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1、第一节 一元函数的积分一、不定积分二、定积分三、广义积分第1页/共53页一、不定积分1.不定积分的概念和性质 定义1 设函数f 与F 在区间I上有定义，若则称F为f 在区间I上的一个原函数n问题：（1）什么条件下，一个函数的原函数存在？(2)如果f(x)有原函数，一共有多少个？(3)任意两个原函数之间有什么关系？1)原函数与不定积分的概念第2页/共53页任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量第3页/共53页 定理1 1（原函数存在定理）如果函数f f（x x）在某个区间上连续，那么f f（x x）在该区间上一定存在原函数.简单理解：连续函数一定有原函数 定理2 2 如果函数F F（x x）是
2、函数f f（x x）的一个原函数，则F F（x x）+C+C（C C为任意数）是f f（x x）的全部原函数.第4页/共53页 如果F（x）是f（x）的一个原函数，则F（x）所对应的曲线称为函数f（x）的一条积分曲线，将这条积分曲线沿轴方向上下任意平行移动，就得到F（x）+C，即为积分曲线族在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线，这些切线都是相互平行的 f（x）的不定积分的几何意义就表示相互平行的积分曲线族这些积分曲线在横坐标相同的点x处的切线相互平行2)不定积分的几何意义第5页/共53页性质1 1 设函数 及 的原函数存在，则性质2 2 设函数 的原函数存在，为非零常数，则性质3 3性质
3、4 43)不定积分的性质第6页/共53页2.不定积分直接积分法不定积分的基本公式第7页/共53页第8页/共53页 利用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。关键在于对被积函数进行恒等变形直接积分法第9页/共53页3.不定积分的换元积分法说明说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.1)第一类换元积分法（凑微分法）第10页/共53页（凑微分）第11页/共53页第12页/共53页第13页/共53页第14页/共53页第15页/共53页第16页/共53页2)第二类换元积分法（变量代换法）第17页/共53页例例1 1 求解解 令第18页/共53页例例2 2 求解解令第
4、19页/共53页 说明说明以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令第20页/共53页常用的基本公式表第21页/共53页第22页/共53页4.不定积分的分部积分法问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式第23页/共53页第24页/共53页例例2 2 求积分解解注意循环形式第25页/共53页5.简单有理函数的积分法两个多项式的商表示的函数称为有理函数.其中 都是非负整数；及 都是实数，并且 .假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个
5、真分式之和.第26页/共53页1)简单分式的积分法第27页/共53页第28页/共53页第29页/共53页2)化有理真分式为简单分式第30页/共53页3)有理函数的积分法第31页/共53页二、定积分1.定积分的概念和性质 曲边梯形曲边梯形 设函数yf(x)在区间a b上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 1）定积分问题举例 第32页/共53页观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形 当小矩形的宽度减少时 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？第33页/共53页求曲边梯形的面积 (1)分割 ax0 x1 x2
6、 xn1 xn b Dxixixi1;小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1xixi);(2)近似代替(4)取极限 设maxDx1 Dx2 Dxn 曲边梯形的面积为 (3)求和 曲边梯形的面积近似为 ;第34页/共53页变速直线运动的路程变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数 且v(t)0 计算物体在时间段T1 T2内所经过的路程S(1)分割 T1t0t1t2 tn1tnT2 Dtititi1;(2)近似代替 物体在时间段ti1 ti内所经过的路程近似为 DSiv(i)Dti (ti1 iti);物体在时间段T1 T2内所经过的路程近似为 (3)求
7、和 (4)取极限 记maxDt1 Dt2 Dtn 物体所经过的路程为 第35页/共53页在小区间xi1 xi上任取一点xi(i1 2 n)作和maxDx1 Dx2Dxn;记Dxixixi1(i1 2 n)ax0 x1x2 xn1xnb;在区间a b内任取分点 设函数f(x)在区间a b上连续 若当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b的分法和xi的取法无关 则此极限称为函数f(x)在区间a b上的定积分 记为 即 2）定积分的概念第36页/共53页定积分各部分的名称 积分符号 f(x)被积函数 f(x)dx 被积表达式 x 积分变量 a 积分下限 b 积分上限 a b积分区间，积分和
8、第37页/共53页v函数的可积性 如果函数f(x)在区间a b上的定积分存在 则称f(x)在区间a b上可积 定理1 如果函数f(x)在区间a b上连续 则函数f(x)在区间a b上可积 定理2 如果函数f(x)在区间a b上有界 且只有有限个间断点 则函数f(x)在区间a b上可积 v定积分的定义第38页/共53页 3)一般地 f(x)在a b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和 1）当f(x)0时 定积分 在几何上表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与y=0 所围成的封闭图形的面积 2）当f(x)0时 定积分 在几何上表示曲边梯形面积的负值 3）定
9、积分的几何意义 第39页/共53页性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 如果在区间a b上 f(x)0 则 badxxf0)(ab)1）定积分问题举例 第40页/共53页推论 如果在区间a b上 f(x)g(x)则 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立 性质7(定积分中值定理)积分中值公式 第41页/共53页2.牛顿-莱布尼茨公式1）变上限积分函数 第42页/共53页2）积分上限函数的导数 (1)(1)定理定理1 1 若若 在在 上连续，则积分上连续，则积分上限函数上限函数
10、 在在 上具有导上具有导数，且它的导数数，且它的导数 .证证 第43页/共53页即：第44页/共53页此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，从而可能用原函数来计算定积分.(2)(2)定理定理2 2 若函数若函数 在在 上连续，则积上连续，则积分上限函数分上限函数 是是 在区间在区间 上的一个原函数上的一个原函数.第45页/共53页证证:根据定理 1,故因此得记作定理定理3函数,则3）牛顿-莱布尼茨公式 第46页/共53页3.定积分的积分方法1）定积分的换元积分法第47页/共53页2）定积分的分部积分法 第48页/共53页三、广义积分1.无限区间上的
11、广义积分 定义 设函数 在区间 上连续取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的广义积分记作 ，即此时也称广义积分 存在或收敛；如果极限不存在，就称广义积分 不存在或发散。第49页/共53页 类似的，可以定义 在区间 及 上的广义积分。注 广义积分 收敛的充分必要条件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积分之一发散，则左端的广义积分发散。第50页/共53页2.无界函数的广义积分 设函数 在区间 上连续，而 取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在区间 上的广义积分。记作 即此时也称广义积分 存在或收敛；如果极限不存在，就称广义积分 不存在或发散。第51页/共53页 类似的，可以定义 在区间 及 上的广义积分。第52页/共53页感谢您的观看！第53页/共53页