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1、.2021 年自主招生数学试题(分值: 100 分时间:90 分钟)一、选择题本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分，在每题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.v.1、假设对于任意实数a ，关于x 的方程 x 2 的取值围是- 2ax - a + 2b = 0 都有实数根，那么实数bAb 0Bb - 1C b - 1D b -1282、如图，D、E 分别是ABC 的边AB、BC 上的点，且DEAC，SS=13，那么 SS的值为BDECDEDOEAOCA13B14C19D1163、某校吴教师组织九(1)班同学开展数学活动，带着同学们测量学校附近一电线杆的高(如下列图)。电线杆直立于地
2、面上，某天在太的照射下，电线杆的影子(折线 BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 300，在 C 处测得电线杆顶端A 得仰角为 450，斜坡与地面成 600 角，CD=4m，那么电线杆的高(AB)是 3A (4 + 43) mB (4- 4) mC (6 + 23) mD12m4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3点E 从 D 向 C 以每秒 1 个单位的速度运动， 以 AE 为一边在 AE 的右下方作正方形 AEFG同时垂直于 CD 的直线 MN 也从 C 向 D 以每秒 2 个单位的速度运动，当经过 秒时，直线MN 和正方形AEFG 开场有公共点。
3、A 5 B 1 C 4 D 23233(第 2 题图)(第 3 题图)(第 4 题图)5、如图，在反比例函数 y = - 2 的图象上有一动点A，连接 AO 并延长交图象的另一支于x点 B，在第一象限有一点C，满足AC=BC，当点A 运动时，点C 始终在函数 y =象上运动，假设tanCAB=2，那么k 的值为() A. 2B. 4C. 6D. 8k 的 图x6、如图，O 是等边三角形 ABC 一点，且 OA=3，OB=4，OC=5将线段 OB 绕点 B 逆时针旋转 600 得到线段 OB，那么以下结论：AOB 可以由COB 绕点 B 逆时针旋转 600 得到；AOB=1500； S四边形AO
4、BO= 6 + 33 ； S AOB+ S AOC= 6 +。其中正确的934选项是A.B.C.D. (第 5 题图)(第 6 题图)二、填空题本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.2x + y = 2k +17、方程组x + 2 y = 4k，且-1 x - y 0，那么k 的取值围是。448、一次函数 y =x - b 与 y =33 x - 1 的图象之间的距离等于 3，那么b 的值是。9、如图，ABC 中，ACB=900，BC=6cm，AC=8cm，动点 P 从 A 出发，以 2cm/s 的速度沿AB 移动到B，那么点P 出发s 时，BCP 为等腰三角形。10、关于 x 的方
5、程 2x + mx - 2= 3 的解为正数，那么m 的取值围。11、如图，ACBC 于点C，BC=4，AB=5，O 与直线AB、 BC、CA 都相切，那么 O 的半径等于。12、如图，在平面直角坐标系中，将ABO 绕点 B 顺时针旋转到A BO 的位置，使点311A 的对应点A落在直线 y =x 上，再将A BO绕点A顺时针旋转到A B O的位置，131111 12使点O1的对应点O2落在直线 y =x 上，依次进展下去，假设点A 的坐标是(0,1)，点33B 的坐标是(,1)，那么点A38的横坐标是。(第 9 题图) (第 11 题图)(第 12 题图)三、解答题本大题共 3 小题，总分值
6、 40 分13、(此题共 12 分) 如图，在ABC 中，C=900，以 AB 上一点 O 为圆心，OA 长为半径的圆与BC 相切于点D，分别交AC、AB 于点E、F。(1) 假设AC=6，AB=10，求O 的半径；(2) 连接 OE、ED、DF、EF，假设四边形 BDEF 是平行四边形，试判断四边形OFDE 的形状，并说明理由。14、(此题共 14 分)(1)：ABC 是等腰三角形，其底边是BC，点D 在线段AB 上，E 是直线 BC 上一点，且DEC=DCE，假设A=600(如图)，求证：EB=AD；(2) 假设将(1)中的点 D 在线段 AB 上改为点 D 在线段 AB 的延长线上，其它
7、条件不变(如图)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3) 假设将(1)中的假设A=600”改为假设A=900”，其它条件不变，那么多少.(直接写出结论，不要求写解答过程)EB 的值是AD15、(此题共 14 分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+3(a0)交 x 轴于A、B 两点，交y 轴于点C，且对称轴为直线x=-2。(1)求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)假设点P(0,t)是y 轴上的一个动点，请进展如下探究：探究一：如图1，设PAD 的面积为S，令W=tS，当0t4 时，W 是否有最大值.如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；如果没有，说明理由；探究二：如图 2，是否
8、存在以 P、A、D 为顶点的三角形与 RtAOC 相似.如果存在，求点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由。2021 年自主招生数学试题参考答案一、选择题本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分，在每题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1、C2、D3、A4、A5、D6、B二、填空题本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分7、 1 k 1；8、-4 或 6；9、2 或 2.5 或 1.4；210、 m -6 且 m -4；11、2；12、636 。三、解答题本大题共 3 小题，总分值 40 分13、解：1连接 OD，设O 的半径为r，BC 切O 于点D，ODBC，C=90，OD
9、AC，OBDABC， 径为；2四边形 OFDE 是菱形，即，解得 r=，O 的 半四边形BDEF 是平行四边形，DEF=B，DEF= DOB，B= DOB，ODB=90，DOB+B=90，DOB=60，DEAB，ODE=60，OD=OE，ODE 是等边三角形，OD=DE，OD=OF，DE=OF，四边形OFDE 是平行四边形，OE=OF，平行四边形OFDE 是菱形。14、(1)证明：作DFBC 交 AC 于 F，如图 1 所示：那么ADF=ABC，AFD=ACB，FDC=DCE，ABC 是等腰三角形,A=600，ABC 是等边三角形，ABC=ACB=600，DBE=1200,ADF=AFD=60
10、0=A，ADF 是等边三角形,DFC=1200，AD=DF，DEC=DCE，FDC=DEC，ED=CD， 在DBE 和CFD 中,由DEC=FDC，DBE=DFC=1200，ED=CD，DBECFD(AAS)，EB=DF，EB=AD； (2)EB=AD 成立；理由如下：作 DFBC 交 AC 的延长线于F，如图 2 所示：同(1)得：AD=DF，FDC=ECD，FDC=DEC，ED=CD，又DBE=DFC=600，在DBE 和CFD 中,由DEC=FDC，DBE=DFC，ED=CD，DBECFD(AAS),EB=DF，EB=AD；(3)EB =2 ；理由如下：AD作 DFBC 交 AC 于 F
11、，如图 3 所示：同(1)得：DBECFD(AAS)，EB=DF，ABC 是等腰直角三角形,DFBC，ADF 是等腰直角三角形，DF=2 AD， DFAD=2 ，EB =2 .AD.v.15、解：1抛物线的对称轴为直线， ，；2探究一：当抛物线时，W 有最大值，交 x 轴于A、B 两点，交 y 轴于点C， ，当时，作轴于 M，那么， ，探究二：存在，分三种情况：当时，W 有最大值，当时，作轴，轴， ，轴于E，那么，此时P1当1，此时，又因为，当，时，存在点P ，使，点的坐标为0，2；时，那么， ，与不相似，此时点P 不存在；2.v.2.当4,-ED=90时，以 AD 为直径作，那么00 1的半径r=AD= 2J i，圆心O 到 y1轴的距离d = 4，d 习 ，o ol与 y 轴相离，不存在点P ，使乙 廿 切 ； 90，3综上所述，只存在一点P(03.使Rt丛心 P与Rt丛AOC相似。v.