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1、5.6 二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类 这一节，我们将在直角坐标系下，利用坐标变这一节，我们将在直角坐标系下，利用坐标变换，使二次曲线的方程在新坐标系里具有最简形式，换，使二次曲线的方程在新坐标系里具有最简形式，然后在此基础上进行二次曲线的分类。然后在此基础上进行二次曲线的分类。1.平面直角坐标变换平面直角坐标变换 我们知道，如果平面内一点的旧坐标与新坐标我们知道，如果平面内一点的旧坐标与新坐标分别为分别为 与与 ，那么移轴公式为，那么移轴公式为（5.6-1）或或（5.6-1）式中式中 为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标。为新坐标系原点在旧坐标系里的坐标。oyxo/y/x/先移
2、轴使坐标原点与新坐标系的原点先移轴使坐标原点与新坐标系的原点 重合重合,变成坐变成坐标系标系（5.6-2）或或（5.6-2）式中的式中的 为坐标轴的旋转角。为坐标轴的旋转角。而在一般情形，由旧坐标系而在一般情形，由旧坐标系 变成新坐变成新坐标系标系 ，总可以分两步来完成，总可以分两步来完成，转轴公式为转轴公式为oyxo/y/x/然后由辅助坐标系然后由辅助坐标系再转轴而再转轴而成新坐标系成新坐标系设平面上任意点设平面上任意点的旧坐标与新坐标分别为的旧坐标与新坐标分别为o/y/x/与与（图（图5-1）由上两式得一般坐标变由上两式得一般坐标变换公式为换公式为（5.6-3）oyxo/y/x/y/x/与
3、与而在辅助坐标系而在辅助坐标系中的坐标中的坐标那么有那么有由（由（5.6-3）解出）解出 便得逆变换公式便得逆变换公式（5.6-4）平面直角坐标变换公式（平面直角坐标变换公式（5.6-3）是由新坐标系原）是由新坐标系原 点的坐标点的坐标 与坐标轴的旋转角与坐标轴的旋转角 决定的。决定的。确定坐标变换公式，除了上确定坐标变换公式，除了上面的这种情况外，还可以有面的这种情况外，还可以有其它的方法。其它的方法。例如给出了新坐标系例如给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标的两坐标轴在旧坐标系里的方程，并规定系里的方程，并规定了一个轴的正方向等。了一个轴的正方向等。现在我们就来介绍这现在我们就来介绍这情况下的
4、坐标变换公式。情况下的坐标变换公式。（图（图5-2）oyxy/x/My/x/设在直角坐标系设在直角坐标系 里给定了两条互相垂直的直线里给定了两条互相垂直的直线因为因为 是点是点 到到 轴的距离，也就是轴的距离，也就是 点点到到 的距离，因此我们有的距离，因此我们有同理可得同理可得oyxy/x/其中其中横轴横轴纵轴纵轴旧坐标与新坐标分别是旧坐标与新坐标分别是My/x/于是在去掉绝对值符号以后，便有于是在去掉绝对值符号以后，便有（5.6-5）为了使新坐标系仍然是右手坐标系，我们来决定（为了使新坐标系仍然是右手坐标系，我们来决定（5.6-5）中的符号）中的符号,将（将（5.6-5）式与公式（）式与公
5、式（5.6-4）比较得）比较得（5.6-4）因此（因此（5.6-5）中的第一式右端的）中的第一式右端的 的系数应与第二的系数应与第二式的右端式的右端 的实数相等，所以（的实数相等，所以（5.6-5）的符号选取）的符号选取要使得这两项的系数是同号的。要使得这两项的系数是同号的。例例 1 已知两垂直的直线已知两垂直的直线 与与 ，取，取 为为 轴，轴，为为 轴，求轴，求坐标变换公式。坐标变换公式。解解 设设 的新坐标为的新坐标为 ，那么有，那么有根据上面的符号选取法则得变换公式为根据上面的符号选取法则得变换公式为2.二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类设二次曲线的方程为设二次曲线的方程
6、为（1）现在我们要选取一个适当的坐标系，也就是要确现在我们要选取一个适当的坐标系，也就是要确定一个坐标变换，使得曲线（定一个坐标变换，使得曲线（1）在新坐标系下的）在新坐标系下的方程最为简单，这就是二次曲线方程的化简。方程最为简单，这就是二次曲线方程的化简。为此，我们必须了解在坐标变换下二次曲线方程的为此，我们必须了解在坐标变换下二次曲线方程的系数是怎样变化的。系数是怎样变化的。因为一般坐标变换是由移轴与转轴组成，所以我们因为一般坐标变换是由移轴与转轴组成，所以我们分别考察在移轴与转轴下，分别考察在移轴与转轴下，二次曲线方程（二次曲线方程（1）的系数的变换规律。）的系数的变换规律。在移轴（在移
7、轴（5.6-1）即）即下，二次曲线（下，二次曲线（1）的新方程为）的新方程为化简整理得：化简整理得：这里这里（5.6-6）因此在移轴（因此在移轴（5.6-1）下，二次曲线方程系数的变）下，二次曲线方程系数的变换规律为：换规律为：二次项系数不变；二次项系数不变；一次项系数变为一次项系数变为 与与 ；常数项变为常数项变为 。所以当二次曲线有中所以当二次曲线有中心时，作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，那心时，作移轴，使原点与二次曲线的中心重合，那么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失。么在新坐标系下二次曲线的新方程中一次项消失。因为当因为当 为二次曲线（为二次曲线（1）的中心时，有）的中心时，
8、有 ，把转轴公式（把转轴公式（5.6-2）即）即代入（代入（1），得在转轴（），得在转轴（5.6-2）下二次曲线（）下二次曲线（1）的）的新方程为新方程为这里这里（5.6-7）因此，在转轴下，二次曲线方程（因此，在转轴下，二次曲线方程（1）的系数变换）的系数变换规律为：规律为：二次项系数一般要改变。新方程的二次二次项系数一般要改变。新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关。与一次项系数及常数项无关。一次项系数一般要改变。新方程的一次一次项系数一般要改变。新方程的一次项系数项系数解出解出 得得可以进一步看到，在转
9、轴下，二次曲线方程（可以进一步看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的）的一次项系数一次项系数 的变换规律是与点的坐标的变换规律是与点的坐标 的的变换规律完全一样，变换规律完全一样，当原方程有一次项时，通过转当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通轴不能完全消去一次项，当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项。过转轴也不会产生一次项。常数项不变。常数项不变。二次曲线方程（二次曲线方程（1）里，如果）里，如果 ，我们往往，我们往往使用转轴使新方程中的使用转轴使新方程中的 。为此，我们只有取。为此，我们只有取旋转角旋转角 ，使得，使得即即所以所以（5.6-8）因为余切
10、的值可以是任意的实数，所以因为余切的值可以是任意的实数，所以 总有总有 满满足（足（5.6-8），也就是说总可以经过适当的转轴消），也就是说总可以经过适当的转轴消去（去（1）的）的 项。项。例例 2化简二次曲线方程化简二次曲线方程 并画出它的图形。并画出它的图形。解解 因为二次曲线的方程含有因为二次曲线的方程含有 项，因此项，因此我们总可以先通过转轴消去我们总可以先通过转轴消去 项。设旋转角为项。设旋转角为 ，那么由（那么由（5.6-8）得：）得：即即所以所以从而得从而得取取 ，那么，那么 ，所以得，所以得转轴公式为转轴公式为代入原方程化简整理得转轴后的新方程为代入原方程化简整理得转轴后的新方
11、程为利用配方使上式化为利用配方使上式化为再作移轴再作移轴曲线方程化为最简形式曲线方程化为最简形式或写成标准方程为或写成标准方程为这是一条抛物线，它这是一条抛物线，它的顶点是新坐标系的顶点是新坐标系 的原点。原的原点。原方程的图形可以根据方程的图形可以根据它在坐标系它在坐标系 中的标准方程作出，中的标准方程作出，它的图形如图它的图形如图5-3所所示。示。利用坐标变换化简二利用坐标变换化简二次曲线的方程，如果曲线次曲线的方程，如果曲线有中心，那么为了计算方便，往往先移轴后转轴。有中心，那么为了计算方便，往往先移轴后转轴。（图（图 5-3）yxoy/x/(x/)y/o/例例 3 化简二次曲线方程化简
12、二次曲线方程并画出它的图形。并画出它的图形。解解 因为因为 所以曲线为中心二次曲线，解方程组所以曲线为中心二次曲线，解方程组得中心的坐标为得中心的坐标为 ，取，取 为新原点，为新原点，原方程变为原方程变为再转轴消去再转轴消去 项，由（项，由（5.6-8）得）得从而可取从而可取 ，故转轴公式为，故转轴公式为作移轴作移轴经转轴后曲线的方程经转轴后曲线的方程或写成标准形式或写成标准形式这是一个椭圆，它的这是一个椭圆，它的图形如图图形如图5-4所示。所示。利用转轴来消去利用转轴来消去二次曲线方程的二次曲线方程的 项，项，它有一个几何意义，它有一个几何意义，就是把坐标轴旋转到就是把坐标轴旋转到与二次曲线
13、的主方向与二次曲线的主方向平行的位置。平行的位置。（图（图5-4）oyxo/y/x/y/x/4这是因为如果二次曲线的特征根这是因为如果二次曲线的特征根 确定的主方向为确定的主方向为 ，那么由（，那么由（5.5-1）立刻得：）立刻得：因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二次曲线方程的方法，实际是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置。如果是线心曲线，如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合。心重合。因此，二次曲线方程的化简
14、因此，二次曲线方程的化简，只要先求，只要先求出曲线（出曲线（1）的主直径，）的主直径，然后以它作为新坐标轴，然后以它作为新坐标轴，作坐标变换即可。作坐标变换即可。例例 4 化简二次曲线方程化简二次曲线方程并作出它的图形。并作出它的图形。如果是中心曲线，如果是中心曲线，如果是无心曲线，如果是无心曲线，坐标原点与曲线的中心重合坐标原点与曲线的中心重合；坐标原点与曲线的顶点重合坐标原点与曲线的顶点重合；解解 已知二次曲线的矩阵是已知二次曲线的矩阵是所以曲线的特征方程是所以曲线的特征方程是解得两特征根为解得两特征根为因而曲线的两个主方向为因而曲线的两个主方向为曲线的两条主直径为曲线的两条主直径为与与即
15、即取这两条主直径为新坐标轴，由（取这两条主直径为新坐标轴，由（5.6-5）得坐标）得坐标变换公式为变换公式为解出解出 与与 代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系下得方程为下得方程为所以曲线标准方程为所以曲线标准方程为这是一条双曲线。这是一条双曲线。例例 5 化简二次曲线方程化简二次曲线方程 并作出它的图形。并作出它的图形。解解 已知二次曲线的矩阵是已知二次曲线的矩阵是曲线为非中心曲线，它的特征方程为曲线为非中心曲线，它的特征方程为特征根为特征根为曲线的非渐近主方向为对应于曲线的非渐近主方向为对应于 的这方向的这方向 为新坐标系的为新坐标系的 轴，
16、而过曲线的顶点轴，而过曲线的顶点所以曲线的主直径为所以曲线的主直径为即即求出主直径于曲线的交点，即曲线的顶点为求出主直径于曲线的交点，即曲线的顶点为所以过曲线顶点且以非渐近主方向为方向的直线为所以过曲线顶点且以非渐近主方向为方向的直线为即即这也是过顶点垂直于主直径的直线，取主直径这也是过顶点垂直于主直径的直线，取主直径且垂直于主直径的直线且垂直于主直径的直线 为为 轴，作轴，作坐标变换，它的变换公式为坐标变换，它的变换公式为解出解出 与与 代入已知方程，经过整理得代入已知方程，经过整理得化为标准方程化为标准方程这是一条抛物线。这是一条抛物线。例例 6 化简化简 。解解 已知曲线的矩阵为已知曲线
17、的矩阵为 它的第一，第二两行成比例，曲线为线心曲线，它有唯它的第一，第二两行成比例，曲线为线心曲线，它有唯一的直径即中心线，也是曲线的主直径，其方程是一的直径即中心线，也是曲线的主直径，其方程是取它为新坐标系的取它为新坐标系的 轴，轴，为新坐标系的为新坐标系的 轴作坐标变换，这时的变换公式为轴作坐标变换，这时的变换公式为再取任意垂直于这中心线的再取任意垂直于这中心线的直线，比如直线，比如解出解出 与与 代入已知方程，经过整理得代入已知方程，经过整理得 即即 或或 ，这是两条平行直线（图，这是两条平行直线（图5-7）。）。对于线心曲线，我们可以直接从原方程分解对于线心曲线，我们可以直接从原方程分解（图（图5-7）oyxy/x/