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1、31 不定积分的概念、性质及基本积分公式一、不定积分的概念1原函数的概念2不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质四、直接积分法第1页/共186页定义定义 1设函数设函数 y=f(x)在某区间上有定义在某区间上有定义，如果存在函数如果存在函数 F(x)，对于该区间上任一点对于该区间上任一点 x，使使F (x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx，则则称称函函数数 F(x)是是已已知知函函数数 f(x)在在该该区区间间上上的的一一个个原函数原函数.一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分第2页/共186页(x3+C)=3x2(C 为任意常数)，所
2、以 x3 +1，x3+C 都是 3x2 在区间(,)内的原函数.例如，因为在区间(,)内有(x3)=3x2，所以 x3 是 3x2 在区间(,)内一个原函数，又 因 为(x3+1)=3x2，一般地，若 F(x)是 f(x)在某区间上的一个原函数，则函数族 F(x)+C(C 为任意常数)都是 f(x)在该区间上的原函数.第3页/共186页移项得 (x)=F(x)+C.因为 (x)是 f(x)的任一个原函数，因为 (x)-F(x)=(x)F (x)=f(x)-f(x)=0，由微分中值定理的推论得 (x)-F(x)=C(C为常数)，设 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个确定的原函数，(x)是
3、f(x)在区间 I 上的任一个原函数，F (x)=f(x)，(x)=f(x).所以 F(x)+C 是 f(x)在区间 I 上的全体原函数的一般表达式.即第4页/共186页其中符号其中符号 称为积分号，称为积分号，f(x)dx 称为被积表达式称为被积表达式，或称被积分式或称被积分式，x 称称为积分变量为积分变量，定定义义 2若若 F(x)是是 f(x)在在区区间间 I 上上的的一一个个原原函数函数，即 则则 F(x)+C(C为任意常数为任意常数)称为称为 f(x)在该在该区间上的区间上的不定积分不定积分，记为记为f(x)称为被积函数称为被积函数，C 称为积分常数称为积分常数.第5页/共186页例
4、例 1求下列不定积分第6页/共186页解解根据不定积分的定义，只要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数 C 即可.(1)被积函数 f(x)=2x，因为(x2)=2x，即 x2 是 2x 的一个原函数，所以，不定积分(2)被积函数 f(x)=sin x，因为(-cos x)=sinx，即-cos x 是 sin x 的一个原函数，所以，不定积分第7页/共186页所以得所以得第8页/共186页当 x 0 时，所以合并以上两种情况，当 x 0 时，得例例 2求不定积分解解第9页/共186页(2)或二、不定积分的基本性质二、不定积分的基本性质二、不定积分的基本性质二、不定积分的基本性质(1)
5、第10页/共186页基本积分表基本积分表第11页/共186页第12页/共186页第13页/共186页例例 3求不定积分解解先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，(1)(2)得第14页/共186页例例 4求不定积分解解第15页/共186页性质性质 1两个函数和的不定积分等于各个函数两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和不定积分的和，三、不定积分的性质三、不定积分的性质三、不定积分的性质三、不定积分的性质即即第16页/共186页性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况，即性质 1 称为分项积分.证证根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数.第17页/共186页
6、性质性质 2被积函数中的不为零的常数因子可以被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外提到积分号外，(k 为不等于零的常数)证证类似性质 1 的证法，有即即第18页/共186页例例 5求不定积分即各积分常数可以合并.其中 C=C1-2C2+2C3，因此，求代数和的不定积分时，解解 只需在最后写出一个积分常数 C 即可.第19页/共186页例例 6求解解第20页/共186页例例 7求解解第21页/共186页四、不定积分的几何意义四、不定积分的几何意义若 y=F(x)是 f(x)的一个原函数，则称 y=F(x)的图形是 f(x)的积分曲线.因为不定积分是 f(x)的原函数的一般表达式，所以它对应
7、的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族.第22页/共186页积分曲线族 y=F(x)+C 的特点是：当 C 0 时，向上移动；(1)积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条(例如，曲线 y=F(x)沿 y 轴平行移动|C|单位而得到.当 C 0 常数).解解上式与基本积分表第35页/共186页例例 5求(a 0 常数).).解解第36页/共186页等等等等.第37页/共186页例例 6求解解将被积分式中的 xdx 因子凑微分，则经求导验算，结果正确.即即第38页/共186页例例 7求解解凑微分，即则第39页/共186页例例 8求解解解解例例 10求第40页/共186页例例 11求解解第41页/
8、共186页3 3.利用三角函数的恒等式利用三角函数的恒等式利用三角函数的恒等式利用三角函数的恒等式.例例 12 求解解第42页/共186页例例 13求解解第43页/共186页例例 14求解解第44页/共186页例例 15求解解第45页/共186页例例 16求解解4.利用代数恒等式利用代数恒等式第46页/共186页例例 17求(a 0 常数).).解解第47页/共186页例例 18求解解第48页/共186页例例 19求解解第49页/共186页例例 20求解解第50页/共186页例例 21求解解第51页/共186页二、第二换元法二、第二换元法定理定理 2(第二换元法)设函数 f(x)连续，函数 x
9、=j j(t)单调可微，且 j j (t)0 0，则第52页/共186页1 1.简单根式代换简单根式代换简单根式代换简单根式代换例例 22求解解为了去掉被积函数中的根号，则 dx=2tdt，于是有第53页/共186页回代变量，得第54页/共186页例例 23求解解被积函数含根式为了去掉根号，于是有则 dx=4t3 dt，第55页/共186页回代变量，得第56页/共186页例例 24求解解为了去掉被积函数中的根号，于是有第57页/共186页第58页/共186页2 2.三角代换三角代换三角代换三角代换例例 25求于是有解解则 dx=acost dt，第59页/共186页 把变量 t 换为 x.为简
10、便起见，画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图.于是有xat第60页/共186页例例 26求解解则 dx=asec2 tdt，于是有第61页/共186页作辅助三角形，得axt其中 C=C1-lna.第62页/共186页例例 27求解解令 x=a sec t，则 dx=a sec t tan t dt，于是有第63页/共186页作辅助三角形，axt得其中 C=C1 lna.第64页/共186页作三角代换 x=a sin t 或 x=a cos t；作三角代换 x=a tan t 或 x=a cot t；作三角代换 x=a sec t 或 x=a csc t.第65页/共186页例例 28求解法
11、一三角代换法解法一三角代换法.令 x=tan t，于是得则 dx=sec2 tdt，第66页/共186页根据 tan t=x，作辅助三角形，得1xt=ln|csc t cot t|+C第67页/共186页解法二凑微分法解法二凑微分法.于是有第68页/共186页解法三根式代换法解法三根式代换法.于是有第69页/共186页例例 29求解解第70页/共186页三分部积分法三分部积分法设函数 u=u(x)，v =v(x)具有连续导数：u =u(x)，v =v (x)，根据乘积微分公式于是有即d(uv)=udv +vdu，第71页/共186页例例 1求解解解解例例 2求第72页/共186页解解例例 3求
12、第73页/共186页解解例例 4求第74页/共186页解解例例 5求第75页/共186页解解例例 6求对新积分继续用分部积分法，得代入原式中，得第76页/共186页解解例例 7求对上式中的右端积分继续利用分部积分法，得代入，得第77页/共186页解解例例 8求等式右端出现了原积分，把等式看作以原积分为未知量的方程，解此方程，得第78页/共186页解解例例 9求于是有即第79页/共186页解解先用第二换元法，再用分部积分法.例例 10求则 dx=3t2dt，于是有第80页/共186页代回原变量，得第81页/共186页解解例例 11求求上式右端的不定积分用第二换元法.第82页/共186页则 dx=
13、2tdt，于是有=2(t arctan t)+C代入，得第83页/共186页四积分表的使用方法四积分表的使用方法1 1.在积分表中能直接查到的在积分表中能直接查到的在积分表中能直接查到的在积分表中能直接查到的例例 1查表求解解被积函数含 a+bx 因式，在积分表(一)类中，查到公式 9，当 a=3，b=2 时，得第84页/共186页例例 2查表求解解被积函数含 a+bsin x 因式，在积分表(十一)类中，查到公式 103 或 104，因为a=5，b=4，a2 b2.所以用公式 103，得第85页/共186页2 2.先进行变量代换，再查表先进行变量代换，再查表先进行变量代换，再查表先进行变量代
14、换，再查表例例 3查表求解解该积分在积分表中直接查不到，要进行变量代换，令 3x=t，于是有第86页/共186页上式右端积分的被积函数中有 在积分表(五)类中，查到公式 39，代入原积分中，得 当 a=2(x 相当于 t)时，得第87页/共186页3 3.用递推公式用递推公式用递推公式用递推公式例例 4查表求解解被积函数中含三角函数，在积分表(十一)类中查到公式 97，递推公式为第88页/共186页当 n=4 时，原积分为等，都不能用初等函数表示.第89页/共186页第三节 定积分的概念和性质一、定积分的实际背景1、曲边梯形的面积2、变速直线运动的路程二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定
15、积分的性质第90页/共186页一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子一、引进定积分概念的两个例子1 1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形：在直角坐标系下，由闭区间 a,b 上的连续曲线 y=f(x)0，直线 x=a，x=b 与 x 轴围成的平面图形 AabB.yxOabABx=ax=by=f(x)第91页/共186页基于这种想法，可以用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割得较细，每个小曲边梯形很窄，则其高 f(x)的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，底上某点函数值为
16、高的矩形，曲线 y=f(x)是连续的，所以，当点 x 在区间 a,b 上某处变化很小时，则相应的高 f(x)也就变化不大.第92页/共186页显然，分割越细，近似程度就越高，当无限细分时，则所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边梯形面积.第93页/共186页(1)分割在区间 a,b 内任意插入 n 1 个分点：a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn=b，把区间 a,b 分成 n 个小区间：x0,x1，x1,x2，xi-1,xi，xn-1,xn.这些小区间的长度分别记为 xi=xi xi-1
17、(i=1,2,n).过每一分点作平行于 y 轴的直线，它们把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形.根据以上分析，可按下面四步计算曲边梯形面积.a a=x0 x1xi-1xn=bOy=f(x)yBAxxiOyBAx第94页/共186页(2)近似代替在每个小区间 xi-1,xi(i=1,2,n)上取一点 x xi(xi-1 x xi xi),),以 f(x xi)为高，xi 为底作小矩形，用小矩形面积 f(x xi)xi 近似代替相应的小曲边梯形面积 Ai，即 Ai f(x xi)xi(i=1,2,n).x x1x x2x xix xnxOy=f(x)yBAa a=x0 x1xi-1xn=b xi第95
18、页/共186页(4)取极限当分点个数 n 无限增加，即(3)求和把 n 个小矩形面积加起来，它就是曲边梯形面积的近似值，即 且小区间长度的最大值 (即 =max xi)趋近于 0 时，上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，第96页/共186页2 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程变速直线运动的路程变速直线运动的路程设一物体作直线运动，已知速度 v=v(t)是时间 t 的连续函数，求在时间间隔 T1,T2 上物体所经过的路程 s.(1)分割在时间间隔 T1,T2 内任意插入 n -1 个分点：T1=t0 t1 t2 ti-1 ti tn-1 tn=T2，把 T1,T2 分成 n 个小区间
19、：t0,t1，t1,t2，ti-1,ti，tn-1,tn.这些小区间的长度分别为：ti=ti ti 1(i=1,2,n).相应的路程 s 被分为 n 段小路程：si(i=1,2,n).第97页/共186页(2)近似代替在每个小区间上任意取一点 x xi(ti-1 x xi ti),),用 x xi 点的速度 v (x xi)近似代替物体在小区间上的速度，用乘积 v (x xi)ti 近似代替物体在小区间 ti-1,ti 上所经过的路程 si，即 si v(x xi)ti(i=1,2,n).第98页/共186页(3)求和(4)取极限第99页/共186页二、定积分的定义二、定积分的定义定定义义设设
20、函函数数 f(x)在在区区间间 a,b 上上有有定定义义任意取分点任意取分点a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn=b由于 xi-1 xi，xi=xi-xi-1 b，同样可给出定积分即可，第105页/共186页根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：(1)曲边梯形面积 A 是曲边函数 f(x)在区间 a,b 上的定积分，即(2)变速直线运动的路程 s 是速度函数 v(x)在时间间隔 T1,T2 上的定积分，即第106页/共186页例例 1用定义计算解解被积函数 f(x)=e-x，在区间 0,1 上连续，所以 e-x 在 0,1 上可
21、积.为了计算方便起见，把区间 0,1 等分成 n 份，分点为 第107页/共186页每个子区间的长度都是 在每个子区间上都取左端点为 x xi，于是和式为第108页/共186页当 =max xi0+时，即 n+有于是有第109页/共186页AabBy=f(x)三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义当 f(x)0 时，定积分在几何上表示 曲边 y=f(x)在区间 a,b 上方的曲边梯形面积，如果 f(x)0，曲边梯形在 x 轴下方，此时该定积分为负值，它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积是负值，yxO第110页/共186页当 f(x)在 a,b 上有正有负时，x 轴上方的曲边梯形面积减去
22、x 轴下方的曲边梯形面积yx定积分y=f(x)ABabA1A2A3第111页/共186页四、定积分的性质四、定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的.性质性质 1(1)两个函数和的定积分等于它们两个函数和的定积分等于它们定积分的和定积分的和，即即(2)被积函数的常数因子可以提到积分外面被积函数的常数因子可以提到积分外面，即即第112页/共186页证证 只证性质 1.根据定积分的定义，有第113页/共186页性质性质 1(1)可推广到有限多个函数代数和的情况，即第114页/共186页性质性质 2 如果在区间如果在区间 a,b 上上 f(x)1，那么那么性性质质 3(积分对区间可加性)如如果果
23、积积分分区区间间 a,b 被点被点 c 分成两个区间分成两个区间 a,c 和和 c,b，那么那么当点 c 不介于 a 与 b 之间，即 c a b 或 a b 0 (i =1,2,n)，移项，得推论推论 由性质由性质 4 可得可得 所以上式右端的极限值非正，从而有第117页/共186页性质性质 5(估值定理估值定理)如果存在两个数如果存在两个数 M，m，使函数使函数 f(x)在闭区间在闭区间 a,b 有有 m f(x)M，那么那么该性质的几何解释是：曲线 y=f(x)在 a,b 上的曲边梯形面积 介于与区间 a,b 长度为底，分别以 m 和 M 为高的两个矩形面积之间.m(b-a)M(b-a)
24、y=f(x)yxabmMOBA第118页/共186页性质性质 6(积分中值定理积分中值定理)如果函数如果函数 f(x)在在区间区间 a,b 上连续，上连续，=f(x x)(b-a)那么在区间那么在区间 a,b 上至少上至少存在一点存在一点 x x，使下面等式成立：使下面等式成立：第119页/共186页证证因为 b a 0，由估值定理得由闭区间上连续函数的介值定理知道 在 a,b 上至少存在一个点 x x，于是得当 b 0，b 0.解解因为图形关于 x 轴、y 轴对称，所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍，把 x=a cos t，y=b sin t代入上述积分式中，上、下限也要相应地变换(
25、满足积分变量 t).由定积分的换元公式得即xyO第177页/共186页二、极坐标系中平面图形的面积二、极坐标系中平面图形的面积二、极坐标系中平面图形的面积二、极坐标系中平面图形的面积由曲线 r=r()及两条半直线 =a a，=b b(a a 0).解解作出它的草图.r=x(1+cos )2ax得 由上述公式，再利用图形的对称性，第179页/共186页例例 6求由两条曲线 r=3cos 和 r=1+cos 所围成的公共部分的面积.解解作出它的草图，得两曲线的交点 考虑到图形的对称性，得面积再求两条曲线的交点，解方程组O 2x3第180页/共186页第181页/共186页三旋转体的体积三旋转体的体
26、积例例 1求由椭圆解解利用图形的对称性.(一)选取积分变量为 x 0,a，所围的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.任取一个子区间 x,x+dx 0,a，第182页/共186页在子区间 x,x+dx 上旋转体的微元为：于是 dV1=p py2 dx，yxOx x+dx第183页/共186页(二)选积分变量 y 0,b，任取子区间 y,y+dy 0,b.在子区间 y,y+dy 上体积的微元为 dV1=2p pxydy，则xdy2p pyyxO y+dxyxx第184页/共186页例例 2求 y=x2 与 y2=x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积.解解选积分变量 x 0,1 (两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，任取子区间 x,x+dx 0,1，其上的体积的微元为x x+dx(1,1)y2=x2yxO 体积微元的求法 第185页/共186页感谢您的观看！第186页/共186页