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1、微分方程例题第1页，本讲稿共33页例例.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解:令令 则则故有故有即即解得解得(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:第2页，本讲稿共33页例例:解法解法 1 分离变量分离变量即即(C 0 )解法解法 2故有故有积分积分(C 为任意常数为任意常数)所求通解所求通解:第3页，本讲稿共33页例例.解微分方程解微分方程解解:则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即即说明说明:显然显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解也是原方程的解,但在但在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了.第4页，本讲稿共3
2、3页例例.求方程的通解.解解:注意 x,y 同号,由一阶线性方程通解公式通解公式,得故方程可变形为所求通解为 这是以为因变量,y为 自变量的一阶线性方程第5页，本讲稿共33页思考与练习思考与练习判别下列方程类型:提示提示:可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程第6页，本讲稿共33页例例.求解解解:这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为即故原方程的通解为或第7页，本讲稿共33页思考思考:如何解方程这不是一个全微分方程,就化成上例 的方程.但若在方程两边同乘第8页，本讲稿共33页备用题备用题 解方程解法解法1 积分因子法.原方程变形为取积分因子故通解为此外,y=0 也是方程
3、的解.第9页，本讲稿共33页解法解法2 化为齐次方程.原方程变形为积分得将代入,得通解此外,y=0 也是方程的解.第10页，本讲稿共33页解法解法3 化为线性方程.原方程变形为其通解为即此外,y=0 也是方程的解.第11页，本讲稿共33页例例.解解:第12页，本讲稿共33页例例.求解解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为第13页，本讲稿共33页对于型方程(n2)，可以令得如果能求出其通解逐次积分n-1次，就可得到原方程的通解其中C1,C2.,Cn为任意常数.第14页，本讲稿共33页例例.解初值问题解解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得第1
4、5页，本讲稿共33页例例.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程通解为例例.解解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解第16页，本讲稿共33页例例.解解:特征方程:即其根为方程通解:第17页，本讲稿共33页备用题备用题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为第18页，本讲稿共33页常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89 考研考研)第19页，本讲稿共33页例例.已知微分方程个解求此方程
5、满足初始条件的特解.解解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 第20页，本讲稿共33页例例.的通解为 的通解.解解:将所给方程化为:已知齐次方程求利用,建立方程组:积分得故所求通解为第21页，本讲稿共33页例例.的通解.解解:对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换.特征根:设的特解为于是得的通解:故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)代入可得:第22页，本讲稿共33页例例1.的一个特解.解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为第23页，本讲稿共
6、33页例例2.求解定解问题解解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得第24页，本讲稿共33页于是所求解为解得第25页，本讲稿共33页例例4 的一个特解.解解:本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解第26页，本讲稿共33页例例5.的通解.解解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为第27页，本讲稿共33页例例6.解解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列
7、高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:第28页，本讲稿共33页思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1.(填空)设第29页，本讲稿共33页2.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为第30页，本讲稿共33页例例1.解解:则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 第31页，本讲稿共33页 的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入确定系数,得第32页，本讲稿共33页例例2.解解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即特征根:设特解:代入 解得 A=1,所求通解为 第33页，本讲稿共33页