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1、拉普拉斯变换 -补充内容一、什么叫做拉普拉斯变换古典的求解微分方程的方法，求解过程比较繁琐，而且只能处理一些比较简单（一阶或二阶的微分方程）。而对我们以后要面对的自动控制系统将包含很多环节，它们之间的变化互相制约着。如果还要通过古典法求解微分方程来分析自动控制系统，那将是一个是分困难和不切实际的。拉普拉斯变换为我们提供了一种简单的求解微分方程的方法，是我们进行系统分析的一个很好数学的工具。拉普拉斯变换是将一个时域函数f(t)变换成一个复数域的函数F(s)像函数原函数这里像函数的具体形式取决于原函数的具体形式，也就是说原函数和像函数是一一对应的。假如已知F(s）又可以通过拉斯反变换求出原函数，即
2、：到此大家可能会问：为什么要进行拉普拉斯变换？是不是将问题复杂化了？大家在初等数学中都学过自然对数。；例如其中a，b，c代表的已知的数值，当然我们可以直接用乘除法进行计算，但当这些数的数值较大，则乘除运算还是相当麻烦的。为简化计算起见，可以对上式去自然对数，这样一来就可将原来的计算此结果的乘除运算变化为代数运算 要计算此结果可以先查对数表，进行计算，然后再查反对数表即可得到运算结果拉普拉斯变换的作用和对数计算有着相同的功效，不过拉斯变换不象对数那样只是一个数与数之间的变换，而是函数与函数之间的变换。利用拉斯变换可以把解微分方程中遇到的微分、积分的运算简化为关于s的代数运算，因此简化了解微分方程
3、的求解过程。和对数运算一样，在拉普拉斯变化的运算中也有现成的变换表可查，不需要运用定义去进行复杂的积分运算二、拉斯变换主要运算定理拉斯变换之所以好用，就是因为它具有一些可以加以利用的基本性质，下面的几条主要运算定理就是阐明拉斯变换的性质，只有掌握了这些的定理才能发挥拉斯变换的作用。下面就简述一下它的几个主要定理1、叠加定理叠加定理告诉我们，如果那么：即：证明：按定义推广2、微分定理微分定理是拉普拉斯变换的核心定理，为什么利用拉斯变换可以将微分、积分的运算简化为一般的代数运算？它的依据就是微分定理微分定理告诉我们如果：下面我们进行证明证明：依据拉斯变换的定义，有上式利用分部积分法进行积分，现令微
4、分定理得以证明那我们再讨论二阶导数 的拉斯变化，即：我们可以将运用微分定理将 看成 的导数来使用微分定理依次类推，求三阶导 的拉斯变化推广之当在零初始条件下以上各阶导数的拉斯变换为：也就是说，对原函数每进行一次微分后的拉斯变换就相当于它像函数用s来乘一次。这里将微分运算简化为乘以s，这就是拉斯变换的奥妙之处3、积分定理积分定理告诉我们，如果证明：根据拉斯变换的定义 将f(t)看成是 的导函数根据微分定理所以定理得以证明在此基础上加以推广，求二次积分 拉斯变换，同理将 看成为 的导函数所以在零初始条件下也就是说，原函数每积分一次的拉斯变换，即相当于它的像函数用s来除一次4、位移定理位移定理告诉我
5、们如果则证明：根据拉斯变换的定义又上式可见：上式只是在F(s)中的s由（s-a）代替即可，这个性质表明一个原函数乘以指数函数 等于其象函数作位移a5、延时定理（第二位移定理）f(t)f(t-z)z若则根据卡斯变换定义，有令t-z=u6、初值定理和终值定理1）初值定理 此定理表明，原函数在t=0时情形与像函数在s时的情形有着密切的关系，既有：证明：根据拉斯变换的微分定理上式中的f(0)是一个常数，与s无关，因此从另一个角度看，又有固有所以此性质表明函数f(t)在t=0时函数的值可以通过f(t)的像函数F(s)乘以s取s的极限值而获得它，建立原函数f(t)在坐标原点的值与像函数sF(s)在s的值之间的关系。2）终值定理次定理表明，原函数f(t)在t时的情形与像函数F(s)在s0时的情形有着密切的关系，即根据拉斯变换的微分定理上式中f(0)是一常数，与s无关从另一个角度看，又有所以这个性质表明函数f(t)在t时的函数值（即稳态值），可以通过f(t)的像函数乘以s取s0时的极限值而得到。它建立了函数f(t)在无限远的值与函数sF(s)在原点的值之间的关系。7、拉斯反变换 上面介绍的是拉普拉斯变换的线性定理，同样也有与之对应的拉普拉斯反变换。拉普拉斯反变换就是从像函数F(s)求与之对应的原函数，我们教材书中介绍了反变换的一般公式。通常在进行拉斯反变换时可直接查拉斯表获得。