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1、微分方程模型()第1 页，本讲稿共55 页微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用。不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式：净变化率输入率输出率（守恒原理）一、微分方程模型简介第2 页，本讲稿共55 页引例一在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下降到27oC，若人体的正常温度是37oC，估计死者的死亡时间。解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；k为比例系数。由牛顿冷却定律，得则通解为第3 页，本讲稿共55 页由已知，由因此死者大约是在前一天的夜晚10:
2、35被害的。可得微分方程的特解：，代入解得图 1尸体的温度下降曲线第4 页，本讲稿共55 页建立微分方程的常用方法1、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程2、利用微元分析方法建模 根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出微分方程。3、模拟近似法，如：在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。第5 页，本讲稿共55 页
3、微分方程的建模步骤1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等 2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变t时，因变量的增量W，建立起在时段t上的增量表达式，令t 0，即得到 的表达式二、微分方程模型第6 页，本讲稿共55 页3、配备物理单位：在建模中应注意每一项采用同样的物理单位 4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。第7 页，本讲稿共55
4、页案例1：以为女士每天摄入2500cal食物，1200cal用于基本新陈代谢(即自动消耗)，并以每千克体重消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立一个通过时间预测体重函数W(t)的数学模型，并用它估计：（1）星期六该女士的体重？（2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？（3）若不进食，N周后她的体重是多少？二、微分方程案例分析第8 页，本讲稿共55 页解1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：第9 页，本讲
5、稿共55 页1、“每天”：体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗2、上述陈述更好的表示结构式：取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则：每天的净吸收量2500 1200 1300（cal)每天的净输出量16(cal)W16W(cal)转换成脂肪量1300 16W（cal）3、体重的变化天(千克天)第10 页，本讲稿共55 页1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：第1 1 页，本讲稿共55 页 有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位的匹配，利用单位匹配第
6、12 页，本讲稿共55 页1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：第13 页，本讲稿共55 页建立表达式积分后可求得其通解为：（1）当 时，每天体重的变化：初始条件为：，代入解出则第14 页，本讲稿共55 页积分后可求得其通解为：（2）当 时，每天体重的变化：初始条件为：，代入解出则第15 页，本讲稿共55 页积分后可求得其通解为：（2）当 时，食物的摄入量恢复正常初始条件为：，代入解出则第16 页，本讲稿共55 页最后得到不同阶段的微分方程是：第17 页，本讲稿共55 页（1）代入对应方程，求得现回答上述问题（2）要满足体重不增，即所以因此每天总卡路里摄取量是1200
7、+9142114cal(cal)（3）由于每天不摄取能量，所以解得因此，n周后的体重为第18 页，本讲稿共55 页案例2 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的比例仅仅是活组织内的6.24，此人生活在多少年前？（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体中达到平衡浓度。这意味着在活体中，C14的数量与稳定的C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少
8、）第19 页，本讲稿共55 页（1）问题分析与模型的建立1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12(mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我们的微分方程，单位为mgC14/mgC12/yr(与关键词“速率”相当)第20 页，本讲稿共55 页（2）解微分方程的通解为：由初始条件，故有由问题，当，代入原方程第21 页，本讲稿共55 页案例3、追线问
9、题 我缉私舰雷达发现，在其正西方距c海里处有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。第22 页，本讲稿共55 页图2 走私船与缉私舰的位置关系(c,0)xD(x,y)走私船R(0,at)缉私艇O第23 页，本讲稿共55 页几何关系第24 页，本讲稿共55 页如何消去时间t?1、速度与路程的关系：2、分解 得：3、求导：4、将第2、3步代入第1步，可得模型第25 页，本讲稿共55 页追线模型：模型的解：第26 页，本讲稿共55 页解的进一步讨论（1）若ab，从而kb，即k1，显然缉私
10、舰也不可能追上走私船。第27 页，本讲稿共55 页 如图所示一个容量为2000m3的小湖的示意图，通过小河A水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详案例4 湖泊污染问题的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在520m3之间。建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化并估计：（1）湖水何时到达污染高峰；（2）何时污染程度可降至安全水平(0.05%)图3 小湖示意图第28 页，本讲稿共55 页湖泊污染问题分析 设湖水在t时的污染程度为C(
11、t)，即每立方米受污染的水中含有Cm3的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用分钟作为时间t的单位。在0t30的时间内，污染物流入湖中小湖示意图的速率是Z/30(m3/min)，而排出湖外的污染物的速率是600.1C(m3/min)，因为每立方流走的水中含有Cm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变，所以可列方程：第29 页，本讲稿共55 页由初始条件：，可得微分方程的特解为显然，t=30时，污染达到高峰，所以因污染源被截断，故微分方程变为它的特解为：湖水中含污染物的瞬时变化率=污染物流入量污染物排出量第30 页，本讲稿共55 页 当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出此时
12、的t=T，即解得Z取不同值时的浓度C(30)和时间T5 1015200.00239 0.00478 0.00717 0.00956552 738918 1014第31 页，本讲稿共55 页何为房室系统？在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种叫“房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种联系的部分（多房室系统）。房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布而成，（注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简化方法一集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环境有关，这种关系被称
13、为“交换”且交换满足着总量守衡。在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节中，我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很简单，意图在于介绍建模方法。交换环境内部单房室系统均匀分布案例5 药物在体内的变化（房室模型）第32 页，本讲稿共55 页 药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：药物分布的单房室模型 单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式：药物的输入规律与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常见的给药方式下体内药体的变化规律。
14、机体环境药物总量图3-8 假设药物均匀分布第33 页，本讲稿共55 页情况1 快速静脉注射机体环境只输出不输入房室其解为：药物的浓度：与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的时间称为药物的血浆半衰期：负增长率的Malthus模型 在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程：（3.12）第34 页，本讲稿共55 页情况2 恒速静脉点滴 机体环境恒定速率输入房室药物似恒速点滴方式进入体内，即:则体内药物总量满足：（x(0)=0）（3.13）这是一个一阶常系数
15、线性方程，其解为：或易见：称为稳态血药浓度 对于多次点滴，设点滴时间为T1，两次点滴之间的间隔时间设为T2，则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度可由上式得出。其后T2时间内为情况1。故：（第一次）0tT1 T1tT1+T2 类似可讨论以后各次点滴时的情况，区别只在初值上的不同。第二次点滴起，患者 体内的初始药物浓度不为零。第35 页，本讲稿共55 页情况3 口服药或肌注 y(t)x(t)k1ykx环境机体外部药物 口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记
16、比例系数为K1，即若记t时刻残留药物量为y(t)，则y满足：D为口服或肌注药物总量 因而：所以：解得：从而药物浓度：在通常情况下，总有k1 k（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关）。当k1 k时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发翻转（flip-flop）。当k1=k时，对固定的t，令kk1取极限（应用罗比达法则），可得出在这种情况下的血药浓度为：第36 页，本讲稿共55 页 如下图给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注
17、与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。房室系统 我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。第37 页，本讲稿共55 页 国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克百毫升），血液中
18、的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克百毫升）。五、微分方程综合案例分析第38 页，本讲稿共55 页 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，对大李碰到的情况做出解释.第39 页，本讲稿共55 页参考数据1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液
19、中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如下：时间(小时)0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5酒精含量30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41时间(小时)6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16酒精含量38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4第40 页，本讲稿共55 页问题分析一个人的血中酒精含量取决于他喝了多少酒、他体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。由科普知识知道，酒精是经胃肠（主要是
20、肝脏）的吸收与分解进体液的。因此本文把酒精的从胃肠（含肝脏）向体液转移情况用如下简图直观地表示：k11为酒精从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的速率系数；k12为酒精从胃肠进入体液的速率系数；k21为酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系数；f(t)为酒精进入胃肠的速率。第41 页，本讲稿共55 页由题意，参照房室模型，可建立如下微分方程组：（1）大李在中午12点喝一瓶啤酒时，即在t=0时，胃肠中的酒精量x1(0)为一瓶酒中的酒精a与饮酒瓶数N的乘积Na，而此时体液中的酒精量y1(0)为0。因此初始条件为 体液（或血液）中的酒精的浓度为第42 页，本讲稿共55 页（2）大李第二次喝酒时
21、胃肠和体液中已经有酒精，所以在第二次喝酒即t=0时胃肠中的酒精量 x2(0)为N瓶酒中的酒精质量Na与第一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量x1(T1)之和，而此时体液中的酒精量y1(0)为第一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量y1(T1)，因此大李第二次喝酒的模型如下：第43 页，本讲稿共55 页解以上微分方程组，得 令，解可转化为第44 页，本讲稿共55 页N2，运用最小二乘拟合法，求解得作图如下：第45 页，本讲稿共55 页将以上数据代入问题一的模型中，可求得大李在中午12点饮一瓶啤酒，即N=1时，到下午6点第一次检查时体液中的酒精含量（即血液中的酒精含量）所以大李通过了第一次检查。第46 页，
22、本讲稿共55 页大李第二次喝酒模型的方程解为：考虑到大李在下午6点接受检查，之后由于停车等待等原因耽误了大约半个小时，假设大李从第一次检验到第二次喝酒之间间隔0.5小时，代入数据计算可得第二次检验时，大李血液中酒精含量为：20.2448(毫克/百毫升)。这就解释了大李在第一次喝酒通过检查，第二次喝同样的酒且经过更长的时间检查却被定为饮酒驾车的情况，因为第二次喝酒时有第一次喝酒的残留量。第47 页，本讲稿共55 页 求微分方程（组）解析解的命令:dsolve(方程1,方程2,方程n,初始条件,自变量)To MATLAB（ff1）结 果：u=tan(t-c)五、微分方程的MATLAB求解第48 页
23、，本讲稿共55 页 解 输入命令:y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结 果 为:y=3e-2xsin（5x）To MATLAB（ff2）第49 页，本讲稿共55 页解 输入命令：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z,t)；x=simple(x)%将x化简 y=simple(y)z=simple(z)结 果 为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z=(-c
24、1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t To MATLAB（ff3）返 回第50 页，本讲稿共55 页微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大多得不出一般解而实际中的对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的返 回第51 页，本讲稿共55 页（二）用MATLAB软件求常微分方程的数值解t，x=solver(f,ts,x0,options)ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的M文件名ts
25、=t0,tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格库塔费尔贝格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格库塔费尔贝格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差第52 页，本讲稿共55 页 1在解含n个未知数的方程组时，x0和x均为n维向量，M文件中的待解方程组应以x的分量形式写出 2使用MATLAB软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组注意:第53 页，本讲稿共55 页解:令 y1=x
26、，y2=y11建立M文件vdp1000m如下：function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);2取t0=0，tf=3000，输入命令：T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0);plot(T,Y(:,1),-)3结果如图 To MATLAB（ff4）第54 页，本讲稿共55 页解 1建立M文件rigidm如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-051*y(1)*y(2);2取t0=0，tf=12，输入命令：T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3结果如图To MATLAB（ff5）图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线返 回第55 页，本讲稿共55 页