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1、会计学 1麦克斯韦速分布（1)1)速度空间中的代表点 速度空间中的代表点 把 把分 分子 子的 的速 速度 度矢 矢量 量沿 沿x x、y y、z z方 方向 向的 的投 投影 影v vx x、v vy y、v vz z作直角坐标图，作直角坐标图，把 把所 所有 有分 分子 子速 速度 度矢 矢量 量的 的起 起始 始点 点都 都平 平移 移到 到公 公共 共原点 原点O O上。上。在平移时，矢量的大小、方向都不变。在平移时，矢量的大小、方向都不变。平 平移 移后 后，仅 仅以 以矢 矢量 量的 的箭 箭头 头端 端点 点的 的点 点来 来表 表示 示这 这一矢量，而把矢量符号抹去。一矢量，而
2、把矢量符号抹去。这样的点称为 这样的点称为代表点 代表点。如图中的 如图中的P P点所示。点所示。第1 页/共28 页以直角坐标表示的速度空间 以直角坐标表示的速度空间 以速度分量vx、vy、vz为坐标轴，以从原点向代表点所引矢量来表示分子速度方向和大小的坐标称为速度空间。速度空间是人们想像中的空间坐标，所描述的不是分子的空间位置，而是速度的大小与方向。第2 页/共28 页二、速度空间中代表点的分布 二、速度空间中代表点的分布n n 若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分布图形，如图所示第3 页/共28 页速度空间中代表点分布与靶板上靶点分
3、布类似：速度空间中代表点分布与靶板上靶点分布类似：前 前面 面已 已指 指出 出，在 在图 图2.2 2.2（a a）中 中，靶 靶点 点位 位于 于x x 到 到x+x+d dx x，y y 到 到y y+d dy y范围内的概率是以 范围内的概率是以f f（x x，y y）d dx xd dy y来 来表 表示 示的 的，其 其中 中d dx xd dy y为 为这 这一 一区 区域 域大小，大小，f f（x x，y y）是黑点分布的概率密度。是黑点分布的概率密度。第4 页/共28 页（1 1）速度空间中小立方体）速度空间中小立方体d dv vx xd dv vy yd dv vz z中的
4、概率 中的概率在三维速度空间中，在 在三维速度空间中，在v vx x 到 到v vx x+d dv vx x，v vy y 到 到v vy y+d dv vy y，v vz z 到 到v vz z+d dv vz z区间内 区间内 划出一个体积为 划出一个体积为d dv vx xd dv vy yd dv vz z的微分元，如图所示。的微分元，如图所示。数 数出 出在 在这 这微 微分 分元 元中 中的 的代 代表 表点 点的 的数 数目 目d dN N（v vx x、v vy y、v vz z），并把 并把 称为坐标为vx、vy、vz处的麦克斯韦速度分布概率密度，它表示在dvxdvydvz小
5、体积元中代表点的相对密集程度。我们可以这样来求出dN（vx、vy、vz）第5 页/共28 页（2 2）速度空间中厚为）速度空间中厚为d dv vx x 无限大平板中的概率 无限大平板中的概率 首先问，在 首先问，在N N个 个分子中速度 分子中速度 x x分量落在 分量落在v vx x 到 到v vx x+d dv vx x范围内 范围内而vy y,vvz z 在 在任意的范围内的 任意的范围内的分子数 分子数 d dN N（v vx x）是多少？是多少？,在速度空间中划出一个垂直于 在速度空间中划出一个垂直于v vx x轴的厚度为 轴的厚度为d dv vx x的无穷大平板，的无穷大平板，如图
6、所示 如图所示.不管速度的y、z分量如何，只要速度 x分 量 在 vx 到vx+dvx范围内，则所有这些分子的代表点都落在此很薄的无穷 大平板中.第6 页/共28 页n n 若设此平板中代表点数为dN（vx），则dN（vx）/N 表示分子的速度处于vx 到vx+dvx而vy、vz为任意值范围内的概率。n n 显然这一概率与板的厚度dvx成比例。n n 并有dN（vx）/N=f(vx)dvxn n 称分子x方向速度分量概率分布函数同样可分别求出垂直于vy轴及vz轴的无穷大薄平板中代表点数dN（vy）及 dN（vZ）,则n n 第7 页/共28 页 dN（vy）/N=f(vy)dvyn n dN（
7、vz）/N=f(vz)dvz分别表示y及z方向速度分量的概率分布函数。根据处于平衡态的气体的分子混沌性假设，分子速度没有择优取向，故f（vxx）、f（vyy）、f（vzz）应具有相同形式。第8 页/共28 页速度空间中 速度空间中一根截面积为 一根截面积为d dv vx x d dv vy y的无穷长 的无穷长的方条中的概率 的方条中的概率（2）进一步问，分子速率介于vx x 到到vxx+dvxx，vy y 到到vyy+dvyy，而vzz在在任意的范围内的分子数 dN（vxx，vyy）是多少？显然这些分子的代表点都落在一根平行于vz轴、截面积为dvx dvy的无穷长的方条中。第9 页/共28
8、页n n 因为分子落在垂直于 因为分子落在垂直于d dv vx x轴的平板内的概率 轴的平板内的概率是 是f f（v vx x）d dv vx x，分子落在垂直于 分子落在垂直于v vy y轴的平板内 轴的平板内的概率是 的概率是f f（v vy y）d dv vy y。n n 由相互独立的同时事件概率相乘法则可知，由相互独立的同时事件概率相乘法则可知，n n 分 分子 子落 落在 在方 方柱 柱体 体内 内的 的概 概率 率为 为方 方柱 柱体 体内 内代 代表 表点 点数 数d dN N（v vx x，v vy y）与总分子数 与总分子数N N的比值 的比值（3）最后要问，分子速度分量处于
9、vx 到vx+dvx，vy 到vy+dvy，vz 到vz+dvz范围内的概率是多少？只需在图中再作一垂直于vz轴的、厚度为dvz的无穷大薄平板第10 页/共28 页 平 平板 板与 与柱 柱体 体相 相交 交截 截得 得一 一体 体积 积为 为d dv vx xd dv vy yd dv vz z的 的小 小立方体，计算出在小立方体中的代表点数 立方体，计算出在小立方体中的代表点数n n d dN N（v vx x、v vy y、v vz z）而 而d dN N（v vx x、v vy y、v vz z）/N/N 就是所要求的概率 就是所要求的概率n n 因为 因为v vx x，v vy y，
10、v vz z相互独立，故 相互独立，故n n d dN N（v vx x、v vy y、v vz z）/N/N n n=f(v f(vx x)dv)dvx x f(v f(vy y)dv)dvy y f(v f(vz z)dv)dvz z n n 显然，显然，速度分布概率密度 速度分布概率密度f f（v vx x，v vy y，v vz z）是分子分别按速度的 是分子分别按速度的x x、y y、z z方向分量分布的 方向分量分布的概率密度 概率密度f(v f(vz z)、f(v f(vy y)、f(v f(vz z)的乘积。的乘积。n n 分子处于速度空问任一微小范围 分子处于速度空问任一微小
11、范围d dv vx xd dv vy yd dv vz z内的概率是 内的概率是n n f f（v vx x，v vy y，v vz z）与 与d dv vx xd dv vy yd dv vz z的乘积。的乘积。第1 1 页/共28 页 2.4.2 2.4.2 麦克斯韦速度分布 麦克斯韦速度分布（Maxwell velocity distribution Maxwell velocity distribution）麦 麦克 克斯 斯韦 韦最 最早 早用 用概 概率 率统 统计 计的 的方 方法 法导 导出 出了 了理 理想 想气 气体分子的速度分布 体分子的速度分布，这一分布可表示为 这一分
12、布可表示为n n f f（v vx x，v vy y，v vz z）d dv vx xd dv vy yd dv vz z=因为f（vx，vy，vz)=f(vx)dvxdvxf(vy)dvyf(vz)dvz 麦克斯韦速度分布有其中i 可分别代表x、y、z。第12 页/共28 页n n 欲求分子速度的 欲求分子速度的x x分量在 分量在v vx x 到 到v vx x+d dv vx x内而 内而v vy y、v vz z任意的分子数 任意的分子数d dN(v N(vx x),n n 这就是速度空间中垂直于 这就是速度空间中垂直于x x 轴的无穷大薄平板 轴的无穷大薄平板中的代表点数，显然可对
13、中的代表点数，显然可对v vy y、v vz z积分后求出：积分后求出：利用定积分公式可知上式中的两个积分都是1，故第13 页/共28 页n n 的概率分布曲线如图2.13所示：它对称于纵轴，图中打上斜线的狭条的面积即最后说明，由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律一般适用于平衡态的理想气体。第14 页/共28 页第15 页/共28 页*2.4.3*2.4.3 相对于 相对于v vp p 的（麦克斯韦）速度分量分布 的（麦克斯韦）速度分量分布与速率分布 与速率分布 误差函数 误差函数 n n 附 附录 录2-1 2-1中 中的 的定 定积 积
14、分 分公 公式 式都 都是 是从 从0 0积 积分 分到 到无 无穷大，穷大，n n 有 有时 时需 需要 要计 计算 算气 气体 体分 分子 子速 速度 度分 分量 量（或 或速 速率 率v v）在某给定范围内的分子数或概率。在某给定范围内的分子数或概率。n n 这 这时 时可 可把 把麦 麦克 克斯 斯韦 韦速 速度 度分 分布 布式 式或 或速 速率 率分 分布 布式 式分别作变量变换，分别作变量变换，n n 使 使之 之变 变换 换为 为相 相对 对于 于最 最概 概然 然速 速率 率的 的速 速度 度分 分量 量分 分布或速率分布的形式。布或速率分布的形式。n n 第16 页/共28
15、 页（一）相对于（一）相对于 v vp p的速度分量（麦克斯韦）分布 的速度分量（麦克斯韦）分布n n令其中 令其中 v vx x/v vp p=u=ux x,其中 其中v vp p 为最概然速率，为最概然速率，它可以变换为 它可以变换为n n 若 若 要 要 求 求 出 出 分 分 子 子 速 速 度 度x x 方 方 向 向 分 分 量 量 小 小 于 于 某 某 一 一 数 数 值 值的分子数所占的比率，则可对上式积分 的分子数所占的比率，则可对上式积分n n引入误差函数 引入误差函数erf(x),erf(x),第17 页/共28 页误差函数 误差函数erf(x)erf(x)有表可查 有
16、表可查n n 例2.2 试求在标准状态下氮气分子速度的x分量小于800ms-1-1的分子数占全部分子数的百分比.第18 页/共28 页n n 解 首先求出273 K时氮气分子（摩尔质量Mmm=0.028 kg）的最概然速率.n n 由表2.1查得erf（2）=0.995，故这种分子所占百分比为=49.8%。第19 页/共28 页（二）相对于的麦克斯韦速率分布（二）相对于的麦克斯韦速率分布n n 若 若令 令 可 可将 将麦 麦克 克斯 斯韦 韦速 速率 率分 分布 布表示为 表示为 利 利用 用（2.35 2.35）式 式可 可求 求得 得在 在某 某一 一速 速率 率附 附近 近微 微小 小
17、范围内的气体分子数所占的百分比率。范围内的气体分子数所占的百分比率。再利用误差函数可求得在 再利用误差函数可求得在0 0 到 到 v v 范围内的 范围内的分子数 分子数 第20 页/共28 页 2.4.4 2.4.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布 从麦克斯韦速度分布导出速率分布 n n 一、以极坐标表示的射击点分布 一、以极坐标表示的射击点分布 按极坐标表示的射击点分布。按极坐标表示的射击点分布。若用相等的 若用相等的 r r为间隔，为间隔，在靶板上画出很多个同心圆，在靶板上画出很多个同心圆，数出每个圆环中的黑点数 数出每个圆环中的黑点数 N N。以 以 N/N N/N r r 为纵坐标，
18、为纵坐标，r r为横坐标画出竖条，如右图 为横坐标画出竖条，如右图 令 令 r r 0 0，得到光滑曲线，得到光滑曲线，它表示离靶心不同距离处存在 它表示离靶心不同距离处存在黑点的概率 黑点的概率第21 页/共28 页二、气体分子的速率分布 二、气体分子的速率分布 麦克斯韦速度分布 麦克斯韦速度分布:所有分子速率介于 所有分子速率介于v v到 到v v+d+dv v 范围内的分子的代表点 范围内的分子的代表点都落在以原点为球心，都落在以原点为球心，v v 半径，厚度为 半径，厚度为d dv v的一 的一 薄层球壳中，如图所示。薄层球壳中，如图所示。根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优 根据
19、分子混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方向上应该是等概率的，说明代 取向，在各个方向上应该是等概率的，说明代表点的数密度 表点的数密度D D 是球对称的，是球对称的，D D 仅是离开原点 仅是离开原点的距离 的距离v v的函数。设代表点的数密度为 的函数。设代表点的数密度为D D（v v）。）。在球壳内的代表点数 在球壳内的代表点数d dN Nv v应是 应是D D（v v）与球壳体积）与球壳体积的乘积 的乘积 第22 页/共28 页在麦克斯韦速度分布中已指出，在速度空间中，在麦克斯韦速度分布中已指出，在速度空间中，在速度分量 在速度分量v vx x、v vy y、v vz z附近的
20、代表点数密度 附近的代表点数密度是 是 Nf Nf（v vx x、v vy y、v vz z），它就是这里的），它就是这里的D D（v v），故），故 将上式代入可以得到 将上式代入可以得到 这就是麦克斯韦速率分布 这就是麦克斯韦速率分布.第23 页/共28 页*2.4.5*2.4.5 绝对零度时金属中自由电子的速度分布与 绝对零度时金属中自由电子的速度分布与速率分布 速率分布 费米球 费米球 n n 金属自由电子模型指出，n n 金属中的价电子是无相互作用的自由电子。n n 在T=0 K时，自由电子的速度分布可表示为在速度空间中的一个费米球。n n 其球心位于速度空间的原点，球的半径为vF（
21、称为费米速率，是一个与金属种类有关的常数）。第24 页/共28 页电子状态位于速度空间中费米球外的概率密度为零，位于球内的概率密度为常数，设为De。n n De可 如 下 求 出：(4/3)vF3De=1 由归一化条件知De=3/4vF3，故 其速率分布可表示为 v vF v vF 第25 页/共28 页 通常以 来表示费米球面的能量（其中mee为电子质量），称为费米能。不同金属，EFF值不同，一般它取eV的量级。第26 页/共28 页n n 例如，铜的EF=1.110-18J，而me=9.110-31kg，由此知T=0 K时铜中自由电子平均速率说明即使在T=0 K时，金属中自由电子还在以106ms-1的数量级的平均速率在运动着，这是经典理论无法解释的（按照麦克斯韦分布，T=0 K时的自由电子平均速率为零）。这种运动称为零点运动。第27 页/共28 页