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1、微积分第一讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第一讲第一讲函数函数简介简介第一次数学危机第一次数学危机-数域的扩张数域的扩张1.数学危机数学危机v为了讲清楚数学危机的来龙去脉，我们为了讲清楚数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著
2、称的数学也不避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。在整个数学发展的历史上，贯穿着例外。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。整个数学的基础时，就产生数学危机。2、历史背景、历史背景v从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊古希腊的毕达哥拉的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右，年左右，它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不它是一
3、个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺四艺”，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为，在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。而且可以应用于现实的世界。毕达哥拉斯学派的信毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。v当时的人只有有理数的观念是绝不奇怪的。当时的人只有有理数的观念是绝不奇怪的。对于整数，在数在线我们可以知道是一点点分
4、散的，对于整数，在数在线我们可以知道是一点点分散的，而且点与点之间的距离是一，那就是说，整数不能而且点与点之间的距离是一，那就是说，整数不能完全填满整条数线，但有理数则不同了，我们发现完全填满整条数线，但有理数则不同了，我们发现任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，例如：例如：1与与2之间有之间有1/2，1与与1/2之间有之间有1/4等，因此等，因此令人很容易以为有理数可以完全填满整条数线，令人很容易以为有理数可以完全填满整条数线，有理数就是等于一切数，可惜这个想法是错的。有理数就是等于一切数，可惜这个想法是错的。v3、毕达哥拉斯定理（毕氏铁拳
5、）毕达哥拉斯定理（毕氏铁拳）具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人掘墓人”。毕达哥拉斯发现了现时众所周知的毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯发现了现时众所周知的毕达哥拉斯定理（其实中国于公元前一千一百年已有此定理叫勾股（其实中国于公元前一千一百年已有此定理叫勾股定理），毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个定理），毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形的正方形其对角线长度是多少呢？其对角线长度是多少呢？一个不能
6、表成整数比的数：一个不能表成整数比的数：根据毕达哥拉斯定理，边长为根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方的正方形，其对角线长度若记为形，其对角线长度若记为c，则，则推出推出。如图如图:C1希希帕帕索斯索斯(Hippasus)一个正方形的对角线与其一边一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的？的长度是不可公度的？v他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。亦即是说有理数并非一而只能用一个新数来表示。亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条数线，他们心
7、中的信念完完全全被破坏了，满整条数线，他们心中的信念完完全全被破坏了，他们所恃和所自豪的信念完全被粉碎。他们所恃和所自豪的信念完全被粉碎。v希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2的的诞生。小小诞生。小小2的出现，却在当时的数学界掀起了一的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。v有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更
8、有可现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位地位。实际上，这
9、一伟大发现不但是对毕达哥实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，
10、完全符合常识的论断可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的居然被小小的2的存在而推翻了！这应该是多么违的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称称“第一次数学危机第一次数学危机”。在当时的数学界来说，是一个极大的震撼，也在当时的数学界来说，是
11、一个极大的震撼，也是历史上的第一次数学危机。是历史上的第一次数学危机。4、新的一页、新的一页v原来原来“第一次数学危机第一次数学危机”是是“无理数无理数”的发现，不过它还说出了的发现，不过它还说出了“有理数有理数”的不完的不完备性，亦即有理数不可以完全填满整条数线，备性，亦即有理数不可以完全填满整条数线，在有理数之间还有在有理数之间还有“空隙空隙”，无疑这些都是，无疑这些都是可被证明的事实，是不能否定的。面对着事可被证明的事实，是不能否定的。面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，把实，数学家展开广阔的胸襟，把“无理数无理数”引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备，引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备
12、，加添了无理数，数线终于被填满了。加添了无理数，数线终于被填满了。v矛盾的消除，危机的解决，往往给数学矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。争的结果就是数学领域的发展。5、数域的扩张、数域的扩张v人类最早认识的是自然数。从引进零人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，及负数就
13、经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算进分数使乘法有了逆运算除法，否则除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了现了2这样的问题，这样的问题，数域就是这样在不数域就是这样在不断扩张。断扩张。数的分类数的分类v数域v回顾以前的各种数学，无非都是回顾以前的各种数学，无非都是“算算”，也就，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金
14、字塔高度，斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在所以也就一直停留在“算学算学”阶段。而阶段。而希腊数希腊数学学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得几何原本的公理体系与亚里士多德的得几何原本的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。逻辑体系。一、一、函数函数生活中的函数举例生活中的函数举例函数的常用表示法函数的常用表示
15、法列表法列表法图像法图像法解析式解析式法法第一章第一章函数函数 一、区间与邻域（一）区间以上区间称为有限区间第一章第一章函数函数以上区间称为无限区间 （二）邻域二函数二函数v2.函数的记号函数的记号3.约定约定:定义域是自变量所能取的使算定义域是自变量所能取的使算式有意义的式有意义的一切实数值一切实数值.求定义域原则1）分母不为零（ln1=0）2）开偶次方时被开方数非负3）对数的真数为正分段函数的定义域分段函数的定义域v介绍几个常用符号三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1.函数的有界性:2函数的单调性:xyoxyo【注】偶函数图像关于y轴对称yxox-x3.函数的奇
16、偶性:yxox-x【注】奇函数图像关于原点对称4.函数的周期性五、分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.【注】分段函数的定义域是各段定义域的并集 如符号函数-11xyo例4解故三、三、基本初等函数基本初等函数基本初等函数是指下列六类函数：基本初等函数是指下列六类函数：常量函数，幂函数，指数函数，对常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数数函数，三角函数和反三角函数1.常数函数常数函数2.幂函数幂函数3.指数函数指数函数4.对数函数对数函数5.三角函数函数三角函数函数5.三角函数函数三角函数函数5.三角函数函数三角函数函数5.三角函数函数三角函
17、数函数6.反三角函数函数反三角函数函数6.反三角函数函数反三角函数函数6.反三角函数函数反三角函数函数6.反三角函数函数反三角函数函数四、函数的运算：复合函数四、函数的运算：复合函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.函数的起源函数的起源v近代数学本质上可以说是变量数学，而变量数近代数学本质上可以说是变量数学，而变量数学的兴起是由于解析几何的创立。解析几何的基本学的兴起是由于解析几何的创立。解析几何的基本思想是平面上引进所谓
18、的坐标的概念，以此在平面思想是平面上引进所谓的坐标的概念，以此在平面上的点和有序实数之间建立了一一对应关系。上的点和有序实数之间建立了一一对应关系。v解析几何的发明归功于两位法国数学家笛卡尔解析几何的发明归功于两位法国数学家笛卡尔（R.Descartes，1596-1650）和费马）和费马（P.de.Fermat1601-1665）.解析几何是代数和几解析几何是代数和几何相结合的产物，他将变量引进到数学，使运动与何相结合的产物，他将变量引进到数学，使运动与变化的定量表述称为可能，从而为微积分的创立打变化的定量表述称为可能，从而为微积分的创立打下基础。下基础。v函数（函数（function）一词
19、最初是由德国数学家莱布尼）一词最初是由德国数学家莱布尼兹（兹（G.W.Leibniz，1646-1716）在）在1692年开始使年开始使用的。用的。v1734年瑞士数学家欧拉（年瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707-1783）引）引入了符号入了符号f(x)，并称变量的函数是一个解析表达式，并称变量的函数是一个解析表达式，认为函数是由一个公式确定的数量关系。但，当时认为函数是由一个公式确定的数量关系。但，当时的函数概念仍然是比较模糊的。的函数概念仍然是比较模糊的。v直到直到1837年，德国数学家狄利克雷年，德国数学家狄利克雷（P.G.L.Dirichlet，1805-1859）提出。）提出。
20、“如果对如果对于一个于一个x的每一个值，的每一个值，y总有一个完全确定的值与之总有一个完全确定的值与之对应，则对应，则y是是x的函数。的函数。”这个定义才比较清楚地说这个定义才比较清楚地说明了函数的内涵：不管其对应法则是公式、表格、明了函数的内涵：不管其对应法则是公式、表格、图像还是其他形式，函数图像还是其他形式，函数f(x)是是x与与y之间的一种对之间的一种对应关系。应关系。v1859年，清代数学家李善兰（年，清代数学家李善兰（1811-1882）第一次）第一次将将function译成函数。译成函数。v19世纪世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又得以用更加严谨的集合和对应的语言表达。念又得以用更加严谨的集合和对应的语言表达。练习练习1、求下列函数的定义域、求下列函数的定义域2、判断下列函数的奇偶性、判断下列函数的奇偶性3、分解下列复合函数、分解下列复合函数答案答案1、2v3、完完!