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1、自动控制理论拉普拉斯变换第1页，本讲稿共40页l微分方程式是描述微分方程式是描述线性系性系统运运动的一种基本的一种基本形式的数学模型。通形式的数学模型。通过对它求解，就可以得到它求解，就可以得到系系统在在给定定输入信号作用下的入信号作用下的输出响出响应。然而，。然而，用微分方程式表示系用微分方程式表示系统的数学模型在的数学模型在实际应用用中一般会遇到一些困中一般会遇到一些困难。拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不时域的微分方程变换
2、为复数域的代数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。仅运算方便，也使系统的分析大为简化。第2页，本讲稿共40页在控制工程中在控制工程中,使用拉氏使用拉氏变换的主要目的的主要目的:用它来研究系统动态特性用它来研究系统动态特性.因为描述系统动态特性的传递函数和频率因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。第3页，本讲稿共40页一、拉氏变换定义一、拉氏变换定义对时间函数对时间函数f(t)f(t)，t0t0，f(t)f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换Lf(t)Lf(t)（简（简称拉氏变换）或称拉氏变换）或F(s)F(s)定义为
3、定义为(2.20)原函数原函数象函数象函数一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：(1)(1)在在t0t0时，时，(2)(2)在在t0t0的任一有限区间内，的任一有限区间内，f(t)f(t)是分段连续的；是分段连续的；(3)(3)第4页，本讲稿共40页二、二、一些常用的拉氏一些常用的拉氏变换l加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的,而而且常常随着时间任意变化且常常随着时间任意变化.为了便于对系统进行理论为了便于对系统进行理论分析分析,工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作
4、为系统的典型输入作为系统的典型输入,即单位阶跃函数、单位斜坡函即单位阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正玄函数、以及单位数、等加速函数、指数函数、正玄函数、以及单位脉冲函数等。脉冲函数等。第5页，本讲稿共40页1 1、单位位阶跃函数函数t0 t 0 图图2-5 2-5 单位阶跃函数单位阶跃函数 10t其拉氏变换其拉氏变换第6页，本讲稿共40页2 2、单位斜坡函数位斜坡函数t0t 0 图图2-6单位斜坡函数位斜坡函数其拉氏变换其拉氏变换第7页，本讲稿共40页3 3、等加速函数、等加速函数t0t 0其拉氏变换其拉氏变换 第8页，本讲稿共40页4 4、指数函数、指数函数 t0t 0其拉氏
5、变换其拉氏变换 第9页，本讲稿共40页t 0t 0其拉氏变换其拉氏变换 5 5、正弦函数、正弦函数 第10页，本讲稿共40页注注:欧拉公式欧拉公式第11页，本讲稿共40页t0t 0其拉氏变换其拉氏变换 余弦函数余弦函数 第12页，本讲稿共40页6 6、单位脉冲函数位脉冲函数1性质性质其拉氏变换其拉氏变换 且且图图2-7 2-7 单位脉冲函数单位脉冲函数第13页，本讲稿共40页 设 则则 三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质1 1、线性性质齐次性和叠加性、线性性质齐次性和叠加性第14页，本讲稿共40页2 2、微分性质、微分性质第15页，本讲稿共40页第16页，本讲稿共40页3 3、积分性质积分性
6、质第17页，本讲稿共40页第18页，本讲稿共40页4 4、终值定理、终值定理且且F(s)F(s)在在s s平面的右半平面及除原点以外的虚轴上平面的右半平面及除原点以外的虚轴上解析，则函数的终值为解析，则函数的终值为第19页，本讲稿共40页5 5、初值定理、初值定理第20页，本讲稿共40页时域位移定理时域位移定理复数域位移定理复数域位移定理6 6、位移定理、位移定理第21页，本讲稿共40页7 7、卷积定理、卷积定理则则若若卷积符号卷积符号表明两个时间函数卷积的拉氏变换等于两个时间的拉氏变换的表明两个时间函数卷积的拉氏变换等于两个时间的拉氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可以简化计算乘积。这个
7、关系式在拉氏反变换中可以简化计算第22页，本讲稿共40页四、拉氏反变换四、拉氏反变换从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。第23页，本讲稿共40页求拉氏反变换的方法有：求拉氏反变换的方法有：(1)查表法表法(2)部分分式法部分分式法(3)有理分式法有理分式法第24页，本讲稿共40页一般象函数可以表示成如下的有理分式一般象函数可以表示成如下的有理分式分母进行因式分解分母进行因式分解 第25页，本讲稿共40页1 1、当、当A(s)=0A(s)=0无重极点无重极点(n(n个不等根个不等根)时，时，F(s)F(s)可表示为可表示为第26页，本讲稿共40页因此因
8、此,原函数为原函数为第27页，本讲稿共40页例例5 5已知已知 ,试求原函数试求原函数.解：解：写成部分分式形式写成部分分式形式第28页，本讲稿共40页第29页，本讲稿共40页 课堂堂练习：求：求F F（s s）的拉氏反）的拉氏反变换第30页，本讲稿共40页2 2、当、当A(s)=0有重根有重根时，F(s)可表示可表示为第31页，本讲稿共40页第32页，本讲稿共40页因此，原函数为因此，原函数为 第33页，本讲稿共40页例例6已知已知，试求原函数求原函数f(t)。解：解：第34页，本讲稿共40页第35页，本讲稿共40页第36页，本讲稿共40页五、拉氏五、拉氏变换解微分方程解微分方程(3)(3)取拉氏反变换，得微分方程解；取拉氏反变换，得微分方程解；利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：(1)(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；(2)(2)由代数方程解象函数；由代数方程解象函数；第37页，本讲稿共40页解：解：将初始条件代入得将初始条件代入得例例7 7 求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件的解。的解。第38页，本讲稿共40页第39页，本讲稿共40页第40页，本讲稿共40页