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1、目录 上页 下页 返回 结束 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1 上有连续的一阶偏导数 ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRdddyxRdd 下面先证:函数 P, Q, R 在面 所围成, 则有 (Gauss 公式公式)高斯 的方向取外侧, 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲目录 上页 下页 返回 结束 231zyxyxDO) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 证明证明yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd y
2、xD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd称为XY -型区域 , ),(:22yxzz 则yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz定理1 设目录 上页 下页 返回 结束 所以zyxzRdddyxRdd 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立 .正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 zyxyQdddyxRxzQzyPd dddddzyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：定理1 目录 上页 下页 返回 结束 x3z1y例例1zyxzyyx
3、yxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(29,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考:若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? zyxddd)230(利用质心公式, 注意23, 0zyO用Gauss 公式计算 这里若 改为内侧, 结果有何变化? 目录 上页 下页 返回 结束 hzyxO例例2SzyxId)coscoscos(222其中 为锥面222zyx解解,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上
4、在介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.1,记所围区域为 ,则 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2h1利用Gauss 公式计算积分作辅助面目录 上页 下页 返回 结束 yxz2yxz2OzyxzyxIddd)(2利用质心公式, 注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4h思考思考:提示提示:,dddd)(2yxzzyxz)(:2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2之间部分的下侧. , 2:1z4:),(22yxDyxyx2hzyxOh1先二后一计算曲面积分作取上侧的辅助面目录 上页 下页 返回 结束 Ozx
5、y例例3 .dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标2111yxD目录 上页 下页 返回 结束 coscoscoszvyvxv( , , ), ( , , )u x y zv x y z在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式Sd 例例4uzyxddduzyxdddxuyuyvzuzv其中 是整个 边界面的外侧.
6、 uP xvuQ yvuR zv注意注意:zyxzRyQxPdd dyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式222222zvyvxv设函数目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:zyxzRyQxPdd dyxRxzQzyPdddddd 高斯公式证证uP ,xvuQ ,yvuR ,zv由高斯公式得222222zvyvxvuzyxdddcoscoscoszvyvxvuSd移项即得所证公式.xuyuyvzuzvxvuyxzvxzyvzyxvdddddd令目录 上页 下页 返回 结束 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1. 连通区域的类型连通区域的类型 设有
7、空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为例如例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 .既是一维也是二维单连通区域 ;是二维但不是一维单连通区域 ;是一维但空间一维单连通域 .目录 上页 下页 返回 结束 2. 闭曲面积分为零的充要条件闭曲面积分为零的充要条件定理定理2 ),(),(),(zyxRzyxQzyxP设在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则0ddddddyxRxzQzyPGzyxzRy
8、QxP),(,0证证根据高斯公式可知是的充分条件. 的充要条件是: “必要性”. 用反证法. 使假设存在,0GM 00MzRyQxP已知成立,“充分性”.目录 上页 下页 返回 结束 因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 ,)(0GMU,)(0上使在MU0zRyQxP的边界为设)(0MU则由 yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPMUddd)(00与矛盾, 故假设不真. 因此条件是必要的. 取外侧,高斯公式得 目录 上页 下页 返回 结束 *三、通量与散度三、通量与散度引例引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyx
9、v),(),(),(),(理意义可知, 设 为场中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvd目录 上页 下页 返回 结束 若 为方向向外的闭曲面, yxRxzQzyPdddddd当 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 流出的, 表明 内有泉; 表明 内有洞 ;根据高斯公式, 流量也可表为zyxzRyQxPdddnn目录 上页 下页 返回
10、结束 zyxzRyQxPddd方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为 , 设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性, M在式两边同除以 的体积 V, 并令 以任意方式缩小至点 M 则有),(M记作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化. ),(目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 设有向量场kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位
11、法向量 n, SnAd为向量场 A 通过在场中点 M(x, y, z) 处 记作AdivzRyQxPAdiv显然A有向曲面 的 通量(流量) .称为向量场 A 在点 M 的 散度.目录 上页 下页 返回 结束 0divA表明该点处有正源, 0divA表明该点处有负源, 0divA表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度.0divA若向量场 A 处处有 例如, 匀速场 ),(),(为常数其中zyxzyxvvvvvvv 0divv故它是无源场.说明说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且散度意义 , 则称 A 为 无源场. 目录 上页 下页 返回 结束 yxydd112例例5
12、5解解kzjy22zy )0(122zzyffnkzjzyA2穿过曲面 流向上侧的通量,其中 为柱面被平面10 xx及截下的有限部分.x122 zy1)0 , 1, 1 ( O)0 , 1 , 1 (zyn,),(22zyyxf则 上侧的法向量为kzjy在 上32zzyzzyz)(22nA故所求通量为SnAdSzdxyDy212求向量场记目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 0ddddddyxRxzQzy
13、P0zRyQxP目录 上页 下页 返回 结束 2. *通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 ),(RQPA SnAdzRyQxPAAdiv( n 为 的单位法向量） 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxddddd333333dvrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxddddd333d31Rvzyxd)
14、(3222 为2R目录 上页 下页 返回 结束 rncosrn补充题补充题所围立体 的体 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,222zyxr试证.dcos31VSr证证则coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的夹角,积为V, )cosr,cos,(cosn, ),(zyxr 设 是一光滑闭曲面,设 的单位外法向量为 目录 上页 下页 返回 结束 精品课件精品课件！目录 上页 下页 返回 结束 精品课件精品课件！目录 上页 下页 返回 结束 高斯高斯(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家, 是与阿基米德, 牛顿并列的伟大数学家, 他的数学成就遍及各个领域 , 在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献, 他还十分重视数学的应用, 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等. 他在学术上十分谨慎, 原则: 代数、非欧几何、 微分几何、 超几何 在对天文学、大恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.