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1、高等数学 高斯公式2 2 格林公式把平面上的闭曲线积分与本节的高斯公式表达了空间闭曲面上的曲面积分与曲面所围空间区域上的它有明确的物理背景三重积分的关系.所围区域的二重积分联系起来.通量与散度.高斯(Gauss)公式 通量与散度第1 页/共33 页3 3一、高 斯 公 式高斯公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基公式.(俄)1801 1861具有 则有公式 一阶连续偏导数,或 高斯公式外侧,高斯(Gauss)公式 通量与散度第2 页/共33 页4 4 证明思路 分别证明以下三式,从而完成定理证明.只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.高斯(Gauss)公式 通量与散度第3 页/共33 页5
2、5证 设空间区域母线平行于z轴的柱面.即边界面三部分组成:(取下侧)(取上侧)(取外侧)高斯(Gauss)公式 通量与散度第4 页/共33 页6 6由三重积分的计算法投影法(先一后二法)高斯(Gauss)公式 通量与散度第5 页/共33 页7 7 由曲面积分的计算法取下侧,取上侧,取外侧 一投,二代,三定号高斯(Gauss)公式 通量与散度第6 页/共33 页8 8于是高斯(Gauss)公式 通量与散度第7 页/共33 页9 9同理合并以上三式得自己证高斯公式高斯(Gauss)公式 通量与散度第8 页/共33 页10 10高斯(Gauss)公式 通量与散度若区域 的边界曲面 与任一平行于坐标轴
3、的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的曲面把 分为有限个闭区域,使得每个闭区域满足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消.因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正确的.第9 页/共33 页11 11由两类曲面积分之间的关系知高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算.一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯(Gauss)公式 通量与散度高斯Gauss公式的实质第10 页/共33 页12 12解 球 例外侧.因 是闭曲面,可利用高斯公式计算.高斯(Gauss)公式 通量与散度第11 页/共33
4、页13 13使用Guass公式时易出的差错:(1)搞不清 是对什么变量求偏导;(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;(3)忽略了 的取向,注意是取闭曲面的外侧.高斯公式高斯(Gauss)公式 通量与散度第12 页/共33 页14 14有时可作辅助面,(将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分,然后利用高斯公式.对有的 非闭曲面 的曲面积分,高斯(Gauss)公式 通量与散度第13 页/共33 页15 15例 计算曲面积分之间下侧.的法向量的方向余弦.高斯(Gauss)公式 通量与散度部分的解 空间曲面 在xOy 面上的曲面 不是 为利用高斯公式.投影域为补构成封闭曲面,使用高斯公式.封闭
5、曲面,第14 页/共33 页16 16由对称性高斯(Gauss)公式 通量与散度先二后一法第15 页/共33 页17 17故所求积分为高斯(Gauss)公式 通量与散度y x y x S d d d d 0 0 1 d=+=第16 页/共33 页18 18利用高斯公式计算三重积分提示则取高斯(Gauss)公式 通量与散度考虑到选取相当自由，第17 页/共33 页19 19由高斯公式极坐标高斯(Gauss)公式 通量与散度第18 页/共33 页20 20 被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.如直接计算分析 用高斯公式.例 是锥面所围立体的表面计算设f(u)是有连续的导数,计算和球面及外侧.高斯
6、(Gauss)公式 通量与散度第19 页/共33 页21 21解 由于故由高斯公式=球高斯(Gauss)公式 通量与散度第20 页/共33 页22 22解(如图)计算曲面积分绕y轴旋转曲面方程为一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角绕y轴旋转高斯(Gauss)公式 通量与散度第21 页/共33 页23 23取右侧.有 高斯公式柱坐标高斯(Gauss)公式 通量与散度第22 页/共33 页24 24取右侧故高斯(Gauss)公式 通量与散度第23 页/共33 页25 251.通量为向量场 设有一向量场则称沿场中有向曲面 某一侧的曲面积分:通量.flux divergence穿过曲面 这一侧的
7、高斯(Gauss)公式 通量与散度二、物理意义 通量与散度上式即为通量的计算公式第24 页/共33 页26 262.散度设有向量场为场中任一点,在P 点的某邻域内作一包含P 点在其内的闭曲面它所围成的小区域及其体积记为表示 内穿出的通量,若当缩成P 点时,极限高斯(Gauss)公式 通量与散度记为散度.存在,则该极限值就称为向量场在P 点处的即第25 页/共33 页27 27散度的计算公式设均可导,点处的散度为高斯公式散度：单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。第26 页/共33 页28 28例 向量场解高斯(Gauss)公式 通量与散度第27 页/共33 页29 29设函数解先求梯度高
8、斯(Gauss)公式 通量与散度第28 页/共33 页30 30再求的散度.高斯(Gauss)公式 通量与散度设函数第29 页/共33 页31 31高斯Gauss 公式物理意义-通量与散度高斯(Gauss)公式 通量与散度三、小结表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯Gauss 公式的实质(注意使用的条件)第30 页/共33 页32 32思考题曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？高斯(Gauss)公式 通量与散度解答曲面应是分片光滑的闭曲面.第31 页/共33 页33 33作 业习题11-6(236页)1.(1)(3)(5)高斯(Gauss)公式 通量与散度第32 页/共33 页34 34感谢您的观看。第33 页/共33 页