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1、第十六章第十六章 一元函数积分学一元函数积分学 微分和积分是高等数学中的两大基本运算.微分的基本问题是:已知一个函数,求它的导数.但是,在许多实际问题中往往会遇到反问题:已知一个函数的导数,求原来的函数.由此产生了积分学.积分学包括不定积分和定积分两大部分.第1页/共154页第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数第2页/共154页第3页/共154页证第4页/共154页二、不定积分第5页/共154页证第6页/共154页由导数与不定积分定义，很容易得到如下规律：（微分运算与不定积分的运算是互逆的！）第7页/共154页三、不定积分的几何意义第8页/共154页由于不定积分是微
2、分的逆运算，所以根据微分基本公式就得对应的积公式：四、基本的积分公式第9页/共154页 以上13个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要记住等式右端的结果，还要熟悉左端被积函数的形式！第10页/共154页 由导数的运算法则和不定积分的定义，可以得到以下不定积分的运算法则.法则1对于有限个函数的代数和也是成立的!五、积分的基本运算法则第11页/共154页解第12页/共154页解解第13页/共154页解解第14页/共154页解第15页/共154页解第16页/共154页思考题答案答案答案第17页/共154页课堂练习题答案答案第18页/共154页第二节第二节 不定积分不定积分 利用直接积分法能计算的不定
3、积分是非常有限的，因此有必要探索计算不定积分的新方法.本节介绍换元积分法与分部积法、换元积分法可分为第一类换元法和第二类换元法.第一类换元积分法（又称凑微分法）是与微分分学中的复合函数微分法则相应的积分法.一、第一类换元积分法第19页/共154页注：换元过程可以省略.第20页/共154页一般地，若不定积分被积表达式能写成第21页/共154页下面举例说明解解第22页/共154页解解第23页/共154页 以上几例都是直接用凑微分求积分的，下在介绍几个常用的凑微分的等式供参考第24页/共154页解解第25页/共154页解第26页/共154页解第27页/共154页解第28页/共154页解法二解法一第2
4、9页/共154页二、第二类换元积分法第30页/共154页解第31页/共154页解第32页/共154页解图16-3 辅助直角三角形第33页/共154页解图16-4 辅助直角三角形第34页/共154页解图16-5 辅助直角三角形第35页/共154页图16-3 辅助直角三角形图16-4 辅助直角三角形图16-5 辅助直角三角形第36页/共154页 第二类换元法常用于被积函数中含有根式的情况，常用的变量替换可总结如下.在做三角替换时，可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系，按图做代换及还原.第37页/共154页 本节一些例题的结果，可当作公式使用，为便于读者使用，将这些常用的积分公式列举如
5、下.第38页/共154页 两类换元法就介绍这里，归纳起来看，它们的实质就是变量代换，变量代换是求不定积分的最基本的方法之一。因此，善于恰当地利用变量代换是掌握积技巧的关键.想要做到恰当,第一要熟悉基本积分公式,因为变量代换最终要化为积分公式中已有的形式;第二要熟悉微分表,因为变量代换(或凑微分)时经常用到它,同时要熟具体函数及其微分特征,这样才较好地掌握换元积分法.第39页/共154页三、分部积分法第40页/共154页解第41页/共154页解解在此例中,两次用了分部积分法.第42页/共154页解第43页/共154页解第44页/共154页解第45页/共154页解法二解法一第46页/共154页解法
6、三 由例22可以看出,求不定积分,常有多种方法,比较灵活,各种解法都有其特点,学习中要注意不断积累经验.第47页/共154页思考题答案答案第48页/共154页课堂练习题答案答案答案第49页/共154页第三节第三节 定积分的概念与性定积分的概念与性质质1.曲边梯形的面积 在初等数学中，已经解决了圆、三角形、矩形及多边形等图形的面积问题，而对由任意曲线所围成的一般平面图形的面积计算问题还未解决，其原因是用初等数学方法是非常困难的.这里介绍计算曲边梯形的面积的方法，有了这种方法就可以解决一般封闭图形的面积问题.一、两个实例第50页/共154页图16-7 求曲边梯形面积第51页/共154页第52页/共
7、154页(见图167)第53页/共154页第54页/共154页2.变速直线运动的路程第55页/共154页第56页/共154页 以上的两个实例具有不同的实际意义,但计算这些量时使用的方法是相同的.抛开这些问题的具体意义,由表达式在数量关系上的共同特性,抽象出定积分的概念.二、定积分的定义第57页/共154页第58页/共154页第59页/共154页关于定积分的定义做以下三点说明.第60页/共154页三、定积分的几何意义第61页/共154页第62页/共154页第63页/共154页例1 用定积分表示图16-9中四个图形阴影部分的面积解16-9(a)16-9(b)第64页/共154页16-9(c)16-
8、9(c)第65页/共154页(a)(b)(c)(d)第66页/共154页解图16-10 例2图形第67页/共154页 由定积分的定义，可以直接推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间都是可积的.性质1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即性质2 两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即（这一结论可以推广到任意有限个多个函数代数和的情况！）四、定积分的性质 第68页/共154页性质3 对任意点c，有性质4第69页/共154页性质5性质6性质7第70页/共154页证第71页/共154页图16-11 积分中值定理第72页/共154页解第73页/共154页例4 比较下列各对积分
9、值的大小解第74页/共154页思考题答案答案答案第75页/共154页课堂练习题答案答案第76页/共154页第四节第四节 牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式 定积分作为一种特定和式的极限，如果按定义计算定积分是很复杂、很困难的，所以本节将通过对定积分与原函数的讨论，寻找一种计算定积分简便而效的方法.第77页/共154页第78页/共154页一、积分上限函数第79页/共154页图16-12 积分上限函数几何意义第80页/共154页证第81页/共154页 这个定理一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面提供了在定积分与原函数之间建立联系的可能性！第82页/共154页解解第83页/共154页证二、
10、牛顿莱布尼兹公式第84页/共154页第85页/共154页第86页/共154页解解第87页/共154页解解第88页/共154页解第89页/共154页解第90页/共154页解第91页/共154页思考题答案答案答案第92页/共154页课堂练习题答案答案答案第93页/共154页第五节第五节 定积分的换元法与分部积分法定积分的换元法与分部积分法 前面学习了使用换元积分法求已知函数的原函数，在某些条件下换元积分法也可以用计算定积分.式（16-9）称为定积分的换元公式一、定积分的换元法第94页/共154页在应用定积分的换元公式（16-9）时，应注意第95页/共154页解 这一解法没有引入新的积分变量.计算时
11、，原积分的上、下限不要改变.解第96页/共154页解先把被积函数化简第97页/共154页第98页/共154页证第99页/共154页 在计算对称区间上的定积分时，如果能判定被积函数的奇偶性，利用这一结果可使计算简化.第100页/共154页解第101页/共154页解第102页/共154页解图16-14 例7几何意义第103页/共154页 式（16-10）称为定积分的分部积分法，其方法与不定积分相类似，但其结果不相同.(定积分是一个数值，面不定积分是一类函数！)二、定积分的分部积分法第104页/共154页解解第105页/共154页解第106页/共154页第107页/共154页第108页/共154页思
12、考题答案答案答案第109页/共154页课堂练习题答案答案第110页/共154页第六节第六节 、广义积分、广义积分 前面曾提到，若被积函数在积分区间上有无穷不连续点时，不能应用牛顿-莱布尼兹公式计算.这是因为牛顿-莱布尼兹公式的使用受到以下两个条件的限制.第111页/共154页 为了使定积分的应用更加广泛，将上述两个条件放宽，使得公式对积分区间为无穷区间，或被积函数在有限的积分区间上为无界函数的积分也能使用.这两种积分称为广义积分，相应地，前面讨论的积分称为常义积.本书仅讨论积分区间为无穷区间的广义积分.一般地，对于积分区间无限的情形，给出下面的定义.第112页/共154页第113页/共154页
13、 计算广义积分时，为了书写方便，实际计算中常常略去极限符号，形式上直接利用牛顿-莱布尼兹公式的计算式（注意是形式上）.第114页/共154页解解第115页/共154页证第116页/共154页思考题答案答案第117页/共154页课堂练习题答案答案第118页/共154页第七节第七节 数学实验六数学实验六 用用MathematicaMathematica计算积计算积分分一、学习Mathematica命令第119页/共154页二、求不定积分例1 计算下列不定积分：解第120页/共154页第121页/共154页三、求定积分及广义积分例2 计算下列积分解第122页/共154页第123页/共154页返回第1
14、24页/共154页返回第125页/共154页返回第126页/共154页返回第127页/共154页返回第128页/共154页返回第129页/共154页返回第130页/共154页返回第131页/共154页返回第132页/共154页返回第133页/共154页返回第134页/共154页返回第135页/共154页返回第136页/共154页返回第137页/共154页返回第138页/共154页返回第139页/共154页返回第140页/共154页返回第141页/共154页返回第142页/共154页返回第143页/共154页返回第144页/共154页返回第145页/共154页返回第146页/共154页返回第147页/共154页返回第148页/共154页返回第149页/共154页返回第150页/共154页返回第151页/共154页返回第152页/共154页返回第153页/共154页感谢您的观看！第154页/共154页