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1、不等式专题不等式专题一不等式的基本性质一不等式的基本性质1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：a b 0 a b;a b 0 a b;a b 0 a b.（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a b b a（对称性）（2）a b,b c a c（传递性）（3）a b a c b c（加法单调性）（4）a b,c d a c b d（同向不等式相加）（5）a b,c d a c b d（异向不等式相减）（6）a.b,c 0 ac bc（7）a b,c 0 ac bc（乘法单调性）
2、（8）a b 0,c d 0 ac bd（同向不等式相乘）(9)a b 0,0 c d ab（异向不等式相除）cd(10)a b,ab 011（倒数关系）ab（11）a b 0 an bn(nZ,且n 1)（平方法则）（12）a b 0 na nb(nZ,且n 1)（开方法则）二一元二次不等式二一元二次不等式1.1.不等式的解法不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例 一元一次不等式 axb 解的讨论；一元一次不等式axb 0(a 0)的解法与解集形式当a 0时，x bb,即解集为x|x aabb，即解集为x|x aa当a 0时x 一
3、元二次不等式 ax2+bx+c0(a0)解的讨论.一元二次不等式的解集 0 0 0二次函数y ax2bx cy ax2bx cy ax2bx cy ax2bx c（a 0）的图象一元二次方程有两相等实有两相异实根根b无实根x1 x2 2aax bxc 02a 0的根x1,x2(x1 x2)ax2bxc 0(a 0)的解集x x x 或x x12b x x R2aax2bxc 0(a 0)的解集x x1 x x2（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则fxfx 0 fxgx00 fxgx 0gxgxfxgx 0fxgx 0fxfx 0 0 gxgxgx 0gx 0切忌去分母（3）无理不等式：
4、转化为有理不等式求解定义域1f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)02 f(x)0f(x)03f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)g(x)f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)g(x)（4）.指数不等式：转化为代数不等式af(x)ag(x)(a 1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0 a 1)f(x)g(x)af(x)b(a 0,b 0)f(x)lga lgb（5）对数不等式：转化为代数不等式 f(x)0logaf(x)logag(x)(a 1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0 a 1)g(x)0f(x)g(x)
5、（6）含绝对值不等式1 应用分类讨论思想去绝对值；2 应用数形思想；3 应用化归思想等价转化g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)2 2：典型例题：典型例题例1.求下列不等式的解集（1）3x25x 2 0，（2）x 2 23x 2例 2 解下列不等式.3x 5 22x 2x 3例 3.解不等式x3 x3 8例 4：解关于x的不等式x2(3a)x3a 0，例 5.已知不等式ax25x b 0的解集是3,2，则不等式bx25x a 0的解集例 6.若一元二次不等式ax2 4x
6、 a 0的解集是 R 则a的取值范围是三三.基本不等式及其应用基本不等式及其应用1.几个重要不等式（1）若aR,则|a|0,a2 0（2）若a、bR,则a2b2 2ab(或a2b2 2|ab|2ab)（当仅当 a=b 时取等号）（3）如果 a,b 都是正数，那么ab ab（当仅当.2a=b 时取等号）极值定理：若x,yR,x y S,xy P,则：1 如果 P 是定值,那么当 x=y 时，S 的值最小；2 如果 S 是定值,那么当 x=y 时，P 的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)若a、b、cR,则a bc3abc（当仅当3a=b=c 时取等号）ba(5)若ab
7、 0,则 2（当仅当aba=b 时取等号）|x|a x2 a2 a x a(6)a 0时，|x|a x2 a2 x a 或 x a;（7）若a、bR,则|a|b|a b|a|b|2.几个著名不等式（1）平均不等式：如果 a,b 都是正数，那么aba2b2（当仅当ab.1122ab2a=b 时取等号）即：平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数（a、b 为正数）：ab2a2b2ab2a2b2特别地，ab (（当 a=b 时，()ab）2222a2b2c2a bc (a,b,cR,a b c时取等)3322.an幂平均不等式：a12 a221(a1 a2.an)2n注：例如：(acbd)2(a2b
8、2)(c2d2).常用不等式的放缩法：11nn11n(n1)1n2111(n 2)n(n1)n1nn1n 1n n112 n1n n1n n1(n 1)3.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.注：常用不等式的解法举例（x为正数）：x(1 x)22x(1 x)(1 x)()322121 22 34272x2(1 x2)(1 x2)1 2342 3y x(1 x)y()y 22 3279类似于y sin xcos2x sin x(1sin2x)，|x1|x|1|(x与1同号，故取等)2xxx应用一：求最值应用一：求最值例 1：求下列函数的值域11 2（1
9、）y3x 2（2）yx2xx解题技巧：解题技巧：技巧一：凑项技巧一：凑项例 1：已知x 5，求函数y 4x21的最大值。44x5技巧二：凑系数技巧二：凑系数例 1.当时，求y x(82x)的最大值。技巧三技巧三：分离分离x27x10(x 1)的值域。例 3.求y x1条件求最值条件求最值ab1.若实数满足a b 2，则3 3的最小值是 .11变式：若log4xlog4y 2，求的最小值.并求x,y的值xy技巧四：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就技巧四：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。会出错。2：已知x 0,y
10、0，且变式：若x,y R且2x 191，求x y的最小值。xyy 1，求11的最小值xy。技巧五、取平方技巧五、取平方5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W 3x 2y的最值.四简单的线性规划四简单的线性规划1、已知线性约束条件，探求线性截距加减的形式、已知线性约束条件，探求线性截距加减的形式(非线性距离平方的形式，斜率非线性距离平方的形式，斜率商的形式商的形式)目标关系最值问题（重点）目标关系最值问题（重点）2x y 2例、设变量 x、y 满足约束条件x y 1，则x y 12x3y的最大值为2 2、设计线性规划，探求平面区域的面积问题、设计线性规划，探求平面区域的面积问题x y 2
11、 0例 在平面直角坐标系中，不等式组x y 2 0表示的平面区域的面积是y 0综合检测综合检测一选择题1.已知a b 0,b 0,那么a,b,a,b的大小关系是()Aa b a bBa a b bCa b b a2.不等式x 1x的解集是()Ax x 1Bx x 1或x 1Cx1 x 1Dx1 x 0或x 13.函数y logx(1 x)1 x的定义域是()A(1,1B(0,1)C(1,1)D(0,1D a b a b3.4.若2 m与m 3异号,则m的取值范围是()Am 3B3 m 3C2 m 3D3 m 2或m 35.不等式(a 2)x2 2(a 2)x 4 0对于一切实数x恒成立,则a的取值范围是()A(,2B(,2)C(2,2D(2,2)二解答题：6.已知5 x 7 x1与不等式ax bx 2 0同解,求a,b的值.2x2 2x 27.若x(4,1),求的最大值.x 18.解不等式:x25x6 x1.