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1、第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十章 1/8/2023高等数学课件一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定理定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数,下面先证:函数 P,Q,R 在面 所围成,的方向取外侧,则有(Gauss 公式公式)高斯 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件证明证明:设为XY型区域,则定理1 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/20
2、23高等数学课件所以若 不是 XY型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证 三式相加,即得所证 Gauss 公式：定理1 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件例例1.用Gauss 公式计算其中 为柱面闭域 的整个边界曲面的外侧.解解:这里利用Gauss 公式,得原式=(用柱坐标)及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若 改为内侧,结果有何变化?若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件例例2.利用Gauss 公式计算积分其中 为锥面解解:作辅助面
3、取上侧介于 z=0 及 z=h 之间部分的下侧.所围区域为,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件利用重心公式,注意机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件例例3.设 为曲面取上侧,求 解解:作取下侧的辅助面用用柱坐标柱坐标用用极坐标极坐标机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例例4.设函数其中 是整个 边界面的外侧.分析分析:高斯公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件证证:令由高斯公式得移项即得所证公式.(见 P17
4、1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1.连通区域的类型连通区域的类型 设有空间区域 G,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G 为空间二维单连通域;若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域.例如例如,球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件2.闭曲面积分为零的充要条件闭曲
5、面积分为零的充要条件定理定理2.在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则证证:“充分性”.根据高斯公式可知是的充分条件.的充要条件是:“必要性”.用反证法.已知成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件因P,Q,R 在G内具有连续一阶偏导数,则存在邻域 则由高斯公式得 与矛盾,故假设不真.因此条件是必要的.取外侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件三、通量与散度三、通量与散度引例引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的
6、物 由两类曲面积分的关系,流量还可表示为机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于 当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为 当=0 时,说明流入与流出 的流体质量相等.流出的,表明 内有泉;表明 内有洞;根据高斯公式,流量也可表为机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件方向向外的任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以任意方式缩小至点 M 则有此式反应了流速场在点M 的特点:其值为正,负
7、或 0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件定义定义:设有向量场其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向 则称曲面,其单位法向量 n,为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量).在场中点 M(x,y,z)处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场 A 处处有,则称 A 为无源场.例如例如,匀速场 故它是无源场.P16 目录 上页 下页 返回 结束 说明说
8、明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且1/8/2023高等数学课件*例例5.5.置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为解解:计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件内容小结内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件2.通量与散度 设向量场P,Q,R,在域G内有一阶 连续 偏导数,则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件思考与练习思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2)为机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件作业作业P174 1(2),(4),(5);2(2);3;4第七节 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件 备用题备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证证:设 的单位外法向量为 则的夹角,积为V,机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件