭圆C的方程.（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设I：y=k x+t,（t W l）,联立.9kI，得（l+4 k 2）x 2+8 k t x+4 t 2 -4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、tx2+4y-4=0直线方程，结合已知条件能证明直线I过定点（2,-1）.【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P 3（-1，返），P4（1,返）两点必在椭2 2圆C上，又P 4的横坐标为1，.椭圆必不过P l（1，1）,AP2（0,1）,P3（-1,返），P4（1,返）三点在椭圆 C 上.2 2把P 2（0,1）,P3（
35、-1,运）代入椭圆C,得：2*,1 ，解得 a2=4,b2=l,a 4b2.椭圆C的方程为3-+y Z l.4 y证明：（2）当斜率不存在时，设I：x=m,A （m,yA）,B （m,-yA）,直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,_了4-1A -一 i k p2A+k p2 B-+-1，解得m=2,此时I过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.当斜率存在时，设 I：y=k x+t,（t W l）,A（x i，y i）,B （x2,y2）,联立、f y=kx+b，整眄 工理用 ，z得（l+4 k,2）x27+8 k t x+4 t,2-4=0,iX2+4y-4=0:七%,xiX2=S t I
36、 ,l+4k2 l+4k2则 kp?A+kp?BYi-1=y2-l-x-2-(-k-x-i-+-t-)-x玄2+x-t-(-k-x-2-+-t-)-x-18kt 2-8k-8kt 2+8kt2-:=8k(I)=i,4 t2-4 4(t+l)(t-l)-l+4k2又 tW l,/.t=-2k-1,此时=-6 4 k,存在k,使得()成立,.,直线I的方程为y=kx-2k-1,当 x=2 时，y=-1,二1过定点(2,-1).【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中
37、档题.21.(12 分)已知函数 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【分析】(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；(2)由(1)可知：当a 0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f(x)最小值，由 f(x)min 0,求导，由 g(a)min=g(e 2)=e 2lne 2+e 2-1=-1,g(1)=0,即可求得 a 的取值范围.e(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性;(2)分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求
38、得a的取值范围.【解答】解：(1)由 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,求导 f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1,当 a=0 时，f(x)=-2ex-l0 时，f(x)=(2ex+l)(aex-1)=2a(ex+)(ex-2 a令 F(x)=0,解得：x=lnl,a当 F(x)0,解得：x ln l,a当 f，(x)0时，f(x)在(-8,是减函数，在(InL,+)是增函数；a a(2)若aWO时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当 a0 时，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,当 x-8时，e2x0,exO,当 X-8时，f(x)-+8,当x8,e2x-+,且远远大于e
39、x和x,.,.当 x-8,f(x)-+8,二函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可，由f(x)在(-8,|n i)是减函数，在(IruL+)是增函数，a a/.f(x)min=f(In)=aX(1-)+(a-2)X _L-lnLvO,a a?a a1-In 0,a a a a设 t=L,贝！J g(t)=lnt+t-1,(t 0),a求导 g(t)=L+1,由 g(1)=0,t.*.t=l l,解得：O VaVl,a.a的取值范围(0,1).方法二：(1)由 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,求导 f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1,当 a=0 时，f (x)=-2ex-l0
40、时，f(x)=(2ex+l)(aex-1)=2a(ex+)(ex-2 a令 f(x)=0,解得：x=-Ina,当 f(x)0,解得：x-Ina,当 E(x)0,解得：x 0时，f(x)在(-8,-|n a)是减函数，在(-Ina,+)是增函数；(2)若aWO时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当a 0时，由(1)可知：当x=-Ina时，f(x)取得最小值，f(x)min=f(-Ina)=1-A-InL,a a当a=l,时，f(-Ina)=0,故f(x)只有一个零点，当 aW(1,+)时，由 1-In0,B|J f(-Ina)0,a a故f(x)没有零点，当 ae(0,1)时，1-L-In
41、LvO,f(-Ina)-2e 2+20.故f(x)在(-8,-|n a)有一个零点，假设存在正整数 no，满足 n0ln(g-1),则 f(n0)=eno (a eno+a-2)-n0a eno -no 2”。-noO,由 In(-1)-Ina,a因此在(-Ina,+8)有一个零点.，a的取值范围(0,1).【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题.选修4-4,坐标系与参数方程22.（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为fx=3cos6,（0为参数）,y=sin9直线I的参数方程为1x=a+4t,
42、（t为参数）.ly=l-t（1）若a=-1,求C与I的交点坐标；（2）若C上的点到I距离的最大值为近?，求a.【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线I的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；（2）曲线C上的点可以表示成P （3cos0,sin0）,0 0,2R）,运用点到直线距离公式可以表示出P到直线I的距离，再结合距离最大值为近?进行分析，可以求出a的值.【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（x=3cos0（0为参数），化为标准方程是:y=sin92+y2=l；9a=-l时，直线I的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0；（2 门联立方程x r+L y 2-一1,x
43、+4y-3=0f 21解 得 了3或l y=o尸型ly 25所以椭圆C和直线I的交点为（3,0）和（-生，丝）.25 25（2）I的参数方程卜=0+4t&为参数）化为一般方程是：x+4y-a-4=0,ly=l-t椭圆C上的任一点P可以表示成P （3cos。，sin。），0G 0,2TI）,所以点P到直线I的距离d为：d3cos 8+处n 8-a-4|=|5sin（8出）-a-4 1,力满足 tan|）=3,且的 d 的最大V17 V17 4值为近7当-a-4 0时，即a -4时|5sin(0+4)-a-4|5-a -4|=5-a-4=1-a=17解得a=-1 6 V-4,符合题意.【点评】本题
44、主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线I距离的最大值求出a.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1+x-1.(1)当a=l时，求不等式f(x)2g(x)的解集；(2)若不等式f(x)2g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.2x,xl【分析】(1)当 a=l 时，f(x)=-x?+x+4,g(x)=x+11 +1 x-1 i=2,-2x,x 1、xG -1,1、xG(-8,-1)三类讨论，结合 g(x)与 f(x)的单调性质即可求得f(x)Ng(x)的解集为-1,叵J；2(2)依题意得：-x2
45、+ax+422 在-1,1恒成立=x2-ax-2W0 在-1,1恒成立，只需1 2-a l-2 4 ,解之即可得a的取值范围.)2-a(-1)-2 4 0【解答】解：(1)当时，f(x)=-x2+x+4,是开口向下，对称轴为的二2次函数，%,xlg(x)=|x+11+1 x-11 =2,-2x,当 x(1,+8)时，令-x?+x+4=2x,解得 x=1，V ,g(x)在(1,+)上单2调递增，f(x)在(1,+8)上单调递减，此时f(X)2g(x)的解集为(1,gl ;2当 xW -1,1时，g(x)=2,f(x)2 f(-1)=2.当x W(-8,-1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(-l)=f (-1)=2.综上所述，f(x)2g(x)的解集为-1,叵 工 ；2(2)依题意得：-x?+ax+4三2 在 -1,1恒成立，即 x2-ax-2W0在 -1,1恒成立，则只需(1 2-a 3-2 4 ,解得L(-1)2-a(T)-2 4 0故a的取值范围是-1,1.【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题.